黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校2020年中考数学试题（解析版）

牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校2020年初中毕业学业考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．2.下列运算正确的是（）A.(a＋b)(a－2b)=a2－2b2B.C.－2(3a－1)=－6a＋1D.(a＋3)(a－3)=a2－9【答案】D【解析】【分析】本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择．【详解】A、原式＝，故此选项错误；B、原始＝，根据完全平方公式可以做出判断，故此选项错误；C、原式＝，根据乘法分配律可以做出判断，故此选项错误；D、原式＝a2－9，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查代数式运算公式及法则，掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键．3.如图是由5第28页共28页\n个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，有1个立方块；中间有2竖列，其中1列有2个立方块；右边是1竖列，有1个立方块；结合四个选项选出答案．【详解】解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，其中1列有2个立方块，右边是1竖列．故选：A．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．4.现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解：列表如下：黄红红红（黄，红）（红，红）（红，红）红（黄，红）（红，红）（红，红）白（黄，白）（红，白）（红，白）由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，第28页共28页\n所以摸出的两个球颜色相同的概率为．故选：B．【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识以及概率公式，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．5.一组数据4，4，x，8，8有唯一的众数，则这组数据的平均数是（）A.B.或5C.或D.5【答案】C【解析】【分析】因为这组数据有唯一的众数，那么众数可能是4，也可能是8，分情况讨论即可．【详解】解：当众数为4时，x=4，，当众数为8时，x=8，，即这组数据的平均数是或．故答案：C．【点睛】本题考查众数的概念和平均数的求解，在一组数据中，出现次数最多的数就是这组数据的众数．6.如图，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3，则AC的长为（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：第28页共28页\n由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．7.如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是()．A.22.5°B.30°C.45°D.60°【答案】C【解析】【分析】设圆心为，连接，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数．【详解】解：设圆心为，连接，如图，∵弦的长度等于圆半径的倍，即，∴，∴为等腰直角三角形，，∴°．故选C．第28页共28页\n【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（）A.3B.3，－3C.D.，－【答案】C【解析】【分析】将代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．详解】解：将代入二元一次方程中，得到：，解这个关于x和y的二元一次方程组，两式相加，解得，将回代方程中，解得，∴，∴x＋2y的算术平方根为，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．9.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（）第28页共28页\nA.或B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，根据题意易得△AOB为等边三角形，在旋转过程中，点A有两次落在x轴上，当点A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，易证此时C′′与点A重合，即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，则，OA=，∴∠AOE=60°，∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB是等边三角形，当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，此时旋转角为60°，∵∠BOC=60°，∠COF=30°，∴∠C′OF=60°-30°=30°，∵OC′=OA=4，∴OF=，C′F=，第28页共28页\n∴C′（），当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°又∵OA=OC′′，∴此时C′′点A重合，CC′′，综上，点C的对应点的坐标为或，故答案为：D．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A的运动情况，分情况讨论．10.若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（）A.3B.5C.3或5D.3或4【答案】D【解析】【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．【详解】解：，两边同时乘以得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，当时，是原分式方程的解；当时，是原分式方程的解；故选：D．【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．第28页共28页\n11.如图，A，B是双曲线上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A.B.2C.4D.8【答案】D【解析】【分析】过点B作轴，易得，得到，即可求解k的值．【详解】解：如图，过点B作轴，设，则，∵轴，轴，∴，∴，∵D为OB中点，∴，∴，即，解得，∴k的值为8，故选：D．第28页共28页\n【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标，解题的关键是作出辅助线，得到两个相似的三角形．12.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0).下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y1<y2；⑤b>m(am+b)(其中m≠)．其中说法正确的是（）A.①②④⑤B.①②④C.①④⑤D.③④⑤【答案】A【解析】分析】根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对②进行判断；由于经过点，则得到，则可对③进行判断；通过点，和点，离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以（其中，由代入则可对⑤进行判断．【详解】解：抛物线开口向下，，抛物线对称轴为直线，，抛物线与轴的交点在轴上方，，，所以①正确；对称轴为，且经过点，抛物线与轴的另一个交点为，第28页共28页\n，，，所以②正确；抛物线经过点，时，，，所以③错误；点，离对称轴要比点，离对称轴要远，，所以④正确．抛物线的对称轴为直线，当时，有最大值，（其中，（其中，，，，所以⑤正确；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．二、填空题（每小题3分，共24分）13.一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示______．【答案】第28页共28页\n【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】，故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．【答案】AD=BC（答案不唯一）【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可．【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件AD=BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件AB∥DC，本题只需添加一个即可，故答案为：AD=BC（答案不唯一）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．15.在函数中，自变量x的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可．第28页共28页\n【详解】解：函数中：，解得：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键．16.“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进价是____元．【答案】80【解析】【分析】根据题意设出方程，解出即可．【详解】设书包进价是x元，由题意得：130×0.8－x=30%x解得x=80．故答案为：80．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于根据题意找出等量关系．17.将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．【答案】(2，－5)【解析】【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解．【详解】抛物线y=(x－1)2－5的顶点为（1，-5），∴关于y轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5），故答案为：(2，－5)．【点睛】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．18.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是___个．第28页共28页\n【答案】92【解析】【分析】根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可．【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆，第2个图形中一共有个圆，第3个图形中一共有个圆，第4个图形中一共有个圆；可得第个图形中圆的个数是；所以第9个图形中圆的个数，故答案为：92．【点睛】本题考查图形的变换规律，根据图形的排列规律得到第个图形中圆的个数是是解决本题的关键．19.在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB=CD=4，则S△ACP=______．【答案】或或【解析】【分析】作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，连接OD、OB，则可以求出OE、OF的长度，进而求出OP的长度，进一步得PE与PF长度，最后可求出答案.【详解】如图所示，作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，第28页共28页\n∴AE=BE==2，DF=CF==2，在中，∵OB=，BE=2，∴OE=1，同理可得OF=1，∵AB垂直于CD，∴四边形OEPF为矩形，又∵OE=OF=1，∴四边形OEPF为正方形，又∵有如图四种情况，∴（1）=AP∙CP=×1×3=，（2）=AP∙PC=×1×1=，（3）=PC∙PA=×3×3=，（4）=AP∙PC=×3×1=，故答案为：或或【点睛】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理还有圆的综合运用，熟练掌握方法是关键.20.正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，则下列结论：①DF=FC；②AE+DF=EF；③∠BFE=∠BFC；④∠ABE+∠CBF=45°；⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC；⑥DF:DE:EF=3:4:5；⑦BF:EF=:5．其中结论正确的序号有_____．【答案】①②③④⑤⑥⑦【解析】第28页共28页\n【分析】设正方形的边长为3，假设F为DC的中点，证明进而证明PE=PB可得假设成立，故可对①进行判断；由勾股定理求出EF的长即可对②进行判断；过B作BG⊥EF，证明即可对③进行判断；过点E作EH⊥BF，利用三角形BEF的面积求出EH和BH的长，判断△BEH是等腰直角三角形即可对④进行判断；过F作FQ//AD，利用平行线的性质得，从而可对⑤进行判断；根据DE，DF，EF的长可对⑥进行判断；根据BF和CF的长可对⑦进行判断．【详解】如图，不妨设正方形ABCD的边长为3，即，，，，①假设F为CD的中点，延长EF交BC的延长线于点P，在和中由勾股定理得，，，，，，故假设成立，，故①正确；②，，第28页共28页\n，而，，故②正确；③过B作，垂足为G，而在和中，∴，即，故③正确；④过E和，垂足为H，∵，又，，在中，，，在中，，第28页共28页\n，而是等腰直角三角形，，，故④正确；⑤过F作FQ//AD，交AB于Q，则FQ//BC，，，，，故⑤正确；⑥，，，故⑥正确；⑦，，，故⑦正确；综上所述，正确的结论是①②③④⑤⑥⑦．故答案为：①②③④⑤⑥⑦．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，假设出AB=3是解答此题的关键．三、解答题（共60分）21.先化简，再求值：其中x=1－2tan45°．【答案】，．【解析】【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，再计算出x第28页共28页\n的值，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：===＝，当x＝1－2tan45°=－1时，原式＝．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时还考查了特殊角的三角函数值．22.已知抛物线y=a(x－2)2+c经过点A(－2,0)和点C(0,)，与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接写出线段BE的长．【答案】（1）y=(x－2)2+3；顶点D的坐标为(2,3)；（2）BE=5．【解析】【分析】（1）本题可利用待定系数法，将A,C两点代入抛物线求解即可．（2）本题可利用等腰三角形性质，通过角的互换证明BD=BE，最后利用勾股定理求解BD即可解答．【详解】（1）将点A(-2,0)，C(0,)代入y=a(x-2)2+c，得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=(x－2)2+3．第28页共28页\n∴顶点D的坐标为(2,3)．（2）∵A,B两点为抛物线与x轴两交点，D为坐标顶点，∴DA=DB，故∠DAB=∠DBA，∵DE=EF，∴∠EDF=∠EFD．∵∠EFD=∠FEB+∠EBD，∠DEF=∠DAB，∴∠EDF=∠FEB+∠DEF，∴∠BDE=∠BED，故BD=BE．∵A(-2,0)，D(2,3)，∴利用对称性可得B(6,0)，经计算BD=5,故BE=5．【点睛】本题考查二次函数，第一问为常规题目，利用待定系数法求解即可；第二问属于二次函数与几何综合，解答时需要结合等腰三角形性质与判定求解本题．23.等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=45º，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90º，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离．【答案】画出图形见解析；点B到CD的距离为2或．【解析】【分析】根据题目描述可以作出两个图形，利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可．【详解】本题有两种情况：（1）如图，∵是等腰直角三角形，，第28页共28页\n∴，∵，∴，∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离，过点A作，∵，∴，∴点B到CD的距离为2；（2）如图：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴点B到CD的距离即BE的长，∵，∴，∴，即点B到CD的距离为．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，根据题目描述作出两个图形是解题的关键．24.为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．（1）本次接受问卷调查的学生有________名．（2）补全条形统计图．第28页共28页\n（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为________．（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．【答案】（1）100；（2）见解析；（3）；（4）人.【解析】【分析】（1）根据D的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和图1中的数据可以将条形统计图补充完完整；（3）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数；（4）根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数．【详解】（1）本次接受问卷调查的学生有：（名），故答案为100；（2）喜爱C的有：（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为：，故答案为；第28页共28页\n（4）（人），答：该校最喜爱新闻节目的学生有160人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25.A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y(单位：千米)与驶的时间t(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数；（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．【答案】（1）60，10；（2）y=80t－320；（3）甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．【解析】【分析】（1）由图象分析可得甲车行驶用时为8小时，即可求解其速度，进而乙车速度也可知，则图中括号内的数字也可求解；（2）利用待定系数法即可求解；（3）分析整个运动过程，分三种情况进行讨论，分别求出对应的t即可求解．【详解】（1）由图象可知甲车在时行驶到C市，此时行驶的路程为，故速度为第28页共28页\n，∴乙车的行驶速度为：，∴乙车由C市到A市需行驶，∴图中括号内的数为，故答案为：60，10；（2）设线段MN所在直线的解析式为y=kt+b(k≠0).把点M（4，0），N（10，480）代入y=kt+b，得：，解得：，∴线段MN所在直线的函数解析式为y=80t－320．（3）若在乙车出发之前，即时，则，解得；若乙车出发了且甲车未到C市时，即时，则，解得（舍）；若乙车出发了且甲车已到C市时，即时，则，解得；综上，甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．26.∆ABC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD，∠EAB+∠DCF=180º．（1）如图①，求证AD+BC=BE；（2）如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明；（3）若BE⊥BC，tan∠BCD=，CD=10，则AD=______．【答案】（1）见解析；（2）图②结论：BC－AD=BE，图③结论：AD－BC=BE；（3）14－6或第28页共28页\n2+6.【解析】【分析】（1）证明∠EAB=∠BCD，用ASA证明△EAB≌△DCB，可得AD+BC=BE；（2）利用（1）的解题思路，证明△EAB≌△DCB，即可得到图②的结论BC－AD=BE；图③的结论AD－BC=BE；（3）利用（2）的结论，过点D作BC边长的垂线，构造直角三角形，结合tan∠BCD=，计算相应边的长度，即可得到AD的值．【详解】（1）证明：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD，∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD，AB=BC，∴AD+BC=AD+AB=BD=BE.（2）图②结论：BC－AD=BE，证明如下：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD，∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD，AB=BC，∴BA－AD=BC－AD=BE，即BC－AD=BE图③结论：AD－BC=BE.证明如下：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD，∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD，AB=BC，∴AD－AB=AD－BC=BD=BE，即AD－AB=BE（3）如图②所示，作于G由（2）知△EAB≌△DCB，∴∵∴在中，CD=10，，∴在中，，∴第28页共28页\n如图③所示，作于H由（2）知△EAB≌△DCB，∴∴∵∴在中，CD=10，，∴在中，，∴综上所述：AD的长度为14－6或2+6.【点睛】本题考查了由图形变化引起的类比探究，快速确定全等三角形，并准确利用全等三角形的性质是解题的关键．27.某商场准备购进A、B两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台B型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进B型号电脑的数量相同，请解答下列问题：（1）A，B型号电脑每台进价各是多少元？（2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台B型号电脑售价为1800元，商场决定同时购进A，B两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润y(单位：元)与A型号电脑x（单位：台）的函数关系式，若商场用不超过36000元购进A，B两种型号电脑，A型号电脑至少购进10台，则有几种购买方案？（3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买A，B两种型号电脑捐赠给某个福利院，请直接写出捐赠A，B型号电脑总数最多是多少台．第28页共28页\n【答案】（1）每台A型号电脑进价为2000元，每台B型号电脑进价为1500元；（2），有三种方案；（3）捐赠A，B型号电脑总数最多是5台．【解析】【分析】（1）设每台A型号电脑进价为a元.，则每台B型号电脑进价为元，根据题意列出分式方程求解即可；（2）若A型号电脑x台，则B型号电脑台，根据题意列出y与x的关系式；根据题意可列出关于x的一元一次不等式组，求解即可得到方案；（3）根据（2）得到最大利润，优先购买B型号电脑，即可求解．【详解】（1）设每台A型号电脑进价为a元.，则每台B型号电脑进价为元，由题意，得，解得：a=2000，经检验a=2000是原方程的解，且符合题意，2000－500=1500（元）．答：每台A型号电脑进价为2000元，每台B型号电脑进价为1500元．（2）由题意，得y=(2500－2000)x+(1800-1500)(20－x)=200x+6000，∵，解得，∵x是整数，∴x=10，11，12，∴有三种方案．（3）∵利润，随x的增大而增大，∴当时可获得最大利润，最大利润为（元），若要使捐赠A，B型号电脑总数尽可能多，则优先购买B型号电脑，可购买5台，所以捐赠A，B型号电脑总数最多5台．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用等内容，理解题意并列出方程或不等式组是解题的关键．28.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程x2－9x+20=0的两个根（OA<AB）,tan∠OCB=．第28页共28页\n（1）求点B，C的坐标；（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将∆POQ翻折，使点O落在AB上的点处，双曲线的一个分支过点．求k的值；（3）在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点B的坐标为（5，4），点C的坐标为（8，0）；（2）k=8；（3）存在．，，，．【解析】【分析】（1）解一元二次方程得到OA=4，AB=5，过点B作BD⊥OC于点D，求出OD、OC的长即可求解；（2）根据翻折的性质即可求解；（3）分类讨论，以，Q为边时和以，Q为对角线时，在前两问的基础上先确定点M的坐标，进而确定点N的坐标．【详解】（1）解方程：x2-9x+20=0，得x1=4，x2=5，∵OA<AB，∴OA=4，AB=5，过点B作BD⊥OC于点D，∵tan∠OCB=，BD=OA=4，OD=AB=5，∴CD=3，∴OC=8，∴点B的坐标为（5，4），点C的坐标为（8，0）；（2）∵AB//OC，OQ=AB=5，∠AOQ=90º，∴四边形AOQB为矩形，第28页共28页\n∴BQ=OA=4，由翻折，得OQ==5，∴=3，∴A=2，∴(2,4)，∴；（3）存在．①以，Q为边时，点M的坐标为或或，当点M的坐标为时，点N的坐标为；当点M的坐标为时，点N的坐标为；当点M的坐标为时，点N的坐标为；②以，Q为对角线时，点M的坐标为，此时点N的坐标为，综上所述，点N的坐标为：，，，．【点睛】本题考查的是矩形的判定、解一元二次方程、求反比例函数的解析式等内容，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．第28页共28页