2022年中考数学专题复习第四单元三角形课时训练二十二锐角三角函数练习

课时训练(二十二)　锐角三角函数(限时:20分钟)|夯实基础|1.[2022·天津]cos60°的值等于(　　)A.3B.1C.22D.122.[2022·湖州]如图K22-1,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是(　　)图K22-1A.35B.45C.34D.433.[2022·益阳]如图K22-2,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了(　　)12\n图K22-2A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.300tanα米4.[2022·常州]某数学研究性学习小组制作了如图K22-3的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处,刻度尺可以绕点O转,从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是(　　)图K22-3A.58B.78C.710D.455.[2022·日照]如图K22-4,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于(　　)图K22-4A.255B.255C.2D.126.[2022·荆州]如图K22-5,平面直角坐标系中,☉P经过三点A(8,0),O(0,0),B(0,6),点D是☉P上的一动点,当点D到弦OB的距离最大时,tan∠BOD的值是(　　)12\n图K22-5A.2B.3C.4D.57.[2022·天水]已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=1213,则tanB的值为　　　　. 8.如图K22-6,点A(3,t)在第一象限,射线OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=32,则t的值是　　　　. 图K22-69.[2022·枣庄]如图K22-7,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度约为　　　　米.(结果精确到0.1米) 【参考数据:sin31°≈0.515,cos31°≈0.857,tan31°≈0.601】图K22-710.如图K22-8,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD=　　　　. 图K22-811.计算:(1)12+12-1-(3-π)0-1-2cos30°;12\n(2)6tan230°-3sin60°-2sin45°.12.如图K22-9,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,AD=4.求BC的长(结果保留根号).图K22-912\n13.如图K22-10,AD是△ABC的中线,tanB=13,cosC=22,AC=2.求:(1)BC的长;(2)sin∠ADC的值.图K22-1014.如图K22-11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,连接CE,求:(1)线段BE的长;(2)∠ECB的正切值.图K22-1112\n|拓展提升|15.[2022·福建]小明在某次作业中得到如下结果:sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,sin245°+sin245°=222+222=1.据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.12\n12\n参考答案1.D2.A　[解析]在Rt△ABC中,cosB=BCAB=35.3.A　[解析]∵sinα=BOAB,∴BO=ABsinα=300sinα米,故选择A.4.D　[解析]如图,连接EF,由题意可知OF=0.8,OE=1,∵∠OEF+∠EOF=∠EOF+∠BOF,∴∠OEF=∠AOB,∵OE是直径,∴∠EFO=90°,∴sin∠AOB=OFOE=45,故选D.5.D　[解析]如图,在Rt△ABC中,AB=2,BC=1,∴tan∠BAC=BCAB=12.∵∠BED=∠BAD,∴tan∠BED=12.故选D.6.B　[解析]如图所示,当点D到弦OB的距离最大时,DE⊥OB于E点,且D,E,P三点共线.连接AB,由题意可知AB为☉P的直径,∵A(8,0),∴OA=8,∵B(0,6),∴OB=6,∴OE=BE=12OB=3,在Rt△AOB中,AB=OA2+OB2=10,∴BP=12AB=12×10=5,在Rt△PEB中,PE=BP2-BE2=4,∴DE=EP+DP=4+5=9,∴tan∠DOB=DEOE=93=3,故选B.12\n7.512　[解析]在Rt△ABC中,sinA=1213,令BC=a=12k,AB=c=13k,根据勾股定理,得AC=b=5k.∴tanB=ba=512.8.92　[解析]作AB⊥x轴于B,∵点A(3,t)在第一象限,∴AB=t,OB=3,又∵tanα=ABOB=32,∴t=92.9.6.2　[解析]运用锐角三角函数:BCAB=sin∠BAC,即BC12=sin31°,BC≈12×0.515=6.18≈6.2(米),故填6.2.10.22　[解析]如图,连接BC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=6,AC=2,∴BC=AB2-AC2=62-22=42,又∵∠D=∠A,∴tanD=tanA=BCAC=422=22.12\n故答案为22.11.解:(1)原式=23+2-1-1-3=23+2-1+1-3=3+2.(2)原式=6×332-3×32-2×22=12-2.12.解:∵∠ABC=90°,∠BDC=45°,∴BD=BC.∵∠ABC=90°,∠A=30°,∴AB=3BC,∴AD+BD=3BC,即AD+BC=3BC.∵AD=4,∴4+BC=3BC,解得BC=23+2.13.[解析](1)过点A作AE⊥BC于点E,根据cosC=22,求出∠C=45°,求出AE=CE=1,根据tanB=13,求出BE,进而求出BC;(2)根据AD是△ABC的中线,求出CD的长,得到DE的长,进而得出∠ADC的度数,求出正弦值.解:(1)如图,过点A作AE⊥BC于点E,12\n∵cosC=22,∴∠C=45°,在Rt△ACE中,CE=AC·cosC=1,∴AE=CE=1,在Rt△ABE中,tanB=13,即AEBE=13,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.(2)∵AD是△ABC的中线,∴CD=12BC=2,∴DE=CD-CE=1,∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=22.14.解:(1)∵AD=2CD,AC=3,∴AD=2,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,∴∠A=∠B=45°,AB=AC2+BC2=32+32=32,∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴AE=AD·cos45°=2×22=2,∴BE=AB-AE=32-2=22,即线段BE的长为22.12\n(2)过点E作EH⊥BC,垂足为点H,如图所示.∵在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°,∴EH=BH=BE·cos45°=22×22=2,∵BC=3,∴CH=1,在Rt△CHE中,tan∠ECB=EHCH=2,即∠ECB的正切值为2.15.解:(1)当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°=122+322=14+34=1.所以sin2α+sin2(90°-α)=1成立.(2)小明的猜想成立.证明如下:如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°-α.sin2α+sin2(90°-α)=BCAB2+ACAB2=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1.12