内蒙古包头市2022年中考数学模拟试卷（解析版）

内蒙古包头市2022年中考数学模拟试卷一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）（2022•包头市模拟）下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）　A．2与﹣B．（﹣1）2与1C．﹣12与1D．2与|﹣2|考点：实数的性质．专题：计算题．分析：首先化简，然后根据互为相反数的定义即可判定选择项．解答：解：A、两数数值不同，不能互为相反数，故选项错误；B、（﹣1）2=1，两数相等；不能互为相反数，故选项错误；C、﹣12=﹣1，1与﹣1互为相反数，故选项正确；D、|﹣2|=2，两数相等，不能互为相反数，故选项错误．故选C．点评：此题主要考查相反数定义：互为相反数的两个数相加等于0．　2．（4分）（2022•包头市模拟）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（　　）　A．0.675×105B．6.75×104C．67.5×103D．675×102考点：科学记数法与有效数字．.专题：应用题．分析：绝对值＞10或＜1时科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解答：解：436.81亿≈4.37×1010元．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　3．（3分）（2022•包头市模拟）下列计算结果正确的是（　　）　A．﹣2x2y2•2xy=﹣2x3y4B．28x4y2÷7x3y=4xy　C．3x2y﹣5xy2=﹣2x2yD．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）=9a2﹣4考点：整式的混合运算．.分析：根据单项式乘单项式的法则，单项式乘单项式的法则，平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解．18\n解答：解：A、应为﹣2x2y2•2xy=﹣2x3y3，故本选项错误；B、28x4y2÷7x3y=4xy，正确；C、3x2y和5xy2不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、应为（﹣3a﹣2）（3a﹣2）=﹣9a2+4，故本选项错误．故选B．点评：主要考查单项式的乘法法则，单项式的除法法则，平方差公式以及合并同类项的法则，不是同类项的一定不能合并．　4．（3分）（2022•包头市模拟）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为（　　）　A．26元B．27元C．28元D．29元考点：一元一次方程的应用．.专题：销售问题．分析：根据题意，实际售价=进价+利润．九折即标价的90%；可得一元一次的关系式，求解可得答案．解答：解：设标价是x元，根据题意则有：0.9x=21（1+20%），解可得：x=28，故选C．点评：本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．　5．（3分）（2022•包头市模拟）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：跳高成绩（m）1.501.551.601.651.701.75跳高人数132351这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（　　）　A．1.65，1.70B．1.70，1.65C．1.70，1.70D．3，5考点：众数；中位数．.专题：压轴题；图表型．分析：根据中位数和众数的定义，第8个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．解答：解：在这一组数据中1.70是出现次数最多的，故众数是1.70．在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.65，所以中位数是1.65．所以这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是1.65，1.70．故选A．点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．　18\n6．（3分）（2022•包头市模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）　A．m≥0B．m＞﹣1C．m≥﹣1D．m＜1考点：根的判别式．.分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，若方程有两个不相等的实数根，必须满足△=b2﹣4ac＞0，由此可以得到关于m的不等式，解不等式就可以求出m的取值范围．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，解得m＞﹣1．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．　7．（3分）（2022•包头市模拟）如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线，成立的有（　　）　A．①②B．①③C．②③D．①②③考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．.专题：压轴题．分析：根据图形可知△DFE是△ADE对折而成，所以两三角形全等，可得AD=DF，而D是AB中点，故有BD=DF，那么①可证；再利用∠ADF是△BDF的外角，可证∠DFB=∠EDF，那么DE∥BC，即DE是△ABC的中位线，②得证；利用DE∥BC，以及△DFE和△ADE的对折，可得∠EFC=∠ECF，即△EFC也是等腰三角形，而∠B≠∠C，即∠DFB，∠DFE，∠EFC，不会同时为60°，那么∠DFE≠∠CFE，故②不成立．解答：解：由于△DFE是△ADE对折而成，故△DFE≌△ADE，∴AD=FD，又∵点D为AB边的中点，∴AD=BD，∴BD=DF，即△BDF是等腰三角形，故（1）正确；由于△DFE是△ADE对折而成，故△DFE≌△ADE，18\n∴∠ADE=∠FDE，∵∠ADF=2∠FDE=∠B+∠DFB=2∠DFB，∴∠FDE=∠DFB，∴DE∥BC，点E也是AC的中点，故（3）正确；同理可得△EFC也为等腰三角形，∠C=∠EFC，由于△ABC是非等腰的，∴∠C≠∠B，也即∠EFC≠∠DFB，∴∠EFC与∠DFB，∠DFE不都等于60°，∴②∠DFE=∠CFE就不成立．故选B．点评：本题利用了：1、全等的概念，对折后能重合的图形是全等的图形，2、全等三角形的性质，对应角相等，3、内错角相等，两直线平行．　8．（3分）（2022•包头市模拟）如图是一个由相同小正方体搭成的几何体俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（　　）　A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．.专题：压轴题．分析：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图右3列，从左到右分别是3，2，1个正方形．解答：解：由俯视图中的数字可得：主视图右3列，从左到右分别是3，2，1个正方形．故选A．点评：本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．　9．（3分）（2022•包头市模拟）如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（　　）　A．12B．13C．14D．15考点：翻折变换（折叠问题）．.18\n专题：压轴题．分析：先过点P作PM⊥BC于点M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△ADE，从而求出PQ=AE==13．解答：解：过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴PQ=AE==13故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．　10．（3分）（2022•包头市模拟）如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（　　）　A．x＞2B．x＜2C．x＞1D．x＜1考点：一次函数与一元一次不等式．.专题：压轴题；数形结合．分析：直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A（2，1），根据图象可知当x＜2时，y1的函数值小．解答：解：从图象上得出，当y1＜y2时，x＜2．故选B．点评：18\n本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．　11．（3分）（2022•包头市模拟）如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（　　）　A．B．C．D．考点：解直角三角形．.分析：根据勾股定理可求AC的长度；由三边长度判断△ABC为直角三角形．根据三角函数定义求解．解答：解：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∴AC=5．∵AC2+BC2=169=AB2，∴△CBA是直角三角形．∴sinB==．故选A．点评：本题利用了勾股定理和勾股定理的逆定理，考查三角函数的定义．　12．（3分）（2022•包头市模拟）下列命题：①4的平方根是2；②所有的矩形都相似；③“在一个标准大气压下，将水加热到100℃就会沸腾”是必然事件；④在同一盏路灯的灯光下，若甲的身高比乙高，则甲的影子比乙的影子长．其中正确的命题共有（　　）　A．1个B．2个C．3个D．4个考点：随机事件；平方根；相似多边形的性质；中心投影．.专题：压轴题．分析：①利用平方根算术平方根的定义可知．②利用相似的知识可知错误．③利用物理知识可知正确．④错误．解答：解：在①中，由于正数的平方根有两个，所以4的平方根是±2，故①错误；在②中，四边形要相似，则需对应角相等，对应边的比相等，故②错误；在③中，根据常识，是必然发生的，故正确；在④中，由于离灯的远近不一样，故结论错误．∴有一个正确．故选A．点评：18\n本题考查的知识面较大，与其它学科的联系也较紧密，所以学生平时学生要注意知识点要掌握全面．　二、填空题（每题3分，共24分）13．（3分）（2022•包头市模拟）函数中，自变量x的取值范围是　x≠0　．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．.专题：计算题．分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．解答：解：根据题意得函数中分母不为0，即x≠0．故答案为x≠0．点评：本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．　14．（3分）（2022•包头市模拟）不等式组的解集是　5≤x＜8　．考点：解一元一次不等式组．.分析：首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：，解①得：x≥5，解②得：x＜8，则不等式的解集是：5≤x＜8．故答案是：5≤x＜8．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．　15．（3分）（2022•包头市模拟）圆锥底面周长为2π米，母线长为4米，则它的侧面展开图的面积为　4π　平方米．（结果保留π）考点：圆锥的计算．.专题：压轴题．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的面积=×2π×4=4πm2．点评：本题利用了扇形面积公式求解．　16．（3分）（2022•包头市模拟）分解因式：（2a﹣b）2+8ab=　（2a+b）2　．考点：因式分解-运用公式法．.18\n分析：先根据完全平方公式展开，合并同类项后，再利用完全平方式分解因式即可．解答：解：（2a﹣b）2+8ab，=4a2﹣4ab+b2+8ab，=4a2+4ab+b2，=（2a+b）2．点评：本题主要考查运用完全平方公式分解因式，先利用完全平方公式展开整理成多项式的一般形式是解题的关键．　17．（3分）（2022•包头市模拟）化简的结果是　　．考点：分式的混合运算．.专题：计算题．分析：根据分式混合运算的法则先算除法，再算加法即可．解答：解：原式=+x×=+1==．故答案为：．点评：本题考查的是分式的混合运算，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．　18．（3分）（2022•包头市模拟）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是　AC=BD　．考点：三角形中位线定理；菱形的判定．.专题：开放型．分析：易得新四边形为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．解答：解：∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形，根据菱形的性质，只要再有一组对边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH一组对边相等即可，例如AC=BD．点评：综合考查了三角形中位线定理及菱形的判定定理．18\n　19．（3分）（2022•包头市模拟）下列函数：①y=x﹣2②y=③y=﹣④y=x2．当x＜﹣1时，函数值y随自变量x的增大而减小的有　②④　（填序号，答案格式如：“1234”）．考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．.专题：压轴题．分析：根据二次函数的性质解题．解答：解：①y=x﹣2，一次函数，k＞0，故y随着x增大而增大；②y=（x＜﹣1），反比例函数，k＞0，故在第三象限内y随x的增大而减小；③y=﹣（x＜﹣1），反比例函数，k＜0，故在第二象限内y随x的增大而增大；④y=x2，当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小．故正确的是②④．点评：本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．　20．（3分）（2022•包头市模拟）如图，Rt△A′BC′是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A、B、C′在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2，AB=4，则斜边AB旋转到A′B所扫过的扇形面积为　　．考点：扇形面积的计算．.专题：压轴题．分析：根据题意可知斜边AB旋转到A'B所扫过的扇形面积为扇形ABA′的面积，根据扇形面积公式计算即可．解答：解：AB=4，∠ABA′=120°，所以s==π．点评：主要考查了扇形面积的求算方法．面积公式有两种：（1）、利用圆心角和半径：s=；（2）、利用弧长和半径：s=lr．针对具体的题型选择合适的方法．　三、解答题21．（8分）（2022•包头市模拟）阅读对人成长的影响是很大的、希望中学共有1500名学生，为了了解学生课外阅读的情况，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）随机调查了部分学生，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：18\n种类频数频率科普0.15艺术78文学0.59其它81（1）这次随机调查了　300　名学生；（2）把统计表和条形统计图补充完整；（3）随机调查一名学生，恰好是最喜欢文学类图书的概率是多少？考点：条形统计图；频数（率）分布表；概率公式．.专题：阅读型．分析：（1）根据统计表中，科普的人数是45人，占0.15；根据频数与频率的关系，可知共有45÷0.15=300（人）；（2）根据统计表中的数据：易知其他数值；据此可补全条形图；（3）由条形图可知：喜欢文学类图书有96人，占总人数的32%；故随机调查一名学生，估计恰好是最喜欢文学类图书的概率是32%．解答：解：（1）这次随机调查的人数：45÷0.15=300（人）；（3分）（2）根据统计表中的数据：艺术的有78人，占26%，即频率为26%；文学的有300﹣78﹣45﹣81=96人，其频率0.26（6分）据此可补全条形图：种类频数频率科普450.15艺术780.26文学960.59其它81（8分）18\n（3）故随机调查一名学生，估计恰好是最喜欢文学类图书的概率是96÷300=32%．（9分）点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应百分比．概率=所求情况数与总情况数之比．　22．（8分）（2022•包头市模拟）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F，（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC于点H，若等边△ABC的边长为8，求AF，FH的长．考点：切线的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；圆周角定理．.分析：（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FH长．解答：解：（1）DF与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠DOB=60°，∴∠DOB=∠C=60°，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴DO⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）连接CD．∵CB是⊙O直径，∴DC⊥AB．又∵AC=CB=AB，∴D是AB中点，∴AD=．在直角三角形ADF中，18\n∠A=60°，∠ADF=30°，∠AFD=90°，∴，∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6．∵FH⊥BC，∴∠FHC=90°．∵∠C=60°，∴∠HFC=30°，∴，∴FH==3．点评：本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理和圆周角定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．　23．（10分）（2022•包头市模拟）如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为千米，且位于临海市（记作点B）正西方向千米处，台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭请说明理由；（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？考点：解直角三角形的应用-方向角问题．.18\n专题：应用题．分析：（1）过A作AH⊥MN于H，故AMH是等腰直角三角形，可求出AM，则可以判断滨海市是否会受到此次台风的侵袭．同理，过B作BH1⊥MN于H1，求出BH1，可以判断临海市是否会受到此次台风的侵袭．（2）求该城市受到台风侵袭的持续时间，以B为圆心60为半径作圆与MN交于T1、T2，则T1T2就是台风影响时经过的路径，求出后除以台风的速度就是时间．解答：解：（1）设台风中心运行的路线为射线MN，于是∠AMN=60°﹣15°=45°．过A作AH⊥MN于H，故AMH是等腰直角三角形．∵AM=，∠AMH=60°﹣15°=45°，∴AH=AM•sin45°=61＞60．∴滨海市不会受到台风的影响；过B作BH1⊥MN于H1．∵MB=，∠BMN=90°﹣60°=30°，∴BH1=×＜60，因此临海市会受到台风的影响．（2）以B为圆心60千米为半径作圆与MN交于T1、T2，则BT1=BT2=60．在Rt△BT1H1中，sin∠BT1H1=，∴∠BT1H1=60°．∴△BT1T2是等边三角形．∴T1T2=60．∴台风中心经过线段T1T2上所用的时间=小时．因此临海市受到台风侵袭的时间为小时．点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．　18\n24．（10分）（2022•包头市模拟）某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3．（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用；（总费用=生产成本+运费）（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．考点：一元一次不等式组的应用．.专题：压轴题；方案型．分析：（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500﹣x）套可得有几种生产方案．（2）依题意，A套费用102元，B套费用124元，得出x与y的等式关系．（3）根据2的答案可计算出有几名同学．解答：解：（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500﹣x）套，由题意得，解得240≤x≤250．（3分）因为x是整数，所以有11种生产方案．（2）y=（100+2）x+（120+4）×（500﹣x）=﹣22x+62000（240≤x≤250），∵﹣22＜0，y随x的增大而减少，∴当x=250时，y有最小值．（7分）∴当生产A型桌椅250套、B型桌椅250套时，总费用最少．此时y=﹣22×250+62000=56500（元）．（3）有剩余木料，[302﹣（0.5+0.7）×250]÷0.5×2=8，或302﹣（0.5+0.7）×250=2＜3，①全部做A型可做4套，②全部做B型可做2套，③一部分做A型一部分做B型最多3套，比较可知：一部分做A型一部分做B型的方案少，不合题意；全部做B型，最大值6，套数最少，不合题意；所以取最大值为8，∴最多还可以解决8名同学的桌椅问题．点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中热点问题的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据“做桌椅的木料体积≤库存木料体积”和“桌椅套数≥学生数”列出不等式求解．　25．（10分）（2022•包头市18\n模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．（1）点A的坐标是　　，点C的坐标是　　；（2）当t=　　秒或　　秒时，MN=AC；（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）根据B点的坐标即可求出A、C的坐标．（2）当MN=AC时，有两种情况，①MN是△OAC的中位线，此时OM=OA=2，因此t=2；②当MN是△ABC的中位线时，OM=OA=6，因此t=6；（3）本题要分类进行讨论：①当直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，可根据△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t的函数关系式．②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，可用矩形OABC的面积﹣三角形BMN的面积﹣三角形OCN的面积﹣三角形OAM的面积来求得．（也可过O作直线m的垂线设垂足为F，那么在直角三角形OMF中，可根据OD的长和∠ODE的正弦值求出OF的长，求MN的方法一样）．（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值．解答：解：（1）（4，0），（0，3）；（2）当MN=AC时，有两种情况，①MN是△OAC的中位线，此时OM=OA=2，因此t=2；②当MN是△ABC的中位线时，∴AM=AB=，OA=4，18\n∴AD===2∴OD=OA+AD=4+2=6，因此t=6；（3）当0＜t≤4时，OM=t∵由△OMN∽△OAC，得=，∴ON=，S=t2当4＜t＜8时，如图，∵OD=t，∴AD=t﹣4方法一：由△DAM∽△AOC，可得AM=（t﹣4）∴BM=6﹣由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8﹣t∴CN=t﹣4S=矩形OABC的面积﹣Rt△OAM的面积﹣Rt△MBN的面积﹣Rt△NCO的面积=12﹣（t﹣4）﹣（8﹣t）（6﹣）﹣=t2+3t方法二：易知四边形ADNC是平行四边形，∴CN=AD=t﹣4，BN=8﹣t．由△BMN∽△BAC，可得BM=BN=6﹣，∴AM=（t﹣4）以下同方法一．（4）有最大值．方法一：当0＜t≤4时，∵抛物线S=t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大∴当t=4时，S可取到最大值×42=6；（11分）当4＜t＜8时，∵抛物线S=t2+3t的开口向下，它的顶点是（4，6），18\n∴S＜6．综上，当t=4时，S有最大值6．方法二：∵S=∴当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图象如图所示．显然，当t=4时，S有最大值6．点评：本题考查了矩形的性质，二次函数的应用、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．　26．（14分）（2022•包头市模拟）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（x﹣2）2+1，把O（0，0）代入即可；18\n（2）∵△MOB与△AOB公共底边OB，最高点A的纵坐标为1，只需要点M的纵坐标为﹣3即可，将y=﹣3，代入解析式可求M点坐标；（3）由已知△OAB为等腰三角形，点N在抛物线上，只可能OB=BN，即要求∠AOB=∠BON，A、A'要关于x轴对称，通过计算，不存在．解答：解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，∵抛物线过原点，∴a（0﹣2）2+1=0，a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+x．（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB=3S△AOB，∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是﹣3．∴﹣3=﹣x2+x，即x2﹣4x﹣12=0．解之，得x1=6，x2=﹣2．∴满足条件的点有两个：M1（6，﹣3），M2（﹣2，﹣3）（3）不存在．由抛物线的对称性，知AO=AB，∠AOB=∠ABO．若△OBN与△OAB相似，必有∠BON=∠BOA=∠BNO，即OB平分∠AON，设ON交抛物线的对称轴于A'点，则A、A′关于x轴对称，∴A'（2，﹣1）．∴直线ON的解析式为y=﹣x．由﹣x=﹣x2+x，得x1=0，x2=6．∴N（6，﹣3）．过N作NE⊥x轴，垂足为E．在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，∴NB==．又∵OB=4，∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．所以在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．点评：本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性．18