2022年中考数学专题复习讲座 第二十二讲 梯形

2022年中考数学专题复习第二十二讲梯形【基础知识回顾】梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的直角梯形：一腰与底的梯形叫做直角梯形一般梯形等腰梯形：两腰的梯形叫做等腰梯形特殊梯形2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形=（上底+下底）X高【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【名师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1（2022•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD=9．思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解．解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥24\nDC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．对应训练1.（2022•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（　　）A．17B．18C．19D．201．考点：梯形；线段垂直平分线的性质．分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．考点二：等腰梯形的性质例2（2022•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（　　）A．25B．50C．25D．24\n思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF=BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC（已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE（等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，故选A．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．对应训练2．（2022•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC=3．2．3考点：等腰梯形的性质．分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．24\n解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．考点三：等腰梯形的判定例3（2022•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．考点：等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．24\n（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。点评：此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．对应训练4．（2022•百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是①DM=CN．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．考点：等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例．分析：（1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为①．（2）先根据SAS证明△AMD≌△BCN，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知，根据平行线分线段成比例，所以MN∥CD∥AB，且MN≠AB，即四边形ABNM是等腰梯形．解答：解：（1）可以选择①24\nDM=CN；（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN∴△AMD≌△BCN，∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，∴，∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB∴四边形ABNM是等腰梯形．点评：本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质、矩形的性质和平行线分线段成比例的关系．考点四：梯形的综合应用例4（2022•黑龙江）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=：3；⑤S△EPM=S梯形ABCD，正确的个数有（　　）A．5个B．4个C．3个D．2个考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形中位线定理．专题：几何综合题．分析：连接DF，AC，EF，如图所示，由E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，得到EB=FB，再由一对公共角相等，利用SAS可得出△ABF与△CBE全等，由确定三角形的对应角相等得到一对角相等，再由AE=FC，对顶角相等，利用AAS可得出△AME与△CMF全等，由全等三角形的对应边相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM与△BFM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠ABN=∠CBN，选项①正确；由AD=AE，梯形为直角梯形，得到∠EAD为直角，可得出△AED为等腰直角三角形，可得出∠AED为45°，由∠ABC为直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN为45°，根据同位角相等可得出DE平行于BN，选项②正确；由AD=AE=AB=BC，且CF=BC，得到AD=FC，又AD与FC平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADCF为平行四边形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代换可得出DC=EC，即△24\nDCE为等腰三角形，选项③正确；由EF为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到EF平行于AC，由两直线平行得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出△EFM与△ACM相似，且相似比为1：2，可得出EM：MC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，用EM+MC表示出EC，设EB=y，根据BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，两者相等得到x与y的比值，即为EM与BE的比值，即可判断选项④正确与否；由E为AB的中点，利用等底同高得到△AME的面积与△BME的面积相等，由△BME与△BFM全等，得到面积相等，可得出三个三角形的面积相等都为△ABF面积的，由E为AB的中点，且EP平行于BM，得到P为AM的中点，可得出△AEP的面积等于△PEM的面积，得到△PEM的面积为△ABF面积的，由ABFD为矩形得到△ABF与△ADF全等，面积相等，由△ADF与△CFD全等得到面积相等，可得出三个三角形面积相等都为梯形面积的，综上得到△PEM的面积为梯形面积的，可得出选项⑤错误，综上，得到正确的个数．解答：解：连接DF，AC，EF，如图所示：∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，∴AE=EB=BF=FC，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，在△AME和△CMF中，，∴△AME≌△CMF（AAS），∴EM=FM，在△BEM和△BFM中，，∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形，∴∠AED=45°，24\n∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∴∠AED=∠ABN=45°，∴ED∥BN，选项②正确；∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC，又AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AF=DC，又AF=CE，∴DC=EC，则△CED为等腰三角形，选项③正确；∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=AC，∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，∴△EFM∽△CAM，∴EM：MC=EF：AC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，设EB=y，则有BC=2y，在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC==y，∴3x=y，即x：y=：3，∴EM：BE=：3，选项④正确；∵E为AB的中点，EP∥BM，∴P为AM的中点，∴S△AEP=S△EPM=S△AEM，又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=S△ABF，∵四边形ABFD为矩形，∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=S梯形ABCD，∴S△EPM=S梯形ABCD，选项⑤错误．则正确的个数有4个．故选B点评：此题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．对应训练4．（2022•丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是6；（2）若射线EF经过点C，则AE的长是2或524\n．4．考点：直角梯形；勾股定理；解直角三角形．专题：探究型．分析：（1）过E点作EG⊥DF，由E是AB的中点，得出DG=3，再根据∠DEG=60°得出∠DEF=120°，由tan60°=即可求出GF的长，进而得出结论；（2）过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH=AD=，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AE=x，则BE=6-x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的长，再判断出△EDF∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可．解答：解：（1）如图1，过E点作EG⊥DF，∵E是AB的中点，∴DG=3，∴EG=AD=，∴∠DEG=60°，∵∠DEF=120°，∴tan60°=，解得GF=3，∴DF=6；（2）如图2所示：过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH=AD=，24\n∵∠ABC=120°，AB∥CD，∴∠BCH=60°，∴CH===1，BC===2，设AE=x，则BE=6-x，在Rt△ADE中，DE==，在Rt△EFM中，EF==，∵AB∥CD，∴∠EFD=∠BEC，∵∠DEF=∠B=120°，∴△EDF∽△BCE，∴，即，解得x=2或5．故答案为：2或5．点评：本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．【聚焦山东中考】1．（2022•烟台）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为（　　）A．4B．5C．6D．不能确定考点：等腰梯形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．专题：数形结合．分析：根据题意可得OB=4，OD=3，从而利用勾股定理可求出BD，再有等腰梯形的对角线相等的性质可得出AC的值．解答：24\n解：如图，连接BD，由题意得，OB=4，OD=3，故可得BD=5，又ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5．故选B．点评：此题考查了等腰梯形的性质及勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形对角线相等的性质，难度一般．2．（2022•临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（　　）A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD考点：等腰梯形的性质．分析：由四边形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的两条对角线相等，即可得AC=BD；易证得△ABC≌△DCB，即可得OB=OC；由∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，即可得∠ABD=∠ACD．注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：A、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确；B、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，在△ABC和△DCB中，∵，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OC，故本选项正确；C、∵无法判定BC=BD，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误；D、∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠24\nACD．故本选项正确．故选C．点评：此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．【备考真题过关】一、选择题1．（2022•十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（　　）A．22B．24C．26D．281．考点：梯形；全等三角形的判定与性质．专题：数形结合．分析：先判断△AMB≌△DMC，从而得出AB=DC，然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长．解答：解：∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，又∵MC=MB，∴∠MBC=∠MCB，∴∠AMB=∠DMC，在△AMB和△DMC中，∵，∴可得△AMB≌△DMC，∴AB=DC，四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24．故选B．点评：此题考查了梯形、全等三角形的判定与性质，属于基础题，解答本题的关键是判断△AMB≌△DMC，得出AB=DC，难度一般．2．（2022•漳州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80°，则∠D的度数是（　　）A．120°B．110°C．100°D．80°24\n2．考点：等腰梯形的性质．专题：探究型．分析：先根据AB∥CD求出∠A的度数，再由等腰梯形的性质求出∠D的度数即可．解答：解：∵AD∥BC，∠B=80°∴∠A=180°-∠B=180°-80°=100°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°．故选C．点评：本题考查的是等腰梯形的性质，即等腰梯形同一底上的两个角相等．3.（2022•乐山）下列命题是假命题的是（　　）A．平行四边形的对边相等B．四条边都相等的四边形是菱形C．矩形的两条对角线互相垂直D．等腰梯形的两条对角线相等考点：等腰梯形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；命题与定理．分析：根据等腰梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质及菱形的判定方法做出判断即可．解答：解：A、平行四边形的两组对边平行，正确，是真命题；B、四条边都相等的四边形是菱形，正确，是真命题；C、矩形的对角线相等但不一定垂直，错误，是假命题；D、等腰梯形的两条对角线相等，正确，是真命题；故选C．点评：本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质及菱形的判定方法，属于基本定义，必须掌握．4．（2022•广州）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（　　）A．26B．25C．21D．20考点：等腰梯形的性质；平行四边形的判定与性质．分析：由BC∥AD，DE∥AB，即可得四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得BE的长，继而求得BC的长，由等腰梯形ABCD，可求得AB的长，继而求得梯形ABCD的周长．24\n解答：解：∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=5，∵EC=3，∴BC=BE+EC=8，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4，∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21．故选C．点评：此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意判定出四边形ABED是平行四边形是解此题的关键，同时注意数形结合思想的应用．二、填空题5．（2022•南通）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD=2cm．5．2考点：梯形；勾股定理．分析：作DE∥BC于E点，得到四边形CDEB是平行四边形，根据∠A+∠B=90°，得到三角形ADE是直角三角形，利用勾股定理求得AE的长后即可求得线段CD的长．解答：解：作DE∥BC于E点，则∠DEA=∠B∵∠A+∠B=90°∴∠A+∠DEA=90°∴ED⊥AD∵BC=3cm，AD=4cm，∴EA=5∴CD=BE=AB-AE=7-5=2cm，故答案为2．点评：本题考查了梯形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线．24\n6．（2022•丹东）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为13．6．13考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：由在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，易证得△ADE≌△FCE，即可得EF=AE=6，CF=AD，又由AB⊥AE，AB=5，AE=6，由勾股定理即可求得BF的长，继而可求得梯形上下底之和．解答：解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠F=∠DAE，∠ECF=∠D，∵E是CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF=AD，EF=AE=6，∴AF=AE+EF=12，∵AB⊥AE，∴∠BAF=90°，∵AB=5，∴BF==13，∴AD+BC=BC+CF=BF=13．故答案为：13．点评：此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．7．（2022•钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，则等腰梯形ABCD的周长为40．24\n7．40考点：等腰梯形的性质．专题：数形结合．分析：根据等腰梯形的性质判断出AD=DC，在RT△ABC中解出AB，继而可求出等腰梯形ABCD的周长．解答：解：∵∠B=60°，DC∥AB，AC⊥BC，∴∠CAB=30°=∠ACD，∠DAC=30°，∴AD=DC=BC=8，在RT△ABC中，AB==16，故可得等腰梯形ABCD的周长=AD+DC+BC+AB=40．故答案为：40．点评：此题考查了等腰梯形的性质，属于基础题，解答本题的关键在于判断出AD=DC，难度一般．8．（2022•长沙）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC的长为4．8．4考点：等腰梯形的性质．分析：首先作辅助线：过点A作AE∥CD交BC于点E，根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得AE=CD=2，AD=EC=2，易得△ABE是等边三角形，即可求得BC的长．解答：解：过点A作AE∥CD交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=2，AD=EC=2，∵∠B=60°，∴BE=AB=AE=2，∴BC=BE+CE=2+2=4．点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线．9．（2022•巴中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AC，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是60°．24\n9．60°考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定与性质．分析：首先根据BD⊥AC，点E是BC的中点可知DE=BE=EC=BC，又知DE∥AB，AD∥BC，可知四边形ABED是菱形，于是可得到AB=DE，再根据四边形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，进而得到DC=BC，然后可求出∠DBC=30°，最后求出∠BCD=60°．解答：解：∵BD⊥AC，点E是BC的中点，∴DE是直角三角形BDC的中线，∴DE=BE=EC=∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是菱形，∴AB=DE，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∴DC=BC，又∵三角形BDC是直角三角形，∴∠DBC=30°，∴∠BCD=60°．故答案为60．点评：此题考查了等腰梯形的性质、菱形的判定与性质．解此题的关键是熟练掌握直角三角形中，30°的角对应的直角边等于斜边的一半，此题难度一般．10．（2022•黄冈） 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为9．10．9考点：等腰梯形的性质．专题：数形结合．分析：分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥24\nBC于点F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∵AB=5，∠B=60°，∴BE=；同理可得CF=，故BC的长=BE+EF+FC=5+AD=9．故答案为：9．点评：此题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是求出BE及CF的长度，要求我们熟练记忆等腰梯形的几个性质．三、解答题11．（2022•盐城）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．（1）求证：DE=EC；（2）若AD=BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．11．考点：梯形；直角三角形的性质；菱形的判定．分析：（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角对等边，即可证得DE=EC；（2）易证得AD=BE，AD∥BC，即可得四边形ABED是平行四边形，又由BE=DE，即可得四边形ABED是菱形．解答：（1）证明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，24\n∴∠EDC=∠BDC-∠BDE=90°-∠BDE，∠C=90°-∠DBC，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC；（2）若AD=BC，则四边形ABED是菱形．证明：∵∠BDE=∠DBC．∴BE=DE，∵DE=EC，∴BE=EC=BC，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴▱ABED是菱形．点评：此题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质以及菱形的判定．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．12．（2022•苏州）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．（1）求证：△ABE≌△CDA；（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．考点：梯形；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的全等；（2）根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得出答案．解答：（1）证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，∴∠ABE=∠CDA在△ABE和△CDA中，，∴△ABE≌△24\nCDA．（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，∴∠AEB=∠ACE，∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°，∴∠EAC=180°-40°-40°=100°．点评：此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，解答本题的关键是根据梯形及题意条件得出一些线段之间的关系，注意所学知识的融会贯通．13．（2022•永州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．考点：等腰梯形的性质；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出结论．解答：证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠C，∵GF=GC，∴∠GFC=∠C，∴∠GFC=∠B，∴AB∥GF，又∵AE=GF，∴四边形AEFG是平行四边形．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的判定定理，根据题意得出AB∥GF是解答此题的关键．14．（2022•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．24\n考点：等腰梯形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；正方形的判定；梯形中位线定理．专题：几何综合题．分析：（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=，也即得出了正方形EHGF的面积．解答：证明：（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，故可得：EF=AC，同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，在梯形ABCD中，AB=DC，故AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．设AC与EH交于点M，在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴∠EHG=∠EMC=90°，∴四边形EFGH是正方形．（2）连接EG．在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，∴EG=（AD+BC）=3．在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，24\n∴EH2=，即四边形EFGH的面积为．点评：此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的内角和定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．15．（2022•怀化）如图，在等腰梯形ABCD中，E为底BC的中点，连接AE，DE．求证：AE=DE．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：利用等腰梯形的性质证明△ABE≌△DCE后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等．解答：证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C．∵E是BC的中点，∴BE=CE．在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）．∴AE=DE．点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用，解题的关键是根据等腰梯形的性质得到证明全等所需的条件．16．（2022•河北）如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD-DC-CB，这两条公路围城等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD=10：5：2．（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路的长．24\n考点：等腰梯形的性质；一元一次方程的应用．分析：（1）首先根据AB：AD：CD=10：5：2设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，再根据等腰梯形的腰相等可得BC=AD=5xkm，再表示出外环的总长，然后求比值即可；（2）根据题意可得等量关系：在外环公路上行驶所用时间+h=在市区公路上行驶所用时间，根据等量关系列出方程，解方程即可．解答：解：（1）设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD=5xkm，∴AD+CD+CB=12xkm，∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x=6：5；（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：=+．解这个方程得x=1．∴10x=10，答：市区公路的长为10km．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及一元一次方程的应用，关键是理解题意，表示出外环公路与市区公路的长，此题用到的公式是：时间=路程÷速度．17．（2022•杭州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：探究型．分析：（1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明△AED≌△DFA即可；（2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长．解答：（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，∴△AED≌△DFA（SAS），24\n∴AF=DE；（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°，∴AB=BH=AH，同理：CD=CK=KD，∵S梯形ABCD=，AB=a，∴S梯形ABCD=，而S△ABE=S△DCF=，∴=2×，∴BC=．点评：本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档题目．24