2021年山东省烟台市中考数学真题试卷【含答案解释，可编辑】

2021年山东省烟台市中考数学真题试卷【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．若x的相反数是3，则x的值是（       ）A．B．C．3D．2．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（       ）A．B．C．D．4．一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是（       ）A．B．C．   D．5．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，5500万用科学记数法表示为（       ）试卷第9页，共9页 A．B．C．D．6．一副三角板如图就置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中的度数为（       ）A．45°B．60°C．75°D．85°7．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（）A．B．C．D．8．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：按键的结果为m；按键的结果为n；按键的结果为k．下列判断正确的是（       ）试卷第9页，共9页 A．B．C．D．9．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（       ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定10．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（       ）A．B．C．D．11．如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④．其中正确的个数有（       ）试卷第9页，共9页 A．1个B．2个C．3个D．4个12．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，．若，则的长为（       ）A．B．C．D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若在实数范围内有意义，则的取值范围为__________．14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米．15．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．试卷第9页，共9页 16．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据：，）17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________．18．综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为8cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图2），则矩形的周长为_____________cm．三、解答题19．先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值．试卷第9页，共9页 20．2021年是中国共产党成立100周年，为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．（1）按如下分数段整理两班测试成绩班级70.5~75.575.5~80.580.5~85.585.5~90.590.5~95.595.5~100.5甲12a512乙033621表中______________；（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：试卷第9页，共9页 班级平均数众数中位数方差甲868644.8乙8688y36.7表中______________，____________．（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是_________班；（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．21．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点B，，点C在线段上，且．（1）求k的值及线段的长；（2）点P为B点上方y轴上一点，当与的面积相等时，请求出点P的坐标．22．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？23．如图，已知中，．试卷第9页，共9页 （1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）①的角平分线，交于点D；②作线段的垂直平分线与相交于点O；③以点O为圆心，以长为半径画圆，交边于点M．（2）在（1）的条件下求证：是的切线；（3）若，，求的半径．24．有公共顶点A的正方形与正方形按如图1所示放置，点E，F分别在边和上，连接，，M是的中点，连接交于点N．【观察猜想】（1）线段与之间的数量关系是____________，位置关系是___________；【探究证明】（2）将图1中的正方形绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边上，如图2，其他条件不变，线段与之间的关系是否仍然成立？并说明理由．25．如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点．试卷第9页，共9页 （1）求抛物线及直线的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点F的坐标及的最小值；（3）连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第9页，共9页 参考答案：1．A【分析】由于3的相反数是-3，则由题意可求得x的值．【详解】∵3的相反数是-3，x的相反数是3∴x=－3故选：A．【点睛】本题考查了相反数的概念，掌握相反数的概念是关键．2．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特征进行判断即可．【详解】解：A选项是轴对称图形不是中心对称图形；B选项是中心对称图形，也不是轴对称图形；C选项是轴对称图形，不是中心对称图形；D选项既是轴对称图形又是中心对称图形;故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题关键是抓住对称图形的特征，进行准确判断．3．C【分析】根据幂的运算和合并同类项法则逐项判断即可．【详解】解：A.，原选项错误，不符合题意；B.不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；C.，原选项正确，符合题意；D.，原选项错误，不符合题意；答案第21页，共21页 故选：C．【点睛】本题考查了幂的运算和合并同类项，解题关键是熟练运用法则进行准确计算．4．C【分析】根据简单几何体的三视图的画法，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示可得答案．【详解】解：从左面看该几何体，选项C中的图形符合题意，故选：C．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提，掌握看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的关键．5．B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：5500万＝55000000＝5.5×107，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．C【分析】过顶点M作MN平行于直角三角形的斜边，则根据两直线平行内错角相等即可求得的度数．【详解】如图，设两块三角板分别为△ABC、△DEF，DE与BC的交点为M，过点M作MN∥AB答案第21页，共21页 则∠BMN=∠B=30゜∵AB∥CD，MN∥AB∴MN∥CD∴∠NME=∠E=45゜∴∠α=∠BMN+∠NME=30゜+45゜=75゜故选：C．【点睛】本题考查了平行线的两个性质：两直线平行内错角相等，平行于同一条直线的两条直线平行，作平行线是难点，平行线性质的应用是关键．7．D【分析】过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，根据题中已知条件：四边形ABCD为菱形，，可得，在中，利用三角函数即可求得AB、AO，进一步即可确定CE、DE长，即可求得D点的坐标．【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，∵，∴，∵四边形ABCD为菱形，，∴，，答案第21页，共21页 在中，，，∴，，∴菱形ABCD边长为2，，∴，点D坐标为：，故选：D．【点睛】题目主要考查菱形的性质、运用特殊角的三角函数求边长等，难点主要是在坐标系中灵活运用这些性质．8．C【分析】根据每一次的按键顺序列出相应的数学算式，得到结果比较即可．【详解】第一次按键转换的数学式子为：，即第二次按键转换的数学式子为：，即第三次按键转换的数学式子为：，即∴故选：【点睛】本题考查的是科学计算器的应用，根据按键顺序转换成数学式子，计算即可．9．A【分析】先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定△的正负，即可判断．【详解】解：由数轴可知，且，则，∵△=，，答案第21页，共21页 ∴△＞0，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和数轴上表示数，解题关键是求出根的判别式，利用数轴提供的信息进行判断．10．B【分析】首先作出正六边形的外接圆，根据正多边形的性质，得出阴影部分是正六边形，即将问题转化为阴影部分的面积与大正六边形的面积比，再表示出阴影部分面积和大正六边形的面积，一比即可求得概率．【详解】作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为O，如图，设正六边形ABCDEF的边长为2，AC与BF,BD的交点为H,N,过点O作OM⊥AB于点M，则,则为等边三角形，∴S正六边形ABCDEF=6,∴,∴,,∴S正六边形ABCD=6,答案第21页，共21页 由题可知阴影部分为正六边形，所以,∴,∴为等腰三角形，∴,∴,同理可得为等腰三角形，∴,,∴为等边三角形，∴∴,在Rt△AMH中，,,解得,∴,∴S,∴S阴影==,∴S阴影：S正六边形ABCDEF=,故选：B．【点睛】本题考查正多边形与圆，垂径定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，等边三角形的判定与性质，三角函数，概率，解题关键在于熟练相关知识点．11．B【分析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从而判断；②由对称轴和函数的图像可以判断；答案第21页，共21页 ③算出a和c的关系即可；④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断；【详解】∵二次函数的图象经过点A(—1，0)，B(3，0)∴对称轴∴b=-2a，c=-3a∵二次函数的图象开口向下∴a<0∴2a+b+c=-3a>0，∴ac＜0故①错误；∵二次函数的图象开口向下，对称轴，∴当x>1时，y随x的增大而减小；故②错误；∵c=-3a∴3a+c=0，故③正确；由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y=∴故④正确；故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．12．A【分析】利用三角函数求出OB、OC，发现它们长度的规律，按规律求解即可．【详解】解：∵，．∴；；……答案第21页，共21页 ；故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形和图形规律问题，解题关键是准确运用解直角三角形的知识进行计算，发现线段长之间的规律．13．x≤2【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答．【详解】解：依题意得2-x≥0解得x≤2．故答案为：x≤2．【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．3【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决．【详解】解：（米），∴AB∥DC．（米）．故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善答案第21页，共21页 于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．15．2【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a．【详解】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4∵f=4∵对角线上6+c+f=15∴6+4+c=15，得到c=5∵c=5另外一条对角线上8+c+a=15∴8+5+a=15，得到a=2故答案为：2．【点睛】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键．16．14．【分析】利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线所成的直角三角形，求出BC，再用40去减即可．【详解】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米，（米），（米）；故答案为：14．答案第21页，共21页 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用解直角三角形的知识，准确进行计算．17．【分析】根据圆周角定理将转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得的值．【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D，连接AD、BD，根据圆周角定理可得，每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均在网格交点上，，则，，答案第21页，共21页 故答案为：．【点睛】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键．18．【分析】根据题意画出示意图，由全等得到边相等，根据三角形面积计算出三角形高长度，找出矩形边与高的关系，即可得到矩形宽长度，然后根据周长公式计算即可.【详解】解：根据题意，相关的示意图如下：由题意知，只有当点G、点H分别是三角形AB、AC边中点时，可拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，过点A作,交GH于点F此时：∴,又∵四边形为矩形，且，∴∴四边形为矩形∴∴∵，且∴∴答案第21页，共21页 所以矩形的周长为：故答案为：22【点睛】本题考查的是三角形全等，以及矩形的性质和判定等相关知识点，根据题意画出相关的示意图是解题的关键．19．【分析】根据分式化简求值的步骤和方法进行即可【详解】解：原式=根据分式有意义的条件可知，∴当x取范围内的整数时，只有x=0．∴当x=0时，原式=【点睛】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取x的值是解题的关键．20．（1）4；（2）见详解；（3）87；88；（4）乙；（5）【分析】（1）用总人数减去其它组的测试成绩即可求得a的值；（2）根据（1）中数据补全直方图即可；（3）根据众数和中位数的定义取值即可；（4）从中位数及方差的数据分析即可；（5）画树状图列出所有等可能的结果，找出符合题意的情况数，再用概率公式求解即可．【详解】答案第21页，共21页 解：（1）(人)，故答案为：4，（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图如下：（3）甲班出现次数的最多的为87，所以众数为87；乙班15名学员测试成绩从小到大排列为：，所以中位数为88，故答案为：87，88；（4）从中位数看，乙班整体成绩偏高，从方差看，乙班方差小于甲班，则乙班成绩较为稳定，综上，乙班成绩较好，故答案为：乙；（5）设甲班两位同学分别为A1、A2，乙班学员为B，画树状图如下：答案第21页，共21页 共有6种等可能的情况出现，其中甲、乙两班各一人的情况有4种，故甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率为．【点睛】本题主要考查频数分布直方图，中位数，众数，方差，列表或树状图法求概率，明确题意，清楚题中各数据代表的意义是解题关键．21．（1），的长为3；（2）（0，10）．【分析】（1）根据，求出A点坐标，用待定系数法求出k的值，设BC为a，勾股定理列出方程，即可求解；（2）设P点坐标，根据面积相等列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵，，∴A点纵坐标为4，代入，得，解得，则A点坐标为（8,4），代入，得，解得，设BC为a，则，，解得，，则的长为3；（2）设P点坐标为（0，m），的面积=，的面积=，由题意得，，解得，，P点坐标为（0，10）．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐标，建立方程．22．（1）50元；（2）八折【分析】答案第21页，共21页 （1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】解：（1）设每件的售价定为x元，则有：，解得：(舍)，答：每件售价为50元；（2）设该商品至少打m折，根据题意得：，解得：，答：至少打八折销售价格不超过50元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．23．（1）见解析，（2）见解析，（3）6．【分析】（1）①按照题意，用尺规作图画角平分线即可；②按照题意，用尺规作图画垂直平分线即可；③按照题意，用圆规作图画圆即可；（2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，导角证∠ODC=90°即可；（3）由（2）可得OD∥AC，进而证△BOD∽△BAC，列出比例式即可求解．【详解】（1）作图如图所示：答案第21页，共21页 （2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠CAD，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠ADC+∠ODA=90°，即∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∴是的切线；（3）由（2）可知，OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了尺规作图、切线的证明和相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用尺规作图，准确应用相关性质进行推理运算．24．（1），；（2）成立，证明见解析；【分析】（1）证明△ABF≌△ADE，得出DE=BF，根据斜边中线等于斜边一半得出数量关系，再导角证垂直；答案第21页，共21页 （2）延长AM至点H，使MH=AM，证△ABH≌△ADE，类比（1）推导即可．【详解】解：（1）∵AB=AD，AF=AE，∠BAF=∠DAE=90°，∴△ABF≌△ADE，∴BF=DE，∠ABF=∠EDA，∵M是的中点，∴，即；∴∠FBA=∠BAM，∴∠BAM=∠EDA，∵∠BAM+∠DAN=90°，∴∠EDA+∠DAN=90°，∴∠AND=90°，∴；故答案为：，；（2）延长AM至点H，使MH=AM，∵BM=FM，∠AMF=∠BMH，∴△AMF≌△HMB，∴AF=BH，∠AFM=∠HBM，∵AE=AF，∴AE=BH，∵∠AFM+∠ABF=180°-45°=135°，∴∠ABH=∠HBM+∠ABF=135°，∵∠EAD=∠EAB+∠GAE=135°，∴∠EAD=∠ABH，∵AB=AD，∴△ABH≌△ADE，∴AH=DE，∠BAH=∠EDA，∴；∵∠BAM+∠DAN=90°，答案第21页，共21页 ∴∠EDA+∠DAN=90°，∴∠AND=90°，∴；【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用正方形的性质和全等三角形的判定与性质进行推理证明．25．（1），；（2）F点坐标为（1，3）；的最小值为；（3）P点坐标为或；【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可；（2）根据对称性可知，FA=FB，当B、F、C三点共线时，的值最小，即点F为BC与对称轴交点，利用解析式和勾股定理可求坐标和最小值；（3）作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，证△MQE∽△NEP，设点P坐标，利用相似比表示出Q点坐标，代入即可．【详解】解：（1）∵，∴，C点坐标为（0,4），∵抛物线经过点，，可设解析式为，把（0,4）代入，得，解得，，抛物线解析式为，即，答案第21页，共21页 设BC的解析式为，把，（0,4）代入，得，解得，∴BC的解析式为；（2）∵点F是抛物线对称轴上一点，∴FA=FB，当B、F、C三点共线时，的值最小，最小值为BC长，此时，点F为BC与对称轴交点，抛物线的对称轴为直线，把代入，得，则F点坐标为（1，3）；，即的最小值为；（3）由（1）得，，即，作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，∵∠QEP=90°，∴∠QEM+∠MQE=90°，∠QEM+∠PEN=90°，∴∠MQE=∠PEN，∴△MQE∽△NEP，∴，如图1，设P点坐标为，答案第21页，共21页 则PN=，EN=，EM=，MQ=，则Q点坐标为，代入，得，解得，，（舍去），把代入，得，，故P点坐标为；如图2，设P点坐标为，则PN=，EN=，EM=，MQ=，则Q点坐标为，代入，得，解得，，（舍去），把代入，得，，故P点坐标为；答案第21页，共21页 综上，P点坐标为或；【点睛】本题考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、最短路径和直角三角形存在性问题，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性质表示出其他点的坐标，列出方程．答案第21页，共21页