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八年级下华东师大版16.2 矩形-菱形与正方形的性质同步练习
八年级下华东师大版16.2 矩形-菱形与正方形的性质同步练习
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16.2矩形、菱形与正方形的性质一、课内训练:1.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOD=120°,AB=4cm,求对角线AC的长.2.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,对角线BD=5,求菱形的周长.3.如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.(1)求证:OE=OF;(2)如图2,若点E在AC的延长线上,AM与EB的延长线交于点M,交DB的延长线于点F,其他条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.(1)(2) 4.如图,以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE,连接BE,交正方形的对角线AC于点F,连接DF,求∠AFD的度数.5.(1)如图,把一矩形ABCD的纸片,沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置上,ED′与BC的交点为G,若∠EFG=55°,求∠1、∠2的度数.(2)如图,把一矩形纸片ABCD,沿EF折叠后,点D和点B重合,点C落在C′位置,若AB=4cm,AD=12cm,求BE的长度. 6.已知△ABC,∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=6cm,D为AB边上的中点,求CD的长.7.已知菱形的边长为10cm,则菱形对角线的交点到四条边中点的距离之和为_____cm.8.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC分∠BAD为∠1,∠2,且∠1:∠2=1:2,AB=3cm,求AC的长.9.菱形ABCD的两条对角线分别为5cm,12cm,则菱形ABCD的面积为多少? 10.对于左栏的案例4,采用“补短法”还可以怎样作辅助线,证明出BE=BG+FC?11.如图,E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上,且∠FBC=∠EBF,求证:BE=AE+CF.二、课外演练1.正方形具有而菱形不一定具有的特征是()A.四条边都相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等2.一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm,则这个菱形的面积为()A.56cm2B.28cm2C.14cm2D.36cm23.如图,EF为矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A.B.C.D. (第3题)(第6题)(第8题)4.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是()A.20°B.40°C.80°D.100°5.菱形的一条对角线与一条边长相等,则这菱形锐角的度数为_______.6.如图,已知矩形ABCD的对角线相交于点O,△AOD的周长比△AOB的周长大8cm,矩形周长是80cm,求矩形ABCD的面积.7.如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60°,那么()A.它的对角线长是长边长度的2倍B.它的对角线长是短边长度的2倍C.它的长边是短边长度的2倍D.上述关系无法确定8.如图,矩形ABCD中,AD=30,AB=20,E、F三等分对角线AC,则S△ABE=()A.60B.100C.150D.2009.能够在图形内找到一点,使该点到四边形的各边距离都相等,则该四边形一定是()A.平行四边形、菱形;B.矩形、正方形;C.矩形、菱形;D.菱形、正方形10.如图16-2-21,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE=3∠BAE,则∠EAC为()A.30°B.45°C.60°D.75°(第10题)(第14题)(第15题)11.矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成5cm或8cm,此矩形周长为_____cm.12.菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为8cm,则另一条对角线的长是_____cm. 13.菱形的周长是20cm,那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为______cm.14.如图,若点P是正方形ABCD内任意一点,且正方形的边长为1,若S△ABP=0.4,则S△DCP=______.15.如图,正方形ABCD的对角线相交于O点,点O是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长都为1,那么正方形绕点O旋转,两个正方形重叠部分的面积()A.B.C.D.随着旋转而变化16.如图,在矩形ABCD中,E、F分别在AB、CD上,BF∥DE,若AD=12cm,AB=7cm,AE:EB=5:2,则阴影部分的面积是_______cm2.17.如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,若S正方形ABCD=13,S正方形EFGH=1,直角三角形较短直角边为a,较长的直角边为b,求(a+b)2的值.18.有块如图,形状的钢板,如何用一条直线将其分成面积相等的两部分?(至少用2种方法) 19.在如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A、B、C、D的面积和是多少?20.阅读以下短文,然后解决下列问题:如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”,如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.(2)如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图16-2-28②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小.(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB.在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明. 答案:一、课内训练:1.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AO=CO=AC,OB=OD=BD(矩形对角线相等且互相平分).∴AO=CO=OB=OD.又∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°.∴△AOB是等边三角形.即AO=BO=AB=4(cm).∴AC=2×4=8(cm).点拨:根据矩形的对角线相等且互相平分的特征,矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形,若矩形的两条对角线的夹角中,如果有60°或120°的角,则必有等边三角形.2.解:∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD.又∵∠A=60°,∴△ABD为等边三角形.∴AB=AD=BD=5.∴菱形的周长为4AB=5×4=20.点拨:根据菱形的特征,四条边都相等,所以AB=AD,结合∠A=60°,可得△ABD为等边三角形,从而求得菱形的边长,进而求得菱形的周长.3.解:(1)因为四边形ABCD是正方形.所以∠BOE=∠AOF=90°,OA=OB.又因为AM⊥EB,所以∠MAE+∠MEA=90°=∠OBE+∠MEA.所以∠MAE=∠OBE. 所以△AOF绕O点逆时针方向旋转90°可与△BOE重合.所以OE=OF.(2)OE=OF仍成立,说明如下:因为四边形ABCD是正方形,所以∠BOE=∠AOF=90°,BO=AO.因为AM⊥EB,所以∠OEB+∠OAM=90°=∠OFA+∠OAM.所以∠OEB=∠OFA.所以△AOF绕O点逆时针旋转90°后可与△BOE重合.所以OE=OF.点拨:要使OE=OF,只需证明△AOF和△BOE重合,根据已知条件和正方形的特征易得到,“问题”的基本思路是先假设结论成立,然后用分析法探求其成立条件,若题设所给条件满足要求,则成立,反之则不成立.4.解:∵四边形ABCD是正方形.∴AB=AD,∠BAF=∠DAF.∴△ABF与△ADF全等.∴∠AFD=∠AFB.∵CB=CE,∴∠CBE=∠CEB.∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°,∴∠CBE=15°.∵∠ACB=45°,∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°.∴∠AFD=60°.点拨:易得△ABF与△ADF全等,∠AFD=∠AFB,因此只要求出∠AFB的度数即可.由∠AFB=∠ACB+∠EBC,∠ACB=45°,转化为求∠EBC的度数,在等腰△BCE中可求得.5.(1)解:在矩形ABCD中,AD∥BC, ∴∠DEF=∠EFB,∠1+∠2=180°.又∵∠EFG=55°,由对称性可知∠GEF=∠DEF=55°.∴∠1=180°-∠GEF-∠DEF=70°.∴∠2=180°-∠1=110°.(2)解:设DE=xcm,则有DE=BE=x.∵AD=10cm,∴AE=(10-x)cm.在Rt△ABE中,BE2=AB2+AE2,即x2=42+(10-x)2,解得x=,∴BE的长为cm.点拨:(1)由矩形对边平行,知道∠DEF=∠EFG=55°,而∠DEF与∠FEG是对应角,故∠FEG=∠DEF=55°,进而由平角定义,求出∠1=180°-∠DEF-∠FEG,而∠1与∠2互补,从而求出∠2.(2)可设DE长度为xcm,由折叠可知DE=BE,从而AE=10-x,在Rt△ABE中,应用勾股定理列方程:BE2=AB2+AE2,即x2=42-(10-x)2,从而求出x.6.3cm提示:△ABC为Rt△,AB为斜边,CD为斜边上的中线.7.20cm8.6cm提示:在Rt△ABC中,∠C=30°.9.30cm2提示:菱形对角线互相垂直,其面积为×5×12.10.如图,过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H,则得矩形BGHC.∴GH=BC=AB,BG=CH,∵∠HGF+∠AGE=90°,∠BAE+∠AGE=90°, ∴∠BAE=∠HGF.∵∠ABE=∠CHG=90°,AB=GH,∴△ABE≌△GHF.∴BE=FH=FC+CH=FC+BG.11.解:延长DC至N,使CN=AE,连接BN,则△ABE与△CBN全等.∴∠ABE=∠CBN,BE=BN,∵四边形ABCD为正方形,∴CD∥AB.∴∠NFB=∠ABF,∵∠ABF=∠ABE+∠EBF,∠NBF=∠NBC+∠CBF,∠EBF=∠FBC,∴∠NBF=∠NFB,∴BN=NF=CN+CF,∴BE=AE+CF.二、课外演练1.D点拨:菱形对角线是互相垂直平分,但不一定相等.2.B点拨:菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半.3.B点拨:由矩形是中心对称图形,对称中心为O,则S△EOB=S△FOD.4.C点拨:利用矩形对角线相等且互相平分.5.60°点拨:菱形的一条对角线与两边组成一个等边三角形.6.解:在矩形ABCD中,OA=OB=OD,∵△AOD的周长比△AOB的周长大8,则AD-AB=8①,又∵2(AD+AB)=80②,解①②得AD=24,AB=16.∴S矩形ABCD=24×16=384(cm2).点拨:利用矩形的对角线相等且互相平分. 7.B点拨:当矩形两条对角线夹角中有一个为60°时,一定有等边三角形.8.B点拨:S矩形=20×30=600,S△ABC=×600=300.9.D点拨:由于菱形和正方形的对角线平分每一组内角,而角平分线上的点到角两边的距离相等,因此菱形和正方形对角线的交点即为满足题意的点.10.B点拨:由∠DAE=3∠BAE,得∠BAE=22.5°,∴∠ABE=67.5°.∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°,∴∠EAC=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°.11.36或42点拨:矩形的宽可能是5cm或8cm.12.6cm点拨:注意菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.13.点拨:由菱形特征和斜边上的中线等于斜边的一半可求得.14.0.1点拨:S△ABP+S△DCP=S△ADP+S△BCP=S正方形ABCD.15.A点拨:由正方形可得△AOF和△BOE是旋转对称图形,所以S阴=S△AOB=S正方形ABCD.16.24点拨:解法一:用矩形面积减去两个直角三角形面积;解法二:阴影部分为平行四边形,SBEDF=BE·AD=2×12=24(cm)2.17.解:根据勾股定理,由图易得a2+b2=13,①正方形EFGH的边长为b-a,∴(b-a)2=1.即b2+a2-2ab=1.②把①代入②得2ab=12而(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25.18.如图 19.解:由勾股定理得SA+SB+SC+SD=S最大正方形=49.20.解:(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2)此时共有2个友好矩形,如图的BCAD、ABEF,易知矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍,∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.(2)题(3)题(3)此时共有3个友好矩形,如图的BCDE、CAFG及ABHK,其中的矩形ABHK的周长最小.证明如下:易知,这三个矩形的面积相等,令其为S,设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3.△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则L1=+2a,L2=+2b,L3=+2c,∴L1-L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)·,而ab>S,a>b.∴L1-L2>0,即L1>L2,同理可得L2>L3. ∴L3最小,即矩形ABHK的周长最小.点拨:根据矩形的特征、三角形面积的有关知识解决.
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