2021年江苏省连云港市中考数学试卷

2021年江苏省连云港市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2021•连云港）的相反数是　　A．3B．C．D．2．（3分）（2021•连云港）下列运算正确的是　　A．B．C．D．3．（3分）（2021•连云港）2021年5月18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据，其中连云港市的常住人口约为4600000人．把“4600000”用科学记数法表示为　　A．B．C．D．4．（3分）（2021•连云港）正五边形的内角和是　　A．B．C．D．5．（3分）（2021•连云港）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则等于　　第40页（共40页）\nA．B．C．D．6．（3分）（2021•连云港）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象经过点；乙：函数图象经过第四象限；丙：当时，随的增大而增大．则这个函数表达式可能是　　A．B．C．D．7．（3分）（2021•连云港）如图，中，，、相交于点，，，，则的面积是　　A．B．C．D．8．（3分）（2021•连云港）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是　　A．3B．4C．5D．6第40页（共40页）\n二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）（2021•连云港）一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是　　．10．（3分）（2021•连云港）计算：　　．11．（3分）（2021•连云港）分解因式：　　．12．（3分）（2021•连云港）若关于的方程有两个相等的实数根，则　　．13．（3分）（2021•连云港）如图，、是的半径，点在上，，，则　　．14．（3分）（2021•连云港）如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为，，，则的长为　　．15．（3分）（2021•连云港）某快餐店销售、两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份种快餐的利润，同时提高每份种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份种快餐利润每降1元可多卖2份，每份种快餐利润每提高1元就少卖2第40页（共40页）\n份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是　　元．16．（3分）（2021•连云港）如图，是的中线，点在上，延长交于点．若，则　　．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2021•连云港）计算：．18．（6分）（2021•连云港）解不等式组：．19．（6分）（2021•连云港）解方程：．20．（8分）（2021•连云港）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的、、、四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：第40页（共40页）\n（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，种粽子所在扇形的圆心角是　　；（3）这个小区有2500人，请你估计爱吃种粽子的人数为　　．21．（10分）（2021•连云港）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是　　；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．22．（10分）（2021•连云港）如图，点是的中点，四边形是平行四边形．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是矩形．23．（10分）（2021•连云港）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶型消毒液和3瓶型消毒液共需41元，5瓶型消毒液和2瓶型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．24．（10分）（2021•连云港）如图，中，，以点为圆心，为半径作，为上一点，连接、，，平分．第40页（共40页）\n（1）求证：是的切线；（2）延长、相交于点，若，求的值．25．（10分）（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点到岸边的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点恰好位于海面．求点到岸边的距离．（参考数据：，，，，，第40页（共40页）\n26．（12分）（2021•连云港）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知．（1）求的值和直线对应的函数表达式；（2）为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；（3）为抛物线上一点，若，求点的坐标．27．（14分）（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边长为3的等边三角形，是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1．求的长；第40页（共40页）\n（2）是边长为3的等边三角形，是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，是边上的一个动点，在点从点到点的运动过程中，小亮以为顶点作正方形，其中点、都在直线上，如图4．当点到达点时，点、、与点重合．则点所经过的路径长为　　，点所经过的路径长为　　．第40页（共40页）\n2021年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2021•连云港）的相反数是　　A．3B．C．D．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：互为相反数的两个数相加等于0，的相反数是3．故选：．【点评】此题主要考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）（2021•连云港）下列运算正确的是　　A．B．C．D．【分析】由合并同类项法则及完全平方公式依次判断每个选项即可．【解答】解：和不是同类项，不能合并，错误，故选项不符合题意；和不是同类项，不能合并，错误，故选项不符合题意；，错误，故选项不符合题意；．，正确，选项符合题意．故选：．第40页（共40页）\n【点评】本题主要考查合并同类项，完全平方公式等内容，熟记同类项定义及合并同类项法则是解题基础．3．（3分）（2021•连云港）2021年5月18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据，其中连云港市的常住人口约为4600000人．把“4600000”用科学记数法表示为　　A．B．C．D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．当原数绝对值时，是正数．【解答】解：．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．4．（3分）（2021•连云港）正五边形的内角和是　　A．B．C．D．【分析】根据多边形内角和为，然后将代入计算即可．【解答】解：正五边形的内角和是：，故选：．【点评】本题考查多边形内角和，解答本题的关键是明确多边形内角和为．5．（3分）（2021•连云港）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则等于　　第40页（共40页）\nA．B．C．D．【分析】在矩形中，，则，，又由折叠可知，，可求出的度数，进而得到的度数．【解答】解：如图，在矩形中，，，，由折叠可知，，，故选：．【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质等，掌握折叠前后角度之间的关系是解题的基础．6．（3分）（2021•连云港）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象经过点；乙：函数图象经过第四象限；丙：当时，随的增大而增大．第40页（共40页）\n则这个函数表达式可能是　　A．B．C．D．【分析】结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．【解答】解：把点分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项不符合题意；又函数过第四象限，而只经过第一、二象限，故选项不符合题意；对于函数，当时，随的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．7．（3分）（2021•连云港）如图，中，，、相交于点，，，，则的面积是　　A．B．C．D．【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，可得，可得，由，，可求出的长，又，，则，解直角，可分别求出和的长，进而可求出的面积．【解答】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，第40页（共40页）\n则，，，，，，，，，，则，，，，，，．故选：．【点评】本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键．8．（3分）（2021•连云港）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是　　第40页（共40页）\nA．3B．4C．5D．6【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解．【解答】解：的面积为，则圆的半径为，则，由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，理由：，且，则四边形为平行四边形，则，故的周长为最小，则，第40页（共40页）\n则的周长的最小值为，故选：．【点评】本题是为几何综合题，主要考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点、的位置是本题解题的关键．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）（2021•连云港）一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是　2　．【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列：1，1，2，2，3，4，处于中间位置的两个数是2，2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．故答案为：2．【点评】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．10．（3分）（2021•连云港）计算：　5　．【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．【解答】解：原式．故答案为：5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．11．（3分）（2021•连云港）分解因式：　　．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．第40页（共40页）\n【解答】解：原式，故答案为：【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．（3分）（2021•连云港）若关于的方程有两个相等的实数根，则　　．【分析】根据根的判别式△，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，△，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．13．（3分）（2021•连云港）如图，、是的半径，点在上，，，则　25　．【分析】连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，求出，根据等腰三角形的性质计算．【解答】解：连接，第40页（共40页）\n，，，，，，故答案为：25．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键．14．（3分）（2021•连云港）如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为，，，则的长为　　．【分析】根据菱形的性质和勾股定理，可以求得的长，然后根据等面积法即可求得的长．第40页（共40页）\n【解答】解：四边形是菱形，，，，，，，，，又，，，解得，故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法，利用数形结合的思想解答．15．（3分）（2021•连云港）某快餐店销售、两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份种快餐的利润，同时提高每份种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份种快餐利润每降1元可多卖2份，每份种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是　1264　元．【分析】设每份种快餐降价元，则每天卖出份，每份种快餐提高元，则每天卖出份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得，用表达出，结合二次函数的性质得到结论．【解答】解：设每份种快餐降价元，则每天卖出份，每份种快餐提高第40页（共40页）\n元，则每天卖出份，由题意可得，，解，总利润，，当时，取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．故答案为：1264．【点评】本题属于经济问题，主要考查二次函数的性质，设出未知数，根据“这两种快餐每天销售总份数不变”列出等式，找到量之间的关系是解题关键．16．（3分）（2021•连云港）如图，是的中线，点在上，延长交于点．若，则　　．【分析】过点作交于，可得，所以，得到；再根据，得，所以，即．【解答】解：如图，是的中线，第40页（共40页）\n点是的中点，，过点作交于，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．第40页（共40页）\n【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点作，构造相似三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2021•连云港）计算：．【分析】根据立方根的定义，绝对值的代数意义，有理数的乘方计算即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查了立方根的定义，绝对值，考核学生的计算能力，属于简单题，算对的值是解题的关键．18．（6分）（2021•连云港）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组的解集为．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（6分）（2021•连云港）解方程：．【分析】观察可得方程最简公分母为：，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．第40页（共40页）\n【解答】解：方程两边同乘，得，整理得，解得．检验：当时，，所以是增根，应舍去．原方程无解．【点评】解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．20．（8分）（2021•连云港）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的、、、四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，种粽子所在扇形的圆心角是　108　；（3）这个小区有2500人，请你估计爱吃种粽子的人数为　　．第40页（共40页）\n【分析】（1）先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢，，种粽子的人数的和即可到喜欢种粽子的人数；（2）先求出种粽子所占的百分比，然后百分比即可求出种粽子所在扇形的圆心角；（3）根据样本估计总体即可．【解答】解：（1）抽样调查的总人数：（人，喜欢种粽子的人数为：（人，补全条形统计图，如图所示；（2），，故答案为：108；（3），（人，故答案为：500．【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图，体现了用样本估计总体的思想，计算出种粽子所占的百分比是解题的关键．第40页（共40页）\n21．（10分）（2021•连云港）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是　　；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）已确定甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中乙的只有1种，恰好选中乙的概率为：．故答案为：．（2）画树状图如下图：共有12种等可能的结果数，其中恰好有1名女生和1名男生的结果数为8，女1男）．所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．【点评】第40页（共40页）\n本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．22．（10分）（2021•连云港）如图，点是的中点，四边形是平行四边形．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是矩形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，且，根据点是的中点，得到，等量代换得，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．【解答】解：（1）证明：四边形是平行四边形，，且．点是的中点，，，，四边形是平行四边形；（2）证明：四边形是平行四边形，，，第40页（共40页）\n，四边形是平行四边形，四边形是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．23．（10分）（2021•连云港）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶型消毒液和3瓶型消毒液共需41元，5瓶型消毒液和2瓶型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．【分析】（1）根据2瓶型消毒液和3瓶型消毒液共需41元，5瓶型消毒液和2瓶型消毒液共需53元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元；（2）根据题意，可以写出费用和购买型消毒液数量的函数关系，然后根据型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，可以得到型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用．【解答】解：（1）设型消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元，，解得，答：型消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元；（2）设购进型消毒液瓶，则购进型消毒液瓶，费用为元，第40页（共40页）\n依题意可得：，随的增大而减小，型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，，解得，当时，取得最小值，此时，，答：最省钱的购买方案是购进型消毒液67瓶，购进型消毒液23瓶，最低费用为676元．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是列出相应的方程组和列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．24．（10分）（2021•连云港）如图，中，，以点为圆心，为半径作，为上一点，连接、，，平分．（1）求证：是的切线；（2）延长、相交于点，若，求的值．第40页（共40页）\n【分析】（1）根据证明，所以，进而，所以是的切线；（2）易证，因为，且，所以，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得：，根据正切的定义即可求出的值．【解答】解：（1）证明：平分，．又，，，，，即是的切线；（2）由（1）可知，，又，．，且，，．，．第40页（共40页）\n．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，正切的定义，证明出是解题的关键．25．（10分）（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点到岸边的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点恰好位于海面．求点到岸边的距离．（参考数据：，，，，，【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于，先根据三角函数的定义求出，继而得出，再根据三角函数的定义求出，继而得出，根据三角函数的定义得出，从而得出的长度；（2）过点作，垂足为，延长交于点，垂足为，先根据三角函数的定义求出，继而得出，再根据三角函数的定义求出，继而得出第40页（共40页）\n，利用勾股定理求出，从而得出的长．【解答】解：（1）过点作，垂足为，延长交于，则，垂足为，由，，，即，，由，，，即，，又，，即，，即到岸边的距离为；第40页（共40页）\n（2）过点作，垂足为，延长交于点，垂足为，由，，，即，，由，，，即，，，，即点到岸边的距离为．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．第40页（共40页）\n26．（12分）（2021•连云港）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知．（1）求的值和直线对应的函数表达式；（2）为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；（3）为抛物线上一点，若，求点的坐标．【分析】（1）把点坐标直接代入抛物线的表达式，可求的值，进而求出抛物线的表达式，可求出点的坐标，设直线的表达式，把点和点的坐标代入函数表达式即可；（2）过点作直线的平行线，联立直线与抛物线表达式可求出的坐标；设出直线与轴的交点为，将直线向下平移，平移的距离为的长度，可得到直线，联立直线表达式与抛物线表达式，可求出点的坐标；（3）取点使，作直线，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，可得，求出点的坐标，联立求出点的坐标．【解答】解：（1）将代入，化简得，，则（舍或，第40页（共40页）\n，．，设直线的函数表达式为，将代入，，可得，，解得，，直线的函数表达式为．（2）如图，过点作，设直线交轴于点，将直线向下平移个单位，得到直线．由（1）得直线的表达式为，，直线的表达式为，第40页（共40页）\n联立，解得，或，或，由直线的表达式可得，，，直线的表达式为：，联立，解得，，或，，，，，，；综上可得，符合题意的点的坐标为：，，，，，；（3）如图，取点使，作直线，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，第40页（共40页）\n则是等腰直角三角形，，，，．设，则，由，则，，解得．，又，直线对应的表达式为，设，代人，，整理得．又，则．，．第40页（共40页）\n【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查利用平行转化面积，角度的存在性等，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的辅助线是解题的基础．27．（14分）（2021•连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边长为3的等边三角形，是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1．求的长；（2）是边长为3的等边三角形，是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，是边上的一个动点，在点从点到点的运动过程中，小亮以为顶点作正方形，其中点、都在直线上，如图4．当点到达点时，点、、与点重合．则点所经过的路径长为　　，点所经过的路径长为　　．【分析】（1）由题意可得，则；（2）点在点处时，，点在处时，点与点重合．则点运动的路径长；第40页（共40页）\n（3）类比（2）的思路可知，点在处时，，点在处时，点与点重合．则点所经过的路径的长；（4）类比（2）（3）可得，连接，，相交于点，取的中点，的中点，连接，，当点在处时，点，，重合，点和点重合；当点在点处时，点和点重合，点与点重合．【解答】解：（1）如图，和是等边三角形，，，，，，，；（2）如图2，连接，由（1），，，，，，又点在点处时，，第40页（共40页）\n点在处时，点与点重合．点运动的路径长．（3）如图3，取的中点，连接，，，，，，和是等边三角形，，，，，，，，，又点在处时，，点在处时，点与点重合．第40页（共40页）\n点所经过的路径的长；（4）如图，连接，，相交于点，取的中点，的中点，连接，，，点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的圆上；，，即，，，点在以点为圆心，长为半径的圆上；当点在处时，点，，重合，点和点重合；当点在点处时，点和点重合，点与点重合；连接，，由上证明可得，，第40页（共40页）\n，点，，三点共线，，点是的中点，是斜边中线，点在以点为圆心，长为半径的圆上；点所经过的路径长；点所经过的路径长．故答案为：，．【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质等知识．解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．第40页（共40页）