上海市静安区2022中考数学一模试卷

九年级数学试卷（完成时间：100分钟满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤；3.答题时可用函数型计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列实数中，有理数是（A）；（B）；（C）；（D）．2．计算的结果是（A）；（B）；（C）；（D）．3．已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB=1∶4，ED=2，那么边BC的长是（A）8；（B）10；（C）6；（D）4．4．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（A）；（B）；（C）；（D）．5．如果锐角A的度数是，那么下列结论中正确的是（A）；（B）；（C）；（D）．6．下列说法错误的是（A）任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形；（B）任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形；（C）任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形；（D）任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．的绝对值是▲．8．如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是▲．9．已知，那么的值是▲．10．已知线段AB=2cm，点P是AB的黄金分割点，且APPB，那么AP的长度是▲cm．（结果保留根号）11．如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最▲点．（填“高”或“低”）12．已知反比例函数的图像上的三点、、，判断y1，y2，y3的大小关系：▲．（用“<”连接）13．如果抛物线的顶点在轴上，那么常数m的值是▲．14．如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点处观察A点的俯角为▲．（用含的式子表示）15．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D在边AC上，BD=BC，那么AD的长是▲．16．在△ABC中，DE∥BC，DE交边AB、AC分别于点D、E，如果△ADE与四边形BCED的面积相等，那么AD︰DB的值为▲．17．如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，如果，那么=▲．（用含向量、的式子表示）（第15题图）ABCD18．如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为▲．（第18题图）ABCD（第17题图）ABCDEG三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：．20．（本题满分10分）ＣＡＤＢ（第20题图）H如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，，，求AB、CH的长．21．（本题满分10分,其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题2分）BAOyx（第21题图）我们将平面直角坐标系xOy中的图形D和点P给出如下定义：如果将图形D绕点P顺时针旋转90°得到图形D’，那么图形D’称为图形D关于点P的“垂直图形”．已知点A的坐标为(，1)，点B的坐标为(0，1)，△ABO关于原点O的“垂直图形”记为△A’B’O，点A、B的对应点分别为点A’、B’，（1）请写出：点A’的坐标为▲；点B’的坐标为▲；（2）请求出经过点A、B、B’的二次函数解析式；（3）请直接写出经过点A、B、A’的抛物线的表达式为▲．22．（本题满分10分）（第22题图）EＤOFGHI据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是大金字塔的高．在某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处．金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K．与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE．射向地面的太阳光线可看作平行线（AC∥DE）．此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米．求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）．23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）（第23题图）ABCDQPORE如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，QP⊥BP，QP交BD于点E．（1）求证：△APQ∽△DBR；（2）当∠QED等于60°时，求的值．324．（本题满分12分，其中每小题4分）yBAOx（第24题图）D如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（2,0）和点B（－1，m），顶点为点D．（1）求直线AB的表达式；（2）求的值；（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB=9，AE=6，，且DC//AE．（1）求证：；（2）如果BE=9，求四边形ABCD的面积；DE（第25题图2） DCBAF（第25题图1） ECBA（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．2021学年第一学期九年级期终考试样例数学答案要点及评分标准一、选择题：1．C；2．B；3．C；4．D；5．A；6．B．二、填空题：7．5；8．；9．；10．；11．低；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．45°或135°．三、解答题：19．解：原式＝……………………………………（5分）＝……………………………………（3分）＝．……………………………………（2分）20．解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵CD是AB边上的中线,∴DC=DA，∴∠A=∠ACD.………………………………（2分）∵，∴，……………………………………（1分）设AC=3k,AB=4k,则BC=……………………………（1分）∴，∴．……………………………………（2分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CH是AB边上的高,即CH⊥AB∵△ABC面积一定，∴……………………………………（2分）∵，∴，∴…………………（2分）所以，AB的长为，CH的长为．21．解：（1）A’（1，2）、B’（1，0）；……………………………………（4分）（2）设抛物线解析式为，∵经过A（-2，1）、B（0，1）、B’（1，0）；∴代入可得：，解得：，…………………………（1+2分）∴经过点A、B、B’的二次函数解析式为；…………（1分）（3）经过点A、B、A’的抛物线的表达式为．…………（2分）22．解：∵AC//DE，AB、DO均垂直于地面．∴∠C=∠E，∠ABC=∠O=90°．∴Rt△BAC∽Rt△ODE，∴．……………………………………（4分）由题意可知：BC=BK+KC=80+250=330（米），DO=1.2米，OE=2.7米………（1分）代入可得,解得AB≈146.7（米）．……………………………………（2分）联结AK，Rt△ABK中，．……………………………（3分）答：金字塔的高度AB约为146.7米，斜坡AK的坡度约为．23．（1）证明：∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴∠DAB=∠ADC=90°，AC⊥DB，∴．…………………………（2分）又∵QP⊥BP，∴∠EPO+∠OPB=90°，∵Rt△BOP中，∠OBP+∠OPB=90°，…………………………（2分）∴∠OBP=∠EPO,即∠APQ=∠DBR，…………………………（1分）∴△APQ∽△DBR…………………………（1分）（2）解：∵正方形ABCD的边长为1，∴．…………（1分）∵∠QED=60°，∴∠BEP=∠QED=60°，∵Rt△BPE中，∠BPE=90°，∴∠EBP+∠BEP=90°，∴∠PBE=30°．………………（1分）又∵Rt△BOP中，，，∴．…………………………（1分）又∵，∴AP=．…………………………（1分）∵△APQ∽Rt△DBR，∴.…………………………（2分）24．解：（1）抛物线经过点A（2,0）和点B（－1，m），将点A（2,0）代入得：．…………………………（1分）又∵过点B（－1，m），代入得：，∴B（－1，3），…………（1分）设直线AB的表达式为；将A（2,0）、B（－1，3）代入得．3，解得：∴直线AB的表达式为；…………………………（2分）（2）∵顶点为点D，∴D（1，-1），…………………………（1分）∴，，，∴，…………………………（2分）∴△ABD是直角三角形，即∠BAD=90°，∴；…………（1分）（3）设线段BD的表达式为，过B（－1，3），D（1，-1），，解得：，∴线段BD的表达式为；∴线段BD与x轴交点P的坐标为．…………（1分）由题意可知△ABP是钝角三角形，∠BPA是钝角∵点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，①当点C在点A右侧时，∠BAC=∠BPA+∠PBA>∠BPA,不合题意,舍去；②当点C在点A左侧，且与点P重合时，点C；……………………（1分）③当点C在点A左侧，且与点P不重合时，由△ABC与△ABP相似，∠BAP=∠CAB可得∠APB=∠ABC,∠PBA=∠ACB,过点B作BH⊥x轴，垂足为H，∵，∴∵B（－1，3），∴BH=3，∴CH=9，∴CH=9，∴C（－10，0）．…………（2分）综上所述，点C的坐标为、．25．（1）证明：∵四边形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD,∵，∴，∴△ABE∽△AED,…………………………（2分）∴∠AED=∠B,又∵∠AEC=∠B+∠BAE,即∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，∴∠DEC=∠BAE，∴∠DEC=∠EAD.…………………………（1分）∵DC//AE，∴∠CDE=∠DEA，∴△AED∽△EDC…………………………（1分）∴，∴；…………………………（1分）（2）解：∵AB=9，AE=6，，∴AD=4.∵BE=AB=9，∴∠BEA=∠BAE.∵∠BAE=∠EAD,∴∠BEA=∠EAD,∴AD//BC，∵DC//AE，∴四边形AECD是平行四边形.…………………（2分）∴EC=AD=4，BC=9+4=13.过点B作BG⊥AE，过点A作AH⊥BE，垂足分别为G、H.∵Rt△BAG中，，∴.………………（1分）∵△BAE面积一定，∴,∴.…………………………（1分）∴梯形ABCD的面积=；…………………………（1分）（先算出三角形ABE面积后，用面积比等于相似比的平方，得到另两个三角形的面积，从而求出四边形面积）（3）解：∵△ABE∽△AED∽△EDC，，，AB=9，AE=6，AD=4，∴，∴DE=，∴，∴，…………………（1分）∵，∴.…………………………（1分）又∵DC//AE，∴，∴.所以，定义域:．…………………………（2分）3