山东省东营市2022年中考数学真题试题（解析版）

秘密★启用前试卷类型:A二0一三年东营市初中学生学业考试数学试题（总分120分考试时间120分钟）注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，84分；全卷共6页．2.数学试题答案卡共8页．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回．3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm签字笔答在答题卡的相应位置上.4.考试时，不允许使用科学计算器．第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（2-3二次根式·2022东营中考）的算术平方根是（）A.B.4C.D.21.D.解析：因为，所以的算术平方根就是4的算术平方根，4的算术平方根为2.2．（2-1整式·2022东营中考）下列运算正确的是（）A．B．C．D．2.C.解析：与不能合并同类项，故选项A错误.，所以选项B错误.，选项D错误.3．（1-5近似数、有效数字和科学记数法·2022东营中考）国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.0000001m，则病毒直径0.0000001m用科学记数法表示为（）（保留两位有效数字）．A.mB.mC.mD.m23\n3.C.解析：把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中a的聚会范围是1≤|a|＜10,n为正整数，且等于第1个不为零的数字前面零的个数，所以0.0000001m≈m.4.（7-2平行线的性质与判定·2022东营中考）如图，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O,∠A=,∠AOB=,则∠C等于（）（第4题图）ABCDOxOyAB（第5题图）A.B.C.D.4.B.解析：因为，，所以，因为AB∥CD，所以.5.（10-3平移与旋转·2022东营中考）将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至的位置，点B的横坐标为2，则点的坐标为（）A．(1,1)B．()C．(-1,1)D．()5.C.解析：在中，，，，所以，所以，过作轴于点C，在，，，，，又因为⊙O，且点在第二象限，所以点的坐标为（-1，1）.6.（5-&函数的综合与创新·2022东营中考）若定义：，，例如，，则=（）A．B．C．D．6.B.解析：由题意得f(2,3)=(-2,-3),所以g(f(2,-3))=g(-2,-3)=(-2,3),故选B.7．（12-3圆与圆的位置关系·2022东营中考）已知的半径=2，的半径是23\n方程的根，与的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（）（第8题图）ABCDA．内含B．内切C．相交D．外切7.D.解析：解方程得，x=3,经检验x=3是原方程的根，所以，因为，所以两圆外切.8.（12-4圆的弧长与扇形面积·2022东营中考）如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）A.B.C.D.8.A.解析：由题意得，树叶形图案的周长为两条相等的弧长，所以其周长为.9．（6-6概率的计算与实际应用·2022东营中考）2022年“五·一”期间，小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（）A.B.C.D.9.A.解析：小明与小亮抽签等可能的结果共有9种，分别是（东营港、东营港），（东营港、黄河入海口），（东营港、龙悦湖），（黄河入海口、东营港），（黄河入海口、黄河入海口），（黄河入海口、龙悦湖），（龙悦湖、东营港），（龙悦湖、黄河入海口），（龙悦湖、龙悦湖），其中抽到同一景点的有三种，所以.10．（9-2图形的相似·2022东营中考）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D.有无数个10.B.解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为23\n，故x的值可以为5或.两种情况。11．（4-4一元二次方程·2022东营中考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A.5个B.6个C.7个D.8个F（第12题图）ABCDOE11.C.解析：设参赛球队有x个，由题意得x(x-1)=21,解得，（不合题意舍去），故共有7个参赛球队.12．（8-3矩形、菱形、正方形·2022东营中考）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个12.B.解析：在正方形ABCD中，因为CE=DF，所以AF=DE，又因为AB=AD，所以，所以AE=BF，，，因为，所以，即，所以AE⊥BF，因为S四边形DEOF，所以S四边形DEOF，故（1），（2），（4）正确.第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（2-2因式分解·2022东营中考）分解因式=.13..解析：先提取公因式2，再利用平方差公式进行因式分解.14．（6-2平均数、众数、中位数·2022东营中考）一组数据1，3，2，5，2，a的众数是a，这组数据的中位数是.14.2.解析：因为众数是a，故由题意得a=2，把这组数据按从小到大排列得：1，2，2，2，3，5，故中位数是中间两个数的平均数，即.点拨：求一组数据的中位数应先将所有数据按由小到大（或由大到小）排列。若数据个数为奇数，则中间位置的数据是中位数；若数据个数为偶数，则处于中间位置的两个数据的平均数是中位数。15．（11-4解直角三角形的实际应用·2022东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D23\n处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为米.15.9.解析：过B作BE⊥CD于点E，设旗杆AB的高度为x，在中，，所以，在中，，，，所以，因为CE=AB=x，所以，所以x=9，故旗杆的高度为9米.16．（10-4图形变换综合与创新·2022东营中考）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）.16.1.3.解析：因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点，连接，则与EF的交点就是所求的点P，过B作于点M，在中，，，所以，因为，所以壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m.16题答案图23\n17．（5-7函数的综合与创新·2022东营中考）如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……按此作法继续下去，则点A2022的坐标为.(第17题图)OAA1A2B1Bxl（第15题图）60°30°ACBD（第16题图）AB17.（注：以上两答案任选一个都对）解析：因为直线与x轴的正方向的夹角为30°，所以，在中，因为OA=1，所以OB=2，中，所以=4，即点的坐标为（0，4），同理=8，所在中，=16，即点的坐标为依次类推，点的坐标为或.三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分7分，第⑴题3分，第⑵题4分)（1）（1-4实数的比较与运算·2022东营中考）计算：（2）（2-5代数式的化简与求值·2022东营中考）先化简再计算：，再选取一个你喜欢的数代入求值.18.解析：（1），，，.23\n（2）先做乘除法，再做加减法，然后代入求值.（1）解：原式===…………………………3分（2）解：原式=…………………………6分选取任意一个不等于的的值，代入求值.如：当时，原式…………………………………7分点拨：（1）分别根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行解答即可.（2）当分式的分子与分母是多项式时，应先分解因式，再约分.（第19题图）成绩ABCD人数50100150200250EDE300350400A10%B30%DCE35%19．（6-4统计图（表）·2022东营中考）(本题满分8分)东营市“创建文明城市”活动如火如荼的展开.某中学为了搞好“创城”活动的宣传，校学生会就本校学生对东营“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如下图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60—69分；C：70—79分；D：80—89分；E：90—100分）.请你根据图中提供的信息解答以下问题：23\n（1）求该校共有多少名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，计算出“60—69分”部分所对应的圆心角的度数；（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90—100分”的概率是多少？19.(本题满分8分)解析：（1）由扇形统计图可以看出，C种情况占总数的30%，而且C种情况共有学生300人，故该校有学生300÷30%=1000（人）.（2）A、D两种情况的学生数为1000×10%=100（人），1000×35%=350（人）.（3）B种情况共有学生1000-300-100-350-50=200（人），故B种情况在扇形统计图中所对的圆心角为.（4）由题意得该校共有1000名学生，而E种情况共有50名学生，所以任选一名学生抽得E种情况学生的概率为.解：（1）该学校的学生人数是：（人）.………………………2分（2）条形统计图如图所示.………………………………………………………4分（3）在扇形统计图中，“60—69分”部分所对应的圆心角的度数是：………………………………………………………6分（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90—100分”的概率是：………………………………………………………………8分成绩ABCD人数50100150200250EDE300350400（第19题答案图）23\n点拨：制作扇形统计图时，扇形圆心角的度数等于该组百分比乘360°.20．（12-2直线与圆的位置关系·2022东营中考）(本题满分8分)如图，为的直径，点为上一点，若，过点作直线垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若直线与的延长线相交于点，的半径为3，并且.求的长．（第20题图）AOBDClME20.(本题满分8分)解析：（1）连接CO，根据，证明DC∥AD，再根据，得，从而证明CD是⊙O的切线.（2）由题意得，则在中，.（第20题答案图）AOBDClME（1）解：直线CD与⊙O相切.………………1分理由如下：连接OC.∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠BAC=∠CAM∴∠OCA=∠CAM∴OC∥AM…………………………3分∵CD⊥AM∴OC⊥CD∴直线与相切.…………………………5分（2）解：23\n∵∴∠COE=2∠CAB=∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan=.…………………………8分点拨：要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连结圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可.x（第21题图）BAOyC21．（5-4反比例函数·2022东营中考）(本题满分9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段OA＝5，C为x轴正半轴上一点，且sin∠AOC＝．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．21.(本题满分9分)解析：（1）过点A作轴，在中，由，OA=5，可得AD=4，由勾股定理得OD=3，故可得点A的坐标为（3，4），把（3，4）分别代入，与中可求得m,n的值.（2）根据直线与x轴的交点可求点B的坐标，故OB可得，所以.x（第21题图）BAOyCD解：(1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOC＝＝，OA＝5∴AD＝4.由勾股定理得：DO=3，∵点A在第一象限∴点A的坐标为(3，4)………………2分将A的坐标为(3，4)代入y＝，得，∴m＝12∴该反比例函数的解析式为………………4分23\n将A的坐标为(3，4)代入得：∴一次函数的解析式是…………………………6分(2)在中，令y＝0，即x＋2=0，∴x=∴点B的坐标是∴OB＝3，又DA=4∴，所以△AOB的面积为6．………9分点拨：用待定系数法求函数解析式时，正确求出函数图象上点的坐标是解题的关键.22.（3-3列不等式（组）解应用题·2022东营中考）(本题满分10分)在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元?（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.22.(本题满分10分)解析：（1）设电脑、电子白板的价格分别为x,y元，根据等量关系：1台电脑+2台电子白板凳3.5万元，2台电脑+1台电子白板凳2.5万元，列方程组即可.（2）设购进电脑x台，电子白板有(30-x)台，然后根据题目中的不等关系列不等式组解答.解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：…………………………3分解得：…………………………4分答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元.…………………………5分（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，则…………………………6分23\n解得：，即a=15，16，17．…………………………7分故共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元；方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元；所以，方案三费用最低.…………………………10分点拨：（1）列方程组或不等式组解应用题的关键是找出题目中存在的等量关系或不等关系。（2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解。23．（9-3全等与相似的综合与创新·2022东营中考）(本题满分10分)(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.（第23题图）ABCEDm（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFCm23.(本题满分10分)解析：（1）因为DE=DA+AE，故通过证，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD.（3）由得BD=AE，，与均等边三角形，得，FB=FA，所以，即23\n，所以，所以FD=FE，，再根据，得，即，故是等边三角形.证明：(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线mABCEDm（图1）∴∠BDA＝∠CEA=90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD………………1分又AB=AC∴△ADB≌△CEA………………2分（图2）mABCDE∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE………………3分(2)∵∠BDA=∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—∴∠DBA=∠CAE………………4分∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC∴△ADB≌△CEA………………5分∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE………………6分（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形∴∠ABF=∠CAF=60°ADEBFCOm（图3）∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF∴∠DBF=∠FAE………………8分∵BF=AF∴△DBF≌△EAF………………9分∴DF=EF，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°23\n∴△DEF为等边三角形.………………10分点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.24．（5-6与二次函数相关的综合题·2022东营中考）(本题满分12分)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．AO（第24题图）xyB(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0<t<10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．24.(本题满分12分)解析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.（2）设C点坐标为（x,y）,由题意可知.过点C作轴于点D,连接AB,AC.易证,根据对应线段成比例得出的关系式，再根据点C在抛物线上得，联立两个关系式组成方程组，求出的值，再根据点C所在的象限确定点C的坐标。P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．可得,故点H的坐标为（5,0）再根据点P在BC上，可求出直线BC的解析式，求出点P的坐标。（3）根据,得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M,N两点的横坐标相同，所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标,从而形成关于MN长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。23\n解：(1)∵抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为.由抛物线过B(0,-1)得，∴．……………………2分∴抛物线的解析式为.即．………………………………3分(2)设C的坐标为(x，y).∵A在以BC为直径的圆上.∴∠BAC=90°．作CD⊥x轴于D,连接AB、AC．∵,∴A（第24(2)答案图）xOyCBPHD∴△AOB∽△CDA．………………………4分∴∴OB·CD=OA·AD．即1·=2(x-2).∴=2x-4．∵点C在第四象限.∴………………………………5分由解得．∵点C在对称轴右侧的抛物线上.∴点C的坐标为(10,-16)．……………………6分AxOyCBMNx=t（第24(3)答案图）∵P为圆心，∴P为BC中点．取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．∴PH=(OB+CD)=．……………………7分∵D(10,0)∴H(5,0)∴P(5,)．故点P坐标为(5，)．…………………………8分23\n(3)设点N的坐标为，直线x=t（0<t<10）与直线BC交于点M.，所以………………………9分设直线BC的解析式为，直线BC经过B(0,-1)、C(10,-16)所以成立，解得：…………………………10分所以直线BC的解析式为，则点M的坐标为.MN==………………………11分==所以，当t=5时，有最大值，最大值是.…………………………12分点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h,k）一般可设其解析式为.(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.23\n秘密★启用前试卷类型:A2022年东营市初中学生学业考试数学试题参考答案与评分标准评卷说明：1.选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分．2.解答题中的每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数．本答案对每小题只给出一种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见相应评分．3.如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分．一.选择题：本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．题号123456789101112答案DCCBCBBAABCB二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13.；14.2；15.9；16.1.3；17.（注：以上两答案任选一个都对）三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18.(本题满分7分，第⑴题3分，第⑵题4分)（1）解：原式===…………………………3分（2）解：原式=…………………………6分23\n选取任意一个不等于的的值，代入求值.如：当时，原式…………………………………7分19.(本题满分8分)解：（1）该学校的学生人数是：（人）.………………………2分（2）条形统计图如图所示.………………………………………………………4分（3）在扇形统计图中，“60—69分”部分所对应的圆心角的度数是：………………………………………………………6分（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90—100分”的概率是：………………………………………………………………8分成绩ABCD人数50100150200250EDE300350400（第19题答案图）20.(本题满分8分)（第20题答案图）AOBDClME（1）解：直线CD与⊙O相切.………………1分理由如下：连接OC.∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠BAC=∠CAM∴∠OCA=∠CAM∴OC∥AM…………………………3分∵CD⊥AM∴OC⊥CD∴直线与相切.…………………………5分23\n（2）解：∵∴∠COE=2∠CAB=∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan=.…………………………8分21.(本题满分9分)x（第21题图）BAOyCD解：(1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOC＝＝，OA＝5∴AD＝4.由勾股定理得：DO=3，∵点A在第一象限∴点A的坐标为(3，4)………………2分将A的坐标为(3，4)代入y＝，得，∴m＝12∴该反比例函数的解析式为………………4分将A的坐标为(3，4)代入得：∴一次函数的解析式是…………………………6分(2)在中，令y＝0，即x＋2=0，∴x=∴点B的坐标是∴OB＝3，又DA=4∴，所以△AOB的面积为6．………9分22.(本题满分10分)解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：…………………………3分23\n解得：…………………………4分答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元.…………………………5分（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，则…………………………6分解得：，即a=15，16，17．…………………………7分故共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元；方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元；所以，方案三费用最低.…………………………10分23.(本题满分10分)证明：(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线mABCEDm（图1）∴∠BDA＝∠CEA=90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD………………1分又AB=AC∴△ADB≌△CEA………………2分（图2）mABCDE∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE………………3分(2)∵∠BDA=∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—∴∠DBA=∠CAE………………4分∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC∴△ADB≌△CEA………………5分∴AE=BD，AD=CE23\n∴DE=AE+AD=BD+CE………………6分（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形∴∠ABF=∠CAF=60°ADEBFCOm（图3）∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF∴∠DBF=∠FAE………………8分∵BF=AF∴△DBF≌△EAF………………9分∴DF=EF，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.………………10分24.(本题满分12分)解：(1)∵抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为.由抛物线过B(0,-1)得，∴．……………………2分∴抛物线的解析式为.即．………………………………3分A（第24(2)答案图）xOyCBPHD(2)设C的坐标为(x，y).∵A在以BC为直径的圆上.∴∠BAC=90°．作CD⊥x轴于D,连接AB、AC．则有△AOB∽△CDA．………………………4分∴OB·CD=OA·AD．即1·=2(x-2).∴=2x-4．∵点C在第四象限.∴………………………………5分23\n由解得．∵点C在对称轴右侧的抛物线上.∴点C的坐标为(10,-16)．……………………6分AxOyCBMNx=t（第24(3)答案图）∵P为圆心，∴P为BC中点．取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．∴PH=(OB+CD)=．……………………7分∵D(10,0)∴H(5,0)∴P(5,)．故点P坐标为(5，)．…………………………8分(3)设点N的坐标为，直线x=t（0<t<10）与直线BC交于点M.，所以………………………9分设直线BC的解析式为，直线BC经过B(0,-1)、C(10,-16)所以成立，解得：…………………………10分所以直线BC的解析式为，则点M的坐标为.MN==………………………11分==23\n所以，当t=5时，有最大值，最大值是.…………………………12分23