全国名校2022年中考数学模拟试卷分类汇编32 直线与圆的位置关系
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直线与圆的位置关系一、选择题1、(2022·湖州市中考模拟试卷3)如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,⊙A与x轴交于B(2,0)、C(8,0)两点,与y轴相切于点D,则点A的坐标是().A.(5,4)B.(4,5)C.(5,3)D.(3,5)答案:A2、(2022·湖州市中考模拟试卷8)如图,在ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是()A.4.8B.4.75C.5D.42答案:A3、(2022·湖州市中考模拟试卷8)同学们玩过滚铁环吗?当铁环的半径是30cm,手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上,另一端到铁环的圆心的距离为50cm时,铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为()A、相离B、相交C、相切D、不能确定答案:C4、(2022年深圳育才二中一摸)如图,已知AD是△ABC的外接圆的直径,AD=13cm,5CcosB,则AC的长等于()13ADA.5cmB.6cmC.12cmD.10cmB1(第1题)\n答案:C5、(2022年河南西华县王营中学一摸)如图PA、PB分别切圆O于A、B两点,C为劣弧AB上一点,∠APB=30°,则∠ACB=().A.60°B.75°C.105°D.120°答案:C6、(2022年广西南丹中学一摸)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,点C是劣弧AB上的一个动点,若∠P=40°,则∠ACB的度数是A.80°B.110°C.120°D.140°B答案:BDOC7、(2022年河北省一摸)|如图4,在直径AB=12的⊙O中,弦CD⊥AAB于M,且M是半径P第10题图OB的中点,]则弦CD的长是A.3B.33C.6D.63答案:D8、.(2022年河北三摸)如图:⊙O与AB相切于点A,BO与⊙O交于点C,∠BAC=30°,则∠B等于A.20°B.50°C.30°D.60°答案:C二、填空题1、(2022年河北省一摸)|如图8,OA是⊙B的直径,OA=4,CD是⊙B的切线,D为切点,∠DOC=30°,则点C的坐标为.答案:(6,0)图82\n三、解答题1、(2022江苏东台实中)已知⊙O中,AC为直径,MA、MB分别切⊙O于点A、B.(1)如图①,若∠BAC=25°,求∠AMB的大小;(2)如图②,过点B作BD⊥AC于E,交⊙O于点D,若BD=MA,求∠AMB的大小.答案:(1)∠AMB=50°(4分)(2)连结AB,AD,∵BD∥AM,BD=AM∴四边形AMBD为平行四边形,∵AM=BM,AM=DB,∴BD=BM则证明四边形AMBD为菱形,∵AB=AD,则∠AMB=60°(4分)122、(2022江苏东台实中)如图,抛物线yxmxn交x轴于A、B两点,交y轴于点C,2点P是它的顶点,点A的横坐标是3,点B的横坐标是1.(1)求m、n的值;(2)求直线PC的解析式;(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系,并说明理由.(参考数据21.414,31.732,52.236)答案:313(1)m1,n(4分)(2)yx(3分)(3)⊙A与直线PC相交(可222用相似知识,也可三角函数,求得圆心A到PC的距离d与r大小比较,从而确定直线和圆的位置关系。)(3分)3、(2022·吉林中考模拟)如图,AB为⊙O的直径,AC为⊙O的弦,AD平分∠BAC,交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E.3\n(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AE=8,⊙O的半径为5,求DE的长.答案:解:(1)直线DE与⊙O相切.……………………………………1分理由如下:连接OD.∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠OAD.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.∴∠ODA=EAD.…………………………………………2分∴EA∥OD.…………………3分∵DE⊥EA,∴DE⊥OD.又∵点D在⊙O上,∴直线DE与⊙O相切.…………4分(2)方法一:如图1,作DF⊥AB,垂足为F.∴∠DFA=∠DEA=90°.∵∠EAD=∠FAD,AD=AD,4\n∴△EAD≌△FAD.…………………………5分∴AF=AE=8,DF=DE.……………………6分∵OA=OD=5,∴OF=3.在Rt△DOF中,DF==4.……7分∴DE=DF=4.…………………………………8分方法二:如图2,连接DB.∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.………………………………5分∴∠ADB=∠AED.∵∠EAD=∠DAB,∴△EAD∽△DAB.…………………………6分EADA∴DA=BA.8DA即DA=10.解得DA=4.……………7分在Rt△ADE中,DE==4.………8分方法三:如图3,作OF⊥AD,垂足为F.5\n1∴AF=2AD,∠AFO=∠AED.……………………5分∵∠EAD=∠FAO,∴△EAD∽△FAO.……………………6分EADA∴FA=OA.11DA即2DA=5.解得DA=4.……………………7分在Rt△ADE中,DE==4.…………8分4、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,过B点作BE∥CD,交AC的延长线于点E,连接BC。CECAABBOOMMD第20题图(1)求证:BE为⊙O的切线;1(2)如果CD6,tanBCD,求⊙O的直径。2答案:证明:BE∥CD,ABCD,ABBE.又AB为直径,BE为⊙O的切线.·······················································································3分(2)AB为直径,ABCD,11CMCD63.·············································································4分22弧BC=弧BD.BACBCD.1BM1tanBCD,.2CM213BMCM.22CM1tanBACtanBCD,AM2AM6.··································································································7分315⊙O的直径ABAMBM6.·························································8分225、(2022·温州市中考模拟)已知:如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中点,BE平分∠ABD交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F.6\nCDEGAFOB(1)求证:AC与⊙O相切;3(2)当BD=6,sinC=时,求⊙O的半径.5答案:(1)证明:连接OE,∵AB=BC且D是BC中点,∴BD⊥AC,∵BE平分∠ABD,∴∠ABE=∠DBE,∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∴∠OEB=∠DBE,∴OE∥BD,∴OE⊥AC,∴AC与⊙O相切3(2)∵BD=6,sinC=,BD⊥AC,5∴BC=10,∴AB=10,设⊙O的半径为r,则AO=10-r,∵AB=BC∴∠C=∠A,3∴sinA=sinC=5,∵AC与⊙O相切于点E,∴OE⊥AC,7\nOEr3∴sinA===OA10r515∴r=.46、(2022·湖州市中考模拟试卷1)如图,AB为⊙O的直径,D、T是圆上的两点,且AT平分∠BAD,过点T作AD延长线的垂线PQ,垂足为C.(1)求证:PQ是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,TC3,求弦AD的长答案:证明:(1)连接OT,OTOA…………………………‥1分∴ATOOAT又TACBAT∴ATOTAC‥‥‥3分∴OT∥ACACPQ∴OT⊥PQ∴PQ是⊙O的切线……………………‥6分(2)解:过点作OMAC于M,则AMMD‥…………………‥‥7分又OTCACTOMC90∴四边形OTCM为矩形∴OMTC3………………………‥10分22∴在Rt△AOM中,AMOAOM431.∴弦AD的长为2………………………‥12分7、(2022·湖州市中考模拟试卷3)已知:如图,在⊿ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DEAC于点E.8\n(1)请说明DE是⊙O的切线;(2)若B30,AB=8,求DE的长.答案:解:(1)解法一:连接OD,则OD=OB.∴BODB,……………………………………………1分∵AB=AC,∴BC.……………………………2分∴ODBC,∴OD//AC…………………………4分∴ODEDEC90.……………………………5分∴DE是⊙O的切线.……………………………6分解法二:连接OD,AD.∵AB是⊙O的直径,∴ADB90.……………………1分又∵AB=AC,∴BD=CD.……………………………2分∵OA=OB,∴OD是△ABC的中位线.……………………4分∴OD//AC,∴ODEDEC90.…………………5分∴DE是⊙O的切线.……………………………6分(2)连接AD(对应(1)的解法一)∵AB是⊙O的直径,∴ADB90.………………7分3∴BDABcosB843.………………9分2又∵AB=AC,∴CD=BD=43,CB30.……11分1∴DECD23……………………………12分2解法二:连接AD.AB是⊙O的直径,∴ADB90.………………7分∴BAD60.………………………………8分1又∵OA=OD,∴ADOAAB4,ODA60.………10分2∴ADEODEODA30.…………………………11分∴DEADcosADE23.……………………………12分解法三:连接AD.AB是⊙O的直径,∴ADB90.………………7分又∵ABAC,BADCAD.ADBAED90,∴⊿ADB∽⊿AED.………………9分9\nDEAD∴.………………10分BDAB1而ADAB4,BDABcosB43.………………11分2ADBD443∴DE23.………………12分AB88、(2022·湖州市中考模拟试卷7)如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.(1)尺规作图:过A,D,C三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法);(2)求证:BC是过A,D,C三点的圆的切线;答案:解:(1)作出圆心O,…………………………………………2分以点O为圆心,OA长为半径作圆.……………………………………1分(2)证明:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.∴AD是⊙O的直径……………1分连结OC,∵∠A=∠B=30°,∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°,…………1分∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.∴BC⊥OC,∴BC是⊙O的切线.……………………………………1分9、(2022·湖州市中考模拟试卷10)图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,将这个游戏抽象为数学问题如图②,已知铁环的半径为25cm,设铁环中心为O,铁环与地面接触点为F,铁环钩与铁环的接触点为A,铁环钩与手的接触点是B,铁环钩AB长75cm,BG表示点B距离地面的高度.10\n(1)当铁环钩AB与铁环相切时(如图③),切点A离地面的高度AM为5cm,求水平距离FG的长;(2)当点A与点O同一水平高度时(如图④),铁环容易向前滚动,现将如图③铁环钩的一端从A点提升到与O点同一水平高度的C点,铁环钩的另一端点从点B上升到点D,且水平距离FG保持不变,求BD的长(精确到1cm).解:(1)如图四边形HFGI,HFMA是矩22形,OHOFHFOFAM25520RtOHA中,HAOAOH152分0方法一∵AB是圆的切线,∴OAB900∴OAHBAIOAHAOH90,得BAIAOH,又OHAAIB90,∴OAABOHA∽△AIB,得OHAI2575即得AI602分20AIFGHIHAAI156075(cm)1分(2)如图3,四边形OFGP是矩形,CPOPOCFGOC7525501分2222RtCPD中DPCDCP755025555.90;3RtAIB中,IBABsinBAI75452分5BGBIAM45550,DGDPOF55.902580.9011\nBDDGBG80.905030.9031(cm)2分10、(2022年深圳育才二中一摸)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,CF⊥AF,且CF=CE.(1)求证:CF是⊙O的切线;SCBD(2)若sin∠BAC=,求的值.SABC答案:(1)证明:连接OC.∵CE⊥AB,CF⊥AF,CE=CF,∴AC平分∠BAF,即∠BAF=2∠BAC…………1分∵∠BOC=2∠BAC…………………………2分 F∴∠BOC=∠BAFC∴OC∥AF…………………………………………3分AOEB∴CF⊥OC.∴CF是⊙O的切线…………………………4分D(2)解:∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴CE=ED,∠ACB=∠BEC=90°.…………………………5分∴S△CBD=2S△CEB,∠BAC=∠BCE,∴△ABC∽△CBE………………………………………6分∴==(sin∠BAC)2==.…………………………7分∴=…………………………8分11、(2022年广西南丹中学一摸)如图,已知△ABC,且∠ACB=90°。(1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹,不写作法和证明);12\n①以点B为圆心,AC边的长为半径作⊙B;C②以点A为顶点,在AB边的下方作∠BAD=∠ABC.(2)请判断直线AD与⊙B的位置关系,并写出证明过程.BA第21题图【解答】(1)如右图所示;………4分(2)直线BD与⊙A相切.………………5分∵∠ABD=∠BAC,∴AC∥BD,∵∠ACB=90°,⊙A的半径等于BC,…7分∴点A到直线BD的距离等于BC,∴直线BD与⊙A相切.………………8分12、(2022年河北二摸)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC是⊙O的切线;1(2)求证:BCAB;2(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.CAONBP解:M(1)OAOC,AACO,又COB2A,COB2PCB,AACOPCB.…………………………2分又AB是⊙O的直径,ACOOCB90°,PCBOCB90°,即OC⊥CP,…………3分而OC是⊙O的半径,PC是⊙O的切线.………………………………………………4分(2)ACPC,AP,AACOPCBP,又COBAACO,CBOPPCB,∴∠AOB=∠CBO……………………………………………………6分13\n 1∴BC=OC∴BC=AB……………………………………………………7分2(3)连接MA,MB,……………………………………………………………………8分⌒⌒点M是弧AB的中点,∴AM=BM,ACMBCM,∵ACMABM,BCMABM,…………………………9分又∵BMNBMC,△MBN∽△MCB,BMMN,∴BM=MN·MC,…………………………………10分MCBM⌒⌒又AB是⊙O的直径,AM=BM,AMB90°,AMBM.AB4,BM22…………………………………………………………11分∴MN·MC=BM=(22)=8……………………………………………………12分13、(2022年温州一摸)已知:如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中点,BE平分∠ABD交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F.(1)求证:AC与⊙O相切;3(2)当BD=6,sinC=时,求⊙O的半径.5C答案:DEGAFOB(1)证明:连接OE,∵AB=BC且D是BC中点∴BD⊥AC∵BE平分∠ABD∴∠ABE=∠DBE∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB∴∠OEB=∠DBE∴OE∥BD∴OE⊥AC∴AC与⊙O相切3(2)∵BD=6,sinC=,BD⊥AC5∴BC=10∴AB=10设⊙O的半径为r,则AO=10-r∵AB=BC∴∠C=∠A14\n3∴sinA=sinC=5∵AC与⊙O相切于点E,∴OE⊥ACOEr3∴sinA===OA10r515∴r=415
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