华东师大版九下数学27.4正多边形和圆教案

1．了解正多边形和圆的有关概念．（重点）2．理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系．（重点，难点）3．会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．（难点）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？二、合作探究探究点一：正多边形的有关概念和性质【类型一】求正多边形的中心角已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，∴正多边形的边数为5，则其中心角为360°÷5＝72°.方法总结：正多边形的中心角与它的每个外角的度数相等.【类型二】正多边形的有关计算已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S.解析：首先根据题意画出图形，易得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长为R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形=6S△OAB求得答案.解：作半径OA、OB，过O作OH⊥AB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=×360°=60°.∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=OB=R，∴它的边长a＝R,∴AH＝R.由勾股定理可得OH2＝R2－(R)2，∴OH＝R，∴S正六边形＝·a·OH×6＝·R·R·6＝R2.方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系和有关计算．,【类型三】圆的内接正多边形的探究题如图，图①、②、③、…、，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；　　(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)解析：（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM=∠NOC，故∠MON=∠BOC，再由圆周角定理即可求出∠BOC=120°；（2）同（1）即可解答；（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答.解：（1）图①中，连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；(2)90°　72°；(3)∠MON＝.方法总结：本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键.探究型问题，应遵循从特殊到一般，观察发现规律，从而解决问题.探究点二：作圆的内接正多边形如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；(2)连接AB、BC、CA，则△ABC为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；(2)在⊙O上用圆规截取＝；(3)连接AC、BC、AB，则△ABC为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径AD；(2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B、C两点；(3)连接AB、BC、CA，则△ABC为圆内接正三角形．,方法四：(1)作直径AE；(2)分别以A、E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D、F、B、C；(3)连接AB、BC、CA(或连接EF、ED、DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．三、板书设计教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.