2021年浙江省嘉兴市中考数学试卷

2021年浙江省嘉兴市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选错选，均不得分）1．（3分）（2021•嘉兴）2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为　　A．B．C．D．2．（3分）（2021•嘉兴）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为　　A．B．C．D．3．（3分）（2021•嘉兴）能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是　　A．B．C．D．4．（3分）（2021•嘉兴）已知三个点，，，，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是　　A．B．C．D．5．（3分）（2021•嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤第36页（共36页）\n中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是　　A．等腰三角形B．直角三角形C．矩形D．菱形6．（3分）（2021•嘉兴）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是　　A．中位数是B．众数是C．平均数是D．4日至5日最高气温下降幅度较大7．（3分）（2021•嘉兴）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为　　A．相离B．相交C．相切D．相交或相切8．（3分）（2021•嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901第36页（共36页）\n班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元，根据题意可列方程为　　A．B．C．D．9．（3分）（2021•嘉兴）如图，在中，，，点在上，且，点是上的动点，连结，点，分别是和的中点，连结，，当时，线段长为　　A．B．C．D．410．（3分）（2021•嘉兴）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是　　A．B．C．D．二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11．（4分）（2021•嘉兴）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解　　．12．（4分）（2021•嘉兴）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是　　．第36页（共36页）\n13．（4分）（2021•嘉兴）观察下列等式：，，，按此规律，则第个等式为　　．14．（4分）（2021•嘉兴）如图，在中，对角线，交于点，，于点，若，，则的长为　　．15．（4分）（2021•嘉兴）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为　　．马匹姓名下等马中等马上等马齐王6810田忌57916．（4分）（2021•嘉兴）如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连结，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是　　；点到达点时，线段扫过的面积为　　．第36页（共36页）\n三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）17．（6分）（2021•嘉兴）（1）计算：；（2）化简并求值：，其中．18．（6分）（2021•嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出你的解答过程．19．（6分）（2021•嘉兴）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．第36页（共36页）\n20．（8分）（2021•嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米米为“中途期”，80米米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度与路程之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）是关于的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．21．（8分）（2021•嘉兴）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整）第36页（共36页）\n青少年视力健康标准类别视力健康状况视力视力正常4.9轻度视力不良视力中度视力不良视力重度视力不良根据以上信息，请解答：（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别的人数．（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在以内．请估计该市八年级学生2021第36页（共36页）\n年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．22．（10分）（2021•嘉兴）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图．（1）求点转动到点的路径长；（2）求点到直线的距离（结果精确到．（参考数据：，，，，，23．（10分）（2021•嘉兴）已知二次函数．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．24．（12分）（2021•嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，连结．探究如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．第36页（共36页）\n探究如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．探究在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图，发现线段，，存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．第36页（共36页）\n2021年浙江省嘉兴市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选错选，均不得分）1．（3分）（2021•嘉兴）2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为　　A．B．C．D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．当原数绝对值时，是正数．【解答】解：．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．2．（3分）（2021•嘉兴）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为　　A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．第36页（共36页）\n【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，右齐．故选：．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（3分）（2021•嘉兴）能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是　　A．B．C．D．【分析】根据题意，只要是有理数，即求出各个选项中的值，再判断即可．【解答】解：，是无理数，不符合题意；，是无理数，不符合题意；，是有理数，符合题意；，是无理数，不符合题意；故选：．【点评】本题考查了命题，命题的“真””假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．4．（3分）（2021•嘉兴）已知三个点，，，，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是　　A．B．C．D．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论第36页（共36页）\n【解答】解：反比例函数中，，函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．，点，，，两点在第三象限，点，在第一象限，．故选：．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5．（3分）（2021•嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是　　A．等腰三角形B．直角三角形C．矩形D．菱形【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可．【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形，第36页（共36页）\n由折叠可知，是等腰三角形，又和关于直线对称，四边形是菱形，故选：．【点评】本题主要考查折叠的性质及学生动手操作能力：逆向思维也是常用的一种数学思维方式．6．（3分）（2021•嘉兴）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是　　A．中位数是B．众数是C．平均数是D．4日至5日最高气温下降幅度较大【分析】分别确定7个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．【解答】解：、7个数排序后为23，25，26，27，30，33，33，位于中间位置的数为27，所以中位数为，故错误，符合题意；第36页（共36页）\n、7个数据中出现次数最多的为33，所以众数为，正确，不符合题意；、平均数为，正确，不符合题意；、观察统计表知：4日至5日最高气温下降幅度较大，正确，不符合题意，故选：．【点评】考查了统计的知识，解题的关键是了解如何确定一组数据的中位数、众数及平均数，难度不大．7．（3分）（2021•嘉兴）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为　　A．相离B．相交C．相切D．相交或相切【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．【解答】解：的半径为，线段，，即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径，点在外，点在上，直线与的位置关系为相交或相切，故选：．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．8．（3分）（2021•嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元，根据题意可列方程为　　A．B．C．D．第36页（共36页）\n【分析】若设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程即可．【解答】解：若设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，根据题意可得：．故选：．【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9．（3分）（2021•嘉兴）如图，在中，，，点在上，且，点是上的动点，连结，点，分别是和的中点，连结，，当时，线段长为　　A．B．C．D．4【分析】分别过点，作的垂线，垂足为，，过点作于点，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段和的长，建立等式可求出结论．【解答】解：如图，分别过点，作的垂线，垂足为，，过点作于点，第36页（共36页）\n四边形是矩形，，，，，，又点和点分别是线段和的中点，和分别是和的中位线，，，，，，，，设，，，在中，，在中，，，第36页（共36页）\n，解得，即，在中，．故选：．【点评】本题主要考查中位线定理，勾股定理，矩形的性质与判定，构造中位线是解题过程中常见思路．10．（3分）（2021•嘉兴）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是　　A．B．C．D．【分析】结合选项可知，只需要判断出和的正负即可，点在直线上，代入可得关于和的等式，再代入不等式中，可判断出与正负，即可得出结论．【解答】解：点在直线上，，又，，解得，当时，得，，，第36页（共36页）\n，．故选：．【点评】本题主要考查一次函数上点的坐标特征，不等式的基本性质等，判断出与的正负是解题关键．二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11．（4分）（2021•嘉兴）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解　（答案不唯一）　．【分析】把看做已知数求出，确定出整数解即可．【解答】解：，，当时，，则方程的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．12．（4分）（2021•嘉兴）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是　　．第36页（共36页）\n【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心．【解答】解：如图，点即为所求的位似中心．故答案是：．【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．13．（4分）（2021•嘉兴）观察下列等式：，，，按此规律，则第个等式为　　．【分析】根据题目中的式子可以发现：等号左边是一些连续的奇数，从1开始；等号右边第一个数是和左边是第几个奇数一样，第二个数比第一个数少1，然后即可写出第个等式．【解答】解：，，，，第36页（共36页）\n第个等式为，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化类，发现式子的变化特点是解答本题的关键．14．（4分）（2021•嘉兴）如图，在中，对角线，交于点，，于点，若，，则的长为　　．【分析】在和中，分别利用勾股定理可求出和的长，又，可利用等面积法求出的长．【解答】解：如图，，，，，在中，，，，在中，，又，，即，解得．第36页（共36页）\n故答案为：．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，等面积思想等，熟知等面积法是解题关键．15．（4分）（2021•嘉兴）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为　　．马匹姓名下等马中等马上等马齐王6810田忌579【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，田忌能赢得比赛的概率为．【点评】本题考查了利用列表法或树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．第36页（共36页）\n16．（4分）（2021•嘉兴）如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连结，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是　　；点到达点时，线段扫过的面积为　　．【分析】如图1中，过点作于．解直角三角形求出,当时，点到直线的距离最大，求出,．可得结论．如图2中，点到达点时，线段扫过的面积，由此求解即可．【解答】解：如图1中，过点作于．在中，,,在中，,,第36页（共36页）\n,当时，点到直线的距离最大，设交的延长线于．在中，,．如图2中，点到达点时，线段扫过的面积．故答案为：，．【点评】本题考查轴对称的性质，翻折变换，解直角三角形，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求面积，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）第36页（共36页）\n17．（6分）（2021•嘉兴）（1）计算：；（2）化简并求值：，其中．【分析】（1）根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值可以解答本题；（2）先通分，然后根据分式的减法法则即可化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）；（2），当时，原式．【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和实数运算的计算方法．18．（6分）（2021•嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得小霞：移项，得，第36页（共36页）\n，则．提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出你的解答过程．【分析】小敏：没有考虑的情况；小霞：提取公因式时出现了错误．利用因式分解法解方程即可．【解答】解：小敏：；小霞：．正确的解答方法：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．19．（6分）（2021•嘉兴）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．第36页（共36页）\n【分析】（1）先以为边画出一个等腰三角形，再作对称即可；（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得．【解答】解：（1）如下图所示：四边形即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．（2）图1菱形面积，图2菱形面积，图3菱形面积．【点评】本题主要考查菱形的性质，由对称性得到菱形是解题的关键．20．（8分）（2021•嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米米为“中途期”，80米米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度与路程之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）是关于的函数吗？为什么？第36页（共36页）\n（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．【分析】（1）根据函数的定义，可直接判断；（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为．（3）答案不唯一．建议合理即可．【解答】解：（1）是的函数，在这个变化过程中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应．（2）“加速期”结束时，小斌的速度为．（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．【点评】本题主要考查函数图象的应用，结合题干中“百米赛跑数学模型”读出图中的数据是解题关键．21．（8分）（2021•嘉兴）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整）第36页（共36页）\n青少年视力健康标准类别视力健康状况视力视力正常4.9轻度视力不良视力中度视力不良视力重度视力不良根据以上信息，请解答：（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别的人数．（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在以内．请估计该市八年级学生2021第36页（共36页）\n年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．【分析】（1）利用2021年初视力不良的百分比乘即可求解．（2）分别求出2021、2020年初视力正常的人数即可求解．（3）用即可得该市八年级学生2021年视力不良率，即可判断．【解答】解：（1）被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良的扇形圆心角度数．该批400名学生2020年初视力正常人数（人．（2）该市八年级学生221年初视力正常人数（人．这些学生2020年初视力正常的人数（人．增加的人数（人．（3）该市八年级学生2021年视力不良率．．该市八年级学生2021年初视力良率符合要求．【点评】本题考查扇形统计图、统计表的知识，关键在于计算的准确性．22．（10分）（2021•嘉兴）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图．（1）求点转动到点的路径长；（2）求点到直线的距离（结果精确到．（参考数据：，，，，，第36页（共36页）\n【分析】（1）由,求出，可得，根据弧长公式即可求出点转动到点的路径长为；（2）过作于,过作于，中，求出,中，,故,即点到直线的距离为,【解答】解：,，，，，，点转动到点的路径长为；（2）过作于,过作于，如图：第36页（共36页）\n中，,中，,,,点到直线的距离约为,答：点到直线的距离约为．【点评】本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形．23．（10分）（2021•嘉兴）已知二次函数．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，进而根据得到关于的方程，解方程即可．【解答】解：（1），顶点坐标为；（2）顶点坐标为，当时，，当时，随着的增大而增大，第36页（共36页）\n当时，，当时，随着的增大而减小，当时，．当时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当时，对进行分类讨论，①当时，即，随着的增大而增大，当时，，当时，，，，解得（不合题意，舍去），②当时，顶点的横坐标在取值范围内，，当时，在时，，，，解得，（不合题意，舍去）；当时，在时，，，，解得，（不合题意，舍去），第36页（共36页）\n③当时，随着的增大而减小，当时，，当时，，，，解得（不合题意，舍去），综上所述，或．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．24．（12分）（2021•嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，连结．探究如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．探究如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．探究在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图，发现线段，，存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．【分析】（1）如图1，设，由旋转的性质得出，，证明△，由相似三角形的性质得出第36页（共36页）\n，由比例线段得出方程，求出的值即可得出答案；（2）连接，证明△，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，证出，则可得出结论；（3）连接，证明△，由全等三角形的性质得出，得出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．【解答】解：（1）如图1，设，矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，’在同一直线上，，，，，，又点在的延长线上，△，，，第36页（共36页）\n解得，（不合题意，舍去），．（2）．证明：如图2，连接，，，，，，△，，，，，，；（3）关系式为．证明：如图3，连接，第36页（共36页）\n，，，△，，，，，，在和中，，，，，，．【点评】本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．第36页（共36页）