2022年中考数学专题复习 讲座六 数学思想方法（二） 浙教版

2022年中考数学复习专题讲座六：数学思想方法（二）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。例1（2022•广东）据媒体报道，我国2022年公民出境旅游总人数约5000万人次，2022年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2022年、2022年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2022年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2022年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。专题：增长率问题。分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意2022年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2022年公民出境旅游总人数5000（1+x）2万人次．根据题意得方程求解；（2）2022年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000（1+x）2=7200．解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．（2）如果2022年仍保持相同的年平均增长率，则2022年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2022年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．29\n点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。例2（2022•桂林）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？考点：分式方程的应用。专题：应用题。分析：（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可；（2）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与42比较即可作出判断．解答：解：（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，根据题意得：，解得：x=70，经检验x=70是原方程的解，即李明步行的速度是70米/分．（2）根据题意得，李明总共需要：．即李明能在联欢会开始前赶到．答：李明步行的速度为70米/分，能在联欢会开始前赶到学校．点评：此题考查了分式方程的应用，设出步行的速度，根据等量关系得出方程是解答本题的关键，注意分式方程一定要检验．考点五：函数思想函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。例4（2022•十堰）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）29\n考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。专题：应用题。分析：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组，解方程组即可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；（2）设生产A产品m件，生产B产品（50﹣m）件，先表示出生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50﹣m）+25×20（50﹣m）=﹣100m+40000，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到﹣100m+40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50﹣m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案；（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300（50﹣m），根据成本=材料费+加工费得到W=﹣100m+40000+200m+300（50﹣m）=﹣200m+55000，根据一次函数的性质得到W随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本．解答：解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则，解得，所以甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；（2）设生产A产品m件，生产B产品（50﹣m）件，则生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50﹣m）+25×20（50﹣m）=﹣100m+40000，由题意：﹣100m+40000≤38000，解得m≥20，又∵50﹣m≥28，解得m≤22，∴20≤m≤22，∴m的值为20，21，22，共有三种方案，如下表：A（件）202122B（件）302928（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300（50﹣m），则W=﹣100m+40000+200m+300（50﹣m）=﹣200m+55000，∵W随m的增大而减小，而m=20，21，22，∴当m=22时，总成本最低，此时W=﹣200×22+55000=50600元．点评：函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法。运用函数思想通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。　22．（2022•广元）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．（1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？29\n考点：反比例函数的应用。分析：（1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式；（2）把x=12×5=60代入，即可求得天数；（3）首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．解答：解：（1）y=；（2）x=12×5=60，代入函数解析式得；y==20（天）；（3）运了8天后剩余的垃圾是1200﹣8×60=720m3．务要在不超过6天的时间完成则每天至少运720÷6=120m3，则需要的拖拉机数是：120÷12=10（辆），则至少需要增加10﹣5=5辆这样的拖拉机才能按时完成任务．点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．　考点六：数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。例5（2022•襄阳）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：计算题。29\n分析：（1）将点A（1，2）代入双曲线y=，求出k2的值，将B（m，﹣1）代入所得解析式求出m的值，再用待定系数法求出k1x和b的值，可得两函数解析式；（2）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究；（3）求不等式k1x+b＞的解集，就是求k1x+b＞时自变量的x的范围，从图象上看：直线在双曲线上方，这是“以形助数”．根据A、B点的横坐标结合图象进行解答．解答：解：（1）∵双曲线y=经过点A（1，2），∴k2=2，∴双曲线的解析式为：y=．∵点B（m，﹣1）在双曲线y=上，∴m=﹣2，则B（﹣2，﹣1）．由点A（1，2），B（﹣2，1）在直线y=k1x+b上，得，解得，∴直线的解析式为：y=x+1．（2）∵在第三象限内y随x的增大而减小，故y2＜y1＜0，又∵y3是正数，故y3＞0，∴y2＜y1＜y3．（3）由图可知，x＞1或﹣2＜x＜0．点评：数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。例7（2022•济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．29\n考点：二次函数综合题。分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），∴，解得a=1，b=4，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=．在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC==．如答图1所示，连接O1B、O1B，由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，∴△BO1C为等腰直角三角形，∴⊙O1的半径O1B=BC=．29\n（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，∴顶点P坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为x=﹣2．又∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（﹣4，3）．又∵点M为BD中点，B（﹣1，0），∴M（，），∴BM==；在△BPC中，B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．∵△BMN∽△BPC，∴，即，解得：BN=，MN=．设N（x，y），由两点间的距离公式可得：，解之得，，，∴点N的坐标为（，）或（，）．29\n点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标．四、中考真题训练一、选择题1．（2022•贵港）如图，已知直线y1=x+m与y2=kx﹣1相交于点P（﹣1，1），则关于x的不等式x+m＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）29\n　A．B．C．D．考点：一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。分析：根据图象和交点坐标得出关于x的不等式x+m＞kx﹣1的解集是x＞﹣1，即可得出答案．解答：解：∵直线y1=x+m与y2=kx﹣1相交于点P（﹣1，1），∴根据图象可知：关于x的不等式x+m＞kx﹣1的解集是x＞﹣1，在数轴上表示为：，故选B．点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，主要培养学生的观察图象的能力和理解能力．　5．（2022•柳州）小兰画了一个函数y=的图象如图，那么关于x的分式方程=2的解是（　　）　A．x=1B．x=2C．x=3D．x=4考点：反比例函数的图象。29\n分析：关于x的分式方程=2的解就是函数y=中，纵坐标y=2时的横坐标x的值，据此即可求解．解答：解：关于x的分式方程=2的解就是函数y=中，纵坐标y=2时的横坐标x的值．根据图象可以得到：当y=2时，x=1．故选A．点评：本题考查了函数的图象，正确理解：关于x的分式方程=2的解，就是函数y=中，纵坐标y=2时的横坐标x的值是关键．6．（2022•广州）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）　A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：数形结合。分析：根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可．解答：解：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2．故选D．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．7．（2022•南平）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为（　　）29\n　A．B．C．D．3考点：翻折变换（折叠问题）。分析：由正方形纸片ABCD的边长为3，可得∠C=90°，BC=CD=3，由根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，然后设DF=x，在Rt△EFC中，由勾股定理EF2=EC2+FC2，即可得方程，解方程即可求得答案．解答：解：∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3，根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，设DF=x，则EF=EG+GF=1+x，FC=DC﹣DF=3﹣x，EC=BC﹣BE=3﹣1=2，在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，即（x+1）2=22+（3﹣x）2，解得：x=，∴DF=，EF=1+=．故选B．点评：此题考查了折叠的性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．8．（2022•荆门）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（　　）　A．8B．4C．8D．6考点：翻折变换（折叠问题）。分析：首先由正方形ABCD的对角线长为2，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，则可得图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD，继而求得答案．解答：解：∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2×=2，∴AB=BC=CD=AD=2，由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，∴图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8．29\n故选C．点评：此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与整体思想的应用．9．（2022•河北）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　）　A．70°B．40°C．30°D．20°考点：翻折变换（折叠问题）。分析：由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN=∠FMN=∠A=70°，又由平角的定义，即可求得∠AMF的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∵∠A=70°，∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°，∴∠AMF=180°﹣∠DMN﹣∠FMN=180°﹣70°﹣70°=40°．故选B．点评：此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．10．（2022•佛山）如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（　　）29\n　A．πB．C．D．考点：旋转的性质；扇形面积的计算。分析：根据直角三角形的性质求出BC、AC的长度，设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，可以证明△BCD是等边三角形，然后求出点D是AB的中点，所以△ACD的面积等于△ABC的面积的一半，然后根据△ABC扫过的面积=S扇形ACA1+S扇形BCD+S△ACD，然后根据扇形的面积公式与三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=AB=1，∠B=90°﹣∠BAC=60°，∴AC==，∴S△ABC=×BC×AC=，设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，∵BC=DC，∴△BCD是等边三角形，∴BD=CD=1，∴点D是AB的中点，∴S△ACD=S△ABC=×=，∴△ABC扫过的面积=S扇形ACA1+S扇形BCD+S△ACD，=×π×（）2+×π×12+，=π+π+，=π+．故选D．点评：此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，利用数形结合思想把扫过的面积分成两个扇形的面积与一个三角形面积是解题的关键，也是本题的难点．　14．（2022•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）29\n　A．abc＞0B．3a＞2b　C．m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）D．4a﹣2b+c＜0考点：二次函数图象与系数的关系。分析：根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，c＞0，根据对称轴x=﹣=﹣1＜0，则b＜0，再利用图象与x轴交点左侧小于1，则得出图象与坐标轴右侧交点一定小于﹣2，可知，4a﹣2b+c＞0，再结合图象判断各选项．解答：解：A．由函数图象可得各系数的关系：a＜0，c＞0，对称轴x=﹣=﹣1＜0，则b＜0，故abc＞0，故此选项正确，但不符合题意；B．∵x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴2b=4a，∵a＜0，b＜0，∴3a＞2b，故此选项正确，但不符合题意；C．∵b=2a，代入m（am+b）﹣（a﹣b）得：∴m（am+2a）﹣（a﹣2a），=am2+2am+a，=a（m+1）2，∵a＜0，∴a（m+1）2≤0，∴m（am+b）﹣（a﹣b）≤0，即m（am+b）≤a﹣b，故此选项正确，但不符合题意；D．当x=﹣2代入y=ax2+bx+c，得出y=4a﹣2b+c，利用图象与x轴交点左侧小于1，则得出图象与坐标轴右侧交点一定小于﹣2，故y=4a﹣2b+c＞0，故此选项错误，符合题意；故选：D．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，同学们应注意，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＜0时，抛物线向下开口，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右，以及利用对称轴得出a，b的关系是解题关键．　　29\n16．（2022•衡阳）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（　　）　A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系。分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．解答：解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选C．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．　　二、填空题19．（2022•南宁）如图，已知函数y=x﹣2和y=﹣2x+1的图象交于点P，根据图象可得方程组的解是　．29\n考点：一次函数与二元一次方程（组）。专题：推理填空题。分析：先由图象得出两函数的交点坐标，根据交点坐标即可得出方程组的解．解答：解：∵由图象可知：函数y=x﹣2和y=﹣2x+1的图象的交点P的坐标是（1，﹣1），又∵由y=x﹣2，移项后得出x﹣y=2，由y=﹣2x+1，移项后得出2x+y=1，∴方程组的解是，故答案为：．点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好但又比较容易出错的题目．20．（2022•连云港）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜+b的解集是　　．考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：数形结合。分析：根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移2b个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量x的取值范围即可．解答：解：由k1x＜+b，得，k1x﹣b＜，所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点A′的横坐标为﹣1，交点B′的横坐标为﹣5，当﹣5＜x＜﹣1或x＞0时，双曲线图象在直线图象上方，所有，不等式k1x＜+b的解集是﹣5＜x＜﹣1或x＞0．故答案为：﹣5＜x＜﹣1或x＞0．29\n点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集与双曲线和向下平移2b个单位的直线的交点有关是解题的关键．　22．（2022•淮安）如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差km/h．考点：一次函数的应用。分析：根据图中信息找出甲，乙两人行驶的路程和时间，进而求出速度即可．解答：解：根据图象可得：∵甲行驶距离为100千米时，行驶时间为5小时，乙行驶距离为80千米时，行驶时间为5小时，∴甲的速度是：100÷5=20（千米/时）；乙的速度是：80÷5=16（千米/时）；故这两人骑自行车的速度相差：20﹣16=4（千米/时）；故答案为：4．点评：此题主要考查了一次函数的应用，根据已知得出甲乙行驶的路程与时间是解题关键．　　　　27．（2022•朝阳）如图所示中的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系，则通话8分钟应付电话费　　元．29\n考点：一次函数的应用。分析：根据图形写出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出射线BC的解析式，再把t=8代入解析式进行计算即可得解．解答：解：由图象可得，点B（3，2.4），C（5，4.4），设射线BC的解析式为y=kt+b（t≥3），则，解得，所以，射线BC的解析式为y=t﹣0.6（t≥3），当t=8时，y=8﹣0.6=7.4元．故答案为：7.4．点评：本题考查了一次函数的应用，根据图象写出点B、C的坐标，利用待定系数法求出射线BC的解析式是解题的关键．　28．（2022•北海）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是　　．考点：一次函数的性质；垂线段最短。专题：计算题。分析：作AB′⊥BB′，B′即为当线段AB最短时B点坐标，求出AB′的解析式，与BB′组成方程组，求出其交点坐标即可．解答：解：设AB′解析式为y=kx+b，29\n∵AB′⊥BB′，BB′解析式为y=2x﹣4，∴2k=﹣1，k=﹣，于是函数解析式为y=﹣x+b，将A（﹣1，0）代入y=﹣x+b得，+b=0，b=﹣，则函数解析式为y=﹣x﹣，将两函数解析式组成方程组得，，解得，故B点坐标为（，﹣）．故答案为（，﹣）．点评：本题考查了一次函数的性质和垂线段最短，找到B′点是解题的关键，同时要熟悉待定系数法求函数解析式．　29．（2022•宜宾）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是　　．考点：反比例函数与一次函数的交点问题。29\n专题：数形结合。分析：根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．解答：解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．点评：本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．　三、解答题30．（2022•南通）甲．乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了　　h；（2）求线段DE对应的函数解析式；（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．考点：一次函数的应用。分析：（1）利用图象得出CD这段时间为2.5﹣2=0.5，得出答案即可；（2）利用D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），求出函数解析式即可；（3）利用OA的解析式得出，当60x=110x﹣195时，即可求出轿车追上货车的时间．解答：解：（1）利用图象可得：线段CD表示轿车在途中停留了：2.5﹣2=0.5小时；（2）根据D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），代入y=kx+b，得：，解得：，故线段DE对应的函数解析式为：y=110x﹣195；（3）∵A点坐标为：（5，300），29\n代入解析式y=ax得，300=5a，解得：a=60，故y=60x，当60x=110x﹣195，解得：x=3.9小时，故3.9﹣1=2.9（小时），答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车．点评：此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出函数解析式利用图象分析得出是解题关键．31．（2022•新疆）如图，一次函数y=kx﹣3的图象与反比例函数的图象交于P（1，2）．（1）求k，m的值；（2）根据图象，请写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．考点：反比例函数与一次函数的交点问题。分析：（1）分别把（1，2）代入一次函数和反比例函数解析式，易求k、m；（2）在交点左边，一次函数的值小于反比例函数的值，易得0＜x＜1．解答：解：（1）把（1，2）代入y=kx﹣3，得k=5，把（1，2）代入y=，得m=2；（2）观察可知当0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．29\n点评：本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键是理解点与函数解析式的关系．　32．（2022•咸宁）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：探究型。分析：（1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出a的值，把点A（1，6），B（3，2）代入函数y1=kx+b即可求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式；（2）根据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围．解答：解：（1）∵点A（1，6），B（a，2）在y2=的图象上，∴=6，m=6．∴反比例函数的解析式为：y2=，∴=2，a==3，∵点A（1，6），B（3，2）在函数y1=kx+b的图象上，∴，解这个方程组，得29\n∴一次函数的解析式为y1=﹣2x+8，反比例函数的解析式为y2=；（2）由函数图象可知，当x在A、B之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∵点A（1，6），B（3，2），∴1≤x≤3．点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．　　33．（2022•长沙）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2022年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个．（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？（2）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？考点：二元一次方程组的应用。分析：（1）利用境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个，得出等式方程求出即可；（2）根据（1）中数据以及境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，得出即可．解答：解：（1）设境外投资合作项目个数为x个，根据题意得出：2x﹣（348﹣x）=51，解得：x=133，故省外境内投资合作项目为：348﹣133=215个．答：境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个．（2）∵境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，∴湖南省共引进资金：133×6+215×7.5=2410.5亿元．答：东道湖南省共引进资金2410.5亿元．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄清题意，找到等量关系：境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个列出方程是解题关键．　　35．（2022•六盘水）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：月份用水量（吨）水费（元）4225129\n52045（1）求该市每吨水的基本价和市场价．（2）设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式．（3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？考点：一次函数的应用。分析：（1）利用已知得出4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，求出市场价收费标准为：（51﹣45）÷（22﹣20）=3（元/吨），进而得出每吨水的基本价；（2）利用（1）中所求不同水价，再利用当n≤15时，m=2n，当n＞15时，分别求出即可．（3）根据（1）中所求得出，用水量为26吨时要缴水费．解答：解：（1）根据当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费，∵4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，∴市场价收费标准为：（51﹣45）÷（22﹣20）=3（元/吨），设基本价收费为x元/吨，根据题意得出：15x+（22﹣15）×3=51，解得：x=2，故该市每吨水的基本价和市场价分别为：3元/吨，2元/吨；（2）当n≤15时，m=2n，当n＞15时，m=15×2+（n﹣15）×3=3n+15，（3）∵小兰家6月份的用水量为26吨，∴她家要缴水费15×2+（26﹣15）×3=63元．点评：此题主要考查了一次函数的应用关键是分段函数的写法以及求自变量时把函数值正确代入相对应的函数，此题难度不大，是初中阶段考查重点．　38．（2022•攀枝花）据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？29\n考点：反比例函数的应用。专题：计算题。分析：首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．解答：解：（1）设反比例函数解析式为y=，将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，则函数解析式为y=（x≥15），将y=10代入解析式得，10=，x=15，故A（15，10），设正比例函数解析式为y=nx，将A（15，10）代入上式即可求出n的值，n==，则正比例函数解析式为y=x（0≤x≤15）．（2）=2，解之得x=75（分钟），答：从药物释放开始，师生至少在75分钟内不能进入教室．点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．39．（2022•呼和浩特）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出时x的取值范围．29\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题。分析：（1）先把（m，6）、B（n，3）代入反比例函数，可求m、n的值，即可得A、B的坐标，然后把AB两点坐标代入一次函数，可得关于k、b的二元一次方程组，解可得k、b的值，进而可得一次函数的解析式；（2）根据图象可知当1＜x＜2时，一次函数y的值大于反比例函数y的值．解答：解：（1）∵点A（m，6）、B（n，3）在函数y=图象上，∴m=1，n=2，∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），把（1，6）、（2，3）代入一次函数y=kx+b中，得，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣3x+9；（2）由图象知：1＜x＜2．点评：本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，解题的关键是先求出m、n的值，并注意待定系数法的使用．　　40．（2022•湖州）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（﹣，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜）①是否存在这样的t，使△ADF与△29\nDEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）考点：二次函数综合题。分析：（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；（2）本问是难点所在，需要认真全面地分析解答：①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值；（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值；（III）∠DAF≠90°，此时t不存在；②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围．确定限制条件是解题的关键．解答：解：（1）由题意得AB的中点坐标为（﹣，0），CD的中点坐标为（0，3），分别代入y=ax2+b得，解得，，∴y=﹣x2+3．（2）①如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°∴EC=BC=，DE=又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°∴∠ADC=180°﹣60°=120°要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角．（I）若∠ADF=90°29\n∠EDF=120°﹣90°=30°在Rt△DEF中，DE=，求得EF=1，DF=2．又∵E（t，3），F（t，﹣t2+3），∴EF=3﹣（﹣t2+3）=t2∴t2=1，∵t＞0，∴t=1此时=2，，∴，又∵∠ADF=∠DEF∴△ADF∽△DEF（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则设EF=m，则FB=3﹣m∴，即m2﹣3m+6=0，此方程无实数根．∴此时t不存在；（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°∴∠DAF≠90°，此时t不存在．综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似；②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N．观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N．∵F（t，3﹣t2），∴EF=3﹣（3﹣t2）=t2，∴EE′=2EF=2t2，由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤．∵C′E′=CE=，∴C′点的横坐标为t﹣，∴MN=3﹣（t﹣）2，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t2，由MN≥C′N，得3﹣（t﹣）2≥3﹣2t2，解得t≥．∴t的取值范围为：．29\n点评：本题是动线型中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高．本题难点在于第（2）问，（2）①中，需要结合△ADF与△DEF相似的三种情况，分别进行讨论，避免漏解；（2）②中，确定“限制条件”是解题关键．　29