【火线100天】2022中考数学 滚动小专题六 解直角三角形的应用

解直角三角形的应用解直角三角形的应用是各地中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解.类型1仰角、俯角问题1.(2022·东营)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(≈1.732,结果保留小数点后一位)？2.(2022·常德)如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆.已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1，分别为160米，400米，1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度.(结果精确到1米，参考数据：≈1.414,≈1.732)3.(2022·河南)在中俄“海上联合—2022”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方16\n000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据：sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,≈1.7)类型2方位角问题1.(2022·邵阳)一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)2.(2022·娄底)如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向.求小岛A与小岛B之间的距离(结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45)类型3坡度(坡比)问题6\n1.(2022·内江)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶)，且B，C，E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).2.(2022·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为米，钓竿OA的倾斜角是60°，其长为3米，若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离.参考答案类型1仰角、俯角问题1.如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.由题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120.在Rt△ADB中，由tan∠BAD=，得BD=AD·tan∠BAD=120×tan30°=40.6\n在Rt△ADC中，由tan∠CAD=，得CD=AD·tan∠CAD=120×tan60°=120.∴BC=BD+CD=40+120≈277.1.答：这栋楼高约为277.1m.2.在Rt△ABD中,BD=400-160=240,∠BAD=30°.∵sin∠BAD=,∴AB==2BD=480m.在Rt△BCB2中,CB2=1000-400=600,∠CBB2=45°.∵sin∠CBB2=,∴CB==600m.所以AB+BC=480+600≈1328(米).答：钢缆AB和BC的总长度约为1328米.3.过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，则AD即为潜艇C的下潜深度.根据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.设AD=x,则BD=BA+AD=1000+x.在Rt△ACD中，CD===x.在Rt△BCD中，BD＝CD·tan68°.∴1000+x=x·tan68°.解得x=≈308.即潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米.类型2方位角问题1.过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.6\n由题意得∠CAD＝30°,∠CBD＝53°,AC＝80海里，∴CD＝40海里.在Rt△CBD中，sin53°＝，CB＝≈＝50(海里).行驶时间＝1.25(小时).答：海警船到达C处需1.25小时.2.过点C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°.∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，∴BC=90.∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45.∵∠CAP=60°，∴tan60°==,∴AP=15,∴AB=AP+PB=15+45≈100(km).答：小岛A与小岛B之间的距离是100km.类型3坡度(坡比)问题1.在Rt△ABC中，tan∠ACB===，∴∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，∠PAC=30°，∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=90°，∴∠DAC=60°.在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴AC=2AB=6.在Rt△ACD中，DC=AC·tan∠DAC=6×tan60°=6.在Rt△CDE中，DE=DC·sin∠DCE=6×sin60°=9(米).答：树DE的高为9米.2.延长OA交直线BC于点D.6\n∵OA的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°，∠ACD＝30°，∠CAD＝180°-∠ODB-∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝×=(米).∴CD＝2AD＝3米.又∵∠O＝60°，∴△BOD为等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋＝4.5(米).∴BC＝BD-CD＝4.5-3＝1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.6