江苏省南京外国语学校2022年中考数学模拟试题含解析

江苏省南京外国语学校2022年中考数学模拟试题一、选择题（本大题共8小题，每小题2分）1．如果a与﹣2互为倒数，那么a是（　　）A．﹣2B．﹣C．D．2　2．南京长江三桥是世界上第一座弧线形钢塔斜拉桥，全长15600m，用科学记数法表示为（　　）A．1.56×104mB．15.6×103mC．0.156×104mD．1.6×104m　3．从正面观察下图的两个物体，看到的是（　　）A．B．C．D．　4．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（　　）A．B．C．D．　5．若反比例函数y=﹣的图象经过点A（2，m），则m的值是（　　）A．﹣2B．2C．﹣D．　6．我市某一周的最高气温统计如下表：最高气温（℃）25262728天数1123则这组数据的中位数与众数分别是（　　）A．27，28B．27.5，28C．28，27D．26.5，27　7．如图：下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．　8．如图，三根音管被敲击时能依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”24\n开始，以相同的节拍往复敲击这三根音管，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右…），乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右…）．在第2022拍时，你听到的是（　　）A．同样的音“1”B．同样的音“3”C．同样的音“5”D．不同的两个音　　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分）9．写出﹣1和2之间的一个无理数：　　　　　　．　10．分解因式：a3﹣ab2=　　　　　　．　11．在函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　　．　12．如图，l1∥l2，则∠1=　　　　　　度．　13．方程组的解是 　　　　　　．　14．布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是　　　　　　．15．已知x2﹣5x=6，则10x﹣2x2+5=　　　　　　．　16．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为　　　　　　cm2．　24\n17．如图，有一种动画程序，屏幕上方正方形区域ABCD表示黑色物体甲，其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=2x+b发射信号，当信号遇到区域甲时，甲由黑变白，则当b的取值范围为　　　　　　时，甲能由黑变白．　18．如图，金属杆AB的中点C与一个直径为12的圆环焊接并固定在一起，金属杆的A端着地并且与地面成30°角．圆环沿着AD向D的方向滚动（无滑动）的距离为　　　　　　时B点恰好着地．　　三、解答题（本大题共有10小题，共84分．）19．（1）计算：．（2）解不等式组，并写出不等式组的整数解．　20．某学校为丰富大课间自由活动的内容，随机选取本校100名学生进行调查，调查内容是“你最喜欢的自由活动项目是什么”，整理收集到的数据，绘制成下图．（1）学校采用的调查方式是　　　　　　；（2）求喜欢“踢毽子”的学生人数，并在下图中将“踢毽子”部分的图形补充完整；（3）该校共有800名学生，请估计喜欢“跳绳”的学生人数．　21．电脑中的信号都是以二进制数的形式给出的．二进制数是由0和1组成，电子元件的24\n“开”、“关”分别表示“1”和“0”．一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数．例如：“开”“开”“开”“关”表示“1110”．如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件A、B、C、D，且这四个元件的状态始终呈现为两开两关．（1）请用二进制数表示这组元件所有开关状态；（2）求A、B两个元件“开”“关”状态不同的概率．　22．如图，一艘核潜艇在海面下500米A处测得俯角为30°正前方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后在B处测得俯角为60°正前方的海底C处有黑匣子信号发出．点C和直线AB在同一铅垂面上，求点C距离海面的深度（结果保留根号）．　23．如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．　24．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．宾馆每天需对每个居住的房间支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆一天的利润为10890元？　25．在一次远足活动中，小聪由甲地步行到乙地后原路返回，小明由甲地步行到乙地后原路返回，到达途中的丙地时发现物品可能遗忘在乙地，于是从丙返回乙地，然后沿原路返回．两人同时出发，步行过程中保持匀速．设步行的时间为t（h），两人离甲地的距离分别为S1（km）和S2（km），图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的距离为　　　　　　km，乙、丙两地之间的距离为　　　　　　km；（2）分别求出小明由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间．（3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．24\n　26．已知抛物线C1：y=﹣x2+2mx+1（m为常数，且m＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．（1）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；（2）抛物线C1上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．　27．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：　　　　　　；（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图1的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积；（3）如图2，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13，10，17，且△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等，求六边形花坛ABCDEF的面积．24\n　28．如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数．（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．①当t=4时，求PH的长．②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．　　24\n2022年江苏省南京外国语学校中考数学模拟试卷参考答案与试题解析　一、选择题（本大题共8小题，每小题2分）1．如果a与﹣2互为倒数，那么a是（　　）A．﹣2B．﹣C．D．2考点：倒数．分析：根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．解答：解：∵a与﹣2互为倒数，∴a是﹣．故选：B．点评：本题考查了倒数的定义，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．是基础题，熟记概念是解题的关键．　2．南京长江三桥是世界上第一座弧线形钢塔斜拉桥，全长15600m，用科学记数法表示为（　　）A．1.56×104mB．15.6×103mC．0.156×104mD．1.6×104m考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题．分析：科学记数法表示为a×10n（1≤|a|＜10，n是整数）：确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：15600=1.56×104m．故选A．点评：此题考查用科学记数法表示大数．用科学记数法表示数的关键是确定a与10的指数n，确定a时，要注意范围，n等于原数的整数位数减1．　3．从正面观察下图的两个物体，看到的是（　　）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：先细心观察原立体图形中的圆柱体和正方体的位置关系，结合四个选项选出答案．解答：解：由于正方体的正视图是个正方形，而竖着的圆柱体的正视图是个长方形，因此只有C的图形符合这个条件．24\n故选C．点评：本题考查了学生的观察能力和几何体三视图中的主视图．　4．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（　　）A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值；等边三角形的性质．分析：先根据等边三角形的性质求出α的度数，再根据cos60°=即可解答．解答：解：∵α为等边三角形的一个内角，∴α=60°．∴cosα=cos60°=．故选A．点评：本题考查的是等边三角形的性质及特殊角的三角函数值，比较简单．　5．若反比例函数y=﹣的图象经过点A（2，m），则m的值是（　　）A．﹣2B．2C．﹣D．考点：待定系数法求反比例函数解析式．专题：计算题；待定系数法．分析：直接把点的坐标代入解析式即可．解答：解：把点A代入解析式可知：m=﹣．故选C．点评：主要考查了反比例函数的求值问题．直接把点的坐标代入解析式即可求出点坐标中未知数的值．　6．我市某一周的最高气温统计如下表：最高气温（℃）25262728天数1123则这组数据的中位数与众数分别是（　　）A．27，28B．27.5，28C．28，27D．26.5，27考点：众数；中位数．专题：图表型．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解答：解：处于这组数据中间位置的那个数是27，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是27．众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28．故选：A．点评：24\n本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．　7．如图：下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．解答：解：∵A．此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B：此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C．此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；D：此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．　8．如图，三根音管被敲击时能依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击这三根音管，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右…），乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右…）．在第2022拍时，你听到的是（　　）A．同样的音“1”B．同样的音“3”C．同样的音“5”D．不同的两个音考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题．分析：根据题意，知甲锤每4次一循环，乙锤每6次一循环．根据规律分别计算在第2022拍时，听到的声音．解答：解：甲锤：2022÷4=502，则在第2022拍时，听到的是“3”的声音；乙锤：2022÷6=335，则在第2022拍时，听到的是“1”的声音．故选D．点评：此题主要是能够分别正确找到两锤几次一循环的规律，根据规律即可求解．　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分）24\n9．写出﹣1和2之间的一个无理数：　（答案不唯一）　．考点：无理数．专题：开放型．分析：根据无理数的定义进行解答即可，例如．解答：解：∵无理数是无限不循环小数，≈1.41，∴1＜＜2，∴符合条件，故答案为：（答案不唯一）．点评：本题考查的是无理数的定义，属开放性题目，答案不唯一．　10．（2分）（2022•荆州）分解因式：a3﹣ab2=　a（a+b）（a﹣b）　．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．解答：解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．点评：本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．　11．在函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠　．考点：函数自变量的取值范围；分式的定义．专题：计算题．分析：函数由分式组成，故分母不等于0是这个函数有意义的条件．解答：解：根据题意得：2x﹣1≠0，解得x≠．故答案为x．点评：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；　12．如图，l1∥l2，则∠1=　20　度．考点：平行线的性质．分析：先求出∠2，再根据直角三角形两锐角互余即可求出．24\n解答：解：∵l1∥l2，∴∠2=70°，∴∠1=90°﹣∠2=90°﹣70°=20°．点评：本题利用两直线平行同位角相等和直角三角形两锐角互余求解．　13．方程组的解是 　　．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：方程①和②中y的系数互为相反数，可采用加减消元法来解二元一次方程组．解答：解：①+②得：4x=4，解得：x=1，把x=1代入②得1+2y=3，解得：y=1．所以原方程组的解是．点评：本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，当同一个未知数的系数相同或互为相反数是采用加减消元法较简单．　14．布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是　　．考点：概率公式．分析：根据题意分析可得：共6个球，其中2个白球，故从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是．解答：解：P（白球）==．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15．已知x2﹣5x=6，则10x﹣2x2+5=　﹣7　．考点：代数式求值．24\n专题：整体思想．分析：首先将所求代数式化为（x2﹣5x）的形式，然后将（x2﹣5x）的值整体代入求解即可．解答：解：10x﹣2x2+5=﹣2（x2﹣5x）+5=﹣2×6+5=﹣7；故答案为：﹣7．点评：要注意整体思想在代数求值问题中的应用．　16．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为　　cm2．考点：菱形的性质．专题：应用题．分析：观察可得重叠部分四边形为菱形，作AE⊥BC于E，则AE为丝带宽，利用三角函数求得AB的长，从而就不难求得菱形的面积．解答：解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为红丝带带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．∵∠B=60°（图2），作AE⊥BC于E，则AE为丝带宽，在Rt△ABE中，AE=1cm，∴sin60°=，∴AB=cm，所以S菱形=BC×AE=cm2．故答案为：．24\n点评：本题考查了菱形面积的求法与直角三角形的综合运用．　17．如图，有一种动画程序，屏幕上方正方形区域ABCD表示黑色物体甲，其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=2x+b发射信号，当信号遇到区域甲时，甲由黑变白，则当b的取值范围为　﹣3≤b≤0　时，甲能由黑变白．考点：正方形的性质；坐标与图形性质．专题：计算题．分析：若信号遇到区域甲时，甲由黑变白，则就是直线y=2x+b与正方形有交点，结合图象求出b的取值范围．解答：解：根据题意知，若信号遇到区域甲时，甲由黑变白，则就是直线y=2x+b与正方形有交点，故当直线经过B（2，1）点时，b有最小值，1=4+b，解得b=﹣3，当直线经过D（1，2）点时，b有最大值，2=2+b，解得b=0，故b的取值范围为﹣3≤b≤0．故答案为：﹣3≤b≤0．点评：本题主要考查正方形的性质，把正方形与直线方程结合考查，不难但是做题考虑要周全．　18．如图，金属杆AB的中点C与一个直径为12的圆环焊接并固定在一起，金属杆的A端着地并且与地面成30°角．圆环沿着AD向D的方向滚动（无滑动）的距离为　2π　时B点恰好着地．24\n考点：弧长的计算．专题：压轴题．分析：滚动距离就是弧长，当金属杆AB转动到与地面平行时，对应的圆心角为30度，所以对应的圆心角一共是60度，根据弧长公式可得结果．解答：解：由题意可知，圆环在滚动过程中，圆心角转动了60°，所以圆环滚动的距离为=2π．点评：本题考查弧长公式，分析出圆心角转动了60°是解题的关键．　三、解答题（本大题共有10小题，共84分．）19．（1）计算：．（2）解不等式组，并写出不等式组的整数解．考点：分式的混合运算；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：（1）根据整式运算的法则先算括号里面的，再把整式的除法变为乘法进行运算即可；（2）先求出不等式的解集，再求出符合条件的正整数解即可．解答：（1）解：原式=（1分）=（3分）=（4分）=；（6分）（2），解：解不等式①，得x≥﹣1，（2分）解不等式②，得x＜3，（4分）24\n所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜3，（5分）所以，不等式组的整数解为﹣1，0，1，2．（6分）故答案为、﹣1，0，1，2．点评：此题比较简单，本题考查的是整式的混合运算及求不等式组解集的方法，在解（2）时可借助于数轴求解．　20．某学校为丰富大课间自由活动的内容，随机选取本校100名学生进行调查，调查内容是“你最喜欢的自由活动项目是什么”，整理收集到的数据，绘制成下图．（1）学校采用的调查方式是　抽样调查　；（2）求喜欢“踢毽子”的学生人数，并在下图中将“踢毽子”部分的图形补充完整；（3）该校共有800名学生，请估计喜欢“跳绳”的学生人数．考点：条形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体．分析：（1）根据题意，学校采用的调查方式是随机的抽样调查；（2）根据直方图中，各组频数之和为样本容量，可得“踢毽子”一组人数为100﹣40﹣20﹣15=25；据此可将图形补充完整；（3）首先计算样本中喜欢“跳绳”的学生占的比例，再根据样本估计总体的思想计算即可．解答：解：（1）抽样调查；（2）已知总人数为100，故“踢毽子”一组人数为100﹣40﹣20﹣15=25；据此可将图形补充完整；（3）在样本中，喜欢“跳绳”的学生占20%，故在该校的800名学生，喜欢“跳绳”的学生有800×20%=160人．点评：本题考查学生根据统计知识，分析问题，解决实际问题的能力．　24\n21．电脑中的信号都是以二进制数的形式给出的．二进制数是由0和1组成，电子元件的“开”、“关”分别表示“1”和“0”．一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数．例如：“开”“开”“开”“关”表示“1110”．如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件A、B、C、D，且这四个元件的状态始终呈现为两开两关．（1）请用二进制数表示这组元件所有开关状态；（2）求A、B两个元件“开”“关”状态不同的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）列举出两开两关的所有情况即可；（2）看A、B两个元件“开”“关”状态不同的情况占总情况的多少即可．解答：解：（1）所有可能出现的结果如下：ABCD结果110011001010101010011001001100110101010101100110总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同（4分）；（2）所有的结果中，满足A、B两个元件“开”“关”状态不同的结果有4种，所以A、B两个元件“开”“关”状态不同的概率是（7分）．点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．　22．如图，一艘核潜艇在海面下500米A处测得俯角为30°正前方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后在B处测得俯角为60°正前方的海底C处有黑匣子信号发出．点C和直线AB在同一铅垂面上，求点C距离海面的深度（结果保留根号）．24\n考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点，易证∠BAC=∠BCA，所以有BA=BC．然后在直角△BCE中，利用正弦函数求出CE．解答：解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．已知AB=4000（米），∠BAC=30°，∠EBC=60°，∵∠BCA=∠EBC﹣∠BAC=30°，∴∠BAC=∠BCA．∴BC=BA=4000（米）．在Rt△BEC中，EC=BC•sin60°=4000×=2000（米）．∴CF=CE+EF=2000+500（米）．答：海底黑匣子C点处距离海面的深度为（2000+500）米．点评：本题考查了仰俯角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．　23．如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）AP=AB，PB=PC，∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP，因此可证得两三角形全等．（2）有（1）∠CAD=45°，△PAD为等边三角形，可求得∠BAP=30°∠PAC=∠PAD﹣∠CAD=15°，因此可证的结论．解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．（1分）∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP．（2分）又∵AB=DC，PB=PC，24\n∴△APB≌△DPC．（3分）（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等边三角形．∴∠DAP=60°．（5分）∴∠PAC=∠DAP﹣∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC﹣∠PAC=30°．（6分）∴∠BAP=2∠PAC．（7分）点评：本题考查全等三角形的证明，要熟练掌握几种判定方法，根据条件选择合适的判定方法．本题是用角度证明2倍角关系，有时候也可用角平分线或等角转移来证明．　24．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．宾馆每天需对每个居住的房间支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆一天的利润为10890元？考点：一元二次方程的应用．专题：经济问题．分析：设每个房间的定价增加x元，由于当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满，而当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．宾馆每天需对每个居住的房间支出20元的各种费用，又要求宾馆一天的利润为10890元，由此即可列出方程（180+x﹣20）（50﹣）=10890，解此方程即可解决问题．解答：解：设每个房间的定价增加x元，根据题意得：（180+x﹣20）（50﹣）=10890，解得：x=170，当x=170时，180+x=350，答：房价定为350元时，宾馆的利润为10890元．点评：此题和实际生活结合比较紧密，首先要正确理解题意，把握好题目中的数量关系，然后才能列出方程解决问题．　25．在一次远足活动中，小聪由甲地步行到乙地后原路返回，小明由甲地步行到乙地后原路返回，到达途中的丙地时发现物品可能遗忘在乙地，于是从丙返回乙地，然后沿原路返回．两人同时出发，步行过程中保持匀速．设步行的时间为t（h），两人离甲地的距离分别为S1（km）和S2（km），图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的距离为　10　km，乙、丙两地之间的距离为　2　km；（2）分别求出小明由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间．（3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．24\n考点：一次函数的应用．分析：（1）根据图中信息，甲、乙两地之间的距离为10km，乙、丙两地之间的距离为2km；（2）利用图象可以得出两人所用总时间为2小时，由（1）可得两人所行路程，分别求出即可，令v2=（10+2）÷1=12，求解；（3）利用待定系数法求解析式．解答：解：（1）10，2（2分）（2）根据小明到达丙时所用时间为1小时，所行路程为（10+2）km，即v2=（10+2）÷1=12km/h，t1=10÷12=，t2=2÷12=，∴小明由甲地出发首次到达乙地用了小时，由乙地到达丙地用了小时（4分）（3）设线段AB所表示的S2与之间的函数关系式为S2=kt+b（k≠0）．由（1）可知点A、B的坐标为A（，10），B（1，8），代入，得（6分）解得：，∴S2=﹣12t+20（）（8分）点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．要学会利用待定系数法求解析式．　26．已知抛物线C1：y=﹣x2+2mx+1（m为常数，且m＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．（1）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；（2）抛物线C1上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．24\n考点：二次函数综合题．分析：（1）根据轴对称的性质可得：AC=BC等腰三角形，借助于辅助线，又可求得∠ACy=45°，可得△ABC为等腰直角三角形；（2）首先假设成立，根据菱形的性质求解，求得m=，所以存在．解答：解：（1）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形．　　理由如下：如图：∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，∴AC=BC．　过点A作抛物线C1的对称轴，交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E．当m=1时，顶点A的坐标为A（1，2），∴CE=1．又∵点C的坐标为（0，1），AE=2﹣1．∴AE=CE．从而∠ECA=45°，∴∠ACy=45°．由对称性知∠BCy=∠ACy=45°，∴∠ACB=90°．∴△ABC为等腰直角三角形．　　（2）假设抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC．由（1）知，AC=BC，∴AB=BC=AC．∴△ABC为等边三角形．∴∠ACy=∠BCy=30°．∵四边形ABCP为菱形，且点P在C1上，∴点P与点C关于AD对称．∴PC与AD的交点也为点E，因此∠ACE=90°﹣30°=60°．∵点A，C的坐标分别为A（m，m2+1），C（0，1），∴AE=m2+1﹣1=m2，CE=m．在Rt△ACE中，tan60°===．∴m=±，∵m＞0，∴m=，故抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，24\n此时m=．点评：此题考查了二次函数与四边形以及轴对称图形的综合知识，解题时要注意辅助线选择与应用，还要注意数形结合思想的应用．　27．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：　　；（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图1的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积；（3）如图2，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13，10，17，且△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等，求六边形花坛ABCDEF的面积．考点：作图—应用与设计作图．专题：网格型．分析：（1）画出格子后可以根据格子的面积很容易的算出三角形的面积，大矩形的面积减去矩形内除去所求三角形的面积即可．（2）构造时取（1，3）（2，2）（1，4）即可．（3）根据PRQ的长度取（1，3）（1，4）（2，3）在网格中画图，求出其面积．解答：解：（1）根据格子的数可以知道面积为S=3×3﹣=；（2）画图为24\n计算出正确结果S△DEF=2×4﹣（1×2+1×4+2×2）=3；（3）利用构图法计算出S△PQR=，△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等，计算出六边形花坛ABCDEF的面积为S正方形PRBA+S正方形RQDC+S正方形QPFE+4S△PQR=13+10+17+4×=62．点评：本题是一种简单的求解三角形面积的算法，可以求出任意三角形的面积，方便省时．　28．如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数．（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．①当t=4时，求PH的长．②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；新定义．分析：24\n（1）以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点就是A，B两点在CD上的勾股点；（2）当矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，此时以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点；（3）①如图，当t=4时，PM=8﹣4=4，QN=5﹣4=1，分三种情况：当∠MHN=90°时，根据已知条件可以证明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形对应线段成比例即可求出PH；当∠H''NM=90°时，设PH=x，那么H''Q=4﹣x，根据勾股定理得到PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，而MN==5，依次即可求出PH''；当∠H'MN=90°时，根据勾股定理得到H'P2+PM2+QH'2+QN2=MN2，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'．②利用①的结果可以探究满足条件的点H的个数及相应t的取值范围．解答：解：（1）如图，以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点E就是所勾股点；（2）∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，∴以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点4个；（3）①如图，当t=4时，PM=8﹣4=4，QN=5﹣4=1，当∠MHN=90°时，∵∠MPH=∠HQN=90°，∴△PMH∽△QHN，∴PH：QN=PM：HQ，而PH+HQ=BC=4，∴PH=2；当∠H''NM=90°时，设PH=x，那么H''Q=4﹣x依题意得PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，而MN==5，∴PH=；当∠H'MN=90°时，QH'2+QN2﹣（H'P2+PM2）=MN2，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，∴PH=3．∴PH=或PH=2或PH=3．②当0≤t＜4时，有2个勾股点；当t=4时，有3个勾股点；当4＜t＜5时，有4个勾股点；当t=5时，有2个勾股点；当5＜t＜8时，有4个勾股点；当t=8时，有2个勾股点．综上所述，当0≤t＜4或t=5或t=8时，有2个勾股点；当t=4时，有3个勾股点；当4＜t＜5或5＜t＜8时，有4个勾股点．24\n点评：此题比较复杂，难度很大，综合性比较强，是一个探究性试题，利用了直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质、等多个知识点，对于学生是能力要求很高，解题关键是正确理解题目所给材料，然后充分利用材料解题．　24