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2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷

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2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷一、单项选择题(本题共12个小题,每小题3分,共36分)请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1.(3分)(2021•绥化)现实世界中,对称无处不在,在美术字中,有些汉字也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是(  )A.B.C.D.2.(3分)(2021•绥化)据国家卫健委统计,截至6月2日,我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次,把704000000这个数用科学记数法表示为(  )A.7.04×107B.7.04×109C.0.704×109D.7.04×1083.(3分)(2021•绥化)如图所示,图中由7个完全相同小正方体组合而成的几何体,则这个几何体的左视图是(  )A.B.C.D.4.(3分)(2021•绥化)若式子x0x+1在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )A.x>﹣1B.x≥﹣1且x≠0C.x>﹣1且x≠0D.x≠0第44页(共44页)\n5.(3分)(2021•绥化)定义一种新的运算:如果a≠0.则有a▲b=a﹣2+ab+|﹣b|,那么(-12)▲2的值是(  )A.﹣3B.5C.-34D.326.(3分)(2021•绥化)下列命题是假命题的是(  )A.任意一个三角形中,三角形两边的差小于第三边B.三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半C.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角一定相等D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形7.(3分)(2021•绥化)下列运算正确的是(  )A.(a5)2=a7B.x4•x4=x8C.9=±3D.3-27-3=238.(3分)(2021•绥化)一个多边形的内角和是外角和的4倍,则这个多边形是(  )A.八边形B.九边形C.十边形D.十二边形9.(3分)(2021•绥化)近些年来,移动支付已成为人们的主要支付方式之一.某企业为了解员工某月A,B两种移动支付方式的使用情况,从企业2000名员工中随机抽取了200人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有10人,样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的员工支付金额a(元)分布情况如表:支付金额a(元)0<a≤10001000<a≤2000a>2000仅使用A36人18人6人仅使用B20人28人2人下面有四个推断:①根据样本数据估计,企业2000名员工中,同时使用A,B两种支付方式的为800人;第44页(共44页)\n②本次调查抽取的样本容量为200人;③样本中仅使用A种支付方式的员工,该月支付金额的中位数一定不超过1000元;④样本中仅使用B种支付方式的员工,该月支付金额的众数一定为1500元.其中正确的是(  )A.①③B.③④C.①②D.②④10.(3分)(2021•绥化)根据市场需求,某药厂要加速生产一批药品,现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱,现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同,那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产x箱药品,则下面所列方程正确的是(  )A.6000x=4500x+500B.6000x-500=4500xC.6000x=4500x-500D.6000x+500=4500x11.(3分)(2021•绥化)已知在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=75°,AB=5,点E为边AC上的动点,点F为边AB上的动点,则线段FE+EB的最小值是(  )A.532B.52C.5D.312.(3分)(2021•绥化)如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=6,点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点,将该纸片沿直线EF折叠.使点B落在矩形边AD上,对应点记为点G,点A落在M处,连接EF、BG、BE,EF与BG交于点N.则下列结论成立的是(  )①BN=AB;②当点G与点D重合时,EF=352;第44页(共44页)\n③△GNF的面积S的取值范围是94≤S≤72;④当CF=52时,S△MEG=3134.A.①③B.③④C.②③D.②④二、填空题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.13.(3分)(2021•绥化)在单词mathematics(数学)中任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是  .14.(3分)(2021•绥化)在实数范围内分解因式:ab2﹣2a=  .15.(3分)(2021•绥化)一条弧所对的圆心角为135°,弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍,则这条弧的半径为  cm.16.(3分)(2021•绥化)当x=2021+3时,代数式(x+3x2-3x-x-1x2-6x+9)÷x-9x的值是  .17.(3分)(2021•绥化)某学校计划为“建党百年,铭记党史”演讲比赛购买奖品.已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元;购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元.学校准备购买A,B两种奖品共20个,且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25,则在购买方案中最少费用是  元.18.(3分)(2021•绥化)已知m,n是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个根,则1m+1n=  .第44页(共44页)\n19.(3分)(2021•绥化)边长为4cm的正六边形,它的外接圆与内切圆半径的比值是  .20.(3分)(2021•绥化)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,MN垂直于x轴,以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形,对称轴MN与线段DE相交于点F,点D的对应点B恰好落在y=kx(k≠0,x<0)的双曲线上,点O、E的对应点分别是点C、A.若点A为OE的中点,且S△AEF=1,则k的值为  .21.(3分)(2021•绥化)在边长为4的正方形ABCD中,连接对角线AC、BD,点P是正方形边上或对角线上的一点,若PB=3PC,则PC=  .22.(3分)(2021•绥化)下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的,图①中有1个三角形,图②中有5个三角形,图③中有11个三角形,图④中有19个三角形…依此规律,则第n个图形中三角形个数是  .三、解答题(本题共7个小题,共54分)请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.23.(6分)(2021•绥化)(1)如图,已知△ABC,P为边AB上一点,请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E,使AE+EP=AC.(保留作图痕迹,不写作法)第44页(共44页)\n(2)在图中,如果AC=6cm,AP=3cm,则△APE的周长是  cm.24.(6分)(2021•绥化)如图所示,在网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,把小正方形的顶点叫做格点,O为平面直角坐标系的原点,矩形OABC的4个顶点均在格点上,连接对角线OB.(1)在平面直角坐标系内,以原点O为位似中心,把△OAB缩小,作出它的位似图形,并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于12;(2)将△OAB以O为旋转中心,逆时针旋转90°,得到△OA1B1,作出△OA1B1,并求,出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长.25.(6分)(2021•绥化)一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上,这种医疗器械的侧面结构如图实线所示,底座为△ABC,点B、C、D在同一条直线上,测得∠ACB=90°,∠第44页(共44页)\nABC=60°,AB=32cm,∠BDE=75°,其中一段支撑杆CD=84cm,另一段支撑杆DE=70cm.求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少?(用四舍五入法对结果取整数,参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,3≈1.732)26.(8分)(2021•绥化)小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发,沿着同一方向到达乙地,甲乙两地之间的距离是720米,先到乙地的人原地休息.已知小刚先从甲地出发4秒后,小亮从甲地出发,两人均保持匀速前行第一次相遇后,保持原速跑一段时间,小刚突然加速,速度比原来增加了2米/秒,并保持这一速度跑到乙地(小刚加速过程忽略不计).小刚与小亮两人的距离S(米)与小亮出发时间t(秒)之间的函数图象,如图所示.根据所给信息解决以下问题.(1)m=  ,n=  ;(2)求CD和EF所在直线的解析式;(3)直接写出t为何值时,两人相距30米.第44页(共44页)\n27.(9分)(2021•绥化)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,DE⊥AC,垂足为E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若弦MN垂直于AB,垂足为G,AGAB=14,MN=3,求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下,当∠BAC=36°时,求线段CE的长.28.(9分)(2021•绥化)如图所示,四边形ABCD为正方形,在△ECH中,∠ECH=90°,CE=CH,HE的延长线与CD的延长线交于点F,点D、B、H在同一条直线上.(1)求证:△CDE≌△CBH;(2)当HBHD=15时,求FDFC的值;(3)当HB=3,HG=4时,求sin∠CFE的值.29.(10分)(2021•绥化)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0),点B(1,0)(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,连接BD.直线y=-12x-52经过点A,且与y轴交于点E.第44页(共44页)\n(1)求抛物线的解析式;(2)点N是抛物线上的一点,当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时,求点N的坐标;(3)点F为线段AE上的一点,点G为线段OA上的一点,连接FG,并延长FG与线段BD交于点H(点H在第一象限),当∠EFG=3∠BAE且HG=2FG时,求出点F的坐标.第44页(共44页)\n2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题(本题共12个小题,每小题3分,共36分)请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1.(3分)(2021•绥化)现实世界中,对称无处不在,在美术字中,有些汉字也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是(  )A.B.C.D.【解答】解:A.是轴对称图形,故本选项符合题意;B.不是轴对称图形,故本选项不合题意;C.不是轴对称图形,故本选项不合题意;D.不是轴对称图形,故本选项不合题意;故选:A.2.(3分)(2021•绥化)据国家卫健委统计,截至6月2日,我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次,把704000000这个数用科学记数法表示为(  )A.7.04×107B.7.04×109C.0.704×109D.7.04×108【解答】解:704000000=7.04×108,故选:D.3.(3分)(2021•绥化)如图所示,图中由7个完全相同小正方体组合而成的几何体,则这个几何体的左视图是(  )第44页(共44页)\nA.B.C.D.【解答】解:从几何体的左面看,共有三列,从左到右每列小正方形的个数分别为3、1、1.故选:C.4.(3分)(2021•绥化)若式子x0x+1在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )A.x>﹣1B.x≥﹣1且x≠0C.x>﹣1且x≠0D.x≠0【解答】解:根据题意得:x+1>0且x≠0,解得:x>﹣1且x≠0,故选:C.5.(3分)(2021•绥化)定义一种新的运算:如果a≠0.则有a▲b=a﹣2+ab+|﹣b|,那么(-12)▲2的值是(  )A.﹣3B.5C.-34D.32【解答】解:根据题中的新定义得:(-12)▲2第44页(共44页)\n=(-12)-2+(-12)×2+|﹣2|=4﹣1+2=5.故选:B.6.(3分)(2021•绥化)下列命题是假命题的是(  )A.任意一个三角形中,三角形两边的差小于第三边B.三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半C.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角一定相等D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【解答】解:A、任意一个三角形中,三角形两边的差小于第三边,正确,是真命题,不符合题意;B、三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半,正确,是真命题,不符合题意;C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角一定相等或互补,故原命题错误,是假命题,符合题意;D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,正确,是真命题,不符合题意,故选:C.7.(3分)(2021•绥化)下列运算正确的是(  )A.(a5)2=a7B.x4•x4=x8C.9=±3D.3-27-3=23【解答】解:A.(a5)2=a10,故本选项不合题意;B.x4•x4=x8,故本选项符合题意;C.9=3,故本选项不符合题意;第44页(共44页)\nD.3-27-3=-3-3,故本选项不合题意;故选:B.8.(3分)(2021•绥化)一个多边形的内角和是外角和的4倍,则这个多边形是(  )A.八边形B.九边形C.十边形D.十二边形【解答】解:设这个多边形的边数为n,则该多边形的内角和为(n﹣2)×180°,依题意得(n﹣2)×180°=360°×4,解得n=10,∴这个多边形是十边形.故选:C.9.(3分)(2021•绥化)近些年来,移动支付已成为人们的主要支付方式之一.某企业为了解员工某月A,B两种移动支付方式的使用情况,从企业2000名员工中随机抽取了200人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有10人,样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的员工支付金额a(元)分布情况如表:支付金额a(元)0<a≤10001000<a≤2000a>2000仅使用A36人18人6人仅使用B20人28人2人下面有四个推断:①根据样本数据估计,企业2000名员工中,同时使用A,B两种支付方式的为800人;②本次调查抽取的样本容量为200人;③样本中仅使用A种支付方式的员工,该月支付金额的中位数一定不超过1000元;④样本中仅使用B种支付方式的员工,该月支付金额的众数一定为1500元.第44页(共44页)\n其中正确的是(  )A.①③B.③④C.①②D.②④【解答】解:①根据样本数据估计,企业2000名员工中,同时使用A,B两种支付方式的大约有2000×200-10-60-50200=800(人),此推断合理,符合题意;②本次调查抽取的样本容量为200,故原说法错误,不符合题意;③样本中仅使用A种支付方式的员工,第30、31个数据均落在0<a≤1000,所以上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元,此推断合理,符合题意;④样本中仅使用B种支付方式的同学,上个月的支付金额的众数无法估计,此推断不正确,不符合题意.故推断正确的有①③,故选:A.10.(3分)(2021•绥化)根据市场需求,某药厂要加速生产一批药品,现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱,现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同,那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产x箱药品,则下面所列方程正确的是(  )A.6000x=4500x+500B.6000x-500=4500xC.6000x=4500x-500D.6000x+500=4500x【解答】解:设原计划平均每天可生产x箱药品,则现在平均每天可生产(x+500)箱药品,依题意得:6000x+500=4500x.故选:D.11.(3分)(2021•绥化)已知在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=75°,AB=5,点E为边AC上的动点,点F为边AB上的动点,则线段FE+EB的最小值是(  )第44页(共44页)\nA.532B.52C.5D.3【解答】解:作F关于AC的对称点F',延长AF'、BC交于点B',∴∠BAB'=30°,EF=EF',∴FE+EB=BE+EF',∴当B、E、F'共线且与AB'垂直时,长度最小,即作BD⊥AB'于D,在△ABD中,BD=12AB=52,故选:B.12.(3分)(2021•绥化)如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=6,点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点,将该纸片沿直线EF折叠.使点B落在矩形边AD上,对应点记为点G,点A落在M处,连接EF、BG、BE,EF与BG交于点N.则下列结论成立的是(  )①BN=AB;②当点G与点D重合时,EF=352;第44页(共44页)\n③△GNF的面积S的取值范围是94≤S≤72;④当CF=52时,S△MEG=3134.A.①③B.③④C.②③D.②④【解答】解:∵AB=3是定值,BN=12BG,BG的长是变化的,∴BN的值也是变化的,∴BN与AB不一定相等,故①错误.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB,由翻折的性质可知FB=FG,∠EFB=∠EFG,∴∠GEF=∠EFG,∴GE=GF=BF,∵GE∥BF,∴四边形BEGF是平行四边形,∵FB=FG,∴四边形BEGF是菱形,∴BE=EG,第44页(共44页)\n当D,G重合时,设BE=DE=x,则有x2=32+(6﹣x)2,∴x=154,∵∠A=90°,AB=3,AD=6,∴BD=AB2+AD2=32+62=35,∴S菱形BEDF=DE•AB=12•BD•EF,∴EF=2×3×15435=352,故②正确,当D,G重合时,△GNF的面积最大,最大值=14×154×3=4516,∴S△GNF≤4516,故③错误,如图2中,当CF=52时,BF=BE=EG=FG=BC﹣CF=6-52=72,∴AE=EM=BE2-AB2=(72)2-32=132,∴S△MEG=12•ME•GM=12×132×3=3134,故④正确.故选:D.第44页(共44页)\n二、填空题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.13.(3分)(2021•绥化)在单词mathematics(数学)中任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是 211 .【解答】解:“mathematics”中共11个字母,其中共2个“t”,任意取出一个字母,有11种情况可能出现,取到字母“a”的可能性有两种,故其概率是211;故答案为:211.14.(3分)(2021•绥化)在实数范围内分解因式:ab2﹣2a= a(b+2)(b-2) .【解答】解:ab2﹣2a,=a(b2﹣2)﹣﹣(提取公因式)=a(b+2)(b-2).﹣﹣(平方差公式)15.(3分)(2021•绥化)一条弧所对的圆心角为135°,弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍,则这条弧的半径为 40 cm.【解答】解:设弧所在圆的半径为r,由题意得,135πr180=2π×5×3,第44页(共44页)\n解得,r=40cm.故应填40.16.(3分)(2021•绥化)当x=2021+3时,代数式(x+3x2-3x-x-1x2-6x+9)÷x-9x的值是 12021 .【解答】解:原式=[x2-9x(x-3)2-x2-xx(x-3)2]•xx-9=x-9x(x-3)2•xx-9=1(x-3)2,当x=2021+3时,原式=1(2021+3-3)2=12021,故答案为:12021.17.(3分)(2021•绥化)某学校计划为“建党百年,铭记党史”演讲比赛购买奖品.已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元;购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元.学校准备购买A,B两种奖品共20个,且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25,则在购买方案中最少费用是 330 元.【解答】解:设A种奖品的单价为x元,B种奖品的单价为y元,依题意得:2x+4y=1005x+2y=130,解得:x=20y=15.设购买A种奖品m个,则购买B种奖品(20﹣m)个.∵A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25,∴m≥25(20﹣m),第44页(共44页)\n∴m≥407,又∵m为整数,∴m≥6.设购买总费用为w元,则w=20m+15(20﹣m)=5m+300,∵5>0,∴w随m的增大而增大,∴当m=6时,w取得最小值,最小值=5×6+300=330.故答案为:330.18.(3分)(2021•绥化)已知m,n是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个根,则1m+1n= -32 .【解答】解:∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个根,∴m+n=3,mn=﹣2,∴1m+1n=m+nmn=-32.故答案为:-32.19.(3分)(2021•绥化)边长为4cm的正六边形,它的外接圆与内切圆半径的比值是 233 .【解答】解:∵正六边形的边长为4cm,∴正六边形的半径是4cm,则外接圆的半径4cm,内切圆的半径是正六边形的边心距,因而是GO=32×4=23,第44页(共44页)\n因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为423=233.故答案为:233.20.(3分)(2021•绥化)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,MN垂直于x轴,以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形,对称轴MN与线段DE相交于点F,点D的对应点B恰好落在y=kx(k≠0,x<0)的双曲线上,点O、E的对应点分别是点C、A.若点A为OE的中点,且S△AEF=1,则k的值为 ﹣24 .【解答】解:如图,连接OB,由于Rt△DOE与Rt△BCA关于MN成轴对称,且OA=AE,由对称性可知,AG=GE,OA=AE=EC,∴AG=14AC,∵S△AEF=1,∴S△AFG=12S△AEF=12,∵MN∥BC∥OD,第44页(共44页)\n∴△AFG∽△ABC,∴S△AFGS△ABC=(AGAC)2=116,∴S△ABC=12×16=8,又∵OA=12AC,∴S△OAB=12S△ABC=4,∴S△OBC=8+4=12,∵点B在反比例函数y=kx的图象上,∴S△OBC=12=12|k|,∵k<0,∴k=﹣24,故答案为:﹣24.21.(3分)(2021•绥化)在边长为4的正方形ABCD中,连接对角线AC、BD,点P是正方形边上或对角线上的一点,若PB=3PC,则PC= 1或2或-2+344 .【解答】解:如图1,∵四边形ABCD是正方形,AB=4,第44页(共44页)\n∴AC⊥BD,AC=BD,OB=OD,AB=BC=AD=CD=4,∠ABC=∠BCD=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC=AB2+BC2=42+42=42,∴OB=22,∵PB=3PC,∴设PC=x,则PB=3x,有三种情况:①点P在BC上时,如图2,∵AD=4,PB=3PC,∴PC=1;②点P在AC上时,如图3,第44页(共44页)\n在Rt△BPO中,由勾股定理得:BP2=BO2+OP2,(3x)2=(22)2+(22-x)2,解得:x=-2+344(负数舍去),即PC=-2+344;③点P在CD上时,如图4,在Rt△BPC中,由勾股定理得:BC2+PC2=BP2,42+x2=(3x)2,解得:y=2(负数舍去),即PC=2;综上,PC的长是1或2或-2+344.故答案为:1或2或-2+344.22.(3分)(2021•绥化)下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的,图①中有1个三角形,图②中有5个三角形,图③中有11个三角形,图④中有19个三角形…依此规律,则第n个图形中三角形个数是 n2+n﹣1 .第44页(共44页)\n【解答】解:观察图中三角形的个数与图形的序号的关系,有如下规律:第一个图形:12+0,第二个图形:22+1,第三个图形:32+2,第四个图形:42+3,••••••,第n个图形:n2+n﹣1.故答案为:n2+n﹣1.三、解答题(本题共7个小题,共54分)请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.23.(6分)(2021•绥化)(1)如图,已知△ABC,P为边AB上一点,请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E,使AE+EP=AC.(保留作图痕迹,不写作法)(2)在图中,如果AC=6cm,AP=3cm,则△APE的周长是 9 cm.【解答】解:(1)如图,点E即为所求.第44页(共44页)\n(2)∵MN垂直平分线段PC,∴EP=EC,∴△APE的周长=AP+AE+EP=AP+AE+EC=AP+AC=3+6=9(cm),故答案为:9.24.(6分)(2021•绥化)如图所示,在网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,把小正方形的顶点叫做格点,O为平面直角坐标系的原点,矩形OABC的4个顶点均在格点上,连接对角线OB.(1)在平面直角坐标系内,以原点O为位似中心,把△OAB缩小,作出它的位似图形,并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于12;(2)将△OAB以O为旋转中心,逆时针旋转90°,得到△OA1B1,作出△OA1B1,并求,出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长.【解答】解:(1)如图,△OA′B′或△AA″B″即为所求.第44页(共44页)\n(2)如图,△OA1B1即为所求.线段OB旋转过程中所形成扇形的周长=2×213+90π×213180=413+13π.25.(6分)(2021•绥化)一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上,这种医疗器械的侧面结构如图实线所示,底座为△ABC,点B、C、D在同一条直线上,测得∠ACB=90°,∠ABC=60°,AB=32cm,∠BDE=75°,其中一段支撑杆CD=84cm,另一段支撑杆DE=70cm.求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少?(用四舍五入法对结果取整数,参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,3≈1.732)【解答】解:方法一:如图1,过点D作DM⊥EF于M,过点D作DN⊥BA交BA延长线于N,第44页(共44页)\n在Rt△ABC中,∠ABC=60°,AB=32(cm),∴BC=AB•cos60°=32×12=16(cm),∵DC=84(cm),∴BD=DC+BC=84+16=100(cm),∵∠F=90°,∠DMF=90°,∴DM∥FN,∴∠MDB=∠ABC=60°,在Rt△BDN中,sin∠DBN=sin60°=DNBD,∴DN=32×100=503(cm),∵∠F=90°,∠N=90°,∠DMF=90°,∴四边形MFND是矩形,∴DN=MF=503,∵∠BDE=75°,∠MDB=60°,∴∠EDM=∠BDE﹣∠MDB=75°﹣60°=15°,∵DE=70(cm),∴ME=DE•sin∠EDM=70×sin15°≈18.2(cm),∴EF=ME+MF=503+18.2≈104.8≈105(cm),答:支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm.方法二:如图2,过点D作DH⊥BA交BA延长线于H,过点E作EG⊥HD延长线于G,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,AB=32(cm),∴BC=AB•cos60°=32×12=16(cm),第44页(共44页)\n∵DC=84(cm),∴BD=DC+BC=84+16=100(cm),同方法一得,DH=BD•sin60°=503,∵在Rt△BDH中,∠DBH=60°,∴∠BDH=30°,∵∠BDE=75°,∴∠EDG=180°﹣∠BDH﹣∠BDE=180°﹣75°﹣30°=75°,∴∠DEG=90°﹣75°=15°,∴DG=DE•sin15°≈18.2(cm),∴GH=DG+DH=18.2+503≈104.8≈105(cm),∵∠F=90°,∠H=90°,∠G=90°,∴EF=EG≈105(cm),答:支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm.第44页(共44页)\n26.(8分)(2021•绥化)小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发,沿着同一方向到达乙地,甲乙两地之间的距离是720米,先到乙地的人原地休息.已知小刚先从甲地出发4秒后,小亮从甲地出发,两人均保持匀速前行第一次相遇后,保持原速跑一段时间,小刚突然加速,速度比原来增加了2米/秒,并保持这一速度跑到乙地(小刚加速过程忽略不计).小刚与小亮两人的距离S(米)与小亮出发时间t(秒)之间的函数图象,如图所示.根据所给信息解决以下问题.(1)m= 16 ,n= 1603 ;(2)求CD和EF所在直线的解析式;(3)直接写出t为何值时,两人相距30米.【解答】解:(1)∵小刚原来的速度=16÷4=4米/秒,小亮的速度=720÷144=5米/秒,第44页(共44页)\nB点小亮追上小刚,相遇,∴4m+16=5m,解得:m=16,∵E点是小刚到达乙地,∴n=[(720-80×54+2+80)-80]×(6﹣5)=1603,故答案为:16;1603,(2)由题意可知点C横坐标为16+80-162=48,∵小刚原来的速度=16÷4=4米/秒,小亮的速度=720÷144=5米/秒,∴纵坐标为(5﹣4)×(48﹣16)=32,∴C(48,32),设SCD=k1t+b1,将C(48,32),D(80,0)代入,48k1+b1=3280k1+b1=0,解得:k1=-1b1=80,∴SCD=﹣t+80(48≤t≤80),∴E点横坐标为720-80×56+80=4003,E点纵坐标为(4003-80)×(6-5)=1603,∴E(4003,1603),设SEF=k2t+b2,将E,F两点坐标代入可得,第44页(共44页)\n4003k2+b2=1603144k2+b2=0,解得:k2=-5b2=720,∴SEF=﹣5t+720(4003≤t≤144),(3)∵B(16,0),C(48,32),D(80,0),E(4003,1603),F(144,0),设SBC=k3t+b3,将B,C两点坐标代入可得,16k3+b3=048k3+b3=32,解得:k3=1b3=-16,∴SBC=t﹣16(16<t≤48),设SDE=k4t+b4,将D,E两点坐标代入可得,80k4+b4=04003k4+b4=1603,解得:k4=1b4=-80,∴SDE=t﹣80(80<t≤4003),当S=30时,SBC=t﹣16=30,解得t=46;SCD=﹣t+80=30,解得t=110;SEF=﹣5t+720=30,解得t=128;综上,t为46,50,110,138时,两人相距30米.27.(9分)(2021•绥化)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,DE⊥AC,垂足为E.第44页(共44页)\n(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若弦MN垂直于AB,垂足为G,AGAB=14,MN=3,求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下,当∠BAC=36°时,求线段CE的长.【解答】(1)证明:如图1,连接OD,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∵OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;(2)解:如图2,连接OM,∵AB⊥MN,且AB为⊙O的直径,MN=3,第44页(共44页)\n∴MG=12MN=32,设⊙O的半径为r,则OM=r,AB=2r,∵AGAB=14,∴AG=14AB=12r,∴OG=OA﹣AG=12r,在Rt△OGM中,根据勾股定理得,OG2+MG2=OM2,∴(12r)2+(32)2=r2,∴r=1,即⊙O的半径为1;(3)如图3,作∠ABC的平分线交AC于F,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠C=12(180°﹣∠BAC)=72°,∴∠ABF=∠CBF=12∠ABC=36°=∠BAC,∴AF=BF,设AF=BF=x,在△BCF中,∠CBF=36°,∠C=72°,∴∠BFC=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C,∴BC=BF=x,由(2)知,⊙O的半径为1,第44页(共44页)\n∴AB=AC=2,∴CF=AC﹣AF=2﹣x,∵∠CBF=∠CAB,∴∠C=∠C,∴△BCF∽△ACB,∴BCAC=CFCB,∴x2=2-xx,∴x=5-1或x=-5-1(舍),∴BC=5-1,连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵AB=AC,∴CD=12BC=5-12,∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°=∠ADC,∵∠C=∠C,∴△DEC∽△ADC,∴CECD=CDCA,∴CE5-12=5-122,第44页(共44页)\n∴CE=3-54.28.(9分)(2021•绥化)如图所示,四边形ABCD为正方形,在△ECH中,∠ECH=90°,CE=CH,HE的延长线与CD的延长线交于点F,点D、B、H在同一条直线上.(1)求证:△CDE≌△CBH;(2)当HBHD=15时,求FDFC的值;(3)当HB=3,HG=4时,求sin∠CFE的值.第44页(共44页)\n【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠DCB=90°,∵∠ECH=90°,∴∠DCB﹣∠BCE=∠ECH﹣∠BCE,即∠DCE=∠BCH,在△CDE和△CBH中,CD=CB∠DCE=∠BCHCE=CH,∴△CDE≌△CBH(SAS);(2)解:由(1)得:△ACDE≌△CBH,∴∠CDE=∠CBH,DE=BH,∵四边形ABCD是正方形,∴∠CDB=∠DBC=45°,∴∠CDE=∠CBH=180°﹣45°=135°,∴∠EDH=135°﹣45°=90°,∵BH:DH=1:5,∴设BH=a,则DH=5a,∴DE=BH=a,第44页(共44页)\n在Rt△HDE中,EH=DE2+DH2=a2+(5a)=26a,过C作CM⊥EH于M,过D作DN⊥FH于N,如图1所示:则DN∥CM,∵△DEH的面积=12DN×EH=12DE×DH,∴12DN×26a=12×a×5a,解得:DN=52626a,∵CE=CH,∠ECH=90°,∴CM=12EH=262a,∵DN∥CM,∴△FDN∽△FCM,∴FDFC=DNCM=52626a262a=513;(3)解:过点E作PE∥DH交CF于P,过点E作EQ⊥CF于Q,如图2所示:∵PE∥DH,∴∠BHG=∠PEF,∠FPE=∠FDH=135°,∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴∠HBG=∠FDH=135°,∴∠HBG=∠EPF=135°,∵∠CDE=135°,∴∠EDQ=45°,∠EPQ=45°,第44页(共44页)\n∴△PED为等腰直角三角形,∴DE=PE,由(1)得:△CDE≌△CBH,∴DE=BH,∴DE=BH=PE=3,在△BHG和△PEF中,∠BHG=∠PEFBH=PE∠HBG=∠EPF,∴△BHG≌△PEF(ASA),∴HG=EF=4,∵△PED是等腰直角三角形,∴PD=2DE=32,∵EQ⊥PD,∴QE=12PD=322,在Rt△FEQ中,sin∠CFE=EQEF=3224=328.第44页(共44页)\n29.(10分)(2021•绥化)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0),点B(1,0)(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,连接BD.直线y=-12x-52经过点A,且与y轴交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)点N是抛物线上的一点,当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时,求点N的坐标;(3)点F为线段AE上的一点,点G为线段OA上的一点,连接FG,并延长FG与线段BD交于点H(点H在第一象限),当∠EFG=3∠BAE且HG=2FG时,求出点F的坐标.【解答】解:(1)将A(﹣5,0),B(1,0)代入抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)得:25a-5b+5=0a+b+5=0,解得:a=-1b=-4,第44页(共44页)\n∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣4x+5;(2)∵D(﹣2,9),B(1,0),点N是抛物线上的一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形,∴此题有两种情形:①当DN=DB时,根据抛物线的对称性得:A与N重合,∴N1(﹣5,0),②方法一:当DN=BN时(如图1),N在BD的垂直平分线上,BD的垂直平分线交BD于I,交x轴于点Q,BD与y轴交点为K,∵∠KBO+∠OKB=90°,∠KBO+∠IQB=90°,∴∠OKB=∠IQB,在Rt△OKB中,sin∠OKB=1010,∴sin∠IQB=BIBQ=1010,∵I是BD的中点,BD=310,∴BI=3102,∴BQ=15,∴Q(﹣14,0),I(-12,92)设yQI=kx+b,代入得:-14k+b=0-12k+b=92,解得:k=13b=143,第44页(共44页)\n∴yQI=13x+143,联立得:y=13x+143y=-x2-4x+5,解得:x=-13±1816,∴yQI=13x+143=13(-13±1816)+143=71±18118,N2(-13-1816,71-18118),N3(-13+1816,71+18118),方法二:如图2,过点N作DS⊥NT交NT于点S,设N(a,﹣a2﹣4a+5),D(﹣2,9),∵DN=DB,∴DS2+SN2=NT2+TB2,∴(﹣2﹣a)2+(9+a2+4a﹣5)2=(﹣a2﹣4a+5)2+(1﹣a)2,(2+a)2﹣(1﹣a)2=(a2+4a﹣5)2﹣(9+a2+4a﹣5)2,(2+a+1﹣a)(2+a﹣1+a)=(a2+4a﹣5+a2+4a+4)(a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4),解得:a=-13±1816,把a=-13±1816代入﹣a2﹣4a+5=﹣(-13±1816)2﹣4(-13±1816)+5=71±18118,∴N2(-13-1816,71-18118),N3(-13+1816,71+18118),综上所述,N1(﹣5,0),N2(-13-1816,71-18118),N3(-13+1816,71+18118);第44页(共44页)\n(3)如图1,在AE上取一点F,作AF的垂直平分线交x轴于点M,连接MF,则AM=MF,在AO上M点的右侧作FG=MF,∴∠FGM=∠FMG,∴∠EFG=∠BAE+∠FGM=∠BAE+∠FMG=∠BAE+2∠BAE=3∠BAE,移动F点,当HG=2FG时,点F为所求.过点F作FP垂直于x轴于点P,过点H作HR垂直于x轴于点R,∴△FPG∽△HRG,∴PFHR=PGRG=FGGH=12,GR=2PG,HR=2PF,设F(m,-12m+52),则OP=﹣m,PF=12m+52,HR=2PF=m+5,∵AP=m+5,∴AP=2PF,∵AM=AP﹣MP=2PF﹣MP,MF=AM,∴在Rt△PMF中,PM2+PF2=MF2,PM2+PF2=(2PF﹣MP)2,∴PM=34PF=34×m+52=38m+158,∴GP=38m+158,∴GR=2PG=34m+154,∴PR=3PG=3PM,∴AR=AP+PR=AP+3PM=2PF+3×34PF=174PF=178m+858,第44页(共44页)\n∴OR=178m+858-5=178m+458,∴H(178m+458,m+5),∵B(1,0),D(﹣2,9),∴BD解析式为:yBD=﹣3x+3,把H代入上式并解得:m=-15159,再把m=-15159代入y=-12x-52得:y=-7259,∴F(-15159,-7259).第44页(共44页)

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发布时间:2022-06-15 16:37:40 页数:44
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文章作者:yuanfeng

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