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高考数学总复习 9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图 新人教B版

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9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图基础巩固强化1.(2011·广东佛山质检)若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积等于(  )A.6B.6πC.3πD.6π[答案] C[解析] 由正视图可知,该圆台的上、下底面半径分别是1、2,圆台的高为2,故其母线长为=,其侧面积等于π·(1+2)·=3π.2.(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为(  )A.12B.8C.8D.6[答案] D[解析] 设此三棱柱底面边长为a,高为h,则由图示知a=2,∴a=4,∴12=×42×h,∴h=3,∴侧(左)视图面积为2×3=6.18\n3.(2011·广东惠州一模)已知△ABC的斜二侧直观图是边长为2的等边△A1B1C1,那么原△ABC的面积为(  )A.2B.C.2D.[答案] C[解析] 如图:在△A1D1C1中,由正弦定理=,得a=,故S△ABC=×2×2=2.4.(文)(2011·山东烟台一模)如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2,且侧棱AA1⊥底面A1B1C1,正视图是边长为2的正方形,该三棱柱的侧视图面积为(  )A.2B.C.2D.4[答案] A[解析] 该三棱柱的侧视图是一个矩形,矩形的高是侧棱长2,底边长为点C到AB的距离2sin=,故其侧视图的面积为2.18\n(理)(2012·河南六市联考)如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的全面积为(  )A.14B.6+2C.12+2D.16+2[答案] C[解析] 该几何体是一个正三棱柱,设底面正三角形边长为a,则a=,∴a=2,又其高为2,故其全面积S=2×(×22)+3×(2×2)=12+2.5.(2011·广东文,7)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有(  )A.20B.15C.12D.10[答案] D[解析] 从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线,故共有5×2=10条对角线.6.(文)(2012·河北郑口中学模拟)某几何体的主视图与左视图如图所示,若该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是(  )18\n[答案] D[解析] 由主视图及俯视图可知该几何体的高为1,又∵其体积为,故为锥体,∴S底=1,A中为三角形,此时其底面积为,舍去;B为个圆,底面积为,也舍去,C为圆,其面积为π舍去,故只有D成立.[点评] 如果不限定体积为,则如图(1)在三棱锥P-ABC中,AC⊥BC,PC⊥平面ABC,AC=BC=PC=1,则此三棱锥满足题设要求,其俯视图为等腰直角三角形A;如图(2),底半径为1,高为1的圆锥,被截面POA与POB截下一角,OA⊥OB,则此时几何体满足题设要求,其俯视图为B;如图(3),这是一个四棱锥,底面是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,此几何体满足题设要求,其俯视图为D.(理)(2011·北京丰台区期末)若一个螺栓的底面是正六边形,它的正(主)视图和俯视图如图所示,则它的体积是(  )18\nA.+πB.3+πC.9+πD.9+π[答案] C[解析] 由三视图知,该螺栓的上部是一个底半径为0.8,高为2的圆柱,下部是底面边长为2,高为1.5的正六棱柱,故体积V=π×0.82×2+6××22×1.5=9+,故选C.7.(文)(2012·北京东城综合练习)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.[答案] 1[解析] 由三视图知原几何体是如图所示的三棱柱.则V=Sh=××1×=1.18\n(理)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为____________m3.[答案] 4[解析] 由几何体的三视图知,原几何体是两个长方体的组合体.上面的长方体的底面边长为1,1,高为2,体积为2;下面长方体底面边长为2,1,高为1,体积为2.∴该几何体的体积为4.8.(2012·内蒙包头市模拟)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是________.18\n[答案] 16π[解析] 由三视图知,该几何体是一个正三棱柱,底面正三角形边长为3,高为2,故其外接球半径R满足R2=()2+(××3)2=4,∴R=2,∴S球=4πR2=16π.9.(2011·安徽知名省级示范高中联考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,得四边形BFD1E,给出下列结论:①四边形BFD1E有可能为梯形;②四边形BFD1E有可能为菱形;③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D;⑤四边形BFD1E面积的最小值为.其中正确的是________.(请写出所有正确结论的序号)[答案] ②③④⑤[解析] ∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面BFD1E∩平面ADD1A1=D1E,平面BFD1E∩平面BCC1B1=BF,∴D1E∥BF;同理BE∥FD1,∴四边形BFD1E为平行四边形,①显然不成立;当E、F分别为AA1、CC1的中点时,易证BF=FD1=D1E=BE,∴EF⊥BD1,又EF∥AC,AC⊥BD,∴EF⊥BD,∴EF⊥平面BB1D1D,∴平面BFD1E⊥平面BB1D1E,∴②④成立,四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时,四边形BFD1E的面积最小,最小值为.10.(2012·沈阳质量监测)已知一个四棱锥P-ABCD的三视图(主视图与左视图为直角三角形,俯视图是带有一条对角线的正方形)如下,E是侧棱PC的中点.18\n(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)求证:平面APC⊥平面BDE.[解析] (1)由三视图可知,AB=BC=1,PC⊥平面ABCD,且PC=2,又底面ABCD是正方形,故S正方形ABCD=1,所以VP-ABCD=×1×2=.(2)证明:因为底面ABCD是正方形,所以对角线AC⊥BD,又PC⊥平面ABCD,而BD⊂平面ABCD,故BD⊥PC,又PC∩AC=C,所以,BD⊥平面APC.又BD⊂平面BDE,故平面APC⊥平面BDE.能力拓展提升11.正四面体ABCD的棱长为1,G是△ABC的中心,M在线段DG上,且∠AMB18\n=90°,则GM的长为(  )A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵G是正四面体ABCD的面ABC的中心,M在DG上,∴MA=MB,又∠AMB=90°,AB=1,∴MA=MB=,又AG=,∴MG===.12.(2011·辽宁文,10)已知球的直径SC=4,A、B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为(  )A.B.C.D.[答案] C[解析] 18\n如右图所示,连接OA、OB(O为球心).∵AB=2,∴△OAB为正三角形.又∵∠BSC=∠ASC=45°,且SC为直径,∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形.∴BO⊥SC,AO⊥SC.又AO∩BO=O,∴SC⊥平面ABO.∴VS-ABC=VC-OAB+VS-OAB=·S△OAB·(SO+OC)=××4×4=,故选C.13.如图,在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水,将容器底面一边BC固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个命题:①水的部分始终呈棱柱状;②水面四边形EFGH的面积不改变;③棱A1D1始终与水面EFGH平行;18\n④当E∈AA1时,AE+BF是定值.其中正确命题的序号是________(填上所有可能的序号).[答案] ①③④[解析] 由于容器一边BC固定于水平地面上,所以随着容器倾斜度的变化,水面四边形EFGH的一组对边EH和FG始终与BC平行且相等,而另一对边EF与GH是变化的,因此A1D1与水面平行,且水的部分是一个棱柱(BC为垂直于两底的侧棱),由于水的体积不变,故棱柱的底面面积不变,因此AE+BF为定值.14.(文)一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π,半径为10cm的扇形,则圆锥的体积为________.[答案] 96πcm3[解析] 扇形弧长l=10×=12π,设圆锥底面半径为R,高为h,则2πR=12π,∴R=6,∴h==8,∴体积V=πR2h=96π.(理)(2011·南京市调研)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.[答案] 13[解析] 如图,将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上,以A1A为界,滚动两周(即将侧面展开两次),则最短线长为AA″1的长度,∴AA1=5,AA″=12,∴AA″1=13.18\n15.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.(1)求证:平面EFG⊥平面PDC;(2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.[解析] (1)证明:∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA,∴PD⊥平面ABCD,又BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC,∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC.∵PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.在△PBC中,因为G、F分别为PB、PC的中点,∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PDC.(2)不妨设MA=1,∵四边形ABCD为正方形,∴PD=AD=2,又∵PD⊥平面ABCD,所以VP-ABCD=S正方形ABCD·PD=.18\n∵MA⊥平面ABCD,∴MA⊥AD,又ABCD为正方形,∴BC⊥AD,∴AD⊥平面MAB,又PD∥MA,所以DA即为点P到平面MAB的距离,三棱锥VP-MAB=××2=.所以VP-MAB:VP-ABCD=1:4.16.(文)下图是一几何体的直观图和三视图.(1)若F为PD的中点,求证:AF⊥平面PCD;(2)求几何体BEC-APD的体积.[解析] (1)证明:由几何体的三视图可知,底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,PA=2EB=4.∵PA=AD,F为PD的中点,∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA,CD⊥PA,∴CD⊥平面PAD,又AF⊂平面PAD,∴CD⊥AF.∴AF⊥平面PCD.(2)VBEC-APD=VC-APEB+VP-ACD=×(4+2)×4×4+××4×4×4=.(理)多面体PABCD的直观图及三视图如图所示,E、F分别为PC、BD的中点.18\n(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:PA⊥平面PDC.[证明] 由多面体PABCD的三视图知,该几何体是四棱锥,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD是等腰直角三角形,PA=PD=,且平面PAD⊥平面ABCD.(1)连接AC,由ABCD为正方形知,F是AC的中点,又∵E是PC的中点,∴在△CPA中,EF∥PA,又PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,∴EF∥平面PAD.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,又CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PA.∵△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=.即PA⊥PD.又CD∩PD=D,∴PA⊥平面PDC.1.(2012·湖南文,4)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是(  )18\n[分析] 由正视图和侧视图知,该几何体是两个柱体的组合体,可对照选项逐个判断求解.[答案] C[解析] 若俯视图为选项A,则几何体上下两部分都是圆柱;若俯视图为选项B,则几何体上部为正四棱柱,下部为圆柱;若俯视图为D,则几何体下部是一个正四棱柱,上部是一个直三棱柱,三棱柱的底面为直角三角形,两直角边分别与正视、侧视的投射线平行;俯视图若为C选项,则其正视图应该是侧视图与正视图不全等,所以选C.2.(2011·北京文,5)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(  )A.32B.16+1618\nC.48D.16+32[答案] B[解析] 由三视图知原几何体是一个底面边长为4,高是2的正四棱锥.如图:∵AO=2,OB=2,∴AB=2.又∵S侧=4××(4×2)=16,S底=4×4=16,∴S表=S侧+S底=16+16.3.(2012·保定市一模)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m),则该棱锥的体积是(单位:m3).(  )A.4+2B.4+C.D.[答案] D[解析] 由侧视图和俯视图是全等的等腰三角形,及正视图为等腰直角三角形可知,该几何体可看作边长AB=BC=,AC=2的△ABC绕AC边转动到△PAC位置(平面PAC⊥平面ABC)所形成的几何体,故其体积V=×(×2×2)×2=.18\n4.(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的左视图可能为(  )[答案] B[解析] 由三视图间的关系,易知其左视图是一个底边长为,高为2的直角三角形,故选B.[点评] 由题设条件及主视图、俯视图可知,此三棱锥P-ABC的底面是正△ABC,侧棱PB⊥平面ABC,AB=2,PB=2.18\n18

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发布时间:2022-08-25 21:39:28 页数:18
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文章作者:U-336598

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