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火线100天广西专版2022中考数学复习集训题型专项十一圆的证明与计算

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圆的证明与计算圆内容所涵盖知识点多,考查面广,与其他内容横向联系较多,在历年广西中考中所占地位十分重要.圆的有关概念及性质考查一般以选择题、填空题形式出现,所占分值5~8分;圆的有关性质如垂径定理、圆周角定理、切线的判定和性质等内容的考查一般以证明、计算题形式出现,作为几何压轴题的第一、二小题;而利用圆的知识与方程、函数、三角形、四边形、解直角三角形等内容结合作为压轴题出现,考查分值达到10~12分;另外与圆有关的实际应用题、阅读理解题、探索存在题均为这几年的考查热点.类型1 圆的简单证明与计算 (2022·南宁)如图,AB是⊙O的直径,C、G是⊙O上两点,且=.过点C的直线CD⊥BG于点D,交BA的延长线于点E.连接BC,交OD于点F.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若=,求∠E的度数;(3)连接AD,在(2)的条件下,若CD=,求AD的长.【思路点拨】 (1)如图,连接OC,由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG,根据同圆的半径相等得到OC=OB,于是得到∠OCB=∠OBC,等量代换得到∠OCB=∠CBG,根据平行线的判定得到OC∥BG,即可得到结论;(2)由OC∥BD,得到△OCF∽△DBF,△EOC∽△EBD,得到==,==,根据直角三角形的性质即可得到结论;(3)如图,过A作AH⊥DE于H,解直角三角形得到BD=3,DE=3,BE=6,在Rt△DAH中,AD===.【解答】 (1)证明:如图,连接OC,∵=.∴∠ABC=∠CBG.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∴∠OCB=∠CBG.∴OC∥BG.∵CD⊥BG,∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线.(2)∵OC∥BD,∴△OCF∽△DBF,△EOC∽△EBD.∴==.∴==.∵OA=OB,∴AE=OA=OB.∴OC=OE.∵∠ECO=90°,∴∠E=30°.(3)如图,过A作AH⊥DE于H.∵∠E=30°,∴∠EBD=60°.∴∠CBD=EBD=30°.∵CD=,∴BD=3,DE=3,BE=6.∴AE=BE=2.∴AH=1.∴EH=.∴DH=2.在Rt△DAH中,AD===.本题考查了切线的判定与性质,锐角三角函数,勾股定理、相似三角形的判定和性质,圆周角定理,正确地作出辅助线是解题的关键.证明直线是圆的切线有两种方法:(1)已知直线与圆的交点在圆上,只需连接圆心和这一点,再证明垂直即可;(2)需证是切线的直线没有说明有点圆上,则需要过圆心作需证的切线的垂线段,证明这条垂线段是圆的半径即可.涉及圆中的有关计算时,有线段的比例式或等积式,一般可考虑证其所在的三角形相似或是利用三角函数进行计算.8\n              1.(2022·贺州)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AC平分∠BAD,AD⊥DC,垂足为D,OE⊥AC,垂足为E.(1)求证:DC是⊙O的切线;(2)若OE=cm,AC=2cm,求DC的长(结果保留根号).2.(2022·丽水)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.(1)求证:DF⊥AC;(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.8\n3.(2022·来宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD、BD,BD交AC于点F.(1)求证:BD平分∠ABC;(2)延长AC到点P,使PF=PB,求证:PB是⊙O的切线;(3)如果AB=10,cos∠ABC=,求AD.类型2 圆与四边形的综合证明与计算1.(2022·玉林)如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点且∠BOD=60°,过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C,E为的中点,连接DE、EB.(1)求证:四边形BCDE是平行四边形;(2)已知图中阴影部分面积为6π,求⊙O的半径r.8\n2.(2022·贵港)如图,已知AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,且点E是OD的中点,⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M,连接AC,CM.(1)若AB=4,求的长;(结果保留π)(2)求证:四边形ABMC是菱形.3.(2022·桂林)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,AB=4,PC、PD是⊙O的两条切线,C、D为切点. 图1图2(1)如图1,求⊙O的半径;8\n(2)如图1,若点E是BC的中点,连接PE,求PE的长度;(3)如图2,若点M是BC边上任意一点(不含B、C),以点M为直角顶点,在BC的上方作∠AMN=90°,交直线CP于点N,求证:AM=MN.类型3 圆与函数的综合(2022·贵港)如图所示,AB是大半圆O的直径,AO是小半圆M的直径,点P是大半圆O上一点,PA与小半圆M交于点C,过点C作CD⊥OP于点D.(1)求证:CD是小半圆M的切线;(2)若AB=8,点P在大半圆O上运动(点P不与A,B两点重合),设PD=x,CD2=y.①求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;②当y=3时,求P,M两点之间的距离.参考答案类型11.(1)证明:连接OC,8\n∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠CAD.∴∠OCA=∠CAD.∵AD⊥DC,∴∠CAD+∠ACD=90°.∴∠OCA+∠ACD=90°.∴OC⊥DC.∴DC是⊙O的切线.(2)∵OE⊥AC,∴AE=AC=cm.在Rt△AOE中,AO===4(cm).由(1)得∠OAC=∠CAD,∠ADC=∠AEO=90°,∴△AOE∽△ACD.∴=,即=.∴DC=cm. 2.(1)证明:连接OD.∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切线,∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.(2)连接OE.∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,∴∠ABC=∠ACB=67.5°.∴∠BAC=45°.∴∠BOE=90°.∴∠AOE=90°.∵⊙O的半径为4,∴S阴影=S扇形OAE-S△AOE=-×4×4=4π-8. 3.(1)证明:∵OD∥BC,∴∠ODB=∠CBD.∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.∴∠CBD=∠OBD.∴BD平分∠ABC.(2)证明:∵PF=PB,∴∠PFB=∠PBF.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠CFB+∠CBF=90°.∴∠OBD+∠PBF=90°,即∠ABP=90°.∴PB是⊙O的切线.(3)∵AB=10,cos∠ABC=,∴BC=6,AC=8.∵OD∥BC,∠ACB=90°,O为AB的中点,∴OD垂直平分AC,且EO为Rt△ACB的中位线.∴OE=3,AE=4,DE=2.∴AD==2.类型21.(1)证明:∵CD是⊙O的切线,∠BOD=60°,∴OD⊥CD,∠C=30°.∴∠DEB=∠DOB=30°.连接OE,得∠AOE=60°,8\n∴∠EBA=∠AOE=30°.∴EB∥CD,ED∥BC.∴四边形BCDE是平行四边形.(2)∵OD⊥CD,BE∥CD,∴OD⊥EB,设OD与EB交点为H,∴BH=HE.∵∠DEH=∠OBH,∠EHD=∠BHO.∴△OBH≌△DEH.∴阴影部分面积与扇形OBD面积相等.∴=6π,解得r=6. 2.(1)连接OB,∵OA=OB,CD⊥AB,∴=.∴∠AOE=∠BOE.又∵E是OD中点,∴OE=OD=OA.∴在Rt△AOE中,∠OAB=30°,∠AOE=60°.∴∠AOB=120°.设OA=x,则OE=x,AE=x.∵AB=4,∴AB=2AE=x=4.解得x=4.则的长l==.(2)证明:由(1)得∠OAB=∠OBA=30°,∠BOM=∠COM=60°.∵BM为⊙O的切线,∴∠OBM=90°.∴∠OMB=30°.∴∠BAM=∠BMA.∴AB=BM.在△COM和△BOM中,∴△COM≌△BOM(SAS).∴CM=BM,∠CMO=∠BMO=30°.∴CM=AB,∠CMO=∠MAB.∴CM∥AB.∴四边形ABMC为菱形. 3.(1)连接BD,∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形,∠BAD=90°,∴BD为⊙O直径.在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD=4,∴BD=4.∴⊙O的半径为2.(2)连接OE、OC、OP.∵PC、PD是⊙O的两条切线,∴∠PDO=∠PCO=90°.∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形,∴∠COD=90°,OC=OD.∴四边形OCPD是正方形.∴OP=4.∵点E是BC的中点,∴OE⊥BC,OE=2.在Rt△OPE中,∠EOP=90°,OE=2,OP=4,∴PE=2.(3)证明:在AB上取AF=MC,连接MF,OC,OD.∵AB=BC,∴BF=BM.∵∠B=90°,∴∠BFM=∠BMF=45°.∴∠AFM=135°.又∵在正方形ABCD中,∠OCB=45°,∴∠MCN=∠AFM=135°.∵∠AMN=90°,∠MAB+∠AMB=∠CMN+∠AMB,∴∠MAB=∠CMN.∴△AFM≌△MCN.∴AM=MN.8\n 图1图2类型3(1)证明:连接CO、CM.∵AO是小半圆M的直径,∴∠ACO=90°,即CO⊥AP.∵OA=OP,∴AC=PC.∵AM=OM,∴CM是△APO的中位线.∴CM∥PO.∴∠MCD=∠PDC.∵CD⊥OP,∴∠PDC=90°.∴∠MCD=90°,即CD⊥CM.∵CD经过半径CM的外端C,且CD⊥CM,∴CD是小半圆M的切线.(2)①∵CO⊥AP,CD⊥OP,∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°.∴∠OCD=90°-∠DCP=∠P.∴△ODC∽△CDP.∴=.∴CD2=DP·OD.∵PD=x,CD2=y,OP=AB=4,∴OD=4-x.∴y=x(4-x)=-x2+4x.当点P与点A重合时,x=0;当点P与点B重合时,x=4,∵点P在大半圆O上运动(点P不与A,B两点重合),∴0<x<4.∴y与x之间的函数关系式为y=-x2+4x,自变量x的取值范围是0<x<4.②当y=3时,-x2+4x=3.解得x1=1,x2=3.Ⅰ.当x=1时,如图1所示.在Rt△CDP中,∵PD=1,CD=,∴tan∠CPD==.∴∠CPD=60°.∵OA=OP,∴△OAP是等边三角形.∵AM=OM,∴PM⊥AO.∴PM===2.Ⅱ.当x=3时,如图2所示.同理可得∠CPD=30°.∵OA=OP,∴∠OAP=∠APO=30°.∴∠POB=60°.过点P作PH⊥AB,垂足为H,连接PM.∵sin∠POH===,∴PH=2.同理得OH=2.在Rt△MHP中,∵MH=OM+OH=4,PH=2,∴PM===2.综上所述:当y=3时,P,M两点之间的距离为2或2.8

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发布时间:2022-08-25 20:04:46 页数:8
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文章作者:U-336598

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