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【火线100天】2022中考数学 第14讲 二次函数的实际应用

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第14讲二次函数的实际应用考点1实物抛物线步骤①建立平面直角坐标系;②利用①法确定抛物线的解析式;③利用二次函数的性质解决实际问题.常见类型桥梁、隧道、体育运动等【易错提示】当题目中没有给出坐标系时,坐标系选取的不同,所得解析式也不同.考点2二次函数在销售问题中的应用步骤①读懂题意,借助销售问题中的利润等公式寻找②;②确定函数解析式;③确定二次函数的③,解决实际问题.【易错提示】在求二次函数最值时,要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.考点3二次函数在面积问题中的应用步骤①根据几何知识探求图形的④;②根据面积关系式确定函数解析式;③确定二次函数的⑤,解决问题.考点4灵活选用适当的函数模型步骤①由题目条件在坐标系中描出点的坐标;②根据点的坐标判断⑥;③由⑦确定函数解析式;④将其他各点或对应值代入所求解析式,检验函数类型确定得是否正确;⑤利用所求函数的性质解决问题.【易错提示】建立函数模型解决实际问题时,题目中没有明确函数类型时,要对求出的函数解析式进行验证,防止出现错解.1.二次函数在实际生活中有着广泛的应用,解题时可采用列表、画图象等方法辅助思考.2.应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时,一定要考虑顶点(横坐标、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围之内.命题点1实物抛物线例1(2022·盐城)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围);11\n(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.【思路点拨】(1)根据h=2.6和函数图象经过点(0,2),确定二次函数的解析式;(2)令x=9,求y值,若y≥2.43,则球能过网,反之则不能.令y=0,求x值.若x≤18,则球不出界,反之就会出界;或者令x=18求y,若y>0则出界,否则不出界;(3)把二次函数化为只含有字母系数h的形式.然后令x=9时y>2.43,且当x=18时y≤0,从而确定h的取值范围.【解答】方法归纳:利用二次函数解决实物抛物线形问题时,要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标,代入解析式求解,最后根据求解的结果转化为实际问题的答案.1.(2022·仙桃)2022年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-x2+x+,则羽毛球飞出的水平距离为米.2.如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h=-(t-19)2+8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?命题点2二次函数在销售问题中的应用11\n例2(2022·滨州模拟)某商店经营一种小商品,进价为每件20元,据市场分析,在一个月内,售价定为25元时,可卖出105件,而售价每上涨1元,就少卖5件.(1)当售价定为每件30元时,一个月可获利多少元?(2)当售价定为每件多少元时,一个月的获利最大?最大利润是多少元?【思路点拨】(1)根据定价,算出对应销售量,然后求当月利润;(2)每月的销售利润=单件利润×月销售量,得二次函数关系式,然后转化为顶点式求最大利润.【解答】方法归纳:本题最后问的是售价,而关系中给出的是涨价,一定要分清二者的关系,这是一个易错点.这类题一般设涨价或者降价为x元,得二次函数关系式.最后将结果化到售价即可.1.(2022·衢州)某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则果园里增种10棵橘子树,橘子总个数最多.2.某种商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;如果每件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元),设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?命题点3二次函数在面积问题中的应用例3(2022·莆田)如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米(0<x<4),矩形的面积为S米2.(1)求S与x的函数关系式;(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/米2,黄色花草的价格为40元/米2.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号).【思路点拨】(1)连接AC,BD,根据轴对称的性质,可得EH∥BD,EF∥AC,△BEF为等边三角形,从而求出EF.AC与EH交于M,在Rt△AEM中求出EM,继而得出EH,这样即可得出S与x的函数关系式;(2)根据(1)的答案,可求出四个三角形的面积,设费用为W,则可得出W关于x的二次函数关系式,利用配方法求最值即可.【解答】11\n方法归纳:解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式,发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值,但要注意x的取值范围.1.小磊要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为x(单位:cm)的边与这条边上的高之和为40cm,这个三角形的面积S(单位:cm2)随x(单位:cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);(2)当x是多少时,这个三角形面积S最大?最大面积是多少?2.(2022·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体,抽屉底面周长为180cm,高为20cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)命题点4灵活选用适当的函数模型例4(2022·武汉)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表).温度x/℃…-4-20244.5…植物每天高度增长量y/mm…414949412519.75…由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?直接写出结果.【思路点拨】(1)利用自变量可取0,排除反比例函数;利用三点不共线,排除一次函数;(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式,再根据二次函数的最值问题解答;(3)利用二次函数与一元一次方程以及一元二次不等式关系求解.【解答】方法归纳:此题是一道二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型,然后根据二次函数的性质求解即可.(2022·乌鲁木齐)某公司销售一种进价为20元/个的计算器,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表:11\n价格x(元/个)…30405060…销售量y(万个)…5432…同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系,用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式;(2)求得该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大值是多少?(3)该公司要求净得利润不能低于40万元,请写出销售价格x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元?1.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是()A.4米B.3米C.2米D.1米2.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中利润最高的月份是()A.5月B.6月C.7月D.8月3.一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为()A.5元B.10元C.0元D.3600元4.(2022·株洲模拟)株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系如图1,小明在五桥观光,发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱,他回家上网查到了拱梁是抛物线,其跨度为20米,拱高(中柱)10米,于是他建立如图2的坐标系,将余下的8根支柱的高度都算出来了,你认为中柱右边第二根支柱的高度是()A.7米B.7.6米C.8米D.8.4米5.(2022·山西)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为m.11\n6.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2x2+80x+750,由于某种原因,售价只能满足15≤x≤22,那么一周可获得的最大利润是元.7.将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段,并把每段铁丝围成圆,设所得两圆半径分别为r1和r2.(1)求r1与r2的关系式,并写出r1的取值范围;(2)将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式,求S的最小值.8.如图是一座桥,桥下冬暖夏凉,常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型,在正常水位下测得主拱宽24m,最高点离水面8m,以水平线AB为x轴,AB的中点为原点建立坐标系.(1)求此桥拱线所在抛物线的解析式;(2)桥边有一艘船,浮在水面部分高4m,最宽处12m,试探索此船能否开到桥下?说明理由.9.(2022·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x(天)1≤x<5050≤x≤90售价(元/件)x+4090每天销量(件)200-2x已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求y与x的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时,每天销售利润最大,最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.11\n10.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.(1)若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围;(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值;(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.11.(2022·青岛)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价25元/件时,每天的销售量是250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大?(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案:方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;方案B:每件文具的利润不低于25元且不高于29元.请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.参考答案考点解读①待定系数②等量关系③最值④面积关系式⑤最值⑥函数类型⑦待定系数法各个击破例1∵点(0,2)在y=a(x-6)2+h的图象上,11\n∴2=a(0-6)2+h,a=,函数可写成y=(x-6)2+h.(1)当h=2.6时,y与x的关系式是y=-(x-6)2+2.6;(2)球能越过球网,球会出界.理由:当x=9时,y=-×(9-6)2+2.6=2.45>2.43,所以球能过球网;当y=0时,-(x-6)2+2.6=0,解得x1=6+2>18,x2=6-2(舍去),故球会出界.另解:当x=18时,y=-×(18-6)2+2.6=0.2>0,所以球会出界.(3)由球能越过球网可知,当x=9时,y=+h>2.43,①由球不出边界可知,当x=18时,y=8-3h≤0,②由①、②知h≥,所以h的取值范围是h≥.题组训练1.52.(1)依题意有顶点C的坐标为(0,11),点B的坐标为(8,8),设抛物线解析式为y=ax2+c,有解得∴抛物线解析式为y=x2+11.(2)令-(t-19)2+8=11-5,解得t1=35,t2=3.因为-<0,所以当3≤t≤35时,水面到顶点C的距离不大于5米,需禁止船只通行,禁止船只通行时间为35-3=32(时).答:禁止船只通行时间为32小时.例2(1)获利:(30-20)×[105-5×(30-25)]=800(元).答:当售价定为30元时,一个月可获利800元;(2)设售价为每件x元时,一个月的获利为y元,由题意,得y=(x-20)[105-5(x-25)]=-5x2+330x-4600=-5(x-33)2+845,当x=33时,y的最大值为845,故当售价定为33元时,一个月的利润最大,最大利润是845元.题组训练1.102.(1)根据题意,得y=(60-50+x)(200-10x),整理,得y=-10x2+100x+2000(0≤x≤12);(2)由(1)得y=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250,当x=5,即每件商品的售价定为65元时利润最大,最大月利润为2250元.例3(1)连接AC,BD.AC与EH的交点为M.11\n∵花坛为轴对称图形,∴EH∥BD,EF∥AC.∴△BEF∽△BAC.∵∠ABC=60°,∴△ABC,△BEF是等边三角形.∴EF=BE=AB-AE=4-x.在Rt△AEM中,∠AEM=∠ABD=30°,则EM=AE·cos∠AEM=x.∴EH=2EM=x.∴S=EH·EF=x·(4-x).即S=-x2+4x.(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜,∴当矩形面积最大时,购买花草的总费用最低.又∵S=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴当x=2时,S最大=4.易得S四边形ABCD=8.此时四个三角形的面积为8-4=4(米2).∴最低总费用为:20×4+40×4=240(元).答:当x=2时,购买花草所需的总费用最低,最低总费用是240元.题组训练1.(1)S=×x(40-x)=-x2+20x.(2)S=-(x-20)2+200.即当x=20时,这个三角形的面积最大,最大面积是200cm2.2.根据题意,得y=20x(-x),整理,得y=-20x2+1800x.∵y=-20x2+1800x=-20(x-45)2+40500,∵-20<0,∴当x=45时,函数有最大值,y最大值=40500,即当底面的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40500cm3.例4(1)选择二次函数,因为当x=0时,y=49,所以c=49.所以设y=ax2+bx+49,得11\n解得∴y关于x的函数关系式是y=-x2-2x+49.不选另外两个函数的理由:∵点(0,49)不可能在反比例函数图象上,∴y不是x的反比例函数;∵点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,∴y不是x的一次函数.(2)由(1),得y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50.∵a=-1<0,∴当x=-1时,y有最大值为50,即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大.(3)∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,∴平均每天该植物高度增长量超过25mm,当y=25时,-x2-2x+49=25,整理,得x2+2x-24=0,解得x1=-6,x2=4,∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,实验室的温度应保持在-6℃<x<4℃.题组训练(1)经描点、连线可知,表中的y与x之间的对应关系为一次函数关系,设y=kx+b,由题意得解得∴y与x的函数解析式为y=-0.1x+8.(2)由题意,得z=(x-20)y-40=(x-20)(-0.1x+8)-40=-0.1x2+10x-200=-0.1(x-50)2+50,∴当x=50时,z最大值=50.即z与x的函数解析式为z=-0.1x2+10x-200.销售价格定为50元时净得利润最大,最大值是50万元.(3)当z=40时,-0.1(x-50)2+50=40.解得x=40或60.又∵该公司要求净得利润不能低于40万元,∴40≤x≤60.又∵还需考虑销售量尽可能大,即y尽可能大,x尽可能小,∴x=40.即销售价格x(元/个)的取值范围是40≤x≤60,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为40元/个.整合集训1.A2.C3.A4.D5.486.15507.(1)依题意得2πr1+2πr2=16π,化简得r1+r2=8,0<r1<8.(2)两圆面积和S=πr12+πr22=π(r12+r22)=π[r12+(8-r1)2]=2π(r12-8r1+32)=2π[(r1-4)2+16],当r1=4时,面积和有最小值32π平方厘米.8.(1)设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+8,又抛物线过点(12,0),∴0=a×122+8,故a=-,所以抛物线的解析式为y=-x2+8;(2)当x=6时,代入抛物线的解析式为y=-×(6)2+8,得y=4,11\n所以从理论上讲,此渔船刚好能驶入桥拱下纳凉.9.(1)(2)当1≤x<50时,y=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,∵-2<0,∴当x=45时,y有最大值,最大值为6050元;当50≤x≤90时,y=-120x+12000,∵-120<0,∴y随x的增大而减少.∴当x=50时,y有最大值,最大值为6000元.∴销售该商品第45天时,每天销售利润最大,最大利润为6050元.(3)41天.10.(1)y=30-2x(6≤x<15).(2)设矩形苗圃园的面积为S,则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x=-2(x-7.5)2+112.5,由(1)知,6≤x<15,∴当x=7.5时,S最大值=112.5,即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时,这个苗圃园的面积最大,这个最大值为112.5.(3)∵这个苗圃园的面积不小于88平方米,即-2(x-7.5)2+112.5≥88,由图象知4≤x≤11.∴x的取值范围为4≤x≤11.11.(1)w=(x-20)[250-10(x-25)]=-10(x-20)(x-50)=-10x2+700x-10000.(2)∵w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250,∴当x=35时,w取到最大值2250,即销售单价为35元时,每天销售利润最大,最大利润为2250元.(3)∵w=-10(x-35)2+2250,∴函数图象是以x=35为对称轴且开口向下的抛物线.∴对于方案A,需20<x≤30,此时图象在对称轴左侧(如下图),w随x的增大而增大,∴x=30时,w取到最大值2000.∴当采用方案A时,销售单价为30元可获得最大利润为2000元.对于方案B,45≤x<49,此时图象位于对称轴右侧(如下图),∴w随x的增大而减小,故当x=45时,w取到最大值1250,∴当采用方案B时,销售单价为45元可获得最大利润为1250元.两者比较,方案A的最大利润更高.11

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发布时间:2022-08-25 21:08:53 页数:11
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文章作者:U-336598

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