北京市顺义区2022年中考数学一模试卷（解析版） 新人教版

北京市顺义区2022年中考数学一模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）（2022•顺义区一模）﹣3的倒数的相反数是（　　）　A．B．C．﹣3D．3考点：倒数；相反数．专题：计算题．分析：利用相反数，倒数的概念及性质解题．解答：解：∵﹣3的倒数为﹣，∴﹣的相反数是．故选：B．点评：此题主要考查了相反数，倒数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，熟练应用定义是解决问题的关键．　2．（4分）（2022•顺义区一模）据2022年4月1日《CCTV﹣10讲述》栏目报道，2022年7月11日，一位26岁的北京小伙樊蒙，推着坐在轮椅上的母亲，开始从北京到西双版纳的徒步旅行，圆了母亲的旅游梦，历时93天，行程3359公里．请把3359用科学记数法表示应为（　　）　A．33.59×102B．3.359×104C．3.359×103D．33.59×104考点：科学记数法—表示较大的数．.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：3359=3.359×103，故选：C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　3．（4分）（2022•顺义区一模）下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（　　）　A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．.分析：俯视图是指从物体上面看，所得到的图形．19\n解答：解：A、圆柱的俯视图是圆；B、三棱锥的俯视图是三角形；C、球的俯视图是圆；D、正方体的俯视图是四边形．故选D．点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．　4．（4分）（2022•顺义区一模）我区某一周的最高气温统计如下表：最高气温（℃）13151718天数1123则这组数据的中位数与众数分别是（　　）　A．17，17B．17，18C．18，17D．18，18考点：众数；中位数．.分析：根据中位数和众数的概念求解．把数据按从小到大排列，第4个数为中位数；18出现的次最多，为众数．解答：解：18℃出现了3次，次数最多，故众数为28；共7个数据，从小到大排列为13，15，17，17，18，18，18，第4个数为17，故中位数为17．故选B．点评：本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．　5．（4分）（2022•顺义区一模）下列计算中正确的是（　　）　A．a2+a3=2a5B．a2•a3=a5C．a2•a3=a6D．a2+a3=a5考点：同底数幂的乘法；合并同类项．.分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质，合并同类项的法则对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a2•a3=a5，正确；C、应为a2•a3=a5，故本选项错误；D、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选B．点评：本题主要考查同底数幂的乘法的性质；合并同类项的法则，不是同类项的不能合并．　6．（4分）（2022•顺义区一模）如图，AB∥CD，点E在BC上，∠BED=68°，∠D=38°，则∠B的度数为（　　）19\n　A．30°B．34°C．38°D．68°考点：平行线的性质．.分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据两直线平行，内错角相等列式求解即可．解答：解：∵∠BED=68°，∠D=38°，∴∠C=∠BED﹣∠D=68°﹣38°=30°，∵AB∥CD，∴∠B=∠C=30°．故选A．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．　7．（4分）（2022•顺义区一模）若x，y为实数，且，则的值为（　　）　A．1B．﹣1C．2D．﹣2考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；有理数的乘方．.分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．解答：解：根据题意得：解得：则=（﹣1）﹣2022=1故选A．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．　8．（4分）（2022•顺义区一模）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（　　）19\n　A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．.专题：几何图形问题；压轴题．分析：按等量关系“阴影面积=以AB为直径的半圆面积﹣以AP为直径的半圆面积﹣以PB为直径的半圆面积”列出函数关系式，然后再判断函数图象．解答：解：设P点运动速度为v（常量），AB=a（常量），则AP=vt，PB=a﹣vt；则阴影面积S===﹣+t由函数关系式可以看出，D的函数图象符合题意．故选D．点评：本题考查的是面积随动点匀速运动时变化的关系，关键是列出函数关系式，再与函数图象对照．　二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2022•顺义区一模）分解因式：3ab2﹣12ab+12a=　3a（b﹣2）2　．考点：提公因式法与公式法的综合运用．.专题：计算题．分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．解答：解：原式=3a（b2﹣4b+4）=3a（b﹣2）2．故答案为3a（b﹣2）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．　10．（4分）（2022•顺义区一模）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为　　．19\n考点：概率公式．.专题：应用题．分析：让白球的个数除以球的总数即为所求的概率．解答：解：因为个袋子中装有6个黑球3个白球，共9个球，所以随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．　11．（4分）（2022•顺义区一模）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为　2　．考点：圆锥的计算．.专题：压轴题．分析：易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．解答：解：扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．　12．（4分）（2022•顺义区一模）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为　（）n﹣1　．考点：菱形的性质．.专题：压轴题；规律型．分析：根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC219\n的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．解答：解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=，∴AM==，∴AC=，同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1故答案为（）n﹣1．点评：此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力．　三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2022•顺义区一模）计算：+4sin60°﹣（π﹣3.14）0﹣．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.分析：分别进行负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的化简等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=3+4×﹣1﹣2=2．点评：本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的化简等知识，属于基础题．　14．（5分）（2022•顺义区一模）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．.19\n分析：本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解．解答：解：，解不等式①，得x＜3，（2分）解不等式②，得x≥﹣1，（14分）把不等式的解集在数轴上表示出来，如图所示．（5分）不等式组的解集是﹣1≤x＜3．（7分）点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．　15．（5分）（2022•顺义区一模）已知：如图，CA平分∠BCD，点E在AC上，BC=EC，AC=DC．求证：∠A=∠D．考点：全等三角形的判定与性质．.专题：证明题．分析：首先根据CA平分∠BCD，得∠ACB=∠DCE，又知BC=EC，AC=DC，即可证明△ABC≌△DEC，结论即可证明．解答：证明：∵CA平分∠BCD，∴∠ACB=∠DCE，∵在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A=∠D．点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，此题难度一般．　16．（5分）（2022•顺义区一模）已知a2+3a﹣2=0，求代数式÷的值．19\n考点：分式的化简求值．.分析：首先把括号内的分式进行通分，进行加法运算，然后把除法转化成乘法，进行乘法运算，然后把已知的式子变形为a2+3a=2，代入化简以后的式子即可求解．解答：解：原式=【+】•=•==，∵a2+3a﹣2=0∴a2+3a=2∴原式=．点评：分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．　17．（5分）（2022•顺义区一模）如图，已知A（4，a），B（﹣2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的交点．（1）求反比例函数和一次函数的解祈式；（2）求△A0B的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．.专题：几何图形问题；压轴题；数形结合．分析：（1）A（4，a），B（﹣2，﹣4）两点在反比例函数y=19\n的图象上，则由m=xy，得4a=（﹣2）×（﹣4）=m，可求a、m的值，再将A、B两点坐标代入y=kx+b中求k、b的值即可；（2）设直线AB交y轴于C点，由直线AB的解析式求C点坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC求面积．解答：解：（1）将A（4，a），B（﹣2，﹣4）两点坐标代入y=中，得4a=（﹣2）×（﹣4）=m，解得a=2，m=8，将A（4，2），B（﹣2，﹣4）代入y=kx+b中，得，解得，∴反比例函数解析式为y=，一次函数的解祈式为y=x﹣2；（2）设直线AB交y轴于C点，由直线AB的解析式y=x﹣2得C（0，﹣2），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×4+×2×2=6．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．运用数形结合的方法求图形的面积，做此类题要根据图形的特点，将所求三角形的面积问题划分为两个三角形求解．　18．（5分）（2022•顺义区一模）某商店销售一种旅游纪念品，3月份的营业额为2000元，4月份该商店对这种纪念品打8折销售，结果销售量增加30件，营业额增加800元，求该种纪念品3月份每件的销售价格是多少？考点：分式方程的应用．.分析：等量关系为：3月份营业数量=4月份营业数量+30，进而求出纪念品3月份每件的销售价格．解答：解：设该种纪念品3月份每件的销售价格为x元，根据题意，列方程得=﹣30，解之得：x=50．经检验x=50是所得方程的解．19\n答：该种纪念品3月份每件的销售价格是50元．解法二：设3月份销售这种纪念品x件，则4月份销售（x+30）件，根据题意，列方程得×=，解得：x=40，经检验x=40是所得方程的解．答：该种纪念品3月份每件的销售价格是=50（元）．点评：此题考查了分式方程的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键．　四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2022•顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥DC，∠ABD=45°，∠ACD=30°，AD=CD=2，求AC和BD的长．考点：解直角三角形．.分析：通过解直角三角形求出DE长，求出EVC，即可求出AC，过点A作AM⊥BD，垂足为M，求出AM，ME，即可求出BD．解答：解：∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，∵∠ACD=30°，AD=CD=2，∴∠DEC=60°，∠DAC=∠ACD=30°，DE=CD•tan30°=2×=2，∴EC=2DE=4，∠ADE=30°，∴AE=DE=2，∴AC=AE+EC=2+4=6，过点A作AM⊥BD，垂足为M，∵∠AEB=∠DEC=60°，∴AM=AE•sin60°=2×=，ME=AEcos60°=2×=1，∵∠ABD=45°，∴BM=AM=，19\n∴BBM+ME+DE=+1+2=3+．点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解直角三角形的应用，主要考查学生的计算能力．　20．（5分）（2022•顺义区一模）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连结CE交AB于点F，且BF=BC．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O的半径为2，cosB=，求CE的长．考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．.分析：（1）连接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根据切线的判定推出即可．（2）根据AC=4，cosB==求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根据∠EAD=∠ACE，∠E=∠E证△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得出x2+4x2=16，求出即可．解答：（1）BC与⊙O相切证明：连接AE，∵AC是⊙O的直径∴∠E=90°，∴∠EAD+∠AFE=90°，∵BF=BC，∴∠BCE=∠BFC，∵E为弧AD中点，∴∠EAD=∠ACE，∴∠BCE+∠ACE=90°，∴AC⊥BC，19\n∵AC为直径，∴NC是⊙O的切线．（2）∵⊙O的半为2∴AC=4，∵cosB==，∴BC=3，AB=5，∴BF=3，AF=5﹣3=2，∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，∴△AEF∽△CEA，∴==，∴EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得：x2+4x2=16，x=（负数舍去），即CE=．点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．　21．（5分）（2022•顺义区一模）某课外实践小组的同学们为了解2022年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，月均用水量x（t）频数（户）频率0＜x≤560.125＜x≤10m0.2410＜x≤15160.3215＜x≤20100.2020＜x≤254n25＜x≤3020.04请解答以下问题：（1）表中m=　12　，n=　0.08　；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）求该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；（4）若该小区有1500户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？19\n考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．.分析：（1）根据月用电量是0＜x≤5的户数是6，对应的频率是0.12，求出调查的总户数，然后利用总户数乘以频率就是频数，频数除以总数就是频率，即可得出答案；（2）根据（1）求出的频数，即可补全统计图；（3）把该小区用水量不超过15t的家庭的频率加起来，就可得到用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；（4）把该小区月均用水量超过20t的家庭的频率加起来，再乘以1500户，就可得到该小区月均用水量超过20t的家庭大约的户数．解答：解：（1）调查的家庭总数是：6÷0.12=50（户），则月用水量5＜x≤10的频数是：m=50×0.24=12（户），月用水量20＜x≤25的频率n==0.08；故答案为：12，0.08（2）补全的图形如下图．（3）该小区用水量不超过15t的家庭的频率之和是0.12+0.24+0.32=0.68，即月均用水量不超过15t的家庭占被调查的家庭总数的68%．（4）根据题意得：（0.08+0.04）×1500=180（户），答：该小区月均用水量超过20t的家庭大约有180户．点评：本题考查了频率分布直方图，用样本估计总体，解题的关键是读懂频数分布直方图和利用统计图获取有关信息，在解题时必须认真观察、分析、研究统计图．　22．（5分）（2022•顺义区一模）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．19\n小明的思路是：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE，HF，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．问题：如图2，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．考点：三角形中位线定理；等边三角形的判定与性质．.分析：连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE，则HF是△ABD的中位线，HE是△BDC的中位线，从而判断HE=HF，从而得出∠1=∠2，判断△AGF为等边三角形，求出∠FGD=∠FDG=30°后即可得出结论．解答：解：判断△AGD是直角三角形．证明：如图连结BD，取BD的中点H，连结HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB，∴∠1=∠3，同理，HE∥CD，HE=CD，∴∠2=∠EFC，∵AB=CD，∴HF=HE，∴∠1=∠2，∵∠EFC=60°，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF为等边三角形，∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°，∴∠AGD=90°，即△AGD是直角三角形．点评：本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．19\n　五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2022•顺义区一模）已知关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m+2）x+2m+2的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式．考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式．.分析：（1）因为方程的类型不确定，所以要分两种情况讨论：当m=0时和m≠0时分别证明即可；（2）令y=0，则mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0，则可求出方程的解，即与x轴交点的横坐标，再根据已知条件即可求出m的值，进而求出抛物线的解析式．解答：（1）证明：①当m=0时，方程为﹣2x+2=0，所以x=1，方程有实数根；②当m≠0时，△=[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）=9m2+12m+4﹣8m2﹣8m=m2+4m+4=（m+2）2≥0，所以，方程有实数根．综①②所述，无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）解：令y=0，则mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0，解关于x的一元二次方程，得x1=1，x2=2+，二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，所以m只能取1，2，所以抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4或y=2x2﹣8x+6．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉根的判别式及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．　24．（7分）（2022•顺义区一模）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：19\n（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．.专题：压轴题．分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用ASA证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，在△FED和△GEB中，，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；（2）解：成立．证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，∵四边形ABCD为正方形，∴CE平分∠BCD，又∵EH⊥BC，EP⊥CD，∴EH=EP，∴四边形EHCP是正方形，∴∠HEP=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，∴∠PEF=∠GEH，∴Rt△FEP≌Rt△GEH，∴EF=EG；（3）解：如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴，，∴，即==，19\n∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，∴∠GEM=∠FEN，∵∠GME=∠FNE=90°，∴△GME∽△FNE，∴，∴．点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．　25．（8分）（2022•顺义区一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A，且经过B（1，0），C（5，8）两点，点D是抛物线顶点，E是对称轴与直线AC的交点，F与E关于点D对称．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：∠AFE=∠CFE；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△AFP与△FDC相似？若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．19\n考点：二次函数综合题．.分析：（1）已知抛物线过B、C两点，而且两点的坐标都已得出，可用待定系数法来求函数的解析式；（2）由（1）可得抛物线顶点D（2，﹣1），直线AC的解析式为y=x+3，由E是对称轴与直线AC的交点，可得E点坐标，由F与E关于点D对称，可得F点坐标，从点A、C分别向对称轴作垂线AM、CN，交对称轴于M、N，通过证明Rt△FAM∽Rt△FCN，根据相似三角形的性质即可求解；（3）在△FDC中，三内角不等，且∠CDF为钝角，分两种情况：①若点P在点F下方时，②若点P在点F上方时，讨论即可求解．解答：解：（1）将点B（1，0），C（5，8）代入y=ax2+bx+3得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）由（1）可得抛物线顶点D（2，﹣1），直线AC的解析式为y=x+3，由E是对称轴与直线AC的交点，则E（2，5），由F与E关于点D对称，则F（2，﹣7），证法一：从点A、C分别向对称轴作垂线AM、CN，交对称轴于M、N，在Rt△FAM和Rt△FCN中∠AMF=∠CNF=90°，====所以Rt△FAM∽Rt△FCN，所以∠AFE=∠CFE；证法二：直线AF的解析式为y=﹣5x+3，点C（5，8）关于对称轴的对称点是Q（﹣1，8），将点Q（﹣1，8）代入y=﹣5x+3，可知点Q在直线AF上，所以∠AFE=∠CFE；（3）在△FDC中，三内角不等，且∠CDF为钝角①若点P在点F下方时，在△AFP中，∠AFP为钝角因为∠AFE=∠CFE，∠AFE+∠AFP=180°，∠CFE+∠CDF＜180°，所以∠AFP和∠CDF不相等所以，点P在点F下方时，两三角形不能相似②若点P在点F上方时，由∠AFE=∠CFE，要使△AFP与△FDC相似只需=（点P在DF之间）或=（点P在FD的延长线上）解得点P的坐标为（2，﹣3）或（2，19）．19\n点评：主要考查待定系数法、方程、函数及三角形相似等知识，考查综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、分类讨论的思想．此题是一道以函数为背景的综合压轴题，第1、2两个小题较为容易，上手很轻松，第3小题中很容易看出要讨论相似三角形的对应顶角，想提醒大家的是在中考中应该对可能的情况进行逐一讨论，才能尽量防止漏解．　19