四川省内江市2022年中考数学真题试题（带解析）

内江市2022年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷数学试题逐题详解（全卷160分，时间120分钟）A卷（共100分）一、选择题（每小题3分，36分）1.-6的相反数为（）A.6B.C.D.-6【解析】：由相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数知选A【考点】：本题考查相反数的定义及求法。2.下列计算正确的是（）A.B.C.D.【解析】：由整式运算法则知选C【考点】：本题考查整式的运算法则。3.已知反比例函数的图像经过点（1，-2），则K的值为（）A.2B.C.1D.-2【解析】：，选D【考点】：本题考查待定系数法求函数解析式，函数图象与点坐标的关系。4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】：全是轴对称，只有2、4是中心的称，故选C【考点】：本题考查图形的对称性判断。5.如图1，（）A.B.C.D.【解析】：如图1：连接AC，则，，故选B【考点】：本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，以及构造图象添加辅助线。6.一组数据4，3，6，9，6，5的中位数和众数分别是（）A.5和5.5B.5.5和6C.5和6D.6和6【解析】：∵4，3，6，9，6，5由小到大排列为3，4，5，6，6，9；∴中位数为5.5；又∵12用心爱心专心\n出现次数最多的是6，∴众数是6，故选B【考点】：本题考查数据中的中位数、众数定义及其求法。7.函数的图像在（）A.第一象限B.第一、三象限C.第二象限D.第二、四象限【解析】：∵函数中，∴，从而图像在第一象限，故选A【考点】：本题考查函数的定义域、值域求法，以及函数图象位置判断。8.如图2，是的直径，弦,则阴影部分图形的面积为（）A.B.C.D.【解析】：∵∴∵∴∴,∴阴影部分图形的面积为，故选D【考点】：本题考查圆中垂径定理，圆心角与圆周角的关系，圆、扇形的面积公式。9.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（）A.B.C.D.【解析】：∵甲车的速度为x千米/小时，则乙甲车的速度为千米/小时∴甲车的时间为，乙车的时间为，故选C【考点】：本题考查行程问题的等量关系，进而列方程。10.如图3，在矩形中，点分别在上，将矩形沿折叠，使点分别落在矩形外部的点处，则阴影部分图形的周长为（）A.15B.20C.25D.30【解析】：此题有误，由于图形上没有标注阴影部分，从而不能解答，望谅解。【考点】：本题考查图形的折叠问题。11.如图4所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A.B.C.D.【解析】：如图4，连结CD，则∴取小正方形网格的边长为1，则；故选择B12用心爱心专心\n【考点】：本题考查锐角的正弦定义，构造直角三角形，以及勾股定理应用。8.如图5，正的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为（）【解析】：如图5，当点P沿的方向运动时，直观观察CP的长度变化知：变小、变大、变小，从而图像应该先下降，后上升，下降，从而淘汰A,B；对比C,D，注意到为二次函数，图像应为曲线，故选择C【考点】：本题考查函数的应用，对问题的宏观认识，以及将实际问题转化为数学问题的能力。二、填空题（每小题5分，共20分）13.分解因式：【解析】：【考点】：本题考查整式的因式分解中的提公因式法、公式法。14.由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需的小正方形的个数最少为【解析】：底层如图6放置，在角上重1个即可，且此时最少，为4个【考点】：本题考查几何图形的视图能力，要求空间思维能力强。15.如图7所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C,恰好能使的面积为1的概率是【解析】：如图，当C点放置在红色的格点上时成立，只有4点，而总格点为个，故所求概率为【考点】：本题考查对图形的认识，以及几何类型的概率求法。16.如图8，四边形是梯形，若则【解析】：如图，过点B作AD//AC交DC的延长线于D，则,∴12用心爱心专心\n【考点】：本题考查梯形的常见辅助线添法，考查转化思想，以及梯形、三角形的面积求法。三、解答题（共44分）17.（7分）计算：【解析】：原式【考点】：本题考查实数的计算法则，以及准确的计算能力。18.（9分）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形.[如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形的长为8米。（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大坝背水坡面的坡度。【解析】：（1）∵作于，作于，则∵中∴又∵∴又∵需加固的大坝长为150米，∴需要填土石方为（2）∵中，∴∴∴中答：（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方（2）加固后的大坝背水坡面的坡度为。【考点】：本题考查梯形的常见辅助线添法，梯形、三角形的面积公式，以及坡度的定义，要求较强的转化、计算能力。19.12用心爱心专心\n(9分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：（1）符合题意的搭配方案有几种？（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？【解析】：（1）设A、B两种园艺造型分别为，则由题意可得：且为正整数[∴，，，∴符合题意的搭配方案有或或或四种。（2）设A、B两种园艺造型分别为，时的成本为，则：于是当时元当时元当时元当时元故：A、B两种园艺造型分别为，时的成本最低，为【考点】：本题考查不等式的应用，以及最值求法，对分析能力、转化、计算能力要求较高。20.（10分）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图10所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5:2,请结合图中相关数据回答下列问题：（1）求出样本容量，并补全直方图；（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；（3）已知A、E组发言的学生中都恰有1位女生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。12用心爱心专心\n【解析】：（1）∵由发言人数直方图可知B组发言人为10人，又已知B、E两组发言人数的比为5:2，∴E组发言人为4人又由发言人数扇形统计图可知E组为％，∴发言人总数为人，于是由扇形统计图知A组、C组、D组分别为3人，15人，13人，∴F组为人，于是补全直方图为：(2)∵在统计的50人中，发言次数的有人∴在这天里发言次数不少于12的概率为∴全年级500人中，在这天里发言次数不少于12的次数为次；（3）∵A、E组人数分别为3人、4人，又各恰有1女∴由题意可画树状图为：∴由一男一女有5种情况，共有12种情况，于是所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为【考点】：本题考查统计知识，要求理解直方图、扇形统计图的画法，本题重视逆向思维，以及对信息的合理应用。21.（9分）如图11，矩形中，E是上的一点，点是延长线的交点，AG与CD相交于点F。（1）求证：四边形是正方形；（2）当时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。（1）【证明】：∵∴12用心爱心专心\n又∵∴∴又∵四边形为矩形∴矩形为正方形（2）【解析】：FG与EF有数量关系，为，证明为：∵∴∴又∵∴即∴即∵∴∴又∵∴【考点】：本题考查了三角形全等的判断和性质，平行线分线段成比例定理，要求较高的视图能力和证明推理能力。内江市2022年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷数学B卷（共60分）四、填空题（每小题6分，共24分）22.已知三个数x,y,z,满足则【解析】：∵∴∴，即∴∴【考点】：本题考查分式的化简计算，技巧性强。23.已知反比例函数的图像，当x取1，2，3，，n时，对应在反比例图像上的点分别为,则：=【解析】：∵中底边12用心爱心专心\n而所有的高之和为到轴的距离1∴【考点】：本题考查反比例函数的图象性质，三角形面积和，要求对图形的整体把握。24.已知（=1,2,,2022)满足，使直线（=1,2,,2022)的图像经过一、二、四象限的概率是【解析】：∵且∴中有个为负，个为正∵直线（=1,2,,2022)的图像经过一、二、四象限，∴只需∴所求概率是【考点】：本题考查绝对值的意义和化简，一次函数的图象与系数的关系，以及概率求法，要求学生具备整体观念和较强的抽象能力。25.已知两点，在X轴上取一点M,使取得最大值时，则M的坐标为【解析】：如图，作A点关于x轴的对称点,连接并延长与x轴相交，则交点即为所求的点M，（由可证）若设直线为，则由可得∴∴∴【考点】：本题考查几何中典型的距离最值问题构图，以及待定系数法求一次函数解析式，要求能力高。五、解答题（每小题12分，共36分）26.已知为等边三角形，点为直线上的一动点（点不与重合），以为边作菱形(按逆时针排列），使,连接CF.(1)如图13-1，当点D在边BC上时，求证：（2）如图13-2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；12用心爱心专心\n（3）如图13-3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。(1)【证明】：∵∴又∵∴∴由知∴又等边中∴（2）【解析】：不成立，应该是，理由为：如图，延长AC到H，使,连结BH,则中∴∴∴∴∴中∴∴∴（3）【解析】：当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形如图所示，此时AC、CF、CD之间存在的数量关系为（备注：连结CF，容易证明，∴，又）【考点】：本题主要考查三角形的全等判断和性质，要求对图形的适当变形构造，对分类讨论思想、类推思想要求高。27.如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：12用心爱心专心\n（1）已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；【解析1】：∵所求方程的两个根分别是已知方程两根的倒数∴所求方程为即【解析2】：设关于的方程的两根为，则有：，且由已知有所求方程的两根为，∴，∴所求方程为，即（2）已知满足,求；【解析】：∵满足∴是方程的两根∴∴（3）已知满足。【解析】：∵且∴∴是一元二次方程，即又∵此方程必有实数根，∴此方程的即，，又∵∴∴故：正数的最小值为【考点】：本题重点考察学生的阅读、理解、应用能力，实际是对一元二次方程根系关系的应用，要求高。28.如图14，已知点点C在y轴的正半轴上，且抛物线经过三点，其顶点为.12用心爱心专心\n(1)求抛物线的解析式；(2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；(3)在抛物线上是否存在点N，使得?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。【解析】：（1）∵∴∴，即又∵∴，∴∵抛物线过点∴可设此抛物线为，于是代入得∴∴，即（2）∵∴以AB为直径的圆的直径为AB，又∵∴以AB为直径的圆的圆心为∵∴此抛物线的顶点为又∵∴中∴∴∴直线CM与以AB为直径的圆相交。（3）抛物线上存在点N，使得，这样的点有3个；理由为：∵，∴直线为，即∵∴于是可设与直线平行且距离为的直线为，则：12用心爱心专心\n，即，∴∴所设直线为或，∴由得∴由知又两个不同的实数解，由得∴由知又两个相同的实数解，故：物线上存在点N，使得，这样的点有3个。【考点】：本题考查了三角形相似的判断和性质，用待定系数法求二次函数的解析式，数形结合理解二次函数的图象、性质，以及直线与圆位置关系判定，利用距离讨论是否存在问题等，此题综合能力求，对学生要求高。12用心爱心专心