全国各地名校2022年中考政治5月试卷分类汇编 19 二次函数额应用
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二次函数的应用一、选择题1、ABCD(2022北仑区一模)12.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是( ▲ ).A.B.C.D.【答案】A第1题二、填空题三、解答题1、(2022年湖北荆州模拟题)已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根.(2)若关于x的二次函数y=mx2-(3m-1)x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.解:(1)分两种情况讨论:①当m=0 时,方程为x-2=0,∴x=2方程有实数根②当m≠0时,则一元二次方程的根的判别式△=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0∵不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根综合①②,可知m取任何实数,方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根.(2)设x1、x2为抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标.则有x1+x2=,x1·x2=由|x1-x2|====,由|x1-x2|=2得=2,∴或,∴m=1或m=∴所求抛物线的解析式为:y1=x2-2x或y2=x2+2x-第1题图2.(2022年安徽初中毕业考试模拟卷一)如图,在中,AC=6,56\nBC=8,AB=10,点D、E分别在AB、AC上,且DE将的周长分成相等的两部分,设AE=,AD=,的面积为S.(1)求出与的函数关系式,并写出的取值范围;(2)求出S关于的函数关系式,并判断S是否有最大的值,若有,则求出其最大值,并指出此时的形状;若没有,请说明理由.答案:(1)∵DE平分△ABC的周长,∴,即y+x=12.∴y关于x的函数关系式为:y=12-x(2≤x≤6).(2)过点D作DF⊥AC,垂足为FF第1题图∵,即,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.∴,即.∴.∴.故当x=6时,S取得最大值.此时,y=12-6=6,即AE=AD.因此,△ADE是等腰三角形.3、(2022年湖北荆州模拟5)(本题满分10分)我市一家电子计算器专卖店每只进价13元,售价20元,多买优惠;凡是一次买10只以上的,每多买1只,所买的全部计算器每只就降低0.10元,例如,某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1(元),因此,所买的全部20只计算器都按照每只19元计算,但是最低价为每只16元.(1)求一次至少买多少只,才能以最低价购买?(2)写出该专卖店当一次销售x(只)时,所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)若店主一次卖的只数在10至50只之间,问一次卖多少只获得的利润最大?其最大利润为多少?解:(1)设一次购买x只,才能以最低价购买,则有:0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50;答一次至少买50只,才能以最低价购买(2)(说明:因三段图象首尾相连,所以端点10、50包括在哪个区间均可)56\n(3)将配方得,所以店主一次卖40只时可获得最高利润,最高利润为160元.4.(2022浙江东阳吴宇模拟题)(本题10分)许多桥梁都采用抛物线型设计,小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后,绘成如下的示意图,图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,x轴表示桥面,y轴经过中间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于y轴对称。经过测算,中间抛物线的解析式为y=-x2+10,并且BD=CD。(1)求钢梁最高点离桥面的高度OE的长;(2)求桥上三条钢梁的总跨度AB的长;(3)若拉杆DE∥拉杆BN,求右侧抛物线的解析式。答案:(1)OE=10(2)AB=80(3)5.(2022浙江东阳吴宇模拟题)(本题12分)如图,平面直角坐标系中,点A(0,4),B(3,0),D、E在x轴上,F为平面上一点,且EF⊥x轴,直线DF与直线AB互相垂直,垂足为H,△AOB≌△DEF,设BD=h。(1)若F坐标(7,3),则h=,若F坐标(-10,-3),则DH=;OABDEFHxy(2)如h=,则相对应的F点存在个,并请求出恰好在抛物线y=上的点F的坐标;(3)请求出4个h值,满足以A、H、F、E为顶点的四边56\n形是梯形。答案:(1)0(2)4求抛物线与x轴、y轴交点坐标,刚好过A、B、D三点,可求得F(,3)在抛物线上。(3)6.(2022浙江锦绣·育才教育集团一模)(本小题满分12分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线经过A、B两点.(1)直接写出点A、点B的坐标;(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连结PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.答案:(本小题满分12分)解:(1)A(8,0),B(0,4)。(2)∵AB=AC,∴OB=OC。∴C(0,-4)。设直线AC:,由A(8,0),C(0,-4)得,解得。∴直线AC:。∵直线l移动的速度为2,时间为t,∴OE=2t。56\n设P,在中,令x=2t,得,∴M(2t,)。∵BC=8,PM=,OE=2t,EA=,∴。∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为(0<t<4)。∵,∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。(3)存在。∵由(2),在0<t<4,即0<t<8时,∠AMP和∠APM不可能为直角。若∠PAM为直角,则PA⊥CA,∴△AOC∽△PEA。∴。设P(p,),则OC=4,OA=8,EA=8-p,EP=,∴,整理得,解得(舍去)。当时,EP==10。∴P(3,10)。∴当P(3,10)时,△PAM是直角三角形。7.(2022盐城市景山中学模拟题)(本题满分12分)抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.(1)求点B的坐标;(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,以PE为边在PE右侧作正方形PEDC(当点P运动时,点C、D也随之运动).①当正方形PEDC顶点D落在此抛物线上时,求OP的长;②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA56\n上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,在QF的左侧作正方形QFMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.答案:(1)点B的坐标为(2,4).(2)①设OP的长为t,那么PE=2t,ED=2t,点D的坐标为(3t,2t).当点D落在抛物线上时,.解得.②当两条边CD与MN在同一条直线上时,点C、N重合,此时6t=10.解得t=.当两条边CD与QF在同一条直线上时,点C、Q重合,此时5t=10.解得t=2.当两条边PE与MN在同一条直线上时,点P、N重合,此时4t=10.解得t=.当两条边PE与QF在同一条直线上时,点P、Q重合,此时3t=10.解得t=.8.(2022盐城市景山中学模拟题)(本题满分12分)某厂销售一种专利产品,现准备从专卖店销售和电视直销两种销售方案中选择一种进行销售.若只是专卖店销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=x+150,成本为40元/件,无论销售多少,每月还需支出房租费52500元,设月利润为w专(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).若只是电视直销,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,40≤a≤80),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳x256\n 元的广告费,设月利润为w电(元)(利润 = 销售额-成本-附加费).(1)当x = 1000时,y =元/件,w内 =元;(2)分别求出w专、w电与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);(3)当x为何值时,在专卖店销售的月利润最大?若是电视直销月利润的最大值与在专卖店销售月利润的最大值相同,求a的值;(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在专卖店还是电视直销才能使所获月利润较大?答案:(1)140、47500(2)w专=x(y-40)-52500=(x2+110x)-52500,W电=x2+(150-a)x(3)当x=5500时,w专最大;为250000由题意得,W电最大时解得a1=50,a2=250(不合题意,舍去).所以a=50.(4)当x=5000时,w专=247500,w外=500000-5000a若w专<W电,则a<50.5;若w专=W电,则a=50.5;若w专>W电,则a>50.5.所以,当40≤a<50.5时,选择在电视直销销售;当a=50.5时,在专卖店和电视直销销售都一样;当50.5<a≤80时,选择在专卖店销售.9.(2022沈阳一模)(12分)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间满足的函数关系如下表:56\n7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0).其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用:z1(元)与月份x之间满足函数关系式:,该企业自身处理每吨污水的费用:z2(元)与月份x之间满足函数关系式:;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用;(3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a﹣30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18000元,请计算出a的整数值.(参考数据:≈15.2,≈20.5,≈28.4)答案:解:(1)根据表格中数据可以得出xy=定值,则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系:。将(1,12000)代入得:k=1×12000=12000,∴(1≤x≤6,且x取整数)。根据图象可以得出:图象过(7,10049),(12,10144)点,代入y2=ax2+c得:,解得:。∴y2=x2+10000(7≤x≤12,且x取整数)。(2)当1≤x≤6,且x取整数时:56\n=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000(x﹣5)2+2200。∵a=﹣1000<0,1≤x≤6,∴当x=5时,W最大=22000(元)。当7≤x≤12时,且x取整数时:W=2×(12000﹣y1)+1.5y2=2×(12000﹣x2﹣10000)+1.5(x2+10000)=﹣x2+1900。∵a=﹣<0,对称轴为x=0,当7≤x≤12时,W随x的增大而减小,∴当x=7时,W最大=18975.5(元)。∵22000>18975.5,∴去年5月用于污水处理的费用最多,最多费用是22000元。(3)由题意得:12000(1+a%)×1.5×[1+(a﹣30)%]×(1﹣50%)=18000,设t=a%,整理得:10t2+17t﹣13=0,解得:。∵≈28.4,∴t1≈0.57,t2≈﹣2.27(舍去)。∴a≈57。答:a整数值是57.10.(2022沈阳一模)(14分)如图,抛物线的顶点坐标为,并且与y轴交于点C,与x轴交于两点A,B.(1)求抛物线的表达式;(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连结AC、AD,求△ACD的面积;(3)点E位直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.56\n答案:(1)由题意可设抛物线的表达式为.∵点C在抛物线上,∴,解得.∴抛物线的表达式为,即(2)令,即,解得,∴.设BC的解析式为将代入得,解得.[来@源%:&中国*教~育出版网]∴直线BC的解析式为当时,,∴.所以--[来&%源:中教网@~^](1)假设存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似,∵△BCO是等腰直角三角形,则以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形.由EF∥OC得∠DEF=45°,故以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点56\n25.点F为直角顶点时,DF⊥EF,此时△DEF∽△BCO,所以DF所在的直线为由,解得将代入,得,∴将代入,得,∴26.当D为直角顶点时,DF⊥ED,此时△EFD∽△BCO.∵点D在对称轴上,∴DA=DB,∵∠CBA=45°,∴∠DAB=45°,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,故点F在直线AD上.设直线AD的解析式为将代入得:,解得,所以直线AD的解析式为,由,解得。将代入,得,∴将代入,得,∴.综上所述,点E的坐标可以是,,[来@源&:中*国教育出11、(2022浙江省宁波模拟题)(本小题满分14分)如图,抛物线(a0)与反比例函数的图像相交于点A,B.已知点A的坐标为(1,4),点B(t,q)在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标原点).(1)求反比例函数的解析式(2)用含t的代数式表示直线AB的解析式;56\n(3)求抛物线的解析式;(4)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,把△AOB绕点O顺时针旋转90º,请在图②中画出旋转后的三角形△A1OB1,并直接求出所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.12.(本小题满分14分)解:(1)因为点A(1,4)在双曲线上,所以k=4.故双曲线的函数表达式为.………………………………………2分(2)设点B(t,),,AB所在直线的函数表达式为,则有解得,.直线AB的解析式为y=-x+…………………………………………4分(3)直线AB与y轴的交点坐标为,故,整理得,解得,或t=(舍去).所以点B的坐标为(,).因为点A,B都在抛物线(a0)上,所以解得所以抛物线的解析式为y=x2+3x………………4分(4)画出图形………………………………………………2分点的坐标是(8,),或(2,)………………2分13、(2022年江苏南京一模)(8分)某批发商以每件50元的价格购进500件T恤.若以单价70元销售,预计可售出200件.批发商的销售策略是:第一个月为增加销售量,降价销售,经过市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价高于购进的价格;第一个月结束后,将剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元.56\n(1)按照批发商的销售策略,销售完这批T恤可能亏本吗?请建立函数关系进行说明;(2)从增加销售量的角度看,第一个月批发商降价多少元时,销售完这批T恤获得的利润为1000元?答案:解:(1)解法一:设第一个月单价降低x元,批发商销售完这批T恤获得的总利润为y元.1分根据题意,得y=(70-50-x)(200+10x)+(40-50)×[500-(200+10x)]=-10x2+100x+1000.4分批发商销售这批T恤可能亏本,理由如下:(答案不唯一,以下方法供参考)方法一:当x=17(或18或19)时,y<0.5分方法二:当y=0时,x=5+5(负根舍去).又因为当5+5<x<20时,y随x的增大而减小,所以当x=17或18或19时,y<0.5分解法二:设第一个月单价降低x元,当月出售T恤获得的利润为y1元,清仓剩余T恤获得的利润为y2元.1分根据题意,得y1=(70-50-x)(200+10x)=-10x2+4000,3分y2=(40-50)×[500-(200+10x)]=100x-3000.4分批发商销售这批T恤可能亏本,理由如下:(答案不唯一,以下方法供参考)方法一:当x=17(或18或19)时,y1+y2<0.5分方法二:当y1+y2=0时,x=5+5(负根舍去).又因为当5+5<x<20时,y1+y2随x的增大而减小,所以当x=17或18或19时,y1+y2<0.5分(2)设第一个月单价降低x元时,销售完这批T恤获得的利润为1000元.根据题意得-10x2+100x+1000=1000.6分解这个方程,得x1=0,x2=10.从增加销售量的角度看,取x=10.7分答:第一个月单价降低10元时,销售完这批T恤获得的利润为1000元.8分14、(2022年江苏南京一模)某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨元(为正整数),每个月的销售利润为元.(1)求与的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围;(2)若每个月的利润为2200元,求每件商品的售价应定为多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大利润是多少元?答案:解:(1)y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2+110x+2100.……………………2分(其中0<x≤15,且x为整数)………………………………………3分(2)当y=2200时,-10x2+110x+2100=2200,解得x=1或10.………………………………………5分当x=1时,50+x=51;当x=10时,50+x=60.56\n所以每件商品的售价应定为51元或60元.………………………………6分(3)y=-10x2+110x+2100=-10(x-5.5)2+2402.5.因为-10<0,所以当x=5.5时,y有最大值2402.5.………………………………7分因为0<x≤15,且x为整数,当x=5时,y=2400,此时,50+x=55;……………………………………8分当x=6时,y=2400,此时,50+x=56;……………………………………9分所以当售价定为55元或56元,每个月可获得最大利润,最大利润是2400元.……………………………………………………………10分15、(2022年江苏南京一模)某种商品的进价为每件50元,售价为每件60元.为了促销,决定凡是购买件以上的,每多买一件,售价就降低0.10元(例如,某人买20件,于是每件降价0.10×(20-10)=1元,就可以按59元/件的价格购买),但是最低价为55元/件.同时,商店在出售中,还需支出税收等其他杂费1.6元/件.(1)求顾客一次至少买多少件,才能以最低价购买?(2)写出当一次出售x件时(x>10),利润y(元)与出售量x(件)之间的函数关系式;(3)有一天,一位顾客买了47件,另一位顾客买了60件,结果发现卖了60件反而比卖了47件赚的钱少.为了使每次卖的越多赚的钱也越多,在其他促销条件不变的情况下,最低价55元/件至少要提高到多少?为什么?答案:(1)设顾客一次至少购买x件,则60-0.1(x-10)=55,解得x=60.……(3分)(2)当10<x≤60时,y=[60-0.1(x-10)-50]x-1.6x=-0.1x2+9.4x;…(5分)当x>60时,y=(55-50-1.6)x=3.4x.……………………………………(6分)(3)利润y=-0.1x2+9.4x=-0.1(x-47)2+220.9,……………………………(7分)因为当x=47时,利润y有最大值,而超过47时,利润y反而减少。要想卖的越多赚的越多,即随的增大而增大,由二次函数性质可知,x≤47,………………………………………………(8分)所以当x=47时,最低售价应定为60-0.1(47-10)=56.3元.…………(10分)16、(2022年江苏南京一模)(7分)某商场以每个40元的进价购进一批篮球,如果以每个50元销售,那么每月可售出200个.根据销售经验,售价每提高1元,销售量相应减少10个.24.假设销售单价提高x元,那么销售1个篮球所获得的利润是__________元;这种篮球每月的销售量是__________个;(用含x的代数式表示)25.篮球的售价定为多少元时,每月销售这种篮球的利润最大?最大利润是多少?答案:解:(1)(10+x),200-10x;……………………3分(2)设每月销售利润为w元,w=(10+x)(200-10x)=-10x2+100x+2000,……………………5分当x=5时,w=2250元,50+5=55.答:当售价定为55元时,每月销售这种篮球的利润最大,最大利润是2250元.……………………7分56\n17、(2022年江苏南京一模)(9分)在函数中,我们规定:当自变量增加一个单位时,因变量的增加量称为函数的平均变化率.例如,对于函数y=3x+1,当自变量x增加1时,因变量y=3(x+1)+1=3x+4,较之前增加3,故函数y=3x+1的平均变化率为3.(1)①列车已行驶的路程s(km)与行驶的时间t(h)的函数关系式是s=300t,该函数的平均变化率是▲;其蕴含的实际意义是▲;②飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行的时间x(s)的函数关系式是y=-1.5x2+60x,求该函数的平均变化率;(2)通过比较(1)中不同函数的平均变化率,你有什么发现;(3)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像经过第一象限内的三点A、B、C,过点A、B、C作x轴的垂线,垂足分别为D、E、F,AM⊥BE,垂足为M,BN⊥CF,垂足为N,DE=EF,试探究△AMB与△BNC面积的大小关系,并说明理由.xOyABCDEFMN(第5题)答案:解:(1)①300;列车的速度.②该函数的变化率为:-1.5(x+1)2+60(x+1)-[-1.5x2+60x]=-3x+58.5.…………4分(2)一次函数的变化率是常量,二次函数的变化率是变量.(仅从匀速和变速角度出发,得1分)………………………………………………6分(3)∵AM⊥BE,且AD、BE均垂直于x轴,∴∠ADE=∠DEM=∠EMA=90°,∴四边形ADEM为矩形,∴AM=DE.同理可得BN=EF.∵DE=EF,∴AM=BN.设DE=EF=n(n>0),当x增加n时y增加了w.则w=a(x+n)2+b(x+n)+c-(ax2+bx+c)=2anx+an2+bn∵该二次函数开口向上,∴a>0.又∵n>0,∴2an>0.∴w随x的增大而增大.即BM<CN.∵S△AMB=AM·BM,S△BNC=BN·CN,∴S△AMB<S△BNC.……………………………………………………9分18、(本题12分)我县绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力.外贸商胡经理按市场价格10元/千克在我县收购了6000千克蘑菇存放入冷库中.请根据胡经理提供的预测信息(如右图)帮胡经理解决以下问题:(1)若胡经理想将这批蘑菇存放x天后一次性出售,56\n则x天后这批蘑菇的销售单价为▲元,这批蘑菇的销售量是▲千克;(2)胡经理将这批蘑菇存放多少天后,一次性出售所得的销售总金额为100000元;(1)蘑菇的市场价格每天每千克上涨0.1元;(2)平均每天有10千克的蘑菇损坏不能出售;(3)冷库存放这批蘑菇时每天需要支出各种费用合计240元;(4)蘑菇在冷库中最多保存110天.(销售总金额=销售单价×销售量).(3)将这批蘑菇存放多少天后一次性出售可获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)………………4分(2)……………………1分化简得解得x1=100,……………1分x2=400(舍去)……………1分胡经理销售将这批蘑菇存放100天后,一次性出售所得的销售总金额达到100000元.……………1分(3)设最大利润为,由题意得,……………2分56\n∵x≤110,∴当=110时,W最大值=16500……………1分答:存放110天后出售这批香菇可获得最大利润16500元.……………1分19.如图,在中,,.若动点从点出发,沿线段运动到点为止,运动速度为每秒2个单位长度.过点作交于点,设动点运动的时间为秒,的长为.AEDBC(1)求出关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)当为何值时,的面积有最大值,最大值为多少?解:(1),..(2分)又,,,,..(5分)自变量的取值范围为.(5分)(2)S.(8分)当时,有最大值,且最大值为.(10分)(或用顶点公式求最大值)20.2022年十一黄金周,由于7座以下小型车辆免收高速公路通行费,使汽车租赁市场需求旺盛.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当租出的车辆每减少1辆,每辆车的日租金将增加50元,另公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x(x≤20)辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入-平均每日各项支出)(1)公司每日租出x(x≤20)辆车时,每辆车的日租金增加为_______元;此时每辆车的日租金为__________元.(用含x的代数式表示);(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?是多少元?解 ;(1)50(20-x),1400-50x………………4分(2)y=x(-50x+1400)-4800=-50x2+1400x-4800=-50(x-14)2+5000.………………10分当x=14时,在0≤x≤20范围内,y有最大值5000.∴当日租出14辆时,租赁公司的日收益最大,为5000元.21.56\n已知矩形ABCD的周长为12,E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点,若AB=x,四边形EFGH的面积为y.(1)请直接写出y与x的函数关系式;(2)根据(1)中的函数关系式,计算当x为何值时,y最大,并求出最大值.(参考公式:当x=-时,二次函数y=ax+bx+c(a≠o)有最小(大)值)解:(1)y=-x2+3x(2分)(2)∵a=-<0∴y有最大值∴当x=-=-=3时(2分)y有最大值为==4.5(2分)22、(2022杭州江干区模拟)(本小题10分)3月17日,新成立的中国铁路总公司已在北京正式挂牌,这标志着今后铁路将会进行一系列的客票改革.现某市铁路局拟实施淡季火车票打折销售制度.已知某班次列车一节车厢定员120人,原定票价为100元/人,淡季时上座率仅为20%.据调查,该列车票价每降低5元,单节车厢乘客人数将增加6人.(1)该列车票价打几折时,单节车厢售票收入为4200元;(2)该列车票价打几折时,单节车厢售票收入最高,并求出这个最高值.【答案】解:(1)设降低5x元,增加6x人,得2分解得x1=6,x2=102分所以打7折或5折1分(2)设收入W==,3分当x=8即打6折时,收入最高为4320元2分23、(2022河南南阳市模拟)(11分)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.56\n第23题图【答案】23、解:(1)A(1,4).…(1分)由题意知,可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4∵抛物线过点C(3,0),∴0=a(3﹣1)2+4,解得,a=﹣1,∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3(2)∵A(1,4),C(3,0),∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6.∵点P(1,4﹣t).…∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+.…∴点G的横坐标为1+,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4﹣.∴GE=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣.又点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣,即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG(2﹣)=•2(t﹣)=﹣(t﹣2)2+1.当t=2时,S△ACG的最大值为1.MCBOA23题(3)t=或t=20﹣8.…24、(2022云南勐捧中学二模)(本小题9分)如图11,在直角梯形中,∥,,点为坐标原点,点在轴的正半轴上,对角线,相交于点,,.(1)线段的长为,点的坐标为;(2)求△的面积;(3)求过,,三点的抛物线的解析式;(4)若点在(3)的抛物线的对称轴上,点为该抛物线上的点,且以,,,四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标.56\n【答案】解:(1)4;.(2)在直角梯形OABC中,OA=AB=4,∵∥∴△OAM∽△BCM)又∵OA=2BC∴AM=2CM,CM=AC所以(注:另有其它解法同样可得结果)(3)设抛物线的解析式为 由抛物线的图象经过点,,.所以 解这个方程组,得,,所以抛物线的解析式为(4)∵抛物线的对称轴是CD,①当点E在轴的下方时,CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形,此时点F和点C重合,点F的坐标即为点;②当点E在轴的下方,点F在对称轴的右侧,存在平行四边形,∥,且,此时点F的横坐标为6,将代入,可得.所以.同理,点F在对称轴的左侧,存在平行四边形,∥,且,此时点F的横坐标为,将代入,可得.所以.综上所述,点F的坐标为,.25.(2022年广东省佛山市模拟)(原创)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线交于点A、B,M是抛物线上一个动点,连接OM。(1)当M为抛物线的顶点时,求△OMB的面积;(2)当点M在抛物线上,△OMB的面积为10时,求点M的坐标;(3)当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧,M运动到何处时,△OMB56\n的面积最大;_M_A_B_O_x_y26、(2022北仑区一模)26.(本题14分)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S56\n是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(0,4),∴c=4。-------------------------1分∵顶点在直线x=上,∴,解得。--------------------------------2分∴所求函数关系式为。------------------------------------------------------3分(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴。∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5。----------------------------------------------5分∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),当x=5时,;当x=2时,。∴点C和点D都在所求抛物线上。--------------------------------------------------------------7分(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,则,解得,。∴直线CD对应的函数关系式为。--------------9分当x=时,。∴P()。------------------------------------------------------10分(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD。∴,即,得。设对称轴交x于点F,则56\n∵,,(0<t<4)。--------------------------------------------------------------------------------------------12分∵,,0<<4,∴当时,S取最大值是。-------------------------------------------13分此时,点M的坐标为(0,)。------------------------------------------------14分27、(2022浙江台州二模)22.如图是一种新型滑梯的示意图,其中线段PA是高度为6米的平台,滑道AB是函数的图象的一部分,滑道BCD是二次函数图象的一部分,两滑道的连接点B为抛物线的顶点,且点B到地面的距离为2米,当甲同学滑到点C时,距地面的距离为1米,距点B的水平距离CE也为1米.(1)试求滑道BCD所在抛物线的解析式;(2)试求甲同学从点A滑到地面上点D时,所经过的水平距离.【答案】22.解:(1)依题意,设B点坐标为(x,2),代入得x=5滑道BCD所在抛物线的解析式为(2)甲同学从点A滑到地面上D点时,所经过的水平距离为DCEAPBO56\n28、(2022浙江台州二模)24.如图,已知抛物线y=x2–2x+1的顶点为P,A为抛物线与y轴的交点,过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B,与抛物线对称轴交于点O′,过点B和P的直线l交y轴于点C,连结O′C,将△ACO′沿O′C翻折后,点A落在点D的位置.(1)求直线l的函数解析式;(2)求点D的坐标;(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△DQC=S△DPB?若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在请说明理由.【答案】(1)配方,得y=(x–2)2–1,∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为P(2,–1).取x=0代入y=x2–2x+1,得y=1,∴点A的坐标是(0,1).由抛物线的对称性知,点A(0,1)与点B关于直线x=2对称,∴点B的坐标是(4,1).设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),将B、P的坐标代入,有解得∴直线l的解析式为y=x–3.……4分(2)连结AD交O′C于点E,∵点D由点A沿O′C翻折后得到,∴O′C垂直平分AD.由(1)知,点C的坐标为(0,–3),∴在Rt△AO′C中,O′A=2,AC=4,∴O′C=2.据面积关系,有×O′C×AE=×O′A×CA,∴AE=,AD=2AE=.作DF⊥AB于F,易证Rt△ADF∽Rt△CO′A,∴,∴AF=·AC=,DF=·O′A=,又∵OA=1,∴点D的纵坐标为1–=–,∴点D的坐标为(,–).……4分(3)显然,O′P∥AC,且O′为AB的中点,∴点P是线段BC的中点,∴S△DPC=S△DPB.故要使S△DQC=S△DPB,只需S△DQC=S△DPC.过P作直线m与CD平行,则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC,故m与抛物线的交点即符合条件的Q点.56\n容易求得过点C(0,–3)、D(,–)的直线的解析式为y=x–3,据直线m的作法,可以求得直线m的解析式为y=x–.令x2–2x+1=x–,解得x1=2,x2=,代入y=x–,得y1=–1,y2=,所以抛物线上存在两点Q1(2,–1)(即点P)和Q2(,),使得S△DQC=S△DPB.……6分(仅求出一个符合条件的点Q的坐标,扣2分)29、(2022浙江永嘉一模)(1)蘑菇的市场价格每天每千克上涨0.1元;(2)平均每天有10千克的蘑菇损坏不能出售;(3)冷库存放这批蘑菇时每天需要支出各种费用合计240元;(4)蘑菇在冷库中最多保存110天.23.(本题12分)我县绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力.外贸商胡经理按市场价格10元/千克在我县收购了6000千克蘑菇存放入冷库中.请根据胡经理提供的预测信息(如右图)帮胡经理解决以下问题:(1)若胡经理想将这批蘑菇存放x天后一次性出售,则x天后这批蘑菇的销售单价为▲元,这批蘑菇的销售量是▲千克;(2)胡经理将这批蘑菇存放多少天后,一次性出售所得的销售总金额为100000元;(销售总金额=销售单价×销售量).(3)将这批蘑菇存放多少天后一次性出售可获得最大(第23题图)利润?最大利润是多少?【答案】解:(1)………………4分(2)……………………1分化简得解得x1=100,……………1分x2=400(舍去)……………1分胡经理销售将这批蘑菇存放100天后,一次性出售所得的销售总金额达到100000元.……………1分(3)设最大利润为,由题意得56\n,……………2分∵x≤110,∴当=110时,W最大值=16500……………1分答:存放110天后出售这批香菇可获得最大利润16500元.……………1分30(2022浙江永嘉一模)24.(本题14分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.动点P从点A出发沿AC向终点C运动,同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动,到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回.点P,Q运动速度均为每秒1个单位长度,当点P到达点C时停止运动,点Q也同时停止.连结PQ,设运动时间为t(t>0)秒.(1)求线段AC的长度;(2)当点Q从B点向A点运动时(未到达A点),求△APQ的面积S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;(3)伴随着P,Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l:①当l经过点A时,射线QP交AD于点E,求AE的长;②当l经过点B时,求t的值.【答案】解:(1)在矩形ABCD中,……2分(2)如图①,过点P作PH⊥AB于点H,AP=t,AQ=3-t,由△AHP∽△ABC,得,∴PH=,……2分,…………2分.…………1分图②(3)①如图②,线段PQ的垂直平分线为l经过点A,则AP=AQ,即3-t=t,∴t=1.5,∴AP=AQ=1.5,…………………………1分延长QP交AD于点E,过点Q作QO∥AD交AC于点O,则,,∴PO=AO-AP=1.由△APE∽△OPQ,得.……2分②(ⅰ)如图③,当点Q从B向A运动时l经过点B,BQ=CP=AP=t,∠QBP=∠QAP56\n∵∠QBP+∠PBC=90°,∠QAP+∠PCB=90°∴∠PBC=∠PCBCP=BP=AP=t∴CP=AP=AC=×5=2.5 ∴t=2.5.………2分(ⅱ)如图④,当点Q从A向B运动时l经过点B,BP=BQ=3-(t-3)=6-t,AP=t,PC=5-t,过点P作PG⊥CB于点G由△PGC∽△ABC,得,BG=4-=由勾股定理得,即,解得.………2分31、(2022重庆一中一模)26.已知矩形纸片ABCD中,,将该矩形纸片沿对角线AC剪开,得到两张三角形纸片(如图1),再将这两张三角形纸片摆成如图2的形状,使得点B、C、F、D在同一直线上,且点C与点F重合.此时将△ABC以每秒1个单位长度的速度沿直线BD向左平移,直至点B与点D重合时停止运动.设△ABC运动的时间为t,(1)当t为何值时,点E落在线段AC上?(2)设在平移的过程中△ABC与△DEF重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并写出相对应t的取值范围;(3)当点B与点D重合时如图3,将△ABC绕点B旋转得到△A1BC1,直线EF分别与直线A1B、直线A1C1交于点M、N,是否存在这样的点M、N,使得△A1MN为等腰三角形?若存在,请求出此时线段EM的长度;若不存在,请说明理由.【答案】56\n32.解:(1)由题意知,Rt△ABC与Rt△DEF中,∠CAB=∠DFE=30°当点E落在AC上时,∠DCE=60°∴CD=DE,即,∴................2分(2).................8分(3)存在这样的点M、N,理由如下:如下图,由题意得△A1MN∽△FMB,即当△A1MN为等腰三角形时,△FMB也为等腰三角形.三、当A1M=A1N时,即FB=FM=6,若点M在线段EF上时,EM=;若点M在线段EF的延长线上时,EM=.四、当MA1=MN时,即MB=MF,则点M在线段BF的中垂线上,过M作MT⊥BF于点T,则BT=FT=3,∴MT=,MF=,∴EM=EF-MF=.③.当NA1=NM时,即BM=BF=6,此时点M在线段FE的延长线上,∠BMF=∠BFM=30°,可得MF=,则EM=MF-EF=.∴综上所述,存在这样的点M、N,使得△A1MN为等腰三角形,此时线段EM的长度为或..............12分33.(2022上海黄浦二摸)56\n(本题满分12分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分8分)已知二次函数的图像经过点P(0,1)与Q(2,-3).(1)求此二次函数的解析式;(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,且所得四边形ABCD恰为正方形.①求正方形ABCD的面积;②联结PA、PD,PD交AB于点E,求证:△PAD∽△PEA.答案:24.解:(1)由题意知,------------------------------------------------------(2分)解得,----------------------------------------------------------------------------(1分)所以二次函数解析式是.-----------------------------------------------(1分)(2)①设,则.-------------------------------------------(1分)由四边形ABCD为正方形.得,---------------------------------------------------------------------(1分)解得(舍负),---------------------------------------------------------(1分)所以正方形ABCD的面积为.-------------------------(1分)②设AB交y轴于点H.则,,所以,∠DOP=∠AHP.所以△DOP∽△AHP,----------------------------------------------------------------(2分)则∠DPO=∠HAP,又∠DPO=∠PDA,所以∠PDA=∠HAP,又∠DPA=∠APE,所以△PAD∽△PEA.-------------------------56\n-----------------------------------------(2分)34.(2022年上海静安区二摸)(本题满分14分,每小题满分7分)如图,点A(2,6)和点B(点B在点A的右侧)在反比例函数的图像上,点C在轴上,BC//轴,,二次函数的图像经过A、B、C三点.(1)求反比例函数和二次函数的解析式;ACBOxy(2)如果点D在轴的正半轴上,点E在反比例函数的图像上,四边形ACDE是平行四边形,求边CD的长.答案:(第25题图)35.解:(1)设反比例函数的解析式为.∵点A(2,6)在反比例函数的图像上,∴6=,………………………(1分)∴,∴反比例函数的解析式为.……………………………(1分)作AM⊥BC,垂足为M,交轴于N,∴CM=2.在Rt△ACM中,.………………………(1分)∵BC//轴,OC=AN–AM=6–4=2,∴点C的坐标(0,2).……(1分)当时,,∴点B的坐标(6,2).………………………………(1分)56\n设二次函数的解析式为,………………(1分)∴∴二次函数的解析式为.………………(1分)(2)延长AC交轴于G,作EH⊥轴,垂足为H.……………………………(1分)∵在□ACDE中,AC//DE,∴∠AGO=∠EDH.……………………………(1分)∵BC//轴,∴∠ACM=∠AGO.∴∠ACM=∠EDH.………………………(1分)∵∠AMC=∠EHD=90º,AC=ED,∴△ACM≌△EDH.……………………(1分)∴EH=AM=4,DH=CM=2.∴点E(3,4).…………………………………(1分)∴OE=3,OD=OE–DH=1.……………………………………………………(1分)∴CD=.………………………………………(1分)36.(2022年上海闵行区二摸)(本题共3小题,满分12分,其中第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分)已知:在平面直角坐标系中,一次函数的图像与y轴相交于点A,二次函数的图像经过点A、B(1,0),D为顶点.Axy-1-33O(第24题图)(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点D的坐标;(2)将上述二次函数的图像沿y轴向上或向下平移,使点D的对应点C在一次函数的图像上,求平移后所得图像的表达式;(3)设点P在一次函数的图像上,且,求点P的坐标.答案:24.解:(1)由,得.∴点A的坐标为A(0,3).………………………………………(1分)∵二次函数的图像经过点A(0,3)、B(1,0),∴……………………………………………………(1分)56\n解得∴所求二次函数的解析式为.……………………(1分)顶点D的坐标为D(-1,4).…………………………………………(1分)(2)设平移后的图像解析式为.根据题意,可知点C(-1,k)在一次函数的图像上,∴.…………………………………………………………(1分)解得.……………………………………………………………(1分)∴所求图像的表达式为或.……(1分)(3)设直线与x轴交于点E.由(2)得C(-1,2).又由A(0,3),得.根据题意,设点P的坐标为P(m,m+3).∵△ABP与△ABC同高,于是,当时,得.……………(1分)此时,有两种不同的情况:(ⅰ)当点P在线段CA的延长线上时,得,且.过点P作PQ1垂直于x轴,垂足为点Q1.易得.∴.解得.即得∴P1(2,5).………………………………………………………(2分)(ⅱ)当点P在线段AC的延长线上时,得,且.过点P作PQ2垂直于x轴,垂足为点Q2.易得.∴.解得.即得.∴P2(-2,1).………………………………………………………(2分)综上所述,点P的坐标为(2,5)或(-2,1).另解:(3)由(2)得C(-1,2).又由A(0,3),得.根据题意,设点P的坐标为P(m,m+3).∵△ABP与△ABC同高,于是,当时,得.……………(1分)∴.即得.………………………………………(1分)解得,.………………………………………………(1分)∴m+3=5或1.……………………………………………………(1分)∴点P的坐标为(2,5)或(-2,1).……………………………(1分)37.(2022年上海徐汇区二摸)(本题满分12分56\n抛物线()经过点,对称轴是直线,顶点是,与轴正半轴的交点为点.(1)求抛物线()的解析式和顶点的坐标;(6分)(2)过点作轴的垂线交轴于点,点在射线上,当以为直径的⊙和以为半径的⊙相切时,求点的坐标.(6分)答案:24.解:(1)由题意,得,…………………………………………………(2分)解得……………………………………………………………(2分)∴………………………………………………………(1分)∴顶点.…………………………………………………………(1分)(2)设⊙的半径为.由题意,可得,,∴⊙的半径为;;……(2分)当⊙和⊙相切时,分下列两种情况:当⊙和⊙外切时,此时点在线段上,可得.解得,∴.……………………………………………(2分)当⊙和⊙外切时,此时点在线段的延长线上,可得.解得,∴.…………………………………………(2分)综合,当⊙和⊙相切时,或.38、(2022辽宁葫芦岛一模)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为等腰直角三角形,直角边长(单位:cm)在10~60之间,每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm256\n)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的直角边长成正比例,在营销过程中得到了下面表格中的数据.薄板的直角边长(cm)2050出厂价(元/张)100220(1)求一张薄板的出厂价与直角边长之间满足的函数关系式;(2)已知出厂一张直角边长为20cm的薄板,获得的利润是80元(利润=出厂价-成本价).①求一张薄板的利润与直角边长之间满足的函数关系式;②当直角边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少参考公式:抛物线的顶点坐标是解:依题意,设等腰直角三角形薄板的直角边长为,则,(10<<60),则………………3分(1)在(10<<60)中,时,;时,∴,∴,∴(10<<60);………………5分(2),且时,,∴解得:,∴;………………7分(3)在中,由参考公式,,且(10<40<60),所以,出厂一张直角边长为40cm的薄板获得的利润最大,最大利润是(元).………………10分39、(2022山东德州特长展示)(本小题满分12分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,tan∠BAC=,将∠ABC对折,使点C的对应点H恰好落在直线AB上,折痕交AC于点O,以点O为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系(1)求过A、B、O三点的抛物线解析式;56\n(2)若在线段AB上有一动点P,过P点作x轴的垂线,交抛物线于M,设PM的长度等于d,试探究d有无最大值,如果有,请求出最大值,如果没有,请说明理由.(3)若在抛物线上有一点E,在对称轴上有一点F,且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形,试求出点E的坐标.BACOHxy解:(1)在Rt△ABC中,∵BC=3,tan∠BAC=,∴AC=4.∴AB=.设OC=m,连接OH,如图,由对称性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,∴AH=AB-BH=2,OA=4-m.∴在Rt△AOH中,OH2+AH2=OA2,即m2+22=(4-m)2,得m=.∴OC=,OA=AC-OC=,∴O(0,0)A(,0),B(-,3).…………………………………………2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为:y=ax(x-).把x=,y=3代入解析式,得a=.∴y=x(x-)=.即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=.…………………………4分(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,根据题意得:-56\n解之得k=-,b=.∴直线AB的解析式为y=.………………………………………………6分设动点P(t,),则M(t,).………………………………7分∴d=()—()=—=yBACOHxE2E1E3D∴当t=时,d有最大值,最大值为2.………………………………………………8分(3)设抛物线y=的顶点为D.∵y==,∴抛物线的对称轴x=,顶点D(,-)根据抛物线的对称性,A、O两点关于对称轴对称.①当AO为平行四边形的对角线时,抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形.这时点D即为点E,所以E点坐标为().……………………………………………………………………………10分②当AO为平行四边形的边时,由OA=,知抛物线存在点E的横坐标为或,即或,分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中,得点E(,)或E(-,).所以在抛物线上存在三个点:E1(,-),E2(,),E3(-,),使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形.……………………………………………12分40、(2022凤阳县县直义教教研中心)如图,已知:直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线y=-x+3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,求出点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.56\n解:(1):由题意得,A(3,0),B(0,3)∵抛物线经过A、B、C三点,∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三点分别代入得方程组解得:∴抛物线的解析式为……………………………(4分)(2)由题意可得:△ABO为等腰三角形,如图所示,若△ABO∽△AP1D,则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2,过点P2作P2M⊥x轴于M,AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得:DM=AM=2=P2M,即点M与点C重合∴P2(1,2)……………………(8分)(3)如图设点E,则①当P1(-1,4)时,S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE56\n=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得:,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2(1,2)时,S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得:即,∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述,在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………(14分)41、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,DE=2,线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始),速度为每秒1个单位,当端点E到达点C时运动停止.F为DE中点,MF⊥DE交AB于点M,MN∥AC交BC于点N,连接DM、ME、EN.设运动时间为t秒.(1)求证:四边形MFCN是矩形;(2)设四边形DENM的面积为S,求S关于t的函数解析式;当S取最大值时,求t的值;(3)在运动过程中,若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似,求t的值.ABCDEMFN第21题图备用图(1)证明:∵MF⊥AC,∴∠MFC=90°.…………1分56\n∵MN∥AC,∴∠MFC+∠FMN=180°.∴∠FMN=90°.…………2分∵∠C=90°,∴四边形MFCN是矩形.…………3分(若先证明四边形MFCN是平行四边形,得2分,再证明它是矩形,得3分)(2)解:当运动时间为t秒时,AD=t,ABCDEMFN∵F为DE的中点,DE=2,∴DF=EF=DE=1.∴AF=t+1,FC=8-(t+1)=7-t.∵四边形MFCN是矩形,∴MN=FC=7-t.…………4分又∵AC=BC,∠C=90°,∴∠A=45°.∴在Rt△AMF中,MF=AF=t+1,…………5分∴S=S△MDE+S△MNE=DE·MF+MN·MF=×2(t+1)+(7-t)(t+1)=-t2+4t+…………6分∵S=-t2+4t+=-(t-4)2+∴当t=4时,S有最大值.…………7分(若面积S用梯形面积公式求不扣分)(3)解:∵MN∥AC,∴∠NME=∠DEM.…………8分①当△NME∽△DEM时,∴=.…………9分∴=1,解得:t=5.…………10分②当△EMN∽△DEM时,∴=.…………11分∴EM2=NM·DE.在Rt△MEF中,ME2=EF2+MF2=1+(t+1)2,∴1+(t+1)2=2(7-t).解得:t1=2,t2=-6(不合题意,舍去)综上所述,当t为2秒或5秒时,以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似.……12分42、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(14分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于C(0,2),连接AC、BC.(1)求抛物线解析式;56\n(2)BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点,求直线DE的解析式;(3)若点P在抛物线的对称轴上,且∠CPB=∠CAB,求出所有满足条件的P点坐标.ABCOxy第22题图ABCOxy备用图解:(1)由题意,得:…………1分解得:.…………3分∴这个抛物线的解析式为y=x2-x+2.…………4分(2)解法一:图1如图1,设BC的垂直平分线DE交BC于M,交x轴于N,连接CN,过点M作MF⊥x轴于F.∴△BMF∽△BCO,∴===∵B(4,0),C(0,2),∴CO=2,BO=4,∴MF=1,BF=2,∴M(2,1)………………5分∵MN是BC的垂直平分线,∴CN=BN,设ON=x,则CN=BN=4-x,在Rt△OCN中,CN2=OC2+ON2,∴(4-x)2=22+x2,解得:x=,∴N(,0).………………6分设直线DE的解析式为y=kx+b,依题意,得:,解得:∴直线DE的解析式为y=2x-3.………………8分解法二:如图2,设BC的垂直平分线DE交BC于M,交x轴于N,连接CN,过点C作CF∥x轴交DE于F.56\n∵MN是BC的垂直平分线,∴CN=BN,CM=BM.设ON=x,则CN=BN=4-x,图2在Rt△OCN中,CN2=OC2+ON2,∴(4-x)2=22+x2,解得:x=,∴N(,0).………………5分∴BN=4-=.∵CF∥x轴,∴∠CFM=∠BNM.∵∠CMF=∠BMN,∴△CMF≌△BMN.∴CF=BN.图3∴F(,2).…………………6分设直线DE的解析式为y=kx+b,依题意,得:,解得:.∴直线DE的解析式为y=2x-3.………………8分(3)由(1)得抛物线解析式为y=x2-x+2,∴它的对称轴为直线x=.图4①如图3,设直线DE交抛物线对称轴于点G,则点G(,2),以G为圆心,GA长为半径画圆交对称轴于点P1,则∠CP1B=∠CAB.…………9分GA==,∴点P1的坐标为(,-).…………10分②如图4,由(2)得:BN=,∴BN=BG,∴G、N关于直线BC对称.…………11分∴以N为圆心,NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称.…………12分⊙N交抛物线对称轴于点P2,则∠CP2B=∠CAB.…………13分设对称轴与x轴交于点H,则NH=-=1.∴HP2==,56\n∴点P2的坐标为(,).综上所述,当点的坐标为(,-)或(,)时,∠CPB=∠CAB.………14分43、(2022年湖北省武汉市中考全真模拟)(本题满分12分)如图1,抛物线:与直线AB:交于x轴上的一点A,和另一点B(3,n).(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上的一个动点(点P在A,B两点之间,但不包括A,B两点),PM⊥AB于点M,PN∥y轴交AB于点N,在点P的运动过程中,存在某一位置,使得△PMN的周长最大,求此时P点的坐标,并求△PMN周长的最大值;(3)如图2,将抛物线绕顶点旋转180°后,再作适当平移得到抛物线,已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上,且抛物线与抛物线交于点D,过D点作轴的平行线交抛物线于点F,过E点作轴的平行线交抛物线于点G,是否存在这样的抛物线,使得四边形DFEG为菱形?若存在,请求E点的横坐标;若不存在请说明理由.、解:⑴由题意得:A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D,则D(0,),∴OA=1,OD=,AD=,∴=,∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.56\n∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为:y=-(x-)+,为:y=(x-n)+t.∵E在抛物线上,∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2(n-).∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得:n=.∴t=-.∴存在点E,坐标为E(,-).44、(2022年湖北武汉模拟)(本题满分10分)我市高新技术开发区的某公司,用480万元购得某种产品的生产技术后,并进一步投入资金1520万元购买生产设备,进行该产品的生产加工,已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现:该产品的销售单价,需定在100元到200元之间为合理.当单价在100元时,销售量为20万件,当销售单价超过100元,但不超过200元时,每件新产品的销售价格每增加10元,年销售量将减少0.8万件;设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利为W(万元)(年利润=年销售量―生产成本―投资成本)(1)直接写出y与x之间的函数关系式;(2)求第一年的年获利W与x之间的函数关系式,并说明投资的第一年该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损是多少?(3)若该公司希望到第二年的年底,除去第一年的最大盈利(或最小亏损)后,两年的总盈利不低于1842万元,请你确定此时销售单价的范围,在此情况下,要使产品销售量最大,销售单价应定为多少元?答案:解:(1)即y=-0.08x+28(100<x≤200)(2)W=(x-40)(-0.08x+28)―480―1520=-0.08x2+31.2x-3120=-0.08(x-195)2-7856\n∵100<x≤200∴当x=195时,第一年最少亏损78万元。(3)依题意得(x-40)(-0.08x+28)―78=1842∴解之得x1=190x2=200∵a<0,∴销售单价的范围为:190≤x≤200∵k=-0.08<0,∴y随x增大而减小,∴要使销量最大,售价要最低,即x=190元45.(2022年吉林沈阳模拟)(12分)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间满足的函数关系如下表:7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0).其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用:z1(元)与月份x之间满足函数关系式:,该企业自身处理每吨污水的费用:z2(元)与月份x之间满足函数关系式:;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用;(3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a﹣30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18000元,请计算出a的整数值.56\n(参考数据:≈15.2,≈20.5,≈28.4)答案:解:(1)根据表格中数据可以得出xy=定值,则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系:。将(1,12000)代入得:k=1×12000=12000,∴(1≤x≤6,且x取整数)。根据图象可以得出:图象过(7,10049),(12,10144)点,代入y2=ax2+c得:,解得:。∴y2=x2+10000(7≤x≤12,且x取整数)。(2)当1≤x≤6,且x取整数时:=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000(x﹣5)2+2200。∵a=﹣1000<0,1≤x≤6,∴当x=5时,W最大=22000(元)。当7≤x≤12时,且x取整数时:W=2×(12000﹣y1)+1.5y2=2×(12000﹣x2﹣10000)+1.5(x2+10000)=﹣x2+1900。∵a=﹣<0,对称轴为x=0,当7≤x≤12时,W随x的增大而减小,∴当x=7时,W最大=18975.5(元)。∵22000>18975.5,∴去年5月用于污水处理的费用最多,最多费用是22000元。(3)由题意得:12000(1+a%)×1.5×[1+(a﹣30)%]×(1﹣50%)=18000,设t=a%,整理得:10t2+17t﹣13=0,解得:。∵≈28.4,∴t1≈0.57,t2≈﹣2.27(舍去)。∴a≈57。答:a整数值是5756\n46.(2022年江苏东台第二学期阶段检测)(12分)如图,抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A(4,0)、B(﹣2,0)两点,与y轴交于点C,点P是线段AB上一动点(端点除外),过点P作PD∥AC,交BC于点D,连接CP.(1)求该抛物线的解析式;(2)当动点P运动到何处时,BP2=BD•BC;(3)当△PCD的面积最大时,求点P的坐标.答案:28.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A(4,0)、B(﹣2,0)两点∴,解得。∴抛物线的解析式为。(2分)(2)设点P运动到点(x,0)时,有BP2=BD•BC,在中,令x=0时,则y=﹣4,∴点C的坐标为(0,﹣4)。∵PD∥AC,∴△BPD∽△BAC。∴。∵,AB=6,BP=x﹣(﹣2)=x+2∴,即。∵BP2=BD•BC,∴,解得x1=,x2=﹣2(不合题意,舍去)。∴点P的坐标是(,0)。∴当点P运动到(,0)时,BP2=BD•BC。(7分)(3)∵△BPD∽△BAC,∴∴,又∵,56\n∴。∵<0,∴当x=1时,S△BPC有最大值为3。∴点P的坐标为(1,0)时,△PDC的面积最大。(12分)47.(2022年江苏无锡崇安一模)(本题满分10分)如图,一条抛物线经过原点和点C(8,0),A、B是该抛物线上的两点,AB∥x轴,OA=5,AB=2.点E在线段OC上,作∠MEN=∠AOC,使∠MEN的一边始终经过点A,另一边交线段BC于点F,连接AF.(1)求抛物线的解析式;(2)当点F是BC的中点时,求点E的坐标;(3)当△AEF是等腰三角形时,求点E的坐标.AOyBCxEFMN答案:27.(共10分)(1)抛物线中,AB∥OC,由对称性可知有等腰梯形AOCB.而OA=5,AB=2,OC=8则A(3,4),B(5,4)………………………………………(1分)抛物线的解析式是y=-x2+x……………………………(2分)(2)可以证明△AOE∽△ECF……………………………………………………(3分)则=,不妨设E(x,0),其中0≤x≤8,由=,整理得x2-8x+12.5=0,解得x=…………………(4分)从而点E的坐标为(,0)…………………………………………(5分)(3)由(2)中相似还可知AO:EC=AE:EF,若△AEF为等腰三角形,则有三种可能.①当EA=EF时,有EC=AO=5,∴E(3,0)…………………………(7分AOyBCxEFMNH②当AE=AF时,作AH⊥EF于H,有AE:EF=5:6∴EC=AO=6,∴E(2,0)……(9分)③当FA=FE时,同理可得AE:EF=6:5∴EC=AO=,∴E(,0)……(10分)综上所述,符合要求的点E有三个.56\n48.(2022珠海市文园中学一模)如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.答案:解:(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的,又A(0,1),B(2,0),O(0,0),∴A′(﹣1,0),B′(0,2).设抛物线的解析式为:,∵抛物线经过点A′、B′、B,,解之得,满足条件的抛物线的解析式为..(3分)(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点,设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足.连接PB,PO,PB′,.假设四边形的面积是面积的倍,则,即,解之得,此时,即.∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.(4分)49.(2022年广西钦州市四模)如图12,把抛物线56\n(虚线部分)向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线,抛物线与抛物线关于轴对称.点、、分别是抛物线、与轴的交点,、分别是抛物线、的顶点,线段交轴于点.(1)分别写出抛物线与的解析式;(2)设是抛物线上与、两点不重合的任意一点,点是点关于轴的对称点,试判断以、、、为顶点的四边形是什么特殊的四边形?说明你的理由.图12(3)在抛物线上是否存在点,使得,如果存在,求出点的坐标,如果不存在,请说明理由.解:(1)(或);………………………………(1分)(或);………………………………(2分)(2)以、、、为顶点的四边形为矩形或等腰梯形.………………………(3分)理由:点与点,点与点关于轴对称,轴.①当点是的对称轴与的交点时,点、的坐标分别为(1,3)和(1,3),而点、的坐标分别为()和(1,1),所以四边形是矩形.………………………………………………………………………………………56\n(4分)②当点不是的对称轴与的交点时,根据轴对称性质,有:(或),但四边形(或四边形)是等腰梯形.…………………………………(5分)(3)存在.设满足条件的点坐标为,连接依题意得:,.……………………………………………………………(6分)①当时,…………………………………………………………………………………(7分)将代入的解析式,解得:,……………………………………………………………(8分)②当时,………………………………………………………………………………(9分)将代入的解析式,解得:,……………………………………(10分)50.(2022年广西梧州地区一模)某商场以每件50元的价格购进一种商品.销售中发现这种商品每天的销售量M(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数,且x=60时,M=40;x=80时,M=20.(1)求M与x之间的函数关系式。(2)若该商场每天销售这种商品获利y(元),求y与x之间的函数关系式.(3)根据物价部门规定,这种商品的销售单价不得高于70元,如果想要每天获得的利润不低于400元,求销售单价的取值范围.解:(1)设M=kx+b56\n由题意得:解这个方程组得,所以M=-x+100…………………3分(2)由题意,得:Y=(-x+100)(x-50)=-+150x-5000……………6分(3)由题意得,解这个不等式组得,60≤x≤70所以销售价格的范围是60≤x≤70…………10分51.(2022年广西梧州地区一模)如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,点在边BA上以每秒2个单位的速度由B向A移动,过E作EF∥BC交AC于F,再过F作FD∥AB交BC于D,设E移动的时间为x(秒),EF为y.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)当x=时,四边形BDFE是菱形.(3)设四边形BDFE的面积为S,求S与x之间的函数关系式;并求E在AB边上何处时,四边形BDFE的面积最大?最大面积是多少?解:(1)∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴∴∴……………3分(2)………………5分(3)在△ABC中∵AB=6,AC=8,BC=10∴AB2+AC2=BC2∴∠BAC=90°作EG⊥BD于G在△ABC和△GBE中56\n∠ABC=∠GBE∠BAC=∠BGE∴△ABC∽△GBE∴∴∴………………8分∴=……………………10分∴当x=1.5时,S的最大值为12此时2x=3当点E在AB的中点时,四边形BDEF的面积最大,最大面积值为12…………………………12分52.(2022年杭州拱墅区一模)如图,在Rt△AOB中,已知AO=6,BO=8,点E从A点出发,向O点移动,同时点F从O点出发沿OB-BA向点A移动,点E的速度为每秒1个单位,点F的速度为每秒3个单位,当其中一点到达终点时,另一点随即停止移动.设移动时间为x秒:(1)当x=2时,求△AEF的面积;(2)当EF∥BO时,求x的值;(3)设△AEF的面积为y,求出y关于x的函数关系式.(解:1)当x=2时,AE=2,OF=6,∴S△APQ=6--------------------------------------------3分(2)∵Rt△AOB中,已知AO=6,BO=8,∴AB=10当EF∥BO时,△AEF∽△ABO,∴,解得------------------------3分56\n(3)当F与B重合时,,∴分两段讨论:①0<x≤时,F在OB上移动,--------------------3分(含x范围1分,如果没有分段,应写出取值范围)②<x≤6时,过F作OA的垂线FH,则FH∥OB,则即,∴FH=∴=-----------------------------------------3分(含x范围1分,如果没有分段,应写出取值范围)53.(2022年杭州拱墅区一模)如图,已知抛物线的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,).(1)直接写出抛物线的解析式及点A的坐标;(2)设抛物线上的点Q,使△QAO与△AOB相似(不全等),求出点Q的坐标;(3)在(2)的条件下,已知点M(0,),连结QM并延长交抛物线另一点R,在直线QR下方的抛物线上找点P,当△PQR面积最大时,求点P的坐标及S△PQR的最大值.解:(1)由顶点B(3,)及抛物线过原点O,∴解得----------------2分∴A点坐标为(6,0)-----------------------------------------------------------------1分(2)过B作BC⊥x轴于点C,Rt△OCB中,tan∠OBC=,∴∠OBC=60°,∴∠OBA=120°,△AOB是顶角为120°的等腰三角形,当点Q在x轴下方时,必与点B重合(舍去全等情况),∴当Q在x轴上方时,过Q作QD⊥x轴,∵△QAO∽△AOB,∴必有OA=AQ=6,且∠OAQ=120°,∴∠QAD=60°,∴AD=3,QD=3,∴Q(9,3)----------------------------2分56\n∵Q(9,3)满足,∴Q在抛物线上,-------------------------1分根据对称性Q2(也满足条件,∴符合条件的Q点有两个:Q1(9,3)、Q2(-------------------1分(3)将M(0,)、Q1(9,3)代入,得直线QR的解析式为,求与抛物线的交点R:令解得,(即Q点舍去),∴R(-1,)--------------------------------------1分设P点在直线QR下方且在抛物线上,则P(x,),过P作直线平行于y轴,交QR于点K,则K(x,则S△PQR=S△QPK+S△RPK=PK(=[―()]×10=―当x=4时,S△PQR最大=----------------------------------------------------------------------1分∴点P的坐标为(4,)------------------------------------------------------------------------1分同理过Q2(、M的直线交抛物线R2,在Q2R2下方抛物线取点P2,解得P2(0,0),S△PQR最大=3---------------------------------------------------------------2分54.(2022年唐山市二模)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.⑴求抛物线的函数表达式;⑵求直线BC的函数表达式;⑶点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.56\n①当线段PQ=AB时,求tan∠CED的值;②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.温馨提示:考生可以根据第⑶问的题意,在图中补出图形,以便作答.BAOCD11x=1xy第26题图第26题图备用图BAOCD11x=1xy解:⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴∴b=-2.∵抛物线与y轴交于点C(0,-3),∴c=-3,∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.⑵∵抛物线与x轴交于A、B两点,当y=0时,x2-2x-3=0.∴x1=-1,x2=3.∵A点在B点左侧,∴A(-1,0),B(3,0)设过点B(3,0)、C(0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m,则,∴∴直线BC的函数表达式为y=x-3.⑶①∵AB=4,PO=AB,∴PO=3∵PO⊥y轴∴PO∥x轴,则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为,∴P(,)56\nBAOCD11x=1xyEFPQG∴F(0,),∴FC=3-OF=3-=.∵PO垂直平分CE于点F∴CE=2FC=∵点D在直线BC上,∴当x=1时,y=-2,则D(1,-2).过点D作DG⊥CE于点G∴DG=1,CG=1,∴GE=CE-CG=-1=.在Rt△EGD中,tan∠CED=.②P1(1-,-2),P2(1-,)56
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