全国各地2022年中考数学试题最新分类汇编 图形的相似
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图形的相似(2022,永州)如图,已知ABBD,CDBD(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由;(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长;(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长;(4)若AB=,CD=,BD=,请问满足什么关系时,存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点?两个P点?三个P点?(2022•巴中)如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网4米的位置上,则球拍击球的高度h为 1.5米 .考点:相似三角形的应用.245761分析:根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知,△ADE∽△ACB,根据其相似比即可求解.解答:解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ACB,即=,则=,∴h=1.5m.故答案为:1.5米.64\n点评:本题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题. (2022,成都)如图,点在线段上,点,在同侧,,,.(1)求证:;(2)若,,点为线段上的动点,连接,作,交直线与点;i)当点与,两点不重合时,求的值;ii)当点从点运动到的中点时,求线段的中点所经过的路径(线段)长.(直接写出结果,不必写出解答过程)(1)证△ABD≌△CEB→AB=CE;(2)如图,过Q作QH⊥BC于点H,则△ADP∽△HPQ,△BHQ∽△BCE,∴,;设AP=,QH=,则有∴BH=,PH=+5∴,即又∵P不与A、B重合,∴即,∴即64\n∴(3)(2022•广安)雅安芦山发生7.0级地震后,某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片,从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具,寄给灾区的小朋友.已知如图,是腰长为4的等腰直角三角形ABC,要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上,且半圆的弧与△ABC的其他两边相切,请作出所有不同方案的示意图,并求出相应半圆的半径(结果保留根号).考点:作图—应用与设计作图.专题:作图题.分析:分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径,然后作出图形即可.解答:解:根据勾股定理,斜边AB==4,①如图1、图2,直径在直角边BC或AC上时,∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切,∴=,解得r=4﹣4,②如图3,直径在斜边AB上时,∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切,∴=,解得r=2,作出图形如图所示:点评:本题考查了应用与设计作图,主要利用了直线与圆相切,相似三角形对应边成比例的性质,分别求出半圆的半径是解题的关键.(2022•眉山)如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的两点,且,若△64\nAEF的面积为2,则四边形EBCF的面积为_________(2022•眉山)在矩形ABCD中,DC=,CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F,连接BF。⑴求证:△DEC∽△FDC;⑵当F为AD的中点时,求sin∠FBD的值及BC的长度。CBADFE(2022•绵阳)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质,如在关线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题:(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:;(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG.S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值。64\n2022•内江)如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,S△DEF:S△ABF=4:25,则DE:EC=( ) A.2:5B.2:3C.3:5D.3:2考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.分析:先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF,再根据S△DEF:S△ABF=4:10:25即可得出其相似比,由相似三角形的性质即可求出DE:EC的值,由AB=CD即可得出结论.解答:解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠EAB=∠DEF,∠AFB=∠DFE,∴△DEF∽△BAF,∵S△DEF:S△ABF=4:25,∴DE:AB=2:5,∵AB=CD,∴DE:EC=2:3.故选B.点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质,熟知相似三角形边长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.(2022•内江)如图,在等边△ABC中,AB=3,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,将△ADE沿DE翻折,与梯形BCED重叠的部分记作图形L.(1)求△ABC的面积;(2)设AD=x,图形L的面积为y,求y关于x的函数解析式;(3)已知图形L的顶点均在⊙O上,当图形L的面积最大时,求⊙O的面积.考点:相似形综合题.分析:(1)作AH⊥BC于H,根据勾股定理就可以求出AH,由三角形的面积公式就可以求出其值;(2)如图1,当0<x≤1.5时,由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式,如图2,当1.5<x<3时,重叠部分的面积为梯形DMNE的面积,由梯形的面积公式就可以求出其关系式;64\n(3)如图4,根据(2)的结论可以求出y的最大值从而求出x的值,作FO⊥DE于O,连接MO,ME,求得∠DME=90°,就可以求出⊙O的直径,由圆的面积公式就可以求出其值.解答:解:(1)如图3,作AH⊥BC于H,∴∠AHB=90°.∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=3.∵∠AHB=90°,∴BH=BC=在Rt△ABC中,由勾股定理,得AH=.∴S△ABC==;(2)如图1,当0<x≤1.5时,y=S△ADE.作AG⊥DE于G,∴∠AGD=90°,∠DAG=30°,∴DG=x,AG=x,∴y==x2,∵a=>0,开口向上,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,∴x=1.5时,y最大=,如图2,当1.5<x<3时,作MG⊥DE于G,∵AD=x,∴BD=DM=3﹣x,∴DG=(3﹣x),MF=MN=2x﹣3,∴MG=(3﹣x),∴y=,=﹣;(3),如图4,∵y=﹣;∴y=﹣(x2﹣4x)﹣,y=﹣(x﹣2)2+,64\n∵a=﹣<0,开口向下,∴x=2时,y最大=,∵>,∴y最大时,x=2,∴DE=2,BD=DM=1.作FO⊥DE于O,连接MO,ME.∴DO=OE=1,∴DM=DO.∵∠MDO=60°,∴△MDO是等边三角形,∴∠DMO=∠DOM=60°,MO=DO=1.∴MO=OE,∠MOE=120°,∴∠OME=30°,∴∠DME=90°,∴DE是直径,S⊙O=π×12=π.(2022•雅安)如图,DE是△ABC的中位线,延长DE至F使EF=DE,连接CF,则S△CEF:S四边形BCED的值为( ) A.1:3B.2:3C.1:4D.2:5考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理.分析:先利用SAS证明△ADE≌△CFE(SAS),得出S△ADE=S△CFE,再由DE为中位线,判断△ADE∽△ABC,且相似比为1:2,利用相似三角形的面积比等于相似比,得到S△ADE:S△ABC=1:4,则S△ADE:S四边形BCED=1:3,进而得出S△CEF:S64\n四边形BCED=1:3.解答:解:∵DE为△ABC的中位线,∴AE=CE.在△ADE与△CFE中,,∴△ADE≌△CFE(SAS),∴S△ADE=S△CFE.∵DE为△ABC的中位线,∴△ADE∽△ABC,且相似比为1:2,∴S△ADE:S△ABC=1:4,∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC,∴S△ADE:S四边形BCED=1:3,∴S△CEF:S四边形BCED=1:3.故选A.点评:本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理.关键是利用中位线判断相似三角形及相似比.点评:本题考查了等边三角形的面积公式的运用,梯形的面积公式的运用,勾股定理的运用,圆周角定理的运用,圆的面积公式的运用,等边三角形的性质的运用,二次函数的性质的运用,解答时灵活运用等边三角形的性质是关键. (2022•雅安)如图,在▱ABCD中,E在AB上,CE、BD交于F,若AE:BE=4:3,且BF=2,则DF= ..64\n考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.分析:由四边形ABCD是平行四边形,可得AB∥CD,AB=CD,继而可判定△BEF∽△DCF,根据相似三角形的对应边成比例,即可得BF:DF=BE:CD问题得解.解答:解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵AE:BE=4:3,∴BE:AB=3:7,∴BE:CD=3:7.∵AB∥CD,∴△BEF∽△DCF,∴BF:DF=BE:CD=3:7,即2:DF=3:7,∴DF=.故答案为:.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质.此题比较简单,解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF,再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解.(2022宜宾)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:①△ADF∽△AED;②FG=2;③tan∠E=;④S△DEF=4.其中正确的是 ①②④ (写出所有正确结论的序号).考点:相似三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理.分析:①由AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,根据垂径定理可得:=,DG=CG,继而证得△ADF∽△AED;②由=,CF=2,可求得DF的长,继而求得CG=DG=4,则可求得FG=2;64\n③由勾股定理可求得AG的长,即可求得tan∠ADF的值,继而求得tan∠E=;④首先求得△ADF的面积,由相似三角形面积的比等于相似比,即可求得△ADE的面积,继而求得S△DEF=4.解答:解:①∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∴=,DG=CG,∴∠ADF=∠AED,∵∠FAD=∠DAE(公共角),∴△ADF∽△AED;故①正确;②∵=,CF=2,∴FD=6,∴CD=DF+CF=8,∴CG=DG=4,∴FG=CG﹣CF=2;故②正确;③∵AF=3,FG=2,∴AG==,∴在Rt△AGD中,tan∠ADG==,∴tan∠E=;故③错误;④∵DF=DG+FG=6,AD==,∴S△ADF=DF•AG=×6×=3,∵△ADF∽△AED,∴=()2,∴=,∴S△AED=7,∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4;故④正确.故答案为:①②④.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识.此题综合性较强,难度适中,注意掌握数形结合思想的应用. 64\n(2022•自贡)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG⊥AE于G,BG=,则△EFC的周长为( ) A.11B.10C.9D.8考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质.分析:判断出△ADF是等腰三角形,△ABE是等腰三角形,DF的长度,继而得到EC的长度,在Rt△BGE中求出GE,继而得到AE,求出△ABE的周长,根据相似三角形的周长之比等于相似比,可得出△EFC的周长.解答:解:∵在▱ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分线交BC于点E,∴∠BAF=∠DAF,∵AB∥DF,AD∥BC,∴∠BAF=∠F=∠DAF,∠BAE=∠AEB,∴AB=BE=6,AD=DF=9,∴△ADF是等腰三角形,△ABE是等腰三角形,∵AD∥BC,∴△EFC是等腰三角形,且FC=CE,∴EC=FC=9﹣6=3,在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG=4,∴AG==2,∴AE=2AG=4,∴△ABE的周长等于16,又∵△CEF∽△BEA,相似比为1:2,∴△CEF的周长为8.故选D.点评:本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质,注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比,此题难度较大. (2022•自贡)将两块全等的三角板如图①摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.(1)将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CP1=CQ;(2)在图②中,若AP1=2,则CQ等于多少?64\n(3)如图③,在B1C上取一点E,连接BE、P1E,设BC=1,当BE⊥P1B时,求△P1BE面积的最大值.考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质;解直角三角形.分析:(1)先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°,利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1,从而得出结论.(2)作P1D⊥CA于D,在RtADP1中,求出P1D,在Rt△CDP1中求出CP1,继而可得出CQ的长度.(3)证明△AP1C∽△BEC,则有AP1:BE=AC:BC=:1,设AP1=x,则BE=x,得出S△P1BE关于x的表达式,利用配方法求最值即可.解答:(1)证明:∵∠B1CB=45°,∠B1CA1=90°,∴∠B1CQ=∠BCP1=45°,∵在△B1CQ和△BCP1中,,∴△B1CQ≌△BCP1(ASA),∴CQ=CP1;(2)作P1D⊥CA于D,∵∠A=30°,∴P1D=AP1=1,∵∠P1CD=45°,∴=sin45°=,∴CP1=P1D=,64\n又∵CP1=CQ,∴CQ=;(3)∵∠P1BE=90°,∠ABC=60°,∴∠A=∠CBE=30°,∴AC=BC,由旋转的性质可得:∠ACP1=∠BCE,∴△AP1C∽△BEC,∴AP1:BE=AC:BC=:1,设AP1=x,则BE=x,在Rt△ABC中,∠A=30°,∴AB=2BC=2,∴S△P1BE=×x(2﹣x)=﹣x2+x=﹣(x﹣1)2+,故当x=1时,S△P1BE(max)=.点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值,有一定难度.(2022•沈阳)如图,中,AE交BC于点D,,AD=4,BC=8,BD:DC=5:3,则DE的长等于()A.B.C.D.(2022•恩施州)如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( ) A.1:4B.1:3C.2:3D.1:2考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.分析:首先证明△DFE∽△BAE,然后利用对应变成比例,E为OD的中点,求出DF:AB的值,又知AB=DC,即可得出DF:FC的值.64\n解答:解:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,则△DFE∽△BAE,∴=,∵O为对角线的交点,∴DO=BO,又∵E为OD的中点,∴DE=DB,则DE:EB=1:3,∴DF:AB=1:3,∵DC=AB,∴DF:DC=1:3,∴DF:FC=1:2.故选D.点评:本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,难度适中,解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE,然后根据对应边成比例求值.(2022•黄石)如图1,点将线段分成两部分,如果,那么称点为线段的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线将一个面积为的图形分成两部分,这两部分的面积分别为、,如果,那么称直线为该图形的黄金分割线.(1)如图2,在△中,°,,的平分线交于点,请问点是否是边上的黄金分割点,并证明你的结论;(2)若△在(1)的条件下,如图(3),请问直线是不是△的黄金分割线,并证明你的结论;(3)如图4,在直角梯形中,,对角线、交于点,延长、交于点,连接交梯形上、下底于、两点,请问直线是不是直角梯形的黄金分割线,并证明你的结论.EACBADBCACDHABBFCD图1图2图3图4···64\n解析:解:(1)点是边上的黄金分割点,理由如下:∵°,∴°∵平分∴°∴°∵,∴∴又∵∴∴是边上的黄金分割点(3分)(2)直线是△的黄金分割线,理由如下:设的边上的高为,则,,∴,∵是的黄金分割点∴∴∴是△的黄金分割线(3分)(3)不是直角梯形的黄金分割线∵∥∴,∴①②由①、②得即③同理,由,得即④由③、④得64\n∴∴∴梯形与梯形上下底分别相等,高也相等∴梯形梯形梯形∴不是直角梯形的黄金分割线(3分)(2022•荆州)如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,角∠ACB的平分线CE交AD于E,点F是AB的中点,则S△AEF:S四边形BDEF为DA.3:4B.1:2C.2:3D.1:3 (2022•武汉)已知四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,DE与CF交于点G.(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证;(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得成立?并证明你的结论;(3)如图③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,请直接写出的值.解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADC=90°,∵DE⊥CF,∴∠ADE=∠DCF,∴△ADE∽△DCF,∴.(2)当∠B+∠EGC=180°时,成立,证明如下:在AD的延长线上取点M,使CM=CF,则∠CMF=∠CFM.∵AB∥CD,∴∠A=∠CDM,∵∠B+∠EGC=180°,∴∠AED=∠FCB,∴∠CMF=∠AED.∴△ADE∽△DCM,64\n∴,即.(3).(2022•孝感)如图,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b(a>b).在△ABC内依次作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE.则EF等于( ) A.B.C.D.考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.分析:依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE,根据相似三角形的对应边成比例的知识,可得出EF的长度.解答:解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵∠CBD=∠A,∴△ABC∽△BDC,同理可得:△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE,∴=,=,=,解得:CD=,DE=,EF=.故选C.点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,本题中相似三角形比较容易找到,难点在于根据对应边成比例求解线段的长度,注意仔细对应,不要出错.(2022•宜昌)如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与⊿ABC相似,则点E的坐标不可能是()A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)64\n(2022•宜昌)如图1,在⊿ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AO⊥BC于点O,F是线段AO上的点(与A、O不重合),∠EAF=90°,AE=AF,连接FE,FC,BF.(1)求证:BE=BF;(2)如图2,若将⊿AEF绕点A旋转,使边AF在∠BAC的内部,延长CF交AB于点G,交BE于点K.①求证:⊿AGC∽⊿KGB;②当⊿BEF为等腰直角三角形时,请直接写出AB:BF的值.64\n(2022•莆田)下列四组图形中,一定相似的是( ) A.正方形与矩形B.正方形与菱形 C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形考点:相似图形.分析:根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析,即可得出一定相似的图形.解答:解:A、正方形与矩形,对应角相等,对应边不一定成比例,故不符合题意;B、正方形与菱形,对应边成比例,对应角不一定相等,不符合相似的定义,故不符合题意;C、菱形与菱形,对应边不值相等,但是对应角不一定相等,故不符合题意;D、正五边形与正五边形,对应角相等,对应边一定成比例,符合相似的定义,故符合题意.故选:D.点评:本题考查了相似形的定义,熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键. (2022•莆田)定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.考点:黄金分割.分析:(1)判断△ABC∽△BDC,根据对应边成比例可得出答案.(2)根据黄金比值即可求出AD的长度.解答:解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°,∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC,64\n∴=,即=,∴AD2=AC•CD.∴点D是线段AC的黄金分割点.(2)∵点D是线段AC的黄金分割点,∴AD=AC=.点评:本题考查了黄金分割的知识,解答本题的关键是仔细审题,理解黄金分割的定义,注意掌握黄金比值.(2022•莆田)在Rt△ABC,∠C=90°,D为AB边上一点,点M、N分别在BC、AC边上,且DM⊥DN.作MF⊥AB于点F,NE⊥AB于点E.(1)特殊验证:如图1,若AC=BC,且D为AB中点,求证:DM=DN,AE=DF;(2)拓展探究:若AC≠BC.①如图2,若D为AB中点,(1)中的两个结论有一个仍成立,请指出并加以证明;②如图3,若BD=kAD,条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”,其它条件不变,请探究AE与DF的数量关系并加以证明.考点:相似形综合题.分析:(1)如答图1,连接CD,证明△AND≌△CDM,可得DM=DN;证明△NED≌△DFM,可得DF=NE,从而得到AE=NE=DF;(2)①若D为AB中点,则分别证明△DEN∽△MFD,△AEN∽△MFB,由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立.证法二提供另外一种证明方法,可以参考;②若BD=kAD,证明思路与①类似;证法二提供另外一种证明方法,可以参考.解答:(1)证明:若AC=BC,则△ABC为等腰直角三角形,如答图1所示,连接OD,则CD⊥AB,又∵DM⊥DN,∴∠1=∠2.在△AND与△CDM中,64\n∴△AND≌△CDM(ASA),∴DM=DN.∵∠4+∠1=90°,∠1+∠3=90°,∴∠4=∠3,∵∠1+∠3=90°,∠3+∠5=90°,∴∠1=∠5,在△NED与△DFM中,∴△NED≌△DFM(ASA),∴NE=DF.∵△ANE为等腰直角三角形,∴AE=NE,∴AE=DF.(2)①答:AE=DF.证法一:由(1)证明可知:△DEN∽△MFD,∴,即MF•EN=DE•DF.同理△AEN∽△MFB,∴,即MF•EN=AE•BF.∴DE•DF=AE•BF,∴(AD﹣AE)•DF=AE•(BD﹣DF),∴AD•DF=AE•BD,∴AE=DF.证法二:如答图2所示,过点D作DP⊥BC于点P,DQ⊥AC于点Q.∵D为AB中点,∴DQ=PC=PB.易证△DMF∽△NDE,∴,易证△DMP∽△DNQ,∴,∴;易证△AEN∽△DPB,∴,64\n∴,∴AE=DF.②答:DF=kAE.证法一:由①同理可得:DE•DF=AE•BF,∴(AE﹣AD)•DF=AE•(DF﹣BD)∴AD•DF=AE•BD∵BD=kAD∴DF=kAE.证法二:如答图3,过点D作DP⊥BC于点P,DQ⊥AC于点Q.易证△AQD∽△DPB,得,即PB=kDQ.由①同理可得:,∴;又∵,∴,∴DF=kAE.点评:本题是几何探究与证明综合题,考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质.题中三个结论之间逐级递进,体现了从特殊到一般的数学思想. (2022•厦门)如图3,在△ABC中,DE∥BC,AD=1,AB=3,DE=2,则BC=6.(2022•吉林省)如图,在Rt⊿ABC中,∠ACB=90°,AC=6㎝,BC=8㎝.点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点,连接DE、DF,动点P,Q分别从点A、B同时出发,运动速度均为1㎝/s,点P沿AFD的方向运动到点D停止;点Q沿BC的方向运动,当点P停止运动时,点Q也停止运动.在运动过程中,过点Q作BC的垂线交AB于点M,以点P,M,Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为(㎝2)(这里规定线段是面积为0有几何图形),点P运动的时间为(s)(1)当点P运动到点F时,CQ=㎝;64\n(2)在点P从点F运动到点D的过程中,某一时刻,点P落在MQ上,求此时BQ的长度;(3)当点P在线段FD上运动时,求与之间的函数关系式.(2022•白银)如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为 5 米.考点:相似三角形的应用.分析:易得:△ABM∽△OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.解答:解:根据题意,易得△MBA∽△MCO,根据相似三角形的性质可知=,即=,解得AM=5m.则小明的影长为5米.点评:本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.(2022•宁夏)△ABC中,D、E分别是边AB与AC的中点,BC=4,下面四个结论:①DE=2;②△ADE∽△ABC;③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4;④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1:4;其中正确的有 ①②③ .(只填序号)考点:相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.分析:根据题意做出图形,点D、E分别是AB、AC的中点,可得DE∥BC,DE=BC=2,则可证得△ADE∽△ABC,由相似三角形面积比等于相似比的平方,证得△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4,然后由三角形的周长比等于相似比,证得△ADE的周长与△ABC的周长之比为1:2,选出正确的结论即可.解答:解:∵在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC=2,∴△ADE∽△ABC,故①②正确;64\n∵△ADE∽△ABC,=,∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4,△ADE的周长与△ABC的周长之比为1:2,故③正确,④错误.故答案为:①②③.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质,难度不大,注意掌握数形结合思想的应用,要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比,面积比等于相似比的平方.(2022•苏州)如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm.点E,F,G分别从A,B,C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s.当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F,设点E,F,G运动的时间为t(单位:s).(1)当t=▲s时,四边形EBFB'为正方形;(2)若以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;(3)是否存在实数t,使得点B'与点O重合?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.(2022•淮安)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动;点Q从点C出发,以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为ι秒.(1)当ι= 7 时,点P与点Q相遇;64\n(2)在点P从点B到点C的运动过程中,当ι为何值时,△PCQ为等腰三角形?(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,设△PCQ的面积为s平方单位.①求s与ι之间的函数关系式;②当s最大时,过点P作直线交AB于点D,将△ABC中沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积.考点:相似形综合题.分析:(1)首先利用勾股定理求得AC的长度,点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中,利用方程即可求得;(2)分Q从C到A的时间是3秒,P从A到C的时间是3秒,则可以分当0≤t≤2时,若△PCQ为等腰三角形,则一定有:PC=CQ,和当2<t≤3时,若△PCQ为等腰三角形,则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值;(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,P一定在AC上,则PC的长度是t﹣3,然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值,然后利用二次函数的性质即可求得t的值,从而求解.解答:解:(1)在直角△ABC中,AC==4,则Q从C到B经过的路程是9,需要的时间是4.5秒.此时P运动的路程是4.5,P和Q之间的距离是:3+4+5﹣4.5=7.5.根据题意得:(t﹣4.5)+2(t﹣4.5)=7.5,解得:t=7.(2)Q从C到A的时间是3秒,P从A到C的时间是3秒.则当0≤t≤2时,若△PCQ为等腰三角形,则一定有:PC=CQ,即3﹣t=2t,解得:t=1.当2<t≤3时,若△PCQ为等腰三角形,则一定有PQ=PC(如图1).则Q在PC的中垂线上,作QH⊥AC,则QH=PC.△AQH∽△ABC,在直角△AQH中,AQ=2t﹣4,则QH=AQ=.∵PC=BC﹣BP=3﹣t,∴×(2t﹣4)=3﹣t,解得:t=;(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中,P一定在AC上,则PC=t﹣3,BQ=2t﹣9,即AQ=5﹣(2t﹣9)=14﹣2t.64\n同(2)可得:△PCQ中,PC边上的高是:(14﹣2t),故s=(2t﹣9)×(14﹣2t)=(﹣t2+10t﹣2).故当t=5时,s有最大值,此时,P在AC的中点.(如图2).∵沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,∴PD一定是AC的中垂线.则AP=AC=2,PD=BC=,则S△APD=AP•PD=×2×=.AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4.则PC边上的高是:AQ=×4=.则S△PCQ=PC•=×2×=.故答案是:7.点评:本题是相似三角形的性质,勾股定理、以及方程的综合应用,正确进行分类讨论是关键.(2022•南京)如图,AD是圆O的切线,切点为A,AB是圆O的弦。过点B作BC//AD,交圆O于点C,连接AC,过点C作CD//AB,交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且ÐBCP=ÐACD。(1)判断直线PC与圆O的位置关系,并说明理由:(2)若AB=9,BC=6,求PC的长。(2022•苏州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为 (2,4﹣2) .64\n考点:相似三角形的判定与性质;坐标与图形性质;正方形的性质.分析:根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB,再求出BQ,然后求出△BPQ和△OCQ相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长,再求出AP,即可得到点P的坐标.解答:解:∵四边形OABC是边长为2的正方形,∴OA=OC=2,OB=2,∵QO=OC,∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2,∵正方形OABC的边AB∥OC,∴△BPQ∽△OCQ,∴=,即=,解得BP=2﹣2,∴AP=AB﹣BP=2﹣(2﹣2)=4﹣2,∴点P的坐标为(2,4﹣2).故答案为:(2,4﹣2).点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,正方形的对角线等于边长的倍的性质,以及坐标与图形的性质,比较简单,利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键.(2022•苏州)如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E、F、G运动的时间为t(单位:s).(1)当t= 2.5 s时,四边形EBFB′为正方形;(2)若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;(3)是否存在实数t,使得点B′与点O重合?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.64\n考点:相似形综合题.分析:(1)利用正方形的性质,得到BE=BF,列一元一次方程求解即可;(2)△EBF与△FCG相似,分两种情况,需要分类讨论,逐一分析计算;(3)本问为存在型问题.假设存在,则可以分别求出在不同条件下的t值,它们互相矛盾,所以不存在.解答:解:(1)若四边形EBFB′为正方形,则BE=BF,即:10﹣t=3t,解得t=2.5;(2)分两种情况,讨论如下:①若△EBF∽△FCG,则有,即,解得:t=2.8;②若△EBF∽△GCF,则有,即,解得:t=﹣14﹣2(不合题意,舍去)或t=﹣14+2.∴当t=2.8s或t=(﹣14+2)s时,以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似.(3)假设存在实数t,使得点B′与点O重合.如图,过点O作OM⊥BC于点M,则在Rt△OFM中,OF=BF=3t,FM=BC﹣BF=6﹣3t,OM=5,由勾股定理得:OM2+FM2=OF2,即:52+(6﹣3t)2=(3t)2解得:t=;64\n过点O作ON⊥AB于点N,则在Rt△OEN中,OE=BE=10﹣t,EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t,ON=6,由勾股定理得:ON2+EN2=OE2,即:62+(5﹣t)2=(10﹣t)2解得:t=3.9.∵≠3.9,∴不存在实数t,使得点B′与点O重合.点评:本题为运动型综合题,考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点.题目并不复杂,但需要仔细分析题意,认真作答.第(2)问中,需要分类讨论,避免漏解;第(3)问是存在型问题,可以先假设存在,然后通过推导出互相矛盾的结论,从而判定不存在. (2022•泰州)如图,矩形ABCD中,点P在边CD上,且与点C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,PQ的中点为M.(1)求证:△ADP∽△ABQ;(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动,设DP=x,BM2=y,求y与x的函数关系式,并求线段BM长的最小值;(3)若AD=10,AB=a,DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化,当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围。解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°∵∠ABC+∠ABQ=180°∴∠ABQ=∠ADP=90°∵AQ⊥AP∴∠PAQ=90°10x20-xN∴∠QAB+∠BAP=90°又∵∠PAD+∠BAP=90°∴∠PAD=∠QAB在△ADP与△ABQ中∵∴△ADP∽△ABQ(2)如图,作MN⊥QC,则∠QNM=∠QCD=90°64\n又∵∠MQN=∠PQC∴△MQN∽△PQC∴∵点M是PQ的中点∴∴又∵∴∵△ADP∽△ABQ∴∴∵∴在Rt△MBN中,由勾股定理得:即:108ABCPDQM10a10当即时,线段BM长的最小值.(3)如图,当点PQ中点M落在AB上时,此时QB=BC=10由△ADP∽△ABQ得解得:∴随着a的大小的变化,点M的位置也在变化,当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围为:.(2022•南通)若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为▲.(2022•南通)如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.ABCDEF(第27题)(1)求y关于x的函数关系式;(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?64\n(3)若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?(2022•钦州)如图,DE是△ABC的中位线,则△ADE与△ABC的面积的比是 1:4 .考点:相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.分析:由中位线可知DE∥BC,且DE=BC;可得△ADE∽△ABC,相似比为1:2;根据相似三角形的面积比是相似比的平方,即得结果.解答:解:∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,且DE=BC,∴△ADE∽△ABC,相似比为1:2,∵相似三角形的面积比是相似比的平方,∴△ADE与△ABC的面积的比为1:4(或).点评:本题要熟悉中位线的性质及相似三角形的判定及性质,牢记相似三角形的面积比是相似比的平方.(2022•包头)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一个动点,连接DE,交AC于点F.(1)如图①,当时,求的值;(2)如图②当DE平分∠CDB时,求证:AF=OA;(3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG=BG.考点:相似形综合题.分析:(1)利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值,依据△CEF和△CDF同高,则面积的比就是EF与DF的比值,据此即可求解;(2)利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD,可以证得AD=AF,在直角△AOD中,利用勾股定理可以证得;64\n(3)连接OE,易证OE是△BCD的中位线,然后根据△FGC是等腰直角三角形,易证△EGF∽△ECD,利用相似三角形的对应边的比相等即可证得.解答:(1)解:∵=,∴=.∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△CEF∽△ADF,∴=,∴==,∴==;(2)证明:∵DE平分∠CDB,∴∠ODF=∠CDF,又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线.∴∠ADO=∠FCD=45°,∠AOD=90°,OA=OD,而∠ADF=∠ADO+∠ODF,∠AFD=∠FCD+∠CDF,∴∠ADF=∠AFD,∴AD=AF,在直角△AOD中,根据勾股定理得:AD==OA,∴AF=OA.(3)证明:连接OE.∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点.∴点O是BD的中点.又∵点E是BC的中点,∴OE是△BCD的中位线,∴OE∥CD,OE=CD,∴△OFE∽△CFD.∴==,∴=.又∵FG⊥BC,CD⊥BC,∴FG∥CD,∴△EGF∽△ECD,∴==.在直角△FGC中,∵∠GCF=45°.∴CG=GF,64\n又∵CD=BC,∴==,∴=.∴CG=BG.点评:本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用,理解正方形的性质是关键. (2022•北京)如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上。若测得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB等于A.60mB.40mC.30mD.20m答案:B解析:由△EAB∽△EDC,得:,即,解得:AB=40(2022•天津)如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为 7 .考点:相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质.分析:先根据边长为9,BD=3,求出CD的长度,然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质,证明△ABD∽△DCE,进而根据相似三角形的对应边成比例,求得CE的长度,即可求出AE的长度.解答:解:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,AB=BC;64\n∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6;∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°,∴∠ADB+∠EDC=120°,∴∠DAB=∠EDC,又∵∠B=∠C=60°,∴△ABD∽△DCE,则=,即=,解得:CE=2,故AE=AC﹣CE=9﹣2=7.故答案为:7.点评:此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质,根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键.(2022•天津)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.(Ⅰ)△ABC的面积等于 6 ;(Ⅱ)若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明) 取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,则四边形DEFG即为所求 .考点:作图—相似变换;三角形的面积;正方形的性质.专题:计算题.分析:(Ⅰ)△ABC以AB为底,高为3个单位,求出面积即可;(Ⅱ)作出所求的正方形,如图所示,画图方法为:取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,则四边形DEFG即为所求解答:解:(Ⅰ)△ABC的面积为:×4×3=6;(Ⅱ)如图,取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,64\n则四边形DEFG即为所求.故答案为:(Ⅰ)6;(Ⅱ)取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,则四边形DEFG即为所求点评:此题考查了作图﹣位似变换,三角形的面积,以及正方形的性质,作出正确的图形是解本题的关键.(2022•天津)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠0BA.(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;(Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′.①设AA′=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).考点:相似形综合题.分析:(Ⅰ)根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到=,则易求OE=1,所以E(0,1);(Ⅱ)如图②,连接EE′.在Rt△A′BO中,勾股定理得到A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20,在Rt△BE′E中,利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9,则A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27.所以由二次函数最值的求法知,当m=1即点E′的坐标是(1,1)时,A′B2+BE′2取得最小值.解答:解:(Ⅰ)如图①,∵点A(﹣2,0),点B(0,4),∴OA=2,OB=4.∵∠OAE=∠0BA,∠EOA=∠AOB=90°,64\n∴△OAE∽△OBA,∴=,即=,解得,OE=1,∴点E的坐标为(0,1);(Ⅱ)①如图②,连接EE′.由题设知AA′=m(0<m<2),则A′O=2﹣m.在Rt△A′BO中,由A′B2=A′O2+BO2,得A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20.∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的,∴EE′∥AA′,且EE′=AA′.∴∠BEE′=90°,EE′=m.又BE=OB﹣OE=3,∴在Rt△BE′E中,BE′2=E′E2+BE2=m2+9,∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27.当m=1时,A′B2+BE′2可以取得最小值,此时,点E′的坐标是(1,1).②如图②,过点A作AB′⊥x,并使AB′=BE=3.易证△AB′A′≌△EBE′,∴B′A=BE′,∴A′B+BE′=A′B+B′A′.当点B、A′、B′在同一条直线上时,A′B+B′A′最小,即此时A′B+BE′取得最小值.易证△AB′A′∽△OBA′,∴==,∴AA′=×2=,∴EE′=AA′=,∴点E′的坐标是(,1).64\n点评:本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点.此题难度较大,需要学生对知识有一个系统的掌握.(2022•东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x,那么x的值(B)A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D.有无数个(2022菏泽)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( ) A.16B.17C.18D.19考点:相似三角形的判定与性质;正方形的性质.专题:计算题.分析:由图可得,S1的边长为3,由AC=BC,BC=CE=CD,可得AC=2CD,CD=2,EC=;然后,分别算出S1、S2的面积,即可解答.解答:解:如图,设正方形S2的边长为x,根据等腰直角三角形的性质知,AC=x,x=CD,∴AC=2CD,CD==2,∴EC2=22+22,即EC=;∴S2的面积为EC2==8;∵S1的边长为3,S1的面积为3×3=9,∴S1+S2=8+9=17.故选B.64\n点评:本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质,考查了学生的读图能力. (2022菏泽)如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于Q,当CQ=CE时,EP+BP= 12 .考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;三角形中位线定理.分析:延长BQ交射线EF于M,根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC,根据两直线平行,内错角相等可得∠M=∠CBM,再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM,从而得到∠M=∠PBM,根据等角对等边可得BP=PM,求出EP+BP=EM,再根据CQ=CE求出EQ=2CQ,然后根据△MEQ和△BCQ相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可.解答:解:如图,延长BQ交射线EF于M,∵E、F分别是AB、AC的中点,∴EF∥BC,∴∠M=∠CBM,∵BQ是∠CBP的平分线,∴∠PBM=∠CBM,∴∠M=∠PBM,∴BP=PM,∴EP+BP=EP+PM=EM,∵CQ=CE,∴EQ=2CQ,由EF∥BC得,△MEQ∽△BCQ,∴==2,∴EM=2BC=2×6=12,即EP+BP=12.故答案为:12.64\n点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,角平分线的定义,平行线的性质,延长BQ构造出相似三角形,求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键,也是本题的难点..(2022济宁)如图,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20cm,到屏幕的距离为60cm,且幻灯片中的图形的高度为6cm,则屏幕上图形的高度为cm.考点:相似三角形的应用.分析:根据题意可画出图形,再根据相似三角形的性质对应边成比例解答.解答:解:∵DE∥BC,∴△AED∽△ABC∴=设屏幕上的小树高是x,则=解得x=18cm.故答案为:18.点评:本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.(2022聊城)如图,D是△ABC的边BC上一点,已知AB=4,AD=2.∠DAC=∠B,若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为( )64\n A.aB.C.D.考点:相似三角形的判定与性质.分析:首先证明△ACD∽△BCA,由相似三角形的性质可得:△ACD的面积:△ABC的面积为1:4,因为△ABD的面积为a,进而求出△ACD的面积.解答:解:∵∠DAC=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA,∵AB=4,AD=2,∴△ACD的面积:△ABC的面积为1:4,∴△ACD的面积:△ABD的面积=1:3,∵△ABD的面积为a,∴△ACD的面积为a,故选C.点评:本题考查了相似三角形的判定和性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方,是中考常见题型. (2022泰安)如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,(1)求证:AC2=AB•AD;(2)求证:CE∥AD;(3)若AD=4,AB=6,求的值.考点:相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.分析:(1)由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可证得△ADC∽△ACB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得AC2=AB•AD;(2)由E为AB的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得CE=AB=AE,继而可证得∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD;(3)易证得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得的值.解答:(1)证明:∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴AD:AC=AC:AB,64\n∴AC2=AB•AD;(2)证明:∵E为AB的中点,∴CE=AB=AE,∴∠EAC=∠ECA,∵∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD;(3)解:∵CE∥AD,∴△AFD∽△CFE,∴AD:CE=AF:CF,∵CE=AB,∴CE=×6=3,∵AD=4,∴,∴.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用. (2022•威海)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD,下列结论错误的是( ) A.∠C=2∠AB.BD平分∠ABC C.S△BCD=S△BODD.点D为线段AC的黄金分割点考点:线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;黄金分割分析:求出∠C的度数即可判断A;求出∠ABC和∠ABD的度数,求出∠DBC的度数,即可判断B;根据三角形面积即可判断C;求出△DBC∽△CAB,得出BC2=BC•AC,求出AD=BC,即可判断D.解答:解:A、∵∠A=36°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°,∴∠C=2∠A,正确,故本选项错误;B、∵DO是AB垂直平分线,64\n∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=36°,∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD,∴BD是∠ABC的角平分线,正确,故本选项错误;C,根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等,错误,故本选项正确;D、∵∠C=∠C,∠DBC=∠A=36°,∴△DBC∽△CAB,∴=,∴BC2=BC•AC,∵∠C=72°,∠DBC=36°,∴∠BDC=72°=∠C,∴BC=BD,∵AD=BD,∴AD=BC,∴AD2=CD•AC,即点D是AC的黄金分割点,正确,故本选项错误;故选C.点评:本题考查了相似三角形的性质和判定,等腰三角形性质,黄金分割点,线段垂直平分线性质的应用,主要考查学生的推理能力. (2022•威海)如图,AC⊥CD,垂足为点C,BD⊥CD,垂足为点D,AB与CD交于点O.若AC=1,BD=2,CD=4,则AB= 5 .考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理分析:首先过点B作BE∥CD,交AC的延长线于点E,易证得四边形BDCE是矩形,然后由勾股定理求得答案.解答:解:过点B作BE∥CD,交AC的延长线于点E,∵AC⊥CD,BD⊥CD,∴AC∥BD,∠D=90°,∴四边形BDCE是平行四边形,∴平行四边形BDCE是矩形,∴CE=BD=2,BE=CD=4,∠E=90°,∴AE=AC+CE=1+2=3,∴在Rt△ABE中,AB==5.故答案为:5.64\n点评:此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.(2022•潍坊)如图,直角三角形中,,,,在线段上取一点,作交于点.现将沿折叠,使点落在线段上,对应点记为;的中点的对应点记为.若∽,则=__________.ABCP(第15题).(2022•淄博)在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有 条.(2022•丽水)如图1,点A是轴正半轴上的动点,点B坐标为(0,4),M是线段AB的中点,将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,过点C作轴的垂线,垂足为F,过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E,点D点A关于直线CF的对称点,连结AC,BC,CD,设点A的横坐标为(1)当时,求CF的长;(2)①当为何值时,点C落在线段BD上?②设△BCE的面积为S,求S与之间的函数关系式;64\n(3)如图2,当点C与点E重合时,△CDF沿轴左右平移得到△C’D’F’,再将A,B,C’,D’为顶点的四边形沿C’F’剪开,得到两个图形,用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形,请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。(2022•宁波)如图,等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为 (,) .考点:反比例函数综合题.分析:由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形;根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E(a,),D(b,),由双曲线的对称性可以求得ab=3;最后,将其代入直线AD的解析式即可求得a的值.解答:解:如图,∵∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E,∴∠BAC=∠ABC=45°,且可设E(a,),D(b,),∴C(a,0),B(a,2),A(2﹣a,0),∴易求直线AB的解析式是:y=x+2﹣a.又∵△BDE∽△BCA,∴∠BDE=∠BCA=90°,∴直线y=x与直线DE垂直,∴点D、E关于直线y=x对称,则=,即ab=3.又∵点D在直线AB上,∴=b+2﹣a,即2a2﹣2a﹣3=0,64\n解得,a=,∴点E的坐标是(,).故答案是:(,).点评:本题综合考查了相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式.解题时,注意双曲线的对称性的应用.(2022•衢州)提出问题(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.类比探究(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.拓展延伸(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.图1图3图2第22题(1)证明:∵等边△ABC,等边△AMN∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°∴∠BAM=∠CAN…………………………1分∴△BAM≌△CAN(SAS)…………………………2分∴∠ABC=∠ACN…………………………3分(2)解:结论∠ABC=∠ACN仍成立.………………………4分64\n理由如下:∵等边△ABC,等边△AMN∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°∴∠BAM=∠CAN∴△BAM≌△CAN………………………5分∴∠ABC=∠ACN………………………6分(3)解:∠ABC=∠ACN………………………7分理由如下:∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN∴底角∠BAC=∠MAN∴△ABC∽△AMN,…………………8分∴又∠BAM=∠BAC-∠MAC,∠CAN=∠MAN-∠MAC∴∠BAM=∠CAN∴△BAM∽△CAN……………9分∴∠ABC=∠ACN………………………10分图1图3图2第22题(2022•衢州)在平面直角坐标系O中,过原点O及点A(0,2)、C(6,0)作矩形OABC,∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发,以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动;同时点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.(1)当点P移动到点D时,求出此时t的值;(2)当t为何值时,△PQB为直角三角形;(3)已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为().问是否存在某一时刻t,将△PQB绕某点旋转180°后,三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.备用图第24题64\n解:(1)∵矩形OABC,∴∠AOC=∠OAB=90°∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1分∴在Rt△AOD中,∠ADO=45°∴AO=AD=2,OD=……2分图1G∴……………………………3分(2)要使△PQB为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.解法1:如图1,作PG⊥OC于点G,在Rt△POG中,∵∠POQ=45°,∴∠OPG=45°∵OP=,∴OG=PG=t,∴点P(t,,t)又∵Q(2t,0),B(6,2),根据勾股定理可得:,,………4分①若∠PQB=90°,则有,即:,整理得:,解得(舍去),∴………6分②若∠PBQ=90°,则有,∴,整理得,解得.图2QPQ∴当t=2或或时,△PQB为直角三角形..…8分解法2:①如图2,当∠PQB=90°时,易知∠OPQ=90°,∴BQ∥OD∴∠BQC=∠POQ=45°可得QC=BC=2∴OQ=4∴2t=4∴t=2……………5分②如图3,当∠PBQ=90°时,若点Q在OC上,作PN⊥x轴于点N,交AB于点M,则易证∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB∴,∴,∴,化简得,解得………6分图4MN∴…………………7分64\n③如图4,当∠PBQ=90°时,若点Q在OC的延长线上,作PN⊥x轴于点N,交AB延长线于点M,则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC∴△PMB∽△QCB∴,∴,∴,化简得,解得∴………………8分(3)存在这样的t值,理由如下:将△PQB绕某点旋转180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上,则旋转中心为PQ中点,此时四边形为平行四边形.………………9分∵PO=PQ,由P(t,t),Q(2t,0),知旋转中心坐标可表示为()………………10分∵点B坐标为(6,2),∴点的坐标为(3t-6,t-2),.………………11分代入,得:,解得……12分(另解:第二种情况也可以直接由下面方法求解:当点P与点D重合时,PB=4,OQ=4,又PB∥OQ,∴四边形为平行四边形,此时绕PQ中点旋转180°,点B的对应点恰好落在O处,点即点O.由(1)知,此时t=2.(说明:解得此t值,可得2分.)(2022•绍兴)若一个矩形的一边是另一边的两倍,则称这个矩形为方形,如图1,矩形ABCD中,BC=2AB,则称ABCD为方形.(1)设a,b是方形的一组邻边长,写出a,b的值(一组即可).(2)在△ABC中,将AB,AC分别五等分,连结两边对应的等分点,以这些连结为一边作矩形,使这些矩形的边B1C1,B2C2,B3C3,B4C4的对边分别在B2C2,B3C3,B4C4,BC上,如图2所示.①若BC=25,BC边上的高为20,判断以B1C1为一边的矩形是不是方形?为什么?②若以B3C3为一边的矩形为方形,求BC与BC边上的高之比.64\n考点:四边形综合题.分析:(1)答案不唯一,根据已知举出即可;(2)①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4,推出==,==,==,==,求出B1C1=5,B2C2=10,B3C3=15,B4C4=20,AE=4,AH=8,AG=12,AN=16,MN=GN=GH=HE=4,BQ=B2O=B3Z=B4K=4,根据已知判断即可;②设AM=h,根据△ABC∽△AB3C3,得出==,求出MN=GN=GH=HE=h,分为两种情况:当B3C3=2×h,时,当B3C3=×h时,代入求出即可.解答:解:(1)答案不唯一,如a=2,b=4;(2)①以B1C1为一边的矩形不是方形.理由是:过A作AM⊥BC于M,交B1C1于E,交B2C2于H,交B3C3于G,交B4C4于N,则AM⊥B4C4,AM⊥B3C3,AM⊥B2C2,AM⊥B1C1,∵由矩形的性质得:BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4,∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4,∴=,==,==,==,∵AM=20,BC=25,∴B1C1=5,B2C2=10,B3C3=15,B4C4=20,AE=4,AH=8,AG=12,AN=16,∴MN=GN=GH=HE=4,∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4,即B1C1≠2B1Q,B1Q≠2B1C1,∴以B1C1为一边的矩形不是方形;②∵以B3C3为一边的矩形为方形,设AM=h,∴△ABC∽△AB3C3,∴==,则AG=h,∴MN=GN=GH=HE=h,当B3C3=2×h,时,=;当B3C3=×h时,=.综合上述:BC与BC边上的高之比是或.64\n点评:本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用,注意:相似三角形的对应高的比等于相似比.(2022•绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD.(2)如图2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.分析:(1)根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根据AC:AB=1:2及点E为AB的中点,得出AC=BE,再利用AAS证明△ACD≌△BEF,即可得出EF=CD;(2)作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先证明四边形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,则∠FEQ=∠GEH,再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH,得出EF:EG=EQ:EH,然后在△BEQ中,根据正弦函数的定义得出EQ=BE,在△AEH中,根据余弦函数的定义得出EH=AE,又BE=AE,进而求出EF:EG的值.解答:(1)证明:如图1,在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB.∵AC:AB=1:2,∴AB=2AC,∵点E为AB的中点,∴AB=2BE,∴AC=BE.在△ACD与△BEF中,64\n,∴△ACD≌△BEF,∴CD=EF,即EF=CD;(2)解:如图2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,∴四边形EQDH是矩形,∴∠QEH=90°,∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,又∵∠EQF=∠EHG=90°,∴△EFQ∽△EGH,∴EF:EG=EQ:EH.∵AC:AB=1:,∠CAB=90°,∴∠B=30°.在△BEQ中,∵∠BQE=90°,∴sin∠B==,∴EQ=BE.在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,∴cos∠AEH==,∴EH=AE.∵点E为AB的中点,∴BE=AE,∴EF:EG=EQ:EH=BE:AE=1:.64\n点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质,解直角三角形,综合性较强,有一定难度.解题的关键是作辅助线,构造相似三角形,并且证明四边形EQDH是矩形.2022•台州)如图,在⊿ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且,则的值为()(2022•佛山)网格图中每个方格都是边长为1的正方形.若A,B,C,D,E,F都是格点,试说明△ABC∽△DEF.(2022•广东)如题22图,矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1,Rt△BFC的面积为S2,Rt△DCE的面积为S3,则S1______S2+S3(用“>”、“=”、“<”填空);(2)写出题22图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.(1)S1=S2+S3;(2)△BCF∽△DBC∽△CDE;选△BCF∽△CDE64\n证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中,∠CBF+∠BCF=90°∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.(2022•珠海)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E.(1)求证:∠CBP=∠ABP;(2)求证:AE=CP;(3)当,BP′=5时,求线段AB的长.考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.专题:几何综合题.分析:(1)根据旋转的性质可得AP=AP′,根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P,再根据等角的余角相等证明即可;(2)过点P作PD⊥AB于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=∠AP′E,利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=DP,从而得证;(3)设CP=3k,PE=2k,表示出AE=CP=3k,AP′=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出P′E=4k,再求出△ABP′和△EPP′相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB,然后在Rt△ABP′中,利用勾股定理列式求解即可.解答:(1)证明:∵AP′是AP旋转得到,∴AP=AP′,∴∠APP′=∠AP′P,∵∠C=90°,AP′⊥AB,∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,又∵∠BPC=∠APP′(对顶角相等),∴∠CBP=∠ABP;(2)证明:如图,过点P作PD⊥AB于D,∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,∴CP=DP,∵P′E⊥AC,∴∠EAP′+∠AP′E=90°,又∵∠PAD+∠EAP′=90°,∴∠PAD=∠AP′E,64\n在△APD和△P′AE中,,∴△APD≌△P′AE(AAS),∴AE=DP,∴AE=CP;(3)解:∵=,∴设CP=3k,PE=2k,则AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,在Rt△AEP′中,P′E==4k,∵∠C=90°,P′E⊥AC,∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠P′PE=90°,∵∠BPC=∠EPP′(对顶角相等),∴∠CBP=∠P′PE,又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,∴△ABP′∽△EPP′,∴=,即=,解得P′A=AB,在Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2,即AB2+AB2=(5)2,解得AB=10.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,旋转的性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,(2)作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键,(3)利用相似三角形对应边成比例求出P′A=AB是解题的关键.(2022•哈尔滨)如图,在△ABC中,M、N分别是边AB、AC的中点,则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为().64\n(A)(B)(C)(D)(2022•哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从0点出发沿0C向C点运动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P,Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒。设运动时间为t秒.(1)求线段BC的长;(2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m,求m与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围:(3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上,点F的对应点是F1,E1F1交x轴于点G,连接PF、QG,当t为何值时,2BQ-PF=QG?(2022•哈尔滨)已知:△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C),点E、F分别是线段BC和线段BD上的点,且点F在线段EC的垂直平分线上,连接AF、AE,AE交BD于点G.(1)如图l,求证:∠EAF=∠ABD;(2)如图2,当AB=AD时,M是线段AG上一点,连接BM、ED、MF,MF的延长线交ED于点N,∠MBF=∠BAF,AF=AD,试探究线段FM和FN之间的数量关系,并证明你的结论.64\n(2022•牡丹江)如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:①PM=PN;②;③△PMN为等边三角形;④当∠ABC=45°时,BN=PC.其中正确的个数是( ) A.1个B.2个C.3个D.4个考点:相似三角形的判定与性质;等边三角形的判定;直角三角形斜边上的中线.分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确;先证明△ABM∽△ACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确;先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°,再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°,从而得到∠MPN=60°,又由①得PM=PN,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确;当∠ABC=45°时,∠BCN=45°,由P为BC边的中点,得出BN=PB=PC,判断④正确.解答:解:①∵BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,∴PM=BC,PN=BC,∴PM=PN,正确;②在△ABM与△ACN中,∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°,∴△ABM∽△ACN,64\n∴,正确;③∵∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,∴∠ABM=∠ACN=30°,在△ABC中,∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°,∵点P是BC的中点,BM⊥AC,CN⊥AB,∴PM=PN=PB=PC,∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM,∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°,∴∠MPN=60°,∴△PMN是等边三角形,正确;④当∠ABC=45°时,∵CN⊥AB于点N,∴∠BNC=90°,∠BCN=45°,∴BN=CN,∵P为BC边的中点,∴PN⊥BC,△BPN为等腰直角三角形∴BN=PB=PC,正确.故选D.点评:本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键.(2022•牡丹江)如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,连接CD,请添加一个适当的条件 ∠ACD=∠ABC(答案不唯一) ,使△ABC∽△ACD.(只填一个即可)考点:相似三角形的判定.专题:开放型.分析:相似三角形的判定有三种方法:64\n①三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;③两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.由此可得出可添加的条件.解答:解:由题意得,∠A=∠A(公共角),则可添加:∠ACD=∠ABC,利用两角法可判定△ABC∽△ACD.故答案可为:∠ACD=∠ABC.点评:本题考查了相似三角形的判定,解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法,本题答案不唯一.(2022•乌鲁木齐)如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为 .考点:平行线分线段成比例.3797161分析:根据平行线分线段成比例定理,由AB∥GH,得出=,由GH∥CD,得出=,将两个式子相加,即可求出GH的长.解答:解:∵AB∥GH,∴=,即=①,∵GH∥CD,∴=,即=②,①+②,得+=+,∵CH+BH=BC,∴+=1,解得GH=.故答案为.点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,熟练运用等式的性质进行计算.本题难度适中.(2022•安徽)如图,在直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将线段OP0按逆时针方向旋转45°,将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1;再将线段OP1按逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;如此下去,得到线段OP3,OP4,…,OPn(n为正整数)(1)求点P6的坐标;(2)求△P5OP6的面积;64\nP0(1,0)xy第17题图OP1P2P3(3)我们规定:把点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|,|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标”.根据图中点Pn的分布规律,请你猜想点Pn的“绝对坐标”,并写出来.1)根据旋转规律,点P6落在y轴的负半轴,而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的倍,故其坐标为P6(0,26),即P6(0,64);(2)由已知可得,△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn-1OPn.设P1(x1,y1),则y1=2sin45°=,∴S△P0OP1=×1×=,又(3)由题意知,OP0旋转次之后回到x轴正半轴,在这次中,点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点Pn的坐标可分三类情况:令旋转次数为n,①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),点Pn落在x轴上,此时,点Pn的绝对坐标为(2n,0);②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时(其中k为自然数),点Pn落在各象限的平分线上,此时,点Pn的绝对坐标为(×2n,×2n),即(2n—1,2n—1);③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点Pn落在y轴上,此时,点Pn的绝对坐标为(0,2n).图1(2022•上海)如图1,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于()(A)5∶8;(B)3∶8;(C)3∶5;(D)2∶5.(2022•邵阳)如图所示,在Rt△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,点P是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点,点P′是点P关于直线BC的对称点,连结PP′交BC于点M,BP′交AC于D,连结BP、AP′、CP′.(1)若四边形BPCP′为菱形,求BM的长;(2)若△BMP′∽△ABC,求BM的长;(3)若△ABD为等腰三角形,求△ABD的面积.64\n考点:相似形综合题.分析:(1)由菱形的性质可知,点M为BC的中点,所以BM可求;(2)△ABC为等腰直角三角形,若△BMP′∽△ABC,则△BMP′必为等腰直角三角形.证明△BMP′、△BMP、△BPP′均为等腰直角三角形,则BP=BP′;证明△BCP为等腰三角形,BP=BC,从而BP′=BC=4,进而求出BM的长度;(3)△ABD为等腰三角形,有3种情形,需要分类讨论计算.解答:解:(1)∵四边形BPCP′为菱形,而菱形的对角线互相垂直平分,∴点M为BC的中点,∴BM=BC=×4=2.(2)△ABC为等腰直角三角形,若△BMP′∽△ABC,则△BMP′必为等腰直角三角形,BM=MP′.由对称轴可知,MP=MP′,PP′⊥BC,则△BMP为等腰直角三角形,∴△BPP′为等腰直角三角形,BP′=BP.∵∠CBP=45°,∠BCP=(180°﹣45°)=67.5°,∴∠BPC=180°﹣∠CBP﹣∠BCP=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠BPC=∠BCP,∴BP=BC=4,∴BP′=4.在等腰直角三角形BMP′中,斜边BP′=4,∴BM=BP′=.(3)△ABD为等腰三角形,有3种情形:①若AD=BD,如题图②所示.此时△ABD为等腰直角三角形,斜边AB=4,∴S△ABD=AD•BD=××=4;②若AD=AB,如下图所示:64\n过点D作DE⊥AB于点E,则△ADE为等腰直角三角形,∴DE=AD=AB=∴S△ABD=AB•DE=×4×=;③若AB=BD,则点D与点C重合,可知此时点P、点P′、点M均与点C重合,∴S△ABD=S△ABC=AB•BC=×4×4=8.点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形的性质、等腰直角三角形、等腰三角形、菱形、勾股定理等知识点,难度不大.第(3)问考查了分类讨论的数学思想,是本题的难点. (2022•柳州)小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图),然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为( ) A.10米B.12米C.15米D.22.5米考点:相似三角形的应用.专题:应用题.分析:在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.根据相似三角形的对应边的比相等,即可求解.解答:解:∵=即=,∴楼高=10米.故选A.点评:本题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.64\n(2022•临沂)如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则的值为 ;(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角,如图2,求的值;(3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°,且使AP:PC=1:2时,如图3,的值是否变化?证明你的结论.考点:几何变换综合题分析:(1)证明△APE≌△PCF,得PE=CF;在Rt△PCF中,解直角三角形求得的值;(2)如答图1所示,作辅助线,构造直角三角形,证明△PME∽△PNF,并利用(1)的结论,求得的值;(3)如答图2所示,作辅助线,构造直角三角形,首先证明△APM∽△PCN,求得的值;然后证明△PME∽△PNF,从而由求得的值.与(1)(2)问相比较,的值发生了变化.解答:解:(1)∵矩形ABCD,∴AB⊥BC,PA=PC;∵PE⊥AB,BC⊥AB,∴PE∥BC,∴∠APE=∠PCF;∵PF⊥BC,AB⊥BC,∴PF∥AB,∴∠PAE=∠CPF.∵在△APE与△PCF中,∴△APE≌△PCF(ASA),64\n∴PE=CF.在Rt△PCF中,=tan30°=,∴=.(2)如答图1,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则PM⊥PN.∵PM⊥PN,PE⊥PF,∴∠EPM=∠FPN,又∵∠PME=∠PNF=90°,∴△PME∽△PNF,∴.由(1)知,=,∴=.(3)答:变化.证明:如答图2,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则PM⊥PN,PM∥BC,PN∥AB.∵PM∥BC,PN∥AB,∴∠APM=∠PCN,∠PAM=∠CPN,∴△APM∽△PCN,∴,得CN=2PM.在Rt△PCN中,=tan30°=,∴=.∵PM⊥PN,PE⊥PF,64\n∴∠EPM=∠FPN,又∵∠PME=∠PNF=90°,∴△PME∽△PNF,∴=.∴的值发生变化.点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点.本题三问的解题思路是一致的:即都是直接或作辅助线构造直角三角形,通过相似三角形或全等三角形解决问题.(2022•重庆B)已知∽,若与的相似比为3:4,则与的面积之比为A.4:3B.3:4C.16:9D.9:1664
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