山东省滨州市无棣县埕口中学2022届中考数学复习 知识点27B 点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，两圆的位置关系

点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，两圆的位置关系一、选择题1.（2022·上海市省杨浦区市4模，6，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DE∥BC，且AD=2CD，则以D为圆心DC为半径的⊙D和以E为圆心EB为半径的⊙E的位置关系是（）（A）外离；（B）外切；（C）相交；（D）不能确定．ABCED【答案】C2.（2022·上海省松江市4模，题号6，分值4）已知两个同心圆的圆心为O，半径分别是2和3，且2＜OP＜3，那么点P在（A）小圆内；（B）大圆内；（C））小圆外大圆内；（D）大圆外．【答案】C3.（2022·上海省普陀市4模，题号4，分值4）如果两圆的半径分别是2cm和3cm，圆心距为5cm，那么这两圆的位置关系是（）21图1(A)内切；(B)相交；(C)外切；(D)外离．【答案】C4.（2022·上海省闵行区市4模，题号6，分值4）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，⊙O1上一点A与⊙O2的圆心O2的距离等于6，那么下列关于⊙O1和⊙O2的位置关系的结论一定错误的是（）（A）两圆外切；（B）两圆内切；（C）两圆相交；（D）两圆外离.【答案】B5.（2022·上海省青浦区市4模，题号6，分值4）在中，，且两边长分别为4和5，若以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，则⊙和⊙位置关系是………（）（A）只有外切一种情况；（B）只有外离一种情况；86\n（C）有相交或外切两种情况；（D）有外离或外切两种情况．【答案】D6.（2022·重庆省綦江县市X模，题号5，分值4）如图，以正方形的边为直径作⊙O,过点作直线切⊙O于点,交边于点.则三角形和直角梯形周长之比为()A.3:4B.4:5C.5:6D.6:7【答案】A7.（2022·重庆省名校联盟市模，题号9，分值4）如图，在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,⊙O是△ABC的内切圆，E、F、D分别为切点，则tan∠OBD=()A．B．C．D．【答案】C8.（2022·浙洒省××市X模，题号9，分值3）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则tan∠EAB的值是（）A.B.C.D.【答案】B9.（2022·××省杨州市X模，题号3，分值3）86\n图中圆与圆之间不同的位置关系有A．2种B．3种C．4种D．5种【答案】A10．（2022·浙江省宁波市X模，题号8，分值3）已知与相切，它们的半径分别为3和4，则圆心距的长是（▲）(A)=7　(B)＝1　(C)＝1或7　(D)=3或7【答案】C11.（2022·福建省晋江市X模，题号7，分值3）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，为切点，若两圆的半径分别是、，则弦的长为（）.A.B.C.D.【答案】A12.（2022·××省江阴期中模，题号6，分值3）已知两圆的半径分别为6和4，圆心距为2，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含【答案】B13.（2022·湖北省孝感市1模，题号7，分值3）已知两圆的半径分别是5cm和4cm，圆心距为7cm，那么这两圆的位置关系是A．相交B．内切C．外切D．外离【答案】A14.（2022·××省滋溪市1模，题号7，分值3）如图，A、B在直线l上，⊙A、⊙B的半径分别为1cm和2cm．现保持⊙B不动，使⊙A向右移动(开始时AB=4cm)，若移动后的⊙A与⊙B没有公共点，则⊙A移动的距离可能是（）(A)4cm(B)5cm(C)6cm(D)7cm【答案】A86\n15.（2022·浙江省余姚市X模，题号6，分值3）【答案】C16.（2022·北京通州5模，题号6，分值4）如图，⊙O的半径为2，直线PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，若PA⊥PB，则OP的长为（）A．B．4C．D．2【答案】C17.（2022·江苏省南通市2模，题号6，分值3）如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱组成，小刚准备画出它的三视图，那么他所画的三视图中的俯视图应该是A．两个相交的圆B．两个内切的圆C．两个外切的圆D．两个外离的圆主视方向【答案】C18.（2022·常熟市1模，题号5，分值3）知⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和5cm，若O1O2＝1cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．内含【答案】D19（安徽省蚌埠市七中6题5分）如图：⊙与⊙外切于，⊙，⊙的半径分别为.为⊙的切线，为⊙的直径，分别交⊙，⊙于，则的值为86\nACBDPO1O2A．B．C．D．【答案】：D19．（清远市2模10题3分）⊙O的直径为6cm，圆心O到直线的距离为3cm，则直线与⊙O的位置关系为()．A.相离B.相切C.相交D.不能确定【答案】：B20．（广东四会市第3题3分）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是()A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．不能确定【答案】：A21．（河南中招最后20天押题试卷6第6题3分）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PB=2，OA=3，则sin∠AOP的值为()A.B.C.D.【答案】：C22．（黄冈中学模拟第14题3分）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是()　　　　　B．310245D．310245A．310245C．310245【答案】：A23．（浙江义乌模拟第3题3分）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（▲）86\nA．相交B.内切C.外切D.外离【答案】：A24．（重庆南开中学5模拟第6题4分）已知的半径为，点到圆心的距离为。则与的位置关系是（）A．点在内B．点在上C．点在外D．不能确定【答案】：C25．（楚雄州双柏县2022年中考数学模拟试题第5题3分）若两圆的半径分别是1cm和4cm，圆心距为5cm，则这两圆的位置关系是【】A．内切B．相交C．外切D．外离【答案】：C26．（江西省中考样卷4第7题3分）如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，,点(P与O不重合)在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点,设点P所表示的实数为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】：C二、填空题1.（2022·上海省静安市4模，题号17，分值4）已知⊙与⊙两圆内含，，⊙的半径为5，那么⊙的半径的取值范围是．【答案】2.（2022·上海省闸北区市4模，题号18，分值4）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以点O为圆心，以OE为半径画弧EF，P是上的一个动点，连结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB86\n于点M，交直线BC于点G.若，则BK＝　▲　．AODBFKEGMCKP【答案】或3.（2022·上海省浦东新区市4模，题号16，分值4）已知⊙O的直径为6cm，点A在直线l上，且AO=3cm，那么直线l与⊙O的位置关系是．【答案】相交或相切4.（2022·上海省黄浦区市4模，题号18，分值4）如图，在△ABC中，AB=4，AC=10，⊙B与⊙C是两个半径相等的圆，且两圆相切，如果点A在⊙B内，那么⊙B的半径r的取值范围是_______________.CBA【答案】5.（2022·上海省宝山、嘉定两区市X模，题号17，分值4）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O1、⊙O2的直径分别是OA、OB，⊙O3与⊙O、⊙O1、⊙O2均相切，则⊙O3与⊙O的半径之比为▲．ABOO1O2O3【答案】6.（2022·××省杨州市X模，题号17，分值3）如图，，半径为1cm的切于点，若将在上向右滚动，则当滚动到与86\n也相切时，圆心移动的水平距离是__________cm．【答案】7.（2022·河北省石家庄市一模，题号16，分值3）如图是置于水平地面上的一个球形储油罐，小敏想测量它的半径．在阳光下，他测得球的影子的最远点A到球罐与地面接触点B的距离是10米(即AB=10米)；同一时刻，他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，则球的半径是_　　米．【答案】28.（2022·南京溧水1模，题号15，分值2）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝36°，则∠C=▲．OCBA【答案】27°9.（2022·湖北省孝感市1模，题号17，分值3）圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是　　　　.(只填一种)　【答案】相切10．（2022·山东省大连市X模，题号3，分值3）已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是（　　　）．A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】B11.（2022·福建省福州市X模，题号，分值）86\n人民币一元硬币如图所示，要在这枚硬币的周围摆放几枚与它完全相同的一元硬币，使得周围的硬币和这枚硬币外切，且相邻的硬币也外切，则这枚硬币周围最多可摆放（）A、4枚硬币B、5枚硬币C、6枚硬币D、8枚硬币【答案】C12.（2022北京市3模，题号7，分值4）如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是A．16πB．36πC．52πD．81π【答案】B13.（2022·南京玄武4模，题号6，分值2）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（）A．　B．C．　　D．或【答案】D14.（2022·南京市下关区1模，题号7，分值2）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为5，O1O2＝7，则⊙O1、⊙O2的位置关系是▲．【答案】相交15.（2022·南京市栖霞区1模，题号15，分值2）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是▲cm．【答案】1016.（2022·南京市栖霞区1模，题号16，分值2）如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，，点P在数轴上运动，若过点P86\n且与OA平行（或重合）的直线l与⊙O有公共点，设点P在数轴上对应的数值为a，则a的取值范围是▲．【答案】17．（河南中招考试说明解密预测试卷4第9题3分）数轴上点A表示的数是-4，以3半径的⊙A与以2为半径的⊙B外切，则圆心B在数轴上表示的数是.【答案】：1或—918．（河南中招考试说明解密预测试卷5第11题3分）如图，半径为1的⊙P与x轴相切于点O，把⊙P绕点O顺时针旋转90°，则扫过的面积为.yo．Px【答案】：219．（南平市适应性15题3分）已知在和的半径分别是3cm和5cm，若=1cm，则与的位置关系是___________________．【答案】：内含20（广东实验学校1模15题3分）若⊙O1和⊙O2相切，O1O2=10cm，⊙O1的半径为3cm，则⊙O2半径为___*_cm．【答案】：7或1321．（河南中招最后20天押题试卷4第15题4分）如图，正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆外切，则的值为．86\nDCEBA【答案】：22．（河南新密市模拟1第15题3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①EF是△ABC的中位线．②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD＝m，AE＋AF＝2n，则S△AEF＝mn；④∠BOC＝90º＋∠A；其中正确的结论是_____________．【答案】：②③④23．（江西师大与南大附中模拟卷第16题3分）如图,CD是⊙O的直径,BD是弦,延长DC到A,使∠ABD=120°,若添加一个条件,使AB是⊙O的切线,则下列四个条件:①AC=BC;②AC=OC;③OC=BC;④AB=BD中,能使命题成立的有________________(只要填序号即可).【答案】：①②③④24．（安徽省马鞍山市二模第13题5分）已知：如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A=，则∠DBE＝_________【答案】：55025．（浙江省杭州市第16题4分）如图所示，点A、B在直线MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0)，当点A出发后____秒两圆相切.86\n【答案】：26．（江西中考样卷3第11题3分）如图，已知⊙O的半径为2cm，点C是直径AB的延长线上一点，且，过点C作⊙O的切线,切点为D,则CD=★cm．【答案】：27．OOOOl（江苏省盐城模拟第18题3分）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=x2-2上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为__________。PyxO【答案】：（0，-2）（-2，2）（2，2）28．（上冈中学教育集团2022～2022学年第二学期模拟第14题3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2cm和3cm，当⊙O1与⊙O2外切时，圆心距O1O2=______.【答案】：5cm29．（上冈实验初中2022年春学期模拟卷）两圆有多种位置关系，图中没有出现的位置关系是____________.【答案】：外离86\n三、解答题1.（2022·上海市杨浦区4模，题号25，分值14）已知半径为6的⊙O1与半径为4的⊙O2相交于点P、Q，且∠O1PO2=120°，点A为⊙O1上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O2交于点B，直线O1A与直线O2B交于点M。（1）如图1，求∠AMB的度数；（2）当点A在⊙O1上运动时，是否存在∠AMB的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AMB的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AMB的度数同于（1）中结论；（3）当点A在⊙O1上运动时，若△APO1与△BPO2相似，求线段AB的长。PO1O2图1ABMQ图2PO1O2QPO1O2Q备用图【答案】解：（1）∵A、P都在⊙O1上，∴∠A=∠APO1，同理，∠B=∠BPO2，∵AB是直线，∠O1PO2=120°，∴∠APO1+∠O1PO2+∠BPO2=180°∴∠APO1+∠BPO2=60°，即∠A+∠B=60°，∴∠O1MO2=180°－60°=120°(2)存在，如图所示，APBO1O2M∵A、P都在⊙O1上，∴∠A=∠APO1，同理，∠PBO2=∠BPO2，∴∠APO1+∠BPO2=120°∵∠M+∠A=∠PBM=180°－∠BPO2∴∠M=180°－∠BPO2－∠A=180°－∠BPO2－∠APO1=180°－120°=60°∵△APO1与△BPO2相似，且△APO1与△BPO2都是等腰三角形，∴底角∠APO1=∠BPO2，---------1分86\n情况一：当P在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=30°，作O1H⊥AB，O2D⊥AB，∴AP=2HP，BP=2PD∵O1P=6，O,2P=4，∴HP=，DP=∴AB=ABO1O2PQ情况一：当P不在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=60°，∴PA=O1A=6，PB=O2B=4，∴AB=22.（2022·上海省松江市4模，题号25，分值14）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE//BC，交AD于点E．（1）设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，求的正切值；备用图DCBA（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB/D，联结B/C．如果∠ACE=∠BCB/，求AP的值．EPDCBA【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，∵PE//BC，∴,∴，∴,∴，即，（）（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有DE=PE+BD，即，解之得，∴，∵PE//BC，∴∠DPE=∠PDC，在Rt△PCD中，86\ntan=；∴tan=(3)延长AD交BB/于F，则AF⊥BB/，∴，又，∴∴～，∴BF=，所以BB/=，∵∠ACE=∠BCB/，∠CAE=∠CBB/，∴～，∴,∴3.（2022·上海省闸北市4模，题号23，分值12）如图，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延长AD到点E，使AE=15，连结BE交AC于点P．(1)求AP的长；(2)若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；(3)已知以点A为圆心，r1为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．①求动⊙A的半径r1的取值范围；②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，求r2的取值范围．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵AB＝8，BC＝6，∴AC＝10，∵，即解得：．（2）∵AB＝8，AE＝15，∴BE＝17．作AH⊥BE，垂足为H，则，∴．∵，∴⊙A与BE相交．（3）①86\n，②，或．4.（2022·上海省长宁市4模，题号25，分值14）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于C点，顶点为D.过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O1，交直线CD于P、E两点.(1)求E点的坐标；(2)联结PO1、PA.求证:～；(3)①以点O2(0，m)为圆心画⊙O2，使得⊙O2与⊙O1相切，当⊙O2经过点C时，求实数m的值；②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O3，以O3为圆心画⊙O3，使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程).86\n【答案】解:(1)∴设直线CD:将C、D代入得解得∴CD直线解析式:(2)令y=0得解得∴又∵、∴以OE为直径的圆心、半径.设由得解得（舍）∴∴又∴∴～(3)①据题意，显然点在点C下方当⊙O2与⊙O1外切时代入得解得（舍）当⊙O2与⊙O1内切时代入得解得（舍）∴②5.（2022·上海省徐汇区市4模，题号23，分值12）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）证明：直线FC与⊙O相切；（2）若，求证：四边形OCBD是菱形．86\nAFCGODEB【答案】解：（1）连接．AFCGODEB132∵，∴由翻折得，，．∴．∴OC∥AF．∴．∵点C在圆上∴直线FC与⊙O相切．（2）解一：在Rt△OCG中，∵，∴，∵直径AB垂直弦CD，∴∴∵∴．∴四边形OCBD是菱形．解二：在Rt△OCG中，∵，∴，∵，∴∵AB垂直于弦CD，∴∵直径AB垂直弦CD，∴∴四边形OCBD是平行四边形∵AB垂直于弦CD，∴四边形OCBD是菱形．6.（2022·上海省徐汇区市4模，题号25，分值14）在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F．(1)如图，当点F在线段DE上时，设BE，DF，试建立关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当以CD直径的⊙O与⊙E与相切时，求的值；(3)联接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求的值。86\n【答案】(1)过点作于点．可得，；在Rt△DEG中，∴，即∴(负值舍去)（）（2）设的中点，联结，过点作于点．；⊙与⊙外切时，，在中，，∴化简并解得⊙与⊙内切时，在中，，∴，化简并解得综上所述，当⊙与⊙相切时，或．（3）①时，由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，∴，即在中，=当点F在线段DE上时，由=3，解得；当点F在线段DE延长线上时，由=3，解得；②时，过点F作于点Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ∴，86\n=，（负值舍去）；7.（2022·江西省市1模，题号25，分值10）25．如图1，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）求证：△ODM∽△MCN;（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？【答案】解：（1）∵MN切⊙O于点M，∴∵∴又∵∴△∽△,（2）在Rt△中，，设；∴，由勾股定理得：，∴，∴；（3）∵，又且有△∽△,∴,∴代入得到；同理，∴代入得到；86\n∴△CMN的周长为P==16发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．8.（2022·江西省市5模，题号23，分值9）已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.（Ⅰ）如图①，若，，求点A到PB的距离（结果保留根号）；（Ⅱ）如图②，若为的中点，求证直线是⊙的切线.ABCOP图①ABCOPD图②【答案】解：（Ⅰ）∵是⊙的直径，是切线，∴.连接AC，，，，∴BC=AB/2=1由勾股定理，得点A到PB的距离为(Ⅱ)如图，连接、，ABCOPD∵是⊙的直径，∴，有在Rt△中，为的中点，∴.∴又∵，86\n∴.∵，∴即.∴直线是⊙的切线.9.（2022江西省×市4模，题号23，分值9）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA＝CD，∠ACD＝120°．(1)试探究直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；OABDC(2)若BD为2．5，求△AＣＤ中CD边的高．【答案】解：（1）△ACD是等腰三角形，∠D＝30°．∠CAD=∠CDA=30°.连接OC,AO=CO,△AOC是等腰三角形．∠CAO=∠ACO=30°,∠COD=60°．在△COD中，又∠CDO=30°，∠DCO=90°．CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E.在Rt△COD中，∠CDO=30°，OD=2OC=10．AD=AO+OD=15在Rt△ADE中，∠EDA=30°，点A到CD边的距离为：．10．（2022·江西省××市2模，题号22，分值8）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）判断DF与⊙86\nO的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长．（结果保留根号）【答案】解：证明：（1）DF与⊙O相切．连接OD，∵△ABC是等边三角形，DF⊥AC，∴∠ADF=30°．∵OB=OD，∠DBO=60°，∴∠BDO=60°．∴∠ODF=180°-∠BDO-∠ADF=90°．∴DF是⊙O的切线．（2）∵AD=BD=2，ADF=30°，∴AF=1．∴FC=AC-AF=3．∵FH⊥BC，∴∠FHC=90°．在Rt△FHC中，sin∠FCH=，∴FH=FC•sin60°=．即FH的长为．11.（2022·江西省市6模，题号22，分值8）如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C,AC与BD的延长线相交于点E．①试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；②已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案；1)你选用的已知数是_________；2)写出求解过程(结果用字母表示)．【答案】解：①AE与⊙O相切.理由：连接OC.∵CD∥OA∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB.又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD.∴∠AOB=∠AOC.在△AOC和△AOB中，OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC.∴△AOC≌△AOB，∴∠ACO=∠ABO∵AB与⊙O相切，∴∠ACO=∠ABO=90°∴AE与⊙O相切.②选择a、b、c，或其中2个.86\n解：若选择a、b、c，方法一：由CD∥OA，=，得r=方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理(b+2r)2+c2=(a+c)2，得r=方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，=，得r=若选择a、b.方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：a2+r2=(b+r)2，得r=方法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得r=若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得r=12.（2022·江西省××市3模，题号23，分值9）如图，等腰梯形OABC，OC=2，AB=6，∠AOC=120°，以O为圆心，OC为半径作⊙O，交OA于点D，动点P以每秒1个单位的速度从点A出发向点O移动，过点P作PE∥AB，交BC于点E。设P点运动的时间为t（秒）。（1）求OA的长；（2）当t为何值时，PE与⊙O相切；（3）直接写出PE与⊙O有两个公共点时t的范围，并计算，当PE与⊙O相切时，四边形PECO与⊙O重叠部分面积。【答案】解：（1）由等腰梯形OABC，OC=2，AB=6，∠AOC=120°过O作梯形的高，得出AO=4（2）当PE与⊙O相切时，O到PE的距离为2，得出OP=,AP=4—所以，当t=4—秒时⊙O与PE相切。86\n（3）4—＜t≤4，当PE与⊙O相切时，四边形PECO与⊙O重叠部分面积，即扇形OCD的面积=13.（2022·××省舟山市市X模，题号21，分值8）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足。（1）求证：AC平分∠DAB。（2）若AD=3，AC=，求AB的长。【答案】证明：（1）连接OC∵直线CD与⊙O相切于点C∴OC⊥CD∵AD⊥CD∴OC∥AD∴∠OCA=∠DAC∵OC=OA∴∠OCA=∠OAC∴∠DAC=∠OAC∴AC平分∠DAB（2）连接ＢＣ，△DAC∽△CBA求得AB=514.（2022·江苏省杨州市X模，题号27，分值12）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求∠P的度数；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积。86\n【答案】解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CPDm∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）∵PC=AC∴∠A=∠P∴∠A=∠ACO=∠P∵∠A＋∠ACO＋∠PCO＋∠P=180°∴3∠P=90°∴∠P=30°(3)∵点M是半圆O的中点∴∠BCM=45°由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°∴BC=AB=2作BD⊥CM于D，∴CD=BD=∴DM=∴CM=∴S△BCM=∵∠BOC=2∠A=60°∴弓形BmC的面积=∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为15．（2022·河北省石家庄市一模，题号25，分值12）如图，⊙O的半径为6cm，射线PM与⊙O相切于点C，且PC=16cm．（1）请你作出图中线段PC的垂直平分线EF，垂足为Q，并求出QO的长；（2）在（1）的基础上画出射线QO，分别交⊙O于点A、B，将直线EF沿射线QM方向以5cm/s的速度平移（平移过程中直线EF始终保持与PM垂直），设平移时间为t．当t为何值时，直线EF与⊙O相切？（3）直接写出t为何值时，直线EF与⊙O无公共点？t为何值时，·直线EF与⊙O有两个公共点？86\n·CPMO【答案】解：（1）１０；（2）或；　（３）当０＜ｔ＜或ｔ＞时，直线EF与⊙O无公共点，　　　　当＜ｔ＜时，直线EF与⊙O有两个公共点．15.（2022·广东省深圳市市X模，题号22，分值8）如图，在Rt△ABC中，ÐACB，BC=9，CA=12，ÐABC的平分线BD交AC于点D，DE^DB交AB于点E；⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径.BCFDAE.O【答案】证明（1）连接OD，∵DE^DB，∴BE是⊙O的直径BCFDAE.O123∴OD=OB，即Ð2=Ð3又∵BD平分ÐABC，∴Ð1=Ð2，Ð1=Ð3，∴BC//OD.RtDABC中，ÐACB，∴OD^AC∴直线AC是⊙O的切线。（2）设⊙O的半径为r，RtDABC中，BC=9，CA=12∴∵BC//OD,DADO∽DACB86\n∴，，解得16.（2022·××省××市X模，题号，分值）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r图①d＝a＋ra－r＜d＜a＋rd＝a－rd＜a－r所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有　　　　　　　　　个；（2）如图②，当r＝a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系图②公共点的个数d＞a＋rd＝a＋ra≤d＜a＋rd＜a所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有　　　　　　　　个；（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝a；图③【答案】[解]图①（1）d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r0d＝a＋r1a－r＜d＜a＋r2d＝a－r1d＜a－r0所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；图②（2）86\nd、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r0d＝a＋r1a≤d＜a＋r2d＜a4所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；（3）如图所示，连结OC．则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r．在Rt△OCF中，由勾股定理得：BCDFEOF2＋FC2＝OC2即（2a－r）2＋a2＝r24a2－4ar＋r2＋a2＝r25a2＝4ar5a＝4r（4）①当a＜r＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；②当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；③当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；④当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．17.（2022·湖北省荆州××市2模，题号22，分值）如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.　　(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.86\n【答案】解:如图(1)连接OD.　　∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.　　又∵OA=OD，∴∠1=∠3.　　∴∠2=∠3.　　∴OD∥AE.　　∵DE⊥AE，　　∴DE⊥OD.　　而D在⊙O上，　　∴DE是⊙O的切线.　　(2)过D作DG⊥AB于G.　　∵DE⊥AE，∠1=∠2.∴DG=DE=3，半径OD=5.在Rt△ODG中，根据勾股定理:OG＝＝＝4，∴AG=AO+OG=5+4=9.　∵FB是⊙O的切线，AB是直径，∴FB⊥AB.而DG⊥AB，　　∴DG∥FB.　　△ADG∽△AFB，∴　∴.∴BF=.18.（2022·江西省宜春市模，题号23，分值9）已知：如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠ADE=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．86\n【答案】（1）证明：连结OD因为OA=OD所以∠OAD=∠ODA又因为AD平分∠CAM所以∠OAD=∠DAE所以∠ODA=∠DAE所以OD∥MN因为DE⊥MN所以OD⊥DE所以DE是⊙O的切线（2）解：连结OB因为∠ADE=30°所以∠DAE=∠OAD=60°所以∠BAO=60°因为OA=OB所以△OAB是等边三角形所以19.（2022·湖北省黄冈市张榜中学X模，题号20，分值6）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD延长线于点E.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若AE=2，CD=3，求⊙O的直径.【答案】（1）证明：由AE⊥CD，可证∠EDA＋∠EAD＝90°；易证∠EDA＝∠ABC＝∠BAD，所以∠BAD＋∠EAD＝90°，即∠EAB＝90°，故AE为⊙O的切线。（2）作OF⊥CD于F，连结OD，可证OF＝AE＝2，由垂径定理可得，，由勾股定理得，86\n所以直径AB＝5。20．（2022·湖北省黄冈市X模，题号20，分值9）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．(1)求证：AD⊥CD；(2)若AD=2，AC=，求AB的长．【答案】(1)证明：连结BC．∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA=∠B．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB．∴∠ADC=∠ACB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．(2)解：∵∠DCA=∠B，∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB．∴∴AC2=AD·AB.∵AD=2，AC=,∴AB=.21．（2022·山东省大连市X模，题号22，分值10）如图，在等腰三角形中，，为上一点，以为圆心、长为半径的圆交于，交于．（1）求证：是的切线；（2）若与相切于，，求的半径的长．ECBDOA86\n【答案】（1）证明:连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠ODB=∠C∴OD∥AC又DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线（2）解：如图，⊙O与AC相切于F点，连接OF，则：OF⊥AC，在Rt△OAF中，sinA=∴OA=又AB=OA+OB=5∴∴OF=cm21．（2022·浙江省余姚2模，题号23，分值9）【答案】86\n21．（2022·省徐州市X模，题号2，分值10）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥轴于D,问：为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系．86\n【答案】解：⑴作PH⊥OB于H﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝∴OH＝，∴P﹙，﹚图1图2图3⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，∵OB＝，∠BOC＝30°∴BC＝∴PC由，得﹙s﹚,此时⊙P与直线CD相割．当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，PC由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．综上，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割．∴四边形CODP的面积==86\n21．（2022年广东省江门市4模，题号14，分值6）如图，直线与半径为的⊙相切于点，弦，是圆周上一点，．⑴求；⑵求．【答案】⑴⑵（连接、，设与相交于）∵是⊙的切线，∴∵，∴，∵，∴，∴21．（2022·湖北省漳黄冈市4模，题号21，分值8）【答案】21．（2022·湖南省长沙市模，题号24，分值18）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE上AC，垂足为E。(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．86\n【答案】(1)证明：如图，连结OD．∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠0DE=∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．(2)解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，∴∠BOD=∠BAC=60°，∠C=∠0DB．又∵OB=OD，∴△BOD是等边三角形．∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5．∵DE⊥AC，∴DE=CD·sin∠C=5×sin60°=．21．（2022·广东省中山××市1模，题号21，分值10）如图，AB是8O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与8O相切于点D，弦DF^AB于点E，线段CD=10，连接BD；（1）求证：ÐCDE=ÐDOC＝2ÐB；（2）若BD：AB=：2，求8O的半径及DF的长。86\nABCDEFO【答案】⑴证明：∵CD切⊙O∴OD⊥CD又∵DF⊥AD∴∠CDE=∠DOC∵OD=OB∴∠B=∠OBD∠COD=∠B+∠OBD∴∠CDE=∠COD=2∠B⑵连AD,设BD=R,则AB=2k∵AB为直径，∴∠ADB=90°∴AD=∴AB=2AD,∠B=30°∠COD=60°，∠C=30°∴BD=CD=10，DE=5BD=k=10，∴k=，∴AB=，∴半径为21．（2022·广东省佛山市市X模，题号21，分值10）如图,⊙○是△ABC的外接圆,FH是⊙○的切线,切点为F,FH∥BC,连接AF交BC于点E,∠ABC的平分线BD交AF于点D,连结BF.(1)求证:AF平分∠BAC(2)求证:BF=FD【答案】解:(1)如图甲，连接OF。∵FH是⊙○的切线∴OF⊥FH∵FH∥BC∴OF垂直平分BC∴弧BF＝弧FC∴AF平分∠BAC(2)由（1）及题设条件可知，在图乙中，∠1＝∠2,∠4＝∠3，∠5＝∠2…2分∴∠1+∠4＝∠2+∠3∴∠1+∠4＝∠5+∠3∴∠FDB=∠FBD∴BF=FD86\n22．（2022·北京燕山市毕业模，题号21，分值5）如图，等腰△ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB和BC分别相切.（1）⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由.（2）若AB=5，BC=4，求⊙O的半径.【答案】⑴是理由是：∵⊙O与AB相切，把切点记作D.联结OD，则OD⊥AB于D.作OF⊥AC于F，∵AE是底边BC上的高，∴AE也是顶角∠BAC的平分线.∴OF=OD=r为⊙O的半径.∴⊙O与AC相切于F.又∵⊙O与BC相切，∴⊙O是△ABC的内切圆.⑵∵OE⊥BC于E，∴点E是切点，即OE=r.由题意，AB=5，BE=AB=2，∴AE==.∵Rt△AOD∽Rt△ABE，∴，即.解得，r=.∴⊙O的半径是.23．（2022·北京市延庆模，题号20，分值5）如图，是等腰三角形，，以为直径的⊙与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点．86\n（1）求证：是⊙的切线；（2）若⊙的半径为，，求的值．ABFCDEO【答案】证明：（1）连结AD，OD∵AC是直径∴∵AB=AC功会∴D是BC的中点∵O是AC的中点∴∵∴∴是⊙的切线（2）由（1）可知，∴∴∴∴FC=2∴AF=6∴24．（2022·北京市西城5模，题号21，分值5）如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，△BEF的面积为8，且cos∠BFA＝，求△ACF的面积．【答案】（1）证明：连接BO∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD．∵AB＝AO，∴∠ABO＝∠AOB．又∵在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，∴∠OBD＝90°．∴BD⊥BO．86\n∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线．（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF．∵AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∴∠ABC＝90°．∵在Rt△BFA中，∠ABF＝90°，cos∠BFA＝，∴．又∵＝8，∴＝18．25．（2022·北京市通州5模，题号21，分值5）如图在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，0)，以点A为圆心，2为半径的圆与x轴交于O，B两点，C为⊙A上一点，P是x轴上的一点，连结CP，将⊙A向上平移1个单位长度，⊙A与x轴交于M、N，与y轴相切于点G，且CP与⊙A相切于点C，.请你求出平移后MN和PO的长.【答案】解：（1）过点A作轴，垂足为H，连结AMAM=2,AH=1,根据勾股定理得：MH=,MN=（2）CP是⊙A切线，且满足要求的C有两个：C1、C2如图，或86\n当时，CP是⊙A切线，=,在中，AH=1,同理可求的长是或26．（2022·北京顺义5模，题号20，分值5）已知：如图，是的直径，切于，交于，为边的中点，连结．(1)是的切线；(2)若，的半径为5，求的长.【答案】（1）证明：连结和∵是的直径，切于，∴,,∴在Rt中，为边的中点∴∴∵∴∴86\n即∴是的切线(2)连结在Rt中∵，的半径为5∴∵,∴在Rt中27．（2022·北京平谷4模，题号20，分值5）如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过两点的交于点，交于点，恰为的直径．（1）求证：与相切；（2）当时，求的半径．OBGECMAF【答案】解：（1）证明：连结，则．∴．OBGECMAF123∵平分．∴．∴．∴．∴．在中，∵，是角平分线，∴．∴．∴．∴．∴与相切．（2）解：在中，，是角平分线，86\n∴．∵，∴,在中，，∴．设的半径为，则．∵，∴．∴．∴．解得．∴的半径为．28．（2022·北京密云模，题号20，分值5）如图，AB是的直径，，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且（1）证明CF是的切线(2)设⊙O的半径为1．且AC=CE,求MO的长.【答案】（1）证明：连结0C,∵AB是直径，∴∠ACB=90∵∠BAC=30,∴∠ABC=60又∵OB=OC,∴∠0CB=∠OBC=60在RtEMB中，∵∠ABC=60∴∠E=30∴∠OCF=90∴CF是⊙O的切线.（2）在Rt△ACB中，∠A=30,∠ACB=90∴AC=,BC=1∴BE=+186\n在Rt△BEM中，∠E=30,∠BME=90∴MB=∴MO=29．（2022·北京门头沟1模，题号20，分值5）已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连结BD．（1）如图1，若BD∶CD＝3∶4，AD＝3，求⊙O的直径AB的长；（2）如图2，若E是BC的中点，连结ED，请你判断直线ED与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【答案】解：（1）如图1，∵AB是⊙O的直径通∴∠ADB=90°．则∠CDB=∠ADB=90°．图1ACBDO·∴∠C+∠CBD=90°．∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．∴∠C=∠ABD．∴△ADB∽△BDC．∴．∵BD：CD=3：4，AD=3，∴BD=4．在Rt△ABD中，．（2）直线ED与⊙O相切．证明：如图2，连结OD．图2ACBDEO·由（1）得∠BDC=90°．∵E是BC的中点，∴DE=BE．∴∠EDB=∠EBD．∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD．∵∠OBD+∠EBD=90°，∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°．∴ED是⊙O的切线．　86\n30．（2022·北京怀柔1模，题号19，分值5）如图，已知AB为⊙O的直径,DC切⊙O于点C,过D点作DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F.求证：△DFC是等腰三角形.证明：【答案】证明：连结OC，∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵DC是切线∴∠DCF=900-∠OCA∵DE⊥AB∴∠DFC=900-∠OAC∵∠OAC=∠OCA，∴∠DFC=∠DCF即△DFC是等腰三角形.31．（2022·北京海淀1模，题号20，分值5）如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF.（1）证明BF是⊙O的切线;（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小.【答案】证明：连接OF.86\n（1）∵CF⊥OC,∴∠FCO=90°.∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO.∵FC=FB，∴∠FCB=∠FBC.粉∴∠BCO+∠FCB=∠CBO+∠FBC.即∠FBO=∠FCO=90°.∴OB⊥BF.∵OB是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线.（2）∵∠FBO=∠FCO=90°，∴∠MCF+∠ACO=90°，∠M+∠A=90°.∵OA=OC，∴∠ACO=∠A.∴∠FCM=∠M.易证△ACB∽△ABM,∴.∵AB=4，MC=6，∴AC=2.∴AM=8，BM==.∴cos∠MCF=cosM==.∴∠MCF=30°32．（2022·北京丰台1模，题号20，分值5）在Rt中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，联结AC，将△AFC沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长．【答案】（1）直线FC与⊙O的位置关系是_相切_；证明：联结OC86\n∵OA=OC，∴∠1=∠2，由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°∴∠3=∠2∴OC∥AF，∴∠F=∠OCD=90°，∴FC与⊙O相切（2）在Rt△OCD中，cos∠COD=∴∠COD=60°在Rt△OCD中，CE=OC·sin∠COD=33．（2022·北京大兴1模，题号23，分值7）在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于F.（1）求OA，OC的长；（2）求证：DF为⊙O′的切线；（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形.那么在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，请你证明点P与⊙O′的位置关系，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）解：在矩形ABCO中，设OC=x，则OA=x+2，依题意得，x(x+2)=15.解得（不合题意，舍去）∴OC=3，OA=5.（2）证明：连结O′D，在矩形OABC中，∵OC=AB，∠OCB=∠ABC，E为BC的中点，∴△OCE≌△ABE.∴EO=EA.∴∠EOA=∠EAO.又∵O′O=O′D，86\n∴∠O′DO=∠EOA=∠EAO.∴O′D∥EA.∵DF⊥AE，∴DF⊥O′D.又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，∴DF为⊙O′的切线.（3）答：存在.①当OA=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧，交BC于点和两点，则△AO、△AO均为等腰三角形.证明：过点作H⊥OA于点H，则H=OC=3，∵A=OA=5，∴AH=4，OH=1.∴（1,3）.∵（1,3）在⊙O′的弦CE上，且不与C、E重合，∴点在⊙O′内.类似可求（9,3）.显然，点在点E的右侧，∴点在⊙O′外.②当OA=OP时，同①可求得，（4,3），（-4,3）.显然，点在点E的右侧，点在点C的左侧因此，在直线BC上，除了E点外，还存在点，，，，它们分别使△AOP为等腰三角形，且点在⊙O′内，点、、在⊙O′外.34．（2022·北京，崇文4模，题号20，分值5）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．（1）求∠AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．86\n【答案】（1）解：在△AOC中，AC=2，∵AO＝OC＝2，∴△AOC是等边三角形．∴∠AOC＝60°，∴∠AEC＝30°．（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴OC∥BD．∴∠ABD＝∠AOC＝60°．∵AB为⊙O的直径，∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．∴∠EAB＝∠AEC．∴四边形OBEC为平行四边形．又∵OB＝OC＝2．∴四边形OBEC是菱形．35．（2022·北京朝阳4模，题号21，分值6）已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BC＝5，AB＝8，求OF的长．【答案】（1）证明：∵OC⊥AB，CD∥BA，∴∠DCF=∠AHF=90°.∴CD为⊙O的切线.（2）解：∵OC⊥AB，AB＝8，86\n∴AH=BH==4.在Rt△BCH中，∵BH=4，BC=5，∴CH=3.∵AE∥BC，∴∠B=∠HAF.∴△HAF≌△HBC.∴FH=CH=3，CF=6.连接BO，设BO=x，则OC=x，OH=x-3.在Rt△BHO中，由，解得.∴..36．（2022·北京昌平4模，题号20，分值5）如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．【答案】（1）答：BD和⊙O相切.证明：∵OD⊥BC,∴∠OFB=∠BFD=90°,∴∠D+∠3=90°.∵∠4=∠D=∠2,　　　　∴∠2+∠3=90°,∴∠OBD=90°,即OB⊥BD.86\n∵点B在⊙O上，∴BD和⊙O相切.(2)∵OD⊥BC,BC=8,∴BF=FC=4.∵AB=10,∴OB=OA=5.在Rt△OFB中,∠OFB=90°,∵OB=5,BF=4,∴OF=3.∴tan∠1=.在Rt△OBD中,∠OBD=90°,∵tan∠1=,OB=5,∴.37．（2022南京雨花台区4模，题号25，分值8）如图，四边形是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，点E是⊙O上一点，且∠AED=45°。（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由;（2）若⊙O的半径为，，求∠ADE的正弦值．【答案】解：（1）与相切。理由是：连接，则∵四边形是平行四边形，∴∥∴∴∴与相切。（2）连接，则，∵是的直径，86\n∴，在△中，。∴38．（2022·南京玄武区4模，题号25，分值7）如图，AB为⊙O的直径，点C在上，点D在AB的延长线上于，且AC=CD，已知∠D＝30°.⑴判断CD与⊙O的位置关系，请说明理由。⑵若弦CF⊥AB，垂足为E，且CF＝，求图中阴影部分的面积.【答案】（1）CD与⊙O相切理由：连接OC∵AC=DC，∴∠A=∠D=30°∵AO=CO，∴∠OCA=∠A=30°∠COD=60°，∴∠D+∠COD=90°，∴∠OCD=90°∴OC⊥CD,∴CD与⊙O相切（2）∵CF⊥AB，∴CE=CF=在Rt△OCE中，sin60=,OC=2OE=1,-==39．（2022·南京高淳县1模，题号26，分值9）(9分)如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD关于直线AD成轴对称．（1）试说明：AE为⊙O的切线；86\nPABOCDEH（2）延长AE与CD交于点P，已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．【答案】（1）连结OA由△AED与△AHD关于直线AD成轴对称可知∠ADO＝∠ADE因为AB⊥CD，所以∠AED＝∠AHD＝90°．又因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA所以∠OAD＝∠ADE，所以OA∥DE所以∠OAP＝90°，又因为点A在圆上，所以AE为⊙O的切线．CABODEH（2）设⊙O的半径为x,在Rt△AOP中，OA2＋AP2＝OP2x2＋22＝(x＋1)2解得x＝1.5P所以⊙O的半径为1.5因为OA∥DE，所以△PED∽△PAO所以＝，＝，解得DE＝40．（2022·南京1模，题号26，分值10）如图直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(0，3)，点M在线段AB上．(1)如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为2，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；图1图2(2)如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．【答案】(1)直线OB与⊙M相切．……………………1分理由：设线段OB的中点为D，连结MD．……………………2分因为点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD＝2．所以MD⊥OB，点D在⊙M上．……………………4分又因为点D在直线OB上，……………………5分86\n所以直线OB与⊙M相切．(2)解法一：可求得过点A、B的一次函数关系式是y＝x＋3，因为⊙M与x轴、y轴都相切，所以点M到x轴、y轴的距离都相等．设M(a，－a)(－4＜a＜0)．把x＝a，y＝－a代入y＝x＋3，得－a＝a＋3，得a＝－．所以点M的坐标为(－，)．解法二：连接ME、MF．设ME＝x(x＞0)，则OE＝MF＝x，AE＝x，所以AO＝x．因为AO＝4，所以，x＝4．解得x＝．所以点M的坐标为(－，)．41．（2022·南京市栖霞区1模，题号27，分值9）如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5,4），⊙A的半径为2.过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动.(1)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与⊙A的位置关系,并说明理由;(2)设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与⊙A相切时a的值(参考数据:，)【答案】解：（1）连结OP，过点A作AC⊥OP，垂足为点C，则AP＝PB－AB＝12－5.5＝6.5，OB＝4，∵∠ACP＝∠OBP＝90°,∠APC＝∠OPB∴△APC∽△OPB,，86\n∴直线OP与⊙A相离设直线OP与⊙A相切与点H分两种情况①当点P在线段AB上（即当点P在点A的左侧时），如图（1）所示BP＝a，AP＝5.5－a，∵∠APH＝∠OPB,∠AHP＝∠OBP＝90°∴△APH∽△OPB得OP＝11－2a在Rt△OBP中，（11－2a）2＝a2+42解得a1＝3，a2＝(舍去)②当点P在点A的右侧时，如图（2）所示BP＝a，AP＝a－5.5，同理得△APH∽△OPB得OP＝2a－11………7分，在Rt△OBP中，（2a－11）2＝a2+42解得a1＝3(舍去)，a2＝…∴当直线OP与⊙A相切时，的值为3或…42．（2022·南京浦口1模，题号25，分值7）如图，内接于⊙，点在半径的延长线上，．（1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；AOCBD（2）若⊙的半径长为1，求由弧、线段和所围成的阴影部分面积（结果保留和根号）．【答案】解：（1）直线与⊙O相切．理由：在⊙O中，．又，是正三角形，.又，，．又是半径，直线与⊙O相切．（2）由（1）得是，．，．．又，86\n．43．（2022·南京建邺区1模，题号25，分值8）如图，在△ABC中，AB=AC，点O为底边上的中点，以点O为圆心，1为半径的半圆与边AB相切于点D．DBCAO（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A＝60°时，求图中阴影部分的面积．【答案】解：（1）直线AC与⊙O相切．理由是：连接OD,过点O作OE⊥AC，垂足为点E．∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB=AC，点O为底边上的中点，∴AO平分∠BAC又∵OD⊥AB，OE⊥AC∴OD=OE∴OE是⊙O的半径．又∵OE⊥AC，∴直线AC与⊙O相切．（2）∵AO平分∠BAC，且∠BAC=60°，∴∠OAD=∠OAE=30°，∴∠AOD=∠AOE=60°，在Rt△OAD中，∵tan∠OAD=，∴AD==，同理可得AE=∴S四边形ADOE=×OD×AD×2=×1××2=又∵S扇形形ODE==π∴S阴影=S四边形ADOE－S扇形形ODE=－π．44．（2022·南京白下区1模，题号26，分值8）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；86\n（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．ODCBA【答案】解：（1）直线CA与⊙O相切．ODCBA如图，连接OA．∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∠DOA＝2∠B＝60°．∴∠CAO＝90°，即OA⊥CA．∵点A在⊙O上，∴直线CA与⊙O相切．（2）∵AB＝2，AB＝AC，∴AC＝2．∵OA⊥CA，∠C＝30°，∴OA＝AC·tan30°＝2·＝2．∴S扇形OAD＝＝π．∴图中阴影部分的面积等于S△AOC－S扇形OAD＝2－π．45．（2022·张家港1模，题号25，分值8）如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．(1)求证：PQ是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，TC＝，求图中阴影部分的面积．【答案】86\n46．（2022·杨州梅岭中学1模，题号26，分值10）如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．（1）试说明直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求DE的长．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵四边形OBCD是菱形，∴OD//BC．∴∠1=∠ACB=90°．∵EF∥AC，∴∠2=∠1=90°．∵OD是半径，∴EF是⊙O的切线．（2）解：连结OC，∵直径AB=4，∴半径OB=OC=2．∵四边形OBCD是菱形，∴OD=BC=OB=OC=2．∴∠B=60°．∵OD//BC，∴∠EOD=∠B=60°．在Rt△EOD中，．47．（2022·杨州模，题号26，分值10）如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F。86\nCEDFOBA(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF。【答案】48．（2022·上海长宁1模，题号25，分值14）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于C点，顶点为D.过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O1，交直线CD于P、E两点.(1)求E点的坐标；(2)联结PO1、PA.求证:～；(3)①以点O2(0，m)为圆心画⊙O2，使得⊙O2与⊙O1相切，当⊙O2经过点C时，求实数m的值；②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O3，以O3为圆心画⊙O3，使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程).【答案】解:(1)(3分)∴设直线CD:将C、D代入得解得∴CD直线解析式:(2)(4分)令y=0得解得∴又∵、∴以OE为直径的圆心、半径.设86\n由得解得（舍）∴∴又∴∴～(3)①据题意，显然点在点C下方当⊙O2与⊙O1外切时代入得解得（舍）当⊙O2与⊙O1内切时代入得解得（舍）∴②49．（2022·山东宁阳1模，题号20，分值5）如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过两点的交于点，交于点，恰为的直径．OBGECMAF（1）求证：与相切；（2）当时，求的半径．【答案】解：（1）证明：连结，则．∴．OBGECMAF123∵平分．86\n∴．∴．∴．∴．在中，∵，是角平分线，∴．∴．∴．∴．∴与相切．（2）解：在中，，是角平分线，∴．∵，∴,在中，，∴．设的半径为，则．∵，∴．∴．∴．解得．∴的半径为．50．（2022·山东1模，题号19，分值6）如图，为⊙O的弦，为劣弧的中点。（1）若⊙O的半径为5，，求；86\n（2）若，且点在⊙O的外部，判断与⊙O的位置关系，并说明理由.【答案】(1)解：∵为⊙O的弦，为劣弧的中点,E∴于E∴又∵∴∴在Rt△AEC中,(2)AD与⊙O相切.理由如下：∵∴∵由（1）知∴∠C+∠BAC＝90°.又∵∴∴AD与⊙O相切.51．（2022·江西省兴国1模，题号21，分值8）已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．86\n（1）判断直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；（2）若，求⊙的面积．【答案】解：（1）BD与圆O相切。证明如下：连接OD,则∠ADO=∠A=∠CBD∵∠C=900∴∠A+∠CBD+∠DBO=900又∵∠BOD=∠A+∠ADO=∠A+∠CBD∴∠BOD+∠DBO=∠A+∠CBD+∠DBO=900∴∠ODB=900，即OD垂直BD∴BD与圆O相切（2）⊙的面积是（过程略）52．（2022·江西兴国2模，题号24，分值10）已知，如图11，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，∠ACB＝∠DCE（1）请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论。（2）如果tan∠ACB＝，BC＝2。求⊙O的半径。【答案】解：（1）直线CE与☉o相切证明：∵矩形ABCD∴BC//AD.∠ACB=∠DAC又∵∠ACB=∠DCE∴∠DAC=∠DCE86\n连接OE.则∠DAC=∠AEO=∠DCE∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠OEC=90°∴线CE与☉o相切（2）∵tan∠ACB==.BC=2又∵∠ACB=∠DCE∴∴………在Rt△CDE中，CE=…设☉o的半径为r，则在Rt△CEO中即解得：53．（2022·江西省南康市模，题号23，分值9）如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．【答案】54．（2022·江西省高安市1模，题号22，分值9）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：点D是BC的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）如果⊙O的直径为9，cosB＝，求DE的长．86\nABCDEO·【答案】（1）证明：连接AD∵AB为半圆O的直径,∴AD⊥BC∵AB=AC∴点D是BC的中点(2)解：相切连接OD∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切（3）∵AB为半圆O的直径∴∠ADB=900在Rt△ADB中∵cosB=∴BD=3∵CD=3在Rt△ADB中∴cosC=∴CE=1∴DE=55．（2022。江苏省宜兴市2模，题号21，分值7）已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点．CPBOAD（1）求证：是的切线；（2）若，求的值．【答案】（1）证明：，．又，．又于，，．是的切线．CPBOAD（2）连结，是直径，，，，．86\n56．（2022·江苏洋思中学1模，题号25，分值10）如图，Rt△ABC中,∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．【答案】57．（2022·江苏泰州市2模，题号25，分值8）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，BD交AC于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半径．【答案】（1）连接OD，∠EBD=∠ABD，∠ABD=∠ODB，则∠EBD=∠ODB…则OD∥BE，∠ODE=∠DEB=90°DE是⊙O的切线（2）设OD交AC于点M易得矩形DMCE，DM=EC=1AM=MC=DE=2…设⊙O的半径为x，得解得：⊙O的半径为58．（2022·东营市2模，题号20，分值10）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE上AC，垂足为E。86\n(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．【答案】(1)证明：如图，连结OD．∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠0DE=∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．(2)解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，∴∠BOD=∠BAC=60°，∠C=∠0DB．又∵OB=OD，∴△BOD是等边三角形．∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5．∵DE⊥AC，∴DE=CD·sin∠C=5×sin60°=．59．（2022·从化市2模，题号22，分值12）如图，△OAB中，OA=OB，，⊙O经过AB的中点E交OA，OB于C，D两点，连接CD.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求证：CD∥AB；（3）若，求弧的长（结果保留）.【答案】（本小题主要考查了等腰三角形性质、圆的切线判断、垂径定理、解直角三角形及弧长公式等基础知识，考查等价转化思想，以及推理论证、运算求解等能力。）证明：（1）连接OE．∵OA=OB，E是AB的中点，86\n∴OE⊥AB．∴AB是⊙O的切线．（2）在△OAB，△OCD中，∵∠COD=∠AOB，CO=OD，OA=OB，∴∠OCD=∠OAB．∴CD∥AB．解：（3）∵CD∥AB，∠A=30°，OE⊥AB，,设OE交CD于F∴∠OCD=30°，OE⊥CD，CF=，∠COD=120°．OC==4．弧的长=60．（2022·石家庄市2模，题号25，分值12）如图，⊙O的半径为6cm，射线PM与⊙O相切于点C，且PC=16cm．（1）请你作出图中线段PC的垂直平分线EF，垂足为Q，并求出QO的长；（2）在（1）的基础上画出射线QO，分别交⊙O于点A、B，将直线EF沿射线QM方向以5cm/s的速度平移（平移过程中直线EF始终保持与PM垂直），设平移时间为t．当t为何值时，直线EF与⊙O相切？（3）直接写出t为何值时，直线EF与⊙O无公共点？t为何值时，·直线EF与⊙O有两个公共点？·CPMO【答案】（1）数量关系：相等，位置关系：垂直．（2）成立，易证△ＯＥＢ≌△ＯＦC；　（３）．25．解：（1）１０；（2）或；　（３）当０＜ｔ＜或ｔ＞时，直线EF与⊙O无公共点，　　　　当＜ｔ＜时，直线EF与⊙O有两个公共点．86\n61．（2022·大连市1模，题号22，分值9）AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线相交于点E，∠ADC＝60°．（1）求证：△ADE是等腰三角形；（2）若AD＝2，求BE的长．.ABCDEO【答案】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线OBEDCA∴∵∴在⊙O中OA=OD∴∴∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形．（2）解：由（1）知，DE=DA=…在Rt△ODE中，OE=2OD=4…∴．62．（清远市1模26题9分）如图7，在平面直角坐标系中，点的坐标为（0，），以点为圆心、为半径画圆，直线与轴、轴分别交于B、C两点，点是轴上的一个动点.（1）求B、C两点的坐标；（2）直线与⊙有那几种位置关系？（3）当直线是⊙的切线时，求点的坐标.86\nABCDO图6OABC图7【答案】(1)在直线y=－x+4中令y=0,则x=4∴点B的坐标为（4，0）令x=0，则y=4∴点C的坐标为（0，4）（2）直线与⊙O有相离、相切、相交三种位置关系（3）设直线与⊙O相切于点（点在第四象限），交轴于点，连接则⊥C把代入得，∴点的坐标为（0，4）EB∴O在Rt△中，PA在Rt△和Rt△中，∴Rt△∽Rt△图7∴即∴当点在第三象限，同理，∴点的坐标为（，0），（，0）63．（惠州市20题9分）如图，⊙O的直径AB＝4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．86\n(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)求DE的长BEFAOCD【答案】:(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵四边形OBCD是菱形，∴OD//BC．∴∠1＝∠ACB＝90°．∵EF∥AC，∴∠2＝∠1＝90°．∵OD是半径，∴EF是⊙O的切线．(2)解：连结OC，∵直径AB＝4，∴半径OB＝OC＝2．∵四边形OBCD是菱形，∴OD＝BC＝OB＝OC＝2．∴∠B＝60°．∵OD//BC，∴∠EOD＝∠B＝60°．在Rt△EOD中，DE=OD•tan∠EOD=2tan60°=2．64．河南中招考试说明解密预测试卷5第22题10分）直线y=x+与x轴交于点A,与y轴交于点B,⊙M为△AOB的外接圆.点C是劣弧上一动点（不与A,O重合）（1）求⊙M的面积.（2）连接BC交AO于点D，延长BC到点E，使DE=2，试探究，当点C运动到何处时，直线AE与⊙M相切，并说明理由.86\n【答案】(1)对于y=x+中，令x=0,y=；令y=0,x=-3，∴A(-3,0),B(0,)∵⊙M经过点A,O,B,且∠AOB=900∴AB为⊙M的直径.AB=2,半径为，S=(2)当C运动到劣弧AO的中点时，直线AE与⊙M相切.证明：∵在RT△AOB中，OB=AB∴∠ABO=60°,∠BAO=30°∵点C是劣弧AO的中点∴∴∠ABD=∠CBO=30°∴OD=OBtan30°=1,∠BDO=60°∴△EAD中,AD=3-2=1,∠ADE=∠BDO=60°∵DE=2∴△EAD为等边三角形∴∠EAD=60°∴∠CAE=30°+60°=90°∴AB⊥AE∴AE为⊙M的切线.65．（河南新密市模拟1第21题9分）86\n已知：如图，为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点，且与轴分交于点，点的坐标为，的延长线与⊙B的切线交于点．BACDyxO（1）求的长和的度数；（2）求过点的反比例函数的表达式．【答案】：（1）∵⊙B经过原点O，∠AOC=90°,∴AC是⊙B的直径，∴AC=2.又∵点A的坐标为（.0），∴OA=.OC=∴sin∠CAO=.∴∠CAO=30°.（2）连接OB，过点D作DE⊥x轴于点E.∵OD为⊙B的切线，∴OB⊥OD.∴∠BOD=90°∴∠AOB=∠OAB=30°.∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD∴OD=OA=.在Rt△DOE中，∠DOE=180°-120°=60°,∴OE=OD·cos60°=.ED=OD·sin60°=，∵点D在第二象限，∴点D的坐标为.设过点D的反比例函数表达式为，则∴66．（黄冈中学模拟第20题7分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长．86\n【答案】:(1)证明：过点A作AE⊥BC，交BC于点E．∵AB=AC，∴AE平分BC，∴点O在AE上．又∵AP//BC，∴AE⊥AP，∴AP为⊙O的切线．（2），．又，．．即．．68．（湖北襄阳第20题13分）如图，直径为５的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M和x轴交于A、B两点，和y轴交于C、D两点且CD＝4，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，顶点为N﹒（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；（3）设点Q是（1）中所求抛物线对称轴上的一点，试问在（1）中所求抛物线上是否存在点P使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由﹒ECxBOADy●MN【答案】：（１）连接MC，∵直径AB⊥CD，∴OC=OD=2，又∵MC=AB=2.5在Rt⊿OMC中，OM2=MC2－OC2，∴OM=1.5，OA=1，OB=4，则有A（－1，0），B（4，0），C（0，－2）a-b+c=0，16a+4b+c=0，C=-2.又由题意得y=ax2+bx+c经过点A(－1,0)，点B(4,0)和C(0,－2)三点,解这个方程组得a=,b=－,c=－2.86\n所求抛物线解析式为y=x2－x－2　.　　　　　　　　　　　　　　　　（２）配方得y=(x－)2－.顶点坐标为(,－).　　　　　　　作对称轴MN，过点N作NH⊥轴于H.在△CMN和△CHN中，CN2+CM2=（）2+（－2）2+（）2=，MN2=（）2=∴CN2+CM2=MN2，∴△MCN是直角三角形且∠MCN=900，又∴MC是半径，∴直线CN是⊙M的切线.（３）存在以Ａ、Ｂ、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．设P点坐标为（x,y）且在（１）中所求抛物线上，又由题意可知Q点在对称轴直线Ｘ＝上，∴点Q的横坐标为.分以下三种情况讨论：①当AB为平行四边形的边,点P在对称轴右侧时，QP=x－在平行四边形ABPQ中,AB=QP=5,∴x－=5,∴x=此时y=x2－x－2=∴点P的坐标为(,)　　　　　　②当AB为平行四边形边,点P在对称轴左侧时，PQ=－x在平行四边形ABMN中,AB=PQ=5∴－x=5∴x=－此时y=x2－x－2=∴点P的坐标为(－,)　　　　　　③当AB为对角线时,点P与抛物线顶点重合此时,点P的坐标为(,－)　　　　　　综上所述点所求P的坐标为(,)或(－,)或(,－)　　69．（吉安中考模拟卷第25题10分）86\n【答案】:70．（宁波七中保送生推荐考试数学试卷第20题6分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.(1)求证：AD⊥DC；(2)若AD＝2，AC＝,求AB的长．86\n【答案】：(1)略（2）AB=71．（枣阳市2022年中考适应性考试数学试题第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为（0＜＜5）秒.（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由.（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同.①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？②是否存在△NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由.OMCBAxyPQNO′•OCBAxy备用图O′•图M.【答案】:（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12.∴C(0,9)，B(12,0).又抛物线经过B，C两点，∴解得∴.于是令y=0，得，解得x1=-3，x2=12.∴A(-3,0).（2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切.连接OM.∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90°.∴∠OMB=90°.86\n∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线.而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO.∴∠POM=∠PMO.又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM.∴PM=PB.∴PO=PB=OB=6.∴PA=OA+PO=3+6=9.此时t=3（秒）.∴当t=3秒，PM与⊙O′相切.（3）①过点Q作QD⊥OB于点D.∵OC⊥OB，∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴=.又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=.∴S△BPQ=BP•QD=.即S=.S=.故当时，S最大，最大值为.②存在△NCQ为直角三角形的情形.∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO.∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况.当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO，∴△NCQ∽△CAO.∴=.∴=，解得.当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO，∴△QCN∽△CAO.∴=.∴=，解得.综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为和.72．（江西省中考样卷1第20题8分）如图1，是某单位的透空护栏，如图2是它的示意图，它是用外径为3cm的圆钢管与外圆直径为15cm的圆圈焊接而成的（圆圈由扁钢筋做成，两圆钢管之间夹一个圆圈），若要做高度统一为2m，长为7.41m的护栏.试问：需要圆钢管和展直扁钢筋的总长度各是多少m？【答案】:设圆圈x个.由题意得：15x+（x+1）×3=741，∴x=41（个）86\n圆钢管总长度：（x+1）×2=42×2=84（米）扁钢筋的展直总长度:41×0.15=6.15（米）.答：需要展直扁钢筋和圆钢管的总长度各是6.15、84米.73．（江西省中考样卷1第22题9分）如图,同心⊙O,大⊙O的直径AB=2,小⊙O的直径CD=2,连接AC、AD、BD、BC，AD、CB分别交小⊙O于E、F.（1）问四边形CEDF是何种特殊四边形？请证明你的结论；（2）当AC与小⊙O相切时，四边形CEDF是正方形吗？请说明理由.【答案】:（1）四边形CEDF是矩形.证明：∵CD是小⊙O的直径，∴∠CFD=∠CED=90°，又∵AB、CD分别是大⊙O、小⊙O的直径，∴OC=OD，OA=OB，∴四边形ADBC是平行四边形，∴CB∥AD，∴∠CFD+∠EDF=180°，∴∠EDF=90°，∴四边形CEDF是矩形.（2）四边形CEDF是正方形.理由：∵AC是小⊙O的切线，CD是直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACO中，OA=，OC=1，5，∴AC=2，则CD=AC=2，∠CDE=45°，∴DE=CE，∴矩形CEDF是正方形86\n74．（江西省中考样卷4第22题9分）如图,⊙O的半径为4㎝,是⊙O的直径,切⊙O于点,且=4㎝,当点P在⊙O上运动时,是否存在点P,使得△为等腰三角形,若存在,有几个符合条件的点,并分别求出点到线段的距离；若不存在,请说明理由.）BCoA【答案】:假设存在点P,使得为△等腰三角形,当时,可得,则△为等边三角形.∴.过作于G,∵∴到距离为2.当时,∵,,86\n∴四边形为正方形.∴∴到距离为4.当时,作的垂直平分线交⊙O于.∵，∴(㎝)∴∴到线段距离为(㎝).∵,∴(㎝).∴(㎝).∴到线段距离为(㎝).∴存在4个点P满足条件,P到的距离分别为.75．（江西省中考样卷6第25题10分）若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与轴、轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．（1）如图1，求的伴圆的圆心P的坐标及半径r；（2）如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；（3）如图3，求一次函数的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．86\n【答案】:（1）在一、三象限内，到x轴、y轴距离相等的点在上，与在第一象限的交点坐标．∴，解得：，，同理伴圆在第三象限时，．（2），的伴圆均为⊙P，，（a<0）；，（a>0）的伴圆也都是⊙P．（3）∵时，；时，，∴．①∵，∴，解得：，∴；②∵，∴，解得：，∴；③∵，∴，解得：，∴；④∵，∴，解得：，∴．86\n78．（江苏省盐城模拟第23题10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O一点，且∠AED=45°（1）试判断CD与⊙的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求∠ADE的正切值。　　　【答案】:（1）CD与⊙O相切．理由是：连接OD．则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°．∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）．在Rt△ABE中，tan∠ABE==79．（徐州市2022年初中毕业、升学模拟考试(1)第26题10分）如图，是⊙O的直径，为延长线上的任意一点，为半圆的中点，切⊙O于点，连结交于点．　　求证：（1）；（2）．86\n【答案】:证明：(1)连接OC、OD∴OD⊥PD，OC⊥AB∴∠PDE=—∠ODE，∠PED=∠CEO=—∠C又∵∠C=∠ODE∴∠PDE=∠PED∴PE=PD(2)连接AD、BD∴∠ADB=∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD又∵∠OBD=∠ODB∴∠BDP=∠A∴PDB∽PAD∴∴∴80．（上冈中学教育集团2022～2022学年第二学期模拟第26题12分）如图,是半圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且.(1)判断直线是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果，，求的长.【答案】:连接OD∵∠ADB=9086\n∴∠DBA+∠DAB=90∵OD=OA∴∠DAO=∠ODA∴∠ODA+∠DBA=90∵∠DBA=∠PDA∴∠PDA+∠ODA=90∴OD⊥PD∴PD为⊙O的切线（2）∵∠BDE=60∴∠ODB=30∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD=30∴∠DOP=60∴DO=1，PO=2∴PA=186