2021年山东省日照市中考数学试卷

2021年山东省日照市中考数学试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。1．（3分）在下列四个实数中，最大的实数是（　　）A．﹣2B．C．D．02．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（　　）A．（﹣5，2）B．（﹣1，4）C．（﹣3，4）D．（﹣1，2）3．（3分）实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米（1纳米＝10﹣9米），120纳米用科学记数法可表示为（　　）A．12×10﹣6米B．1.2×10﹣7米C．1.2×10﹣8米D．120×10﹣9米4．（3分）袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（　　）A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定5．（3分）下列运算正确的是（　　）A．x2+x2＝x4B．（xy2）2＝xy4C．y6÷y2＝y3D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y26．（3分）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（　　）A．10B．12C．14D．187．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（　　）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜38．（3分）下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是（　　）A．0B．1C．2D．39．（3分）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（　　）第20页（共20页） A．B．C．D．10．（3分）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）A．（10+20）mB．（10+10）mC．20mD．40m11．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（　　）A．4B．3C．2D．112．（3分）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7×1011第20页（共20页） 的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数m，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（　　）A．8B．6C．4D．3二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，满分16分。不需写出解题过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上。13．（4分）若分式有意义，则实数x的取值范围为　　．14．（4分）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为　　．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为　　时，△ABP与△PCQ全等．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为　　．三、解答题：本题共6个小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．18．（10分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：收集数据：七年级：8688959010095959993100八年级：100989889879895909089整理数据：成绩x（分）年级85＜x≤9090＜x≤9595＜x≤100第20页（共20页） 七年级343八年级5ab分析数据：统计量年级平均数中位数众数七年级94.195d八年级93.4c98应用数据：（1）填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　，d＝　　；（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．19．（10分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？20．（10分）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．（1）求▱OABC对角线AC的长；（2）求证：▱OABC为矩形．21．（14分）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝　　；②直线AE与DF所夹锐角的度数为　　第20页（共20页） ．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为　　．22．（14分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（为大于0的常数），求点M的坐标．第20页（共20页） 2021年山东省日照市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。1．（3分）在下列四个实数中，最大的实数是（　　）A．﹣2B．C．D．0【解答】解：∵正数大于0，负数小于0，正数大于负数，∴＞＞0＞﹣2，故选：B．2．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（　　）A．（﹣5，2）B．（﹣1，4）C．（﹣3，4）D．（﹣1，2）【解答】解：根据题意，从点P到点P′，点P′的纵坐标不变，横坐标是﹣3+2＝﹣1，故点P′的坐标是（﹣1，2）．故选：D．3．（3分）实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米（1纳米＝10﹣9米），120纳米用科学记数法可表示为（　　）A．12×10﹣6米B．1.2×10﹣7米C．1.2×10﹣8米D．120×10﹣9米【解答】解：120纳米＝120×10﹣9米＝1.2×10﹣7米．故选：B．4．（3分）袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（　　）A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定【解答】解：∵S甲2＝186.9，S乙2＝325.3，∴S甲2＜S乙2，∴为保证产量稳定，适合推广的品种为甲，故选：A．5．（3分）下列运算正确的是（　　）A．x2+x2＝x4B．（xy2）2＝xy4C．y6÷y2＝y3D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2【解答】解：A．由合并同类项的法则，得x2+x2＝2x2，故A不符合题意．B．由积的乘方以及幂的乘方，得（xy2）2＝x2y4，故B不符合题意．C．由同底数幂的除法，得y6÷y2＝y4，故C不符合题意．D．由完全平方公式，得﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣y2+2xy，故D符合题意．故选：D．6．（3分）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（　　）第20页（共20页） A．10B．12C．14D．18【解答】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子．主视图可知左侧碟子有6个，右侧有2个，而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个，故选：B．7．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（　　）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【解答】解：解不等式x+6＜4x﹣3，得：x＞3，∵x＞m且不等式组的解集为x＞3，∴m≤3，故选：C．8．（3分）下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是（　　）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①的算术平方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意；②天气预报说明天的降水概率是95%，则明天下雨可能性很大，但不确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④若一个多边形的各内角都等于108°，各边也相等，则它是正五边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；真命题有1个，故选：B．9．（3分）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（　　）第20页（共20页） A．B．C．D．【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0＜x≤1，此时阴影部分为等腰直角三角形，∴y＝，该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，当θ°＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.15，当θ°＝30°时，AP＝x＝1.86，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.45，在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．故选：D．10．（3分）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）第20页（共20页） A．（10+20）mB．（10+10）mC．20mD．40m【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH＝BF，BH＝DF，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴＝1：，设DF＝xm，CF＝xm，∴CD＝＝2x＝20（m），∴x＝10，∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，∴DH＝BF＝（10+30）m，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，故选：A．11．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（　　）第20页（共20页） A．4B．3C．2D．1【解答】解：①∵抛物线图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在直线y轴左侧，∴a，b同号，b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，故①正确．②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b＞0，当x＝﹣2时，ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，由图象可得4a+c﹣2b＜0，∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，故②正确．③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，∵|x1+1|＞|x2+1|，∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2|，故③错误．④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），∴y≥m，∴ax2+bx+c≥m，∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B．12．（3分）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于7×1011的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数m，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为（　　）A．8B．6C．4D．3【解答】解：如果实施5次运算结果为1，则变换中的第6项一定是1，则变换中的第5项一定是2，则变换中的第4项一定是4，则变换中的第3项可能是1，也可能是8．则变换中的第2项可能是2，也可能是16．当变换中的第2项是2时，第1项是4；当变换中的第2项是16时，第1项是32或5，则m的所有可能取值为4或32或5，一共3个，故选：D．第20页（共20页） 二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，满分16分。不需写出解题过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上。13．（4分）若分式有意义，则实数x的取值范围为　x≥﹣1且x≠0　．【解答】解：要使分式有意义，必须x+1≥0且x≠0，解得：x≥﹣1且x≠0，故答案为：x≥﹣1且x≠0．14．（4分）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为　﹣2　．【解答】解：由题意可得x＝a（a≠0），把x＝a代入原方程可得：a2+ab+2a＝0，等式左右两边同时除以a，可得：a+b+2＝0，即a+b＝﹣2，故答案为：﹣2．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为　2或　时，△ABP与△PCQ全等．【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝8cm，∴PC＝8cm，∴BP＝12﹣8＝4（cm），∴2t＝4，解得：t＝2，∴CQ＝BP＝4cm，∴v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC＝6cm，∴2t＝6，解得：t＝3，∵CQ＝AB＝8cm，∴v×3＝8，解得：v＝，综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，故答案为：2或．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为　48．　．第20页（共20页） 【解答】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，∵∠OA′D＝90°，∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，∴∠DA′E＝∠A′OF，∵∠A′FO＝∠DEA′，∴△A′OF∽△DA′E，∴＝＝，设A′（m，n），∴OF＝m，A′F＝n，∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，∴DE＝m﹣，A′E＝10﹣n，∴＝＝3，解得m＝6，n＝8，∴A′（6，8），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，∴k＝6×8＝48，故答案为48．三、解答题：本题共6个小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；第20页（共20页） （2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．【解答】解：（1）由题意可得，②﹣①×3，可得：﹣5n＝5，解得：n＝﹣1，把n＝﹣1代入①，可得：m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，∴m的值为2，n的值为﹣1；（2）原式＝[]•（x+1）（x﹣1）＝•（x+1）（x﹣1）＝x2+1，当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2+1＝2﹣2+1+1＝4﹣2．18．（10分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：收集数据：七年级：8688959010095959993100八年级：100989889879895909089整理数据：成绩x（分）年级85＜x≤9090＜x≤9595＜x≤100七年级343八年级5ab分析数据：统计量年级平均数中位数众数七年级94.195d八年级93.4c98应用数据：（1）填空：a＝　1　，b＝　4　，c＝　92.5　，d＝　95　；（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．【解答】解：（1）a＝1，b＝4，八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，所以八年级成绩的中位数c＝＝92.5，七年级成绩中95出现的次数最多，则d＝95；故答案为1，4，92.5，95；（2）200×＝80，估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；（3）画树状图为：第20页（共20页） 共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，所以抽到同年级学生的概率＝＝．19．（10分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝10x+100；（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，整理，得x2﹣10x﹣24＝0．解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．所以55﹣x＝43．答：这种消毒液每桶实际售价43元．20．（10分）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．（1）求▱OABC对角线AC的长；（2）求证：▱OABC为矩形．第20页（共20页） 【解答】解：∵DE是直径，∴∠EAD＝90°，∵＝∴∠ADF＝∠AFD＝∠AED，又∵∠DAE＝∠GAD＝90°∴△ADE∽△AGD∴∴AD2＝AG×AE＝3×9＝27，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6．（2）DE＝＝6，∵▱OABC是平行四边形∴OB＝2OD＝DE＝6，∴▱OABC为矩形．21．（14分）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝　　；②直线AE与DF所夹锐角的度数为　30°　．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为　或　．第20页（共20页） 【解答】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD＝＝，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴＝，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF，第20页（共20页） 又∵＝，∴△ABE∽△DBF，∴＝，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，∴BE＝，AD＝2，DB＝4，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE＝＝＝，∵∠DEA＝30°，∴DG＝DE＝，由（2）可得：＝，∴，∴AE＝，∴△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；故答案为：或．22．（14分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC第20页（共20页） 于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（为大于0的常数），求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，∴△PEH∽△OEC，∴＝，∵＝k，OC＝3，∴k＝PH，设直线BC的解析式为y＝kx+n，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴k＝（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，∵＜0，∴当t＝时，k取得最大值，此时，P（，）；（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝1，第20页（共20页） ∴Q（1，0），∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2，∵点C关于x轴的对称点为点D，∴D（0，﹣3），∵B（3，0），∴OB＝OD＝3，∵∠BOD＝90°，∴DQ＝＝＝，BD＝＝＝3，∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3；在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO＝45°，∵∠BTQ＝90°，∴△BQT是等腰直角三角形，∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝2•cos45°＝，∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，∴tan∠BDQ＝＝＝；②设M（0，﹣m），则OM＝m，BM＝＝＝，MQ＝＝，∵tan∠BMQ＝，∴＝，∴MT＝t•QT，∵QT2+MT2＝MQ2，∴QT2+（t•QT）2＝（）2，∴QT＝，MT＝，∵cos∠QBT＝cos∠MBO，∴＝，即＝，∴BT＝，∵BT+MT＝BM，∴+＝，整理得，（m2+3）2＝4t2m2，∵t＞0，m＞0，∴m2+3＝2tm，即m2﹣2tm+3＝0，当Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×3＝4t2﹣12≥0，即t≥时，m＝＝t±，∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．第20页（共20页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/147:32:51；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第20页（共20页）