2021年广西河池市中考真题数学试卷【含答案解释可编辑】

2021年广西河池市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）1．下列4个实数中，为无理数的是（　　）A．﹣2B．0C．D．3.142．下列各式中，与2a2b为同类项的是（　　）A．﹣2a2bB．﹣2abC．2ab2D．2a23．如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是（　　）A．B．C．D．4．如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（　　）A．90°B．80°C．60°D．40°5．关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（　　）A．x＞1B．x≥1C．x＞3D．x≥36．下列因式分解正确的是（　　）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣a＝a（a+1）D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．8．甲、乙、丙、丁4名同学参加跳远测试各10次，他们的平均成绩及其方差如表：测试者平均成绩（单位：m）方差甲6.20.32乙6.00.58丙5.80.12丁6.20.25若从其中选出1名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会，则应选（　　）A．甲B．乙C．丙D．丁9．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）A．∠A＝∠BB．∠A＝∠CC．AC＝BDD．AB⊥BC10．关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中，错误的是（　　）A．对称轴是直线x＝B．当﹣1＜x＜2时，y＜0C．a+c＝bD．a+b＞﹣c 12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（　　）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请把答案写在答题卡上对应的答题区域内。）13．计算：＝　　．14．分式方程＝1的解是x＝　　．15．从﹣2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概率是　　．16．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是　　．17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是　　．18．如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是　　． 三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤。请将解答写在答题卡上对应的答题区域内。）19计算：+4﹣1﹣（）2+|﹣|．20先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2021．21如图，∠CAD是△ABC的外角．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若AE∥BC，求证：AB＝AC．22如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°．（1）风筝离地面多少m？（2）A、C相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918） 23为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表．组别分数段人数Ax＜602B60≤x＜755C75≤x＜90aDx≥9012请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查属于　　调查，样本容量是　　；（2）表中的a＝　　，样本数据的中位数位于　　组；（3）补全条形统计图；（4）该校九年级学生有980人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有多少人？24为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织九年级全体师生前往广西农民运动讲习所旧址列宁岩参加“学党史、感党恩、听党话、跟党走”的主题活动，需要租用甲、乙两种客车共6辆．已知甲、乙两种客车的租金分别为450元/辆和300元/辆，设租用乙种客车x辆，租车费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？ 25如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的⊙O交BC于点F．（1）当AD＝DF时，求证：△CAD≌△CFD；（2）当△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形时，求AD的长．26在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值．（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围． 参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列4个实数中，为无理数的是（　　）A．﹣2B．0C．D．3.14【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C.是无理数，故本选项符合题意；D.3.14有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：C．2．下列各式中，与2a2b为同类项的是（　　）A．﹣2a2bB．﹣2abC．2ab2D．2a2【分析】直接利用同类项的定义分析得出答案．【解答】解：2a2b中含有两个字母：a、b，且a的指数是2，b的指数是1，观察选项，与2a2b是同类项的是﹣2a2b．故选：A．3．如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是（　　）A．B．C．D．【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．【解答】解：从左边看，是一列3个小正方形．故选：A． 4．如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（　　）A．90°B．80°C．60°D．40°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°．故选：B．5．关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（　　）A．x＞1B．x≥1C．x＞3D．x≥3【分析】根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可．【解答】解：由数轴知x＞3，故选：C．6．下列因式分解正确的是（　　）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2﹣a＝a（a+1）D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式结合提取公因式法分解因式分别判断得出答案．【解答】解：A．a2+b2无法分解因式，故此选项不合题意；B．a2+2ab+b2＝（a+b）2，故此选项不合题意；C．a2﹣a＝a（a﹣1），故此选项不合题意；D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故此选项符合题意．故选：D． 7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．8．甲、乙、丙、丁4名同学参加跳远测试各10次，他们的平均成绩及其方差如表：测试者平均成绩（单位：m）方差甲6.20.32乙6.00.58丙5.80.12丁6.20.25若从其中选出1名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会，则应选（　　）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】比较平均数的大小可确定甲和丁的成绩较好，然后比较甲和丁的方差即可得到成绩较好，且发挥稳定的同学．【解答】解：∵甲和丁的平均数比乙和丙的平均数大，∴甲和丁的成绩较好，∵S丁2＜S甲2，∴丁的成绩比甲要稳定，∴这四位同学中，成绩较好，且发挥稳定的是丁．故选：D．9．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）A．∠A＝∠BB．∠A＝∠CC．AC＝BDD．AB⊥BC 【分析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．10．关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定【分析】先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m+2）2+4＞0，从而可判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2）＝m2+4m+8＝（m+2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中，错误的是（　　） A．对称轴是直线x＝B．当﹣1＜x＜2时，y＜0C．a+c＝bD．a+b＞﹣c【分析】由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x＝﹣1判断选项C；令x＝1判断选项D．【解答】解：A、对称轴是直线x＝＝，故选项A不符合题意；B、由函数图象知，当﹣1＜x＜2时，函数图象在x轴的下方，∴当﹣1＜x＜2时，y＜0，故选项B不符合题意；C、由图可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴a+c＝b，故选项C不符合题意；D、由图可知：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴a+b＜﹣c，故选项D符合题意；故选：D．12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（　　）A．B．C．D．【分析】由于BF⊥EF，所以过F作AB的垂线交AB于N，交CD于M，证明△MFE≌△NBF，设ME＝x，利用MN＝4列出方程，即可求解．【解答】解：过F作AB的垂线交AB于N，交CD于M，如图，∵ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠BNM＝90°，AB＝BC＝CD＝4，∴四边形CMNB为矩形，∴MN＝BC＝4，CM＝BN，∵BF⊥EF，∴∠EFB＝∠FNB＝90°，∴∠FBN+∠NFB＝∠NFB+∠EFM，∴∠FBN＝∠EFM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∴∠MFC＝∠MCF＝45°，∴MF＝MC＝NB，在△MEF与△NFB中，，∴△MFE≌△NBF（AAS），∴ME＝FN，设ME＝FN＝x，则MC＝MF＝BN＝1+x，∵MN＝MF+FN＝4，∴1+x+x＝4，∴x＝，∴FN＝，∵四边形ABCD为正方形，MN⊥AB，∴∠NAF＝∠NFA＝45°，∴FN＝AN，∴AF＝＝FN＝，故选：B． 二．填空题（共6小题）13．计算：＝　﹣2　．【分析】根据立方根的定义即可求解．【解答】解：＝﹣2．故答案为：﹣2．14．分式方程＝1的解是x＝　5　．【分析】方程两边都乘x﹣2得出3＝x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝1，方程两边同乘x﹣2，得3＝x﹣2，移项得：x＝5，检验：当x＝5时，x﹣2≠0，所以x＝5是原方程的解，故答案为：5．15．从﹣2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概率是　　．【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果，利用第四象限点的坐标特征确定点P在第四象限的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果，它们是：（﹣2，4），（﹣2，5），（4，﹣2），（4，5），（5，4），（5，﹣2）， 其中点P在第四象限的结果数为2，即（4，﹣2），（5，﹣2），所以点P在第四象限的概率＝＝．故答案为．16．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是　120°　．【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），设圆心角的度数是n度．则＝4π，解得：n＝120．故答案为：120°．17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是　0　．【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．【解答】解：由正比例函数y＝2x与反比例函数y＝（k≠0）的图象和性质可知，其交点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称，∴y1+y2＝0，故答案为：0．18．如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x 轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是　（4，3﹣）　．【分析】连接MD，BC，根据切线的性质得到MD⊥x轴，根据圆周角定理得到AC⊥BC，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出ME，进而求出DE，根据坐标与图形性质解答即可．【解答】解：设以AB为直径的圆与x轴相切于点D，连接MD，BC，则MD⊥x轴，∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，∴BC∥x轴，∴MD⊥BC，∴BC＝2CE＝4，CE＝BE＝2，在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，∴DE＝MD﹣ME＝3﹣，∴点B的坐标为（4，3﹣），故答案为：（4，3﹣）．三．解答题19计算：+4﹣1﹣（）2+|﹣|． 【考点】实数的运算；负整数指数幂．菁优网版权所有【专题】实数；运算能力．【答案】3．【分析】直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+﹣+＝3．20先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2021．【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有【专题】整式；运算能力．【答案】x+1，2022．【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2021时，原式＝2021+1＝2022．21如图，∠CAD是△ABC的外角．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若AE∥BC，求证：AB＝AC．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定；作图—应用与设计作图．菁优网版权所有【专题】作图题；几何直观． 【答案】（1）作图见解析部分．（2）证明见解析部分．【分析】（1）利用尺规周长∠CAD的角平分线即可．（2）欲证明AB＝AC，只要证明∠B＝∠C．【解答】（1）解：如图，射线AE即为所求．（2）证明；∵AE平分∠CAD，∴∠EAD＝∠EAC，∵AE∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠EAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．22如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°．（1）风筝离地面多少m？（2）A、C相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】（1）50m；（2）约128.6m．【分析】（1）过B作BD⊥AC于D，由含30°角的直角三角形的性质即可求解；（2）由锐角三角函数定义求出CD、AD的长，即可求解．【解答】解：（1）过B作BD⊥AC于D，如图所示：则∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝50（m），即风筝离地面50m；（2）由（1）得：BD＝50m，在Rt△BCD中，∠BCD＝50°，∵tan∠BCD＝＝tan50°≈1.1918，∴CD≈＝≈41.95（m），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∵tan∠BAD＝＝tan30°≈0.5774，∴AD≈≈86.60（m），∴AC＝AD+CD≈41.95+86.60≈128.6（m），即A、C相距约128.6m．23为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表．组别分数段人数Ax＜602 B60≤x＜755C75≤x＜90aDx≥9012请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查属于　　调查，样本容量是　　；（2）表中的a＝　　，样本数据的中位数位于　　组；（3）补全条形统计图；（4）该校九年级学生有980人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有多少人？【考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数（率）分布表；条形统计图；加权平均数；中位数．菁优网版权所有【专题】数据的收集与整理；数据分析观念；应用意识．【答案】（1）抽样，35；（2）16，C；（3）见解答过程；（4）336．【分析】（1）根据调查的方式，样本容量的定义解答即可；（2）样本容量减去A、B、D组人数即可得出a，根据中位数的定义确定样本数据的中位数位于C组；（3）根据（2）的结果补全条形统计图即可；（4）用总人数乘以样本中成绩在D组的百分比即可．【解答】解：（1）本次调查属于抽样调查，样本容量是35，故答案为：抽样，35； （2）a＝35﹣2﹣5﹣12＝16，根据中位数的定义得，样本数据的中位数位于C组，故答案为：16，C；（3）由（2）得，C组的人数为16，补全条形统计图如下：（4）980×＝336（人），答：估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有336人．24为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织九年级全体师生前往广西农民运动讲习所旧址列宁岩参加“学党史、感党恩、听党话、跟党走”的主题活动，需要租用甲、乙两种客车共6辆．已知甲、乙两种客车的租金分别为450元/辆和300元/辆，设租用乙种客车x辆，租车费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】（1）y＝﹣150x+2700（0＜x＜6）；（2）租用乙种客车2辆时，租车费用最少，为2400元．【分析】（1）租车费用y分为两部分，甲客车的费用与乙客车的费用，分别表示出两种客车的费用相加即可；（2）由租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，则可得x＝1或x＝2，代入（1）中的函数关系式进行求解即可． 【解答】解：（1）设租用乙种客车x辆，租车费用为y元，依题意得：y＝450（6﹣x）+300x，整理得：y＝﹣150x+2700（0＜x＜6）；（2）∵租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，∴x＝1或x＝2，当x＝1时，y＝﹣150×1+2700＝2550，当x＝2时，y＝﹣150×2+2700＝2400，故租用乙种客车2辆时，租车费用最少，为2400元．答：租用乙种客车2辆时，租车费用最少，为2400元．25如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的⊙O交BC于点F．（1）当AD＝DF时，求证：△CAD≌△CFD；（2）当△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形时，求AD的长．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．菁优网版权所有【专题】数形结合；分类讨论；方程思想；几何直观；推理能力．【答案】（1）证明过程见解析；（2）AD的长为或．【分析】（1）因为BD是⊙O的直径，所以∠DFB＝90°，利用“HL“证明Rt△CAD≌Rt△CFD；（2）因为△CED为等腰三角形，故每一条边都可能是底边，可以分三类讨论，由于△DEB是直角三角形，所以D和F都可能为直角顶点，故需要分两类讨论，我们选择按照D和F为直角顶点分两类讨论更简单，当∠EDB＝90°时，∠DEB ＜90°，∠CED是钝角，所以此时只能构造EC＝ED的等腰三角形，故取点D使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于F，可以证明DE＝DC，且DE∥AC，得到△BDE∽△BAC，设DE＝DC＝x，利用相似三角形对应边成比例，列出方程并求解，即可解决，当∠DEB＝90°时，如图2，则∠AED＝90°，若△CED为等腰三角形，则∠ECD＝∠EDC＝45°，即EC＝DC，可以利用三角函数或相似来求AD的长度．【解答】证明：（1）∵BD为⊙O直径，∴∠DFB＝90°，在Rt△ACD与Rt△FCD中，，∴Rt△CAD≌Rt△CFD（HL），解：（2）∵△DEB是直角三角形，且∠B＜90°，∴直角顶点只能是D点和E点，①若∠EDB＝90°，如图1，在AB上取点D，使CD平分∠ACB，过D作DE⊥AB于E，∵CD平分平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠CAB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，此时△ECD为E为顶角顶点的等腰三角形，△DEB是E为直角顶点的直角三角形，设CE＝DE＝x，在直角△ABC中，BC＝＝5，∴BE＝5﹣x，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC， ∴＝，∴，∴x＝，∴，∵DE∥AC，∴，∴，∴AD＝，②若∠DEB＝90°，如图2，则∠CED＝90°，∵△CED为等腰三角形，∴∠ECD＝∠EDC＝45°，∴可设CE＝DE＝y，∵tan∠B＝＝，∴tan∠B＝＝，∴，∴BC＝CE+EB＝5，∴y+＝5，∴，∴CE＝DE＝，∴BD＝＝＝，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣＝， ∴AD的长为或．26在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值．（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【专题】数形结合；待定系数法；函数的综合应用；等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）m＝2或m＝3；（3）0＜n＜1或n＞7．【分析】（1）由y＝﹣（x﹣1）2+4中，得A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），利用待定系数法即可得，直线CA的解析式为y＝﹣x+3；（2）根据直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，可得D（m，﹣（m﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F（m，0），从而AF＝3﹣m，DE＝﹣m2+3m，而△EAF是等腰直角三角形，可得AE＝AF＝3﹣m，△DEG是等腰直角三角形，即可列﹣m2+3m＝（3﹣m），解得m＝2或m＝3；（3）由得或，①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，根据x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，可得3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，即解得0＜n＜1；②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，可得：﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，即解得n＞7．【解答】解：（1）在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1或3，∴A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），设直线CA的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线CA的解析式为y＝﹣x+3；（2）∵直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，∴D（m，﹣（m﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F（m，0），∴AF＝3﹣m，DE＝﹣（m﹣1）2+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵A（3，0），C（0，3），∴∠EAF＝45°，△EAF是等腰直角三角形，∴AE＝AF＝3﹣m，∠DEG＝∠AEF＝45°，∴△DEG是等腰直角三角形， ∴DE＝GE，∵E为GA的中点，∴GE＝AE＝3﹣m，∴﹣m2+3m＝（3﹣m），解得m＝2或m＝3，（3）由得或，①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，如图：∵x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，∴3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，解得0＜n＜1；②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，同理可得：﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，解得n＞7，综上所述，n的取值范围是0＜n＜1或n＞7．