2022年中考数学专题复习讲座 第四讲 因式分解

2022年中考数学专题复习第四讲：因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。（）（）2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式整式的积【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=。【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2=,②完全平方公式：a2±2ab+b2=。【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面a与b。如：x2-x+即是完全平方公式形式而x2-x+就不符合该公式。】公式分解的一般步骤一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用法来分解。三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1（2022•安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（　　）A．m2+nB．m2-m+1C．m2-nD．m2-2m+1思路分析：根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、m2+n不能分解因式，故本选项错误；B、m2-m+1不能分解因式，故本选项错误；C、m2-n不能分解因式，故本选项错误；D、m2-2m+1是完全平方式，故本选项正确．故选D．点评：本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键．对应训练1．（2022•凉山州）下列多项式能分解因式的是（　　）7\nA．x2+y2B．-x2-y2C．-x2+2xy-y2D．x2-xy+y21．C考点二：因式分解例2（2022•天门）分解因式：3a2b+6ab2=．思路分析：首先观察可得此题的公因式为：3ab，然后提取公因式即可求得答案．解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）．故答案为：3ab（a+2b）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3（2022•广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2=．思路分析：先提取公因式3m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解：3m3-18m2n+27mn2=3m（m2-6mn+9n2）=3m（m-3n）2．故答案为：3m（m-3n）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（2022•温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）A．a（a-4）B．（a+2）（a-2）C．a（a+2）（a-2）D．（a-2）2-42．A．3．（2022•恩施州）a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（　　）A．a2b（a2-6a+9）B．a2b（a-3）（a+3）C．b（a2-3）2D．a2b（a-3）23．D考点三：因式分解的应用例48．（2022•随州）设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则()5=．考点：因式分解的应用；分式的化简求值．分析：根据1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值．解答：解：∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，与题设矛盾，所以a-b2+2≠0，因此a+b2=0，即b2=-a，∴()5=(7\n)5=-()5=()5=（-2）5=-32．故答案为-32．点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．对应训练4．（2022•苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab=．4．6【聚焦山东中考】1．（2022•济宁）下列式子变形是因式分解的是（　　）A．x2-5x+6=x（x-5）+6B．x2-5x+6=（x-2）（x-3）C．（x-2）（x-3）=x2-5x+6D．x2-5x+6=（x+2）（x+3）1．B．2．（2022•临沂）分解因式：a-6ab+9ab2=．2．a（1-3b）2．3．（2022•潍坊）分解因式：x3-4x2-12x=．考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．分析：首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．解答：解：x3-4x2-12x=x（x2-4x-12）=x（x+2）（x-6）．故答案为：x（x+2）（x-6）．点评：此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．4．（2022•威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3=．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式3y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：3x2y+12xy2+12y3，=3y（x2+4xy+4y2），=3y（x+2y）2．故答案为：3y（x+2y）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【备考真题过关】一、选择题1．（2022•无锡）分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（　　）7\nA．（x-1）（x-2）B．x2C．（x+1）2D．（x-2）21．D2．（2022•呼和浩特）下列各因式分解正确的是（　　）A．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）B．x2+2x-1=（x-1）2C．4x2-4x+1=（2x-1）2D．x2-4x=x（x+2）（x-2）2．C3．（2022•台湾）下列四个选项中，哪一个为多项式8x2-10x+2的因式？（　　）A．2x-2B．2x+2C．4x+1D．4x+23．A4．（2022•西宁）下列分解因式正确的是（　　）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、3x2-6x=3x（x-2），故本选项错误；B、-a2+b2=（b+a）（b-a），故本选项正确；C、4x2-y2=（2x+y）（2x-y），故本选项错误；D、4x2-2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．故选B．点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．5．（2022•温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）A．a（a-4）B．（a+2）（a-2）C．a（a+2）（a-2）D．（a-2）2-4考点：因式分解-提公因式法．分析：直接提取公因式a即可．解答：解：a2-4a=a（a-4），故选：A．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．二、填空题6．（2022•湘潭）因式分解：m2-mn=．6．m（m-n）7．（2022•桂林）分解因式：4x2-2x=．7．2x（2x-1）8．（2022•沈阳）分解因式：m2-6m+9=．8．（x-3）2．9．（2022•黔西南州）分解因式：a4-16a2=．9．a2（a+4）（a-4）．10．（2022•北海）因式分解：-m2+n2=．10．（n+m）（n-m）7\n11．（2022•北京）分解因式：mn2+6mn+9m=．11．m（n+3）2．12．（2022•益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．12．解：答案不唯一，如x2-3=x2-（）2=（x+）（x-）．故可填x2-3．13．（2022•宜宾）分解因式：3m2-6mn+3n2=．13．3（m-n）214．（2022•绥化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3=．14．ab（a-b）2．15．（2022•宜宾）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为．15．解：∵P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，∴3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7恒成立，∴9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，13xy-26x=0，13x（y-2）=0，∵x≠0，∴y-2=0，∴y=2；故答案为：2．16．（2022•广东）分解因式：2x2-10x=．考点：因式分解-提公因式法．分析：首先确定公因式是2x，然后提公因式即可．解答：解：原式=2x（x-5）．故答案是：2x（x-5）．点评：本题考查了提公因式法，正确确定公因式是关键．17．（2022•黄石）分解因式：x2+x-2=．考点：因式分解-十字相乘法等．专题：探究型．分析：因为（-1）×2=-2，2-1=1，所以利用十字相乘法分解因式即可．解答：解：∵（-1）×2=-2，2-1=1，∴x2+x-2=（x-1）（x+2）．故答案为：（x-1）（x+2）．点评：本题考查的是十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．18．（2022•黑河）因式分解：27x2-3y2=．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提公因式3，然后利用平方差公式分解．7\n解答：解：原式=3（9x2-y2）=3（3x+y）（3x-y）．故答案是：3（3x+y）（3x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止19．（2022•六盘水）分解因式：2x2+4x+2=．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．解答：解：2x2+4x+2=2（x2+2x+1）=2（x+1）2．故答案为：2（x+1）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．20．（2022•南充）分解因式：x2-4x-12=．考点：因式分解-十字相乘法等．专题：计算题．分析：因为-6×2=-12，-6+2=-4，所以利用十字相乘法分解因式即可．解答：解：x2-4x-12=（x-6）（x+2）．故答案为（x-6）（x+2）．点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．21．（2022•哈尔滨）把多项式a3-2a2+a分解因式的结果是．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解因式解答：解：a3-2a2+a=a（a2-2a+1）=a（a-1）2．故答案为：a（a-1）2．点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．22．（2022•广州）分解因式：a3-8a=．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：常规题型．分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：a3-8a，=a（a2-8），=a（a+2）（a-2）．故答案为：a（a+2）（a-2）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．23．（2022•广西）分解因式：2xy-4x2=．7\n考点：因式分解-提公因式法．分析：利用提取公因式法分解即可，公因式的确定方法是：公因式的系数是各项的系数的最大公约数，字母是各项中共同含有的字母，并且字母的次数是各项中字母的最低的次数作为公因式的次数．解答：解：原式=2x（y-2x）．故答案是：2x（y-2x）．点评：本题考查了利用提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．24．（2022•大庆）分解因式：ab-ac+bc-b2=．考点：因式分解-分组分解法．分析：首先把前两项分成一组，后两项分成一组，每一组可以提公因式，然后再利用提公因式法即可．解答：解：ab-ac+bc-b2=（ab-ac）+（bc-b2）=a（b-c）-b（b-c）=（b-c）（a-b）．故答案是：（b-c）（a-b）．点评：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．三、解答题25．（2022•扬州）（1）计算：-（-1）2+（-2022）0（2）因式分解：m3n-9mn．考点：提公因式法与公式法的综合运用；实数的运算；零指数幂．专题：常规题型．分析：（1）根据算术平方根的定义，乘方的定义，以及任何非0数的0次幂等于1解答；（2）先提取公因式mn，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：（1）-（-1）2+（-2022）0=3-1+1=3；（2）m3n-9mn=mn（m2-9）=mn（m+3）（m-3）点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．7