2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）﹣的绝对值是（　　）A．﹣7B．7C．﹣D．2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）A．a2•a＝a3B．（a3）2＝a5C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．a5﹣a2＝a33．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．4．（3分）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）A．B．C．D．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（　　）A．8B．7C．10D．66．（3分）方程＝的解为（　　）A．x＝5B．x＝3C．x＝1D．x＝27．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）第24页（共24页） A．30°B．25°C．35°D．65°8．（3分）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（　　）A．B．C．D．9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　）A．3B．4C．5D．610．（3分）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（　　）A．75m/min，90m/minB．80m/min，90m/minC．75m/min，100m/minD．80m/min，100m/min二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为　　米．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　　．13．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为　　．第24页（共24页） 14．（3分）计算﹣2的结果是　　．15．（3分）把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是　　．16．（3分）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为　　．17．（3分）不等式组的解集是　　．18．（3分）四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为　　．19．（3分）一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是　　cm．20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为　　．三、解答题（其中21-22题各7分，23-2题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin45°﹣1．22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．23．（8分）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“第24页（共24页） 在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．24．（8分）已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．（1）如图1，求证：CE＝BH；（2）如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．第24页（共24页） 25．（10分）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔．若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元．（1）求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔？26．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE＝OD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MH∥CF交FG于点H，过点H作HR⊥CF于点R第24页（共24页） ，若FR+MH＝GQ，求点P的坐标．第24页（共24页） 2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）﹣的绝对值是（　　）A．﹣7B．7C．﹣D．【解答】解：，故选：D．2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）A．a2•a＝a3B．（a3）2＝a5C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．a5﹣a2＝a3【解答】解：A、a2•a＝a3，原计算正确，故此选项符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a5与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．4．（3分）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）第24页（共24页） A．B．C．D．【解答】解：从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为2、1、2，故选：C．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（　　）A．8B．7C．10D．6【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵tan∠BAC＝＝，∴BC＝×8＝6．故选：D．6．（3分）方程＝的解为（　　）A．x＝5B．x＝3C．x＝1D．x＝2【解答】解：去分母得：3x﹣1＝2（2+x），去括号得：3x﹣1＝4+2x，移项合并得：x＝5，检验：当x＝5时，（2+x）•（3x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝5．故选：A．7．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）第24页（共24页） A．30°B．25°C．35°D．65°【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠BCE＝65°，∴∠ACD＝∠BCE＝65°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，故选：B．8．（3分）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（　　）A．B．C．D．【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有12种等可能结果，摸出的小球是红球的结果数为8，∴摸出的小球是红球的概率为＝，故选：D．9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵DE∥BC，第24页（共24页） ∴，∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴，∴AE＝4．故选：B．10．（3分）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（　　）A．75m/min，90m/minB．80m/min，90m/minC．75m/min，100m/minD．80m/min，100m/min【解答】解：由题意，得：小辉从家去图书馆的速度为：1500÷20＝75（m/min）；小辉从图书馆回家的速度为：1500÷（70﹣55）＝100（m/min）．故选：C．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为　3.396×106　米．【解答】解：3396000＝3.396×106．故答案是：3.396×106．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠　．【解答】解：7x﹣5≠0，x≠．故答案为：x≠．13．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为　﹣10　．第24页（共24页） 【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），∴k＝2×（﹣5）＝﹣10，故答案为：﹣10．14．（3分）计算﹣2的结果是　2　．【解答】解：原式＝3﹣2×＝3﹣＝2．故答案为：2．15．（3分）把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是　b（a+5）（a﹣5）　．【解答】解：a2b﹣25b＝b（a2﹣25）＝b（a+5）（a﹣5）．故答案为：b（a+5）（a﹣5）．16．（3分）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为　﹣2　．【解答】解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，∵顶点坐标为（0，﹣2），且a＝﹣3＜0，∴抛物线开口向下，∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．17．（3分）不等式组的解集是　x＜3　．【解答】解：解不等式3x﹣7＜2，得：x＜3，解不等式x﹣5≤10，得：x≤15，则不等式组的解集为x＜3，故答案为：x＜3．18．（3分）四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为　20或28　．【解答】解：当E点在线段BC上时，如图：第24页（共24页） ∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB，∵AB＝6，∴BE＝6，∵CE＝2，∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+8）＝28，当E点在线段BC延长线上时，如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB，∵AB＝6，∴BE＝6，第24页（共24页） ∵CE＝2，∴BC＝BE﹣CE＝6﹣2＝4，∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+4）＝20，综上，平行四边形ABCD的周长为20或28．故答案为20或28．19．（3分）一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是　10　cm．【解答】解：设扇形的半径为rcm，由题意得，＝8π，解得r＝10（cm），故答案为：10．20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为　3　．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵OE⊥BC，∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，又∵BC＝2AF，∵AF＝BE，在Rt△AFO和Rt△BEO中，，∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），∴∠AOF＝∠BOE，∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，第24页（共24页） 又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，∴∠BOE＝60°，∵OB＝OD＝6，∴BE＝OB•sin60°＝6×＝3，故答案为：3．三、解答题（其中21-22题各7分，23-2题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin45°﹣1．【解答】解：原式•﹣•＝﹣＝﹣＝＝＝，当a＝2sin45°﹣1＝2×﹣1＝﹣1时，原式＝＝．22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．第24页（共24页） 【解答】解：（1）如图，△MNP为所作；（2）如图，△DEF为所作；FP＝＝．23．（8分）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有：24÷40%＝60（名）；（2）最喜欢冰壶项目的人数有：60﹣16﹣24﹣12＝8（名），补全统计图如下：第24页（共24页） （3）根据题意得：1500×＝300（名），答：估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有300名．24．（8分）已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．（1）如图1，求证：CE＝BH；（2）如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，∵BM⊥CE，∴∠HMC＝∠ADC＝90°，第24页（共24页） ∴∠H+∠HCM＝90°＝∠E+∠ECD，∴∠H＝∠E，在△EDC和△HCB中，，∴△EDC≌△HCB（AAS），∴CE＝BH；（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，理由如下：∵AE＝AB，∴AE＝BC＝AD＝CD，∵△EDC≌△HCB，∴ED＝HC，∵AD＝CD，∴AE＝HD＝CD＝AB，在△AEG和△BCG中，，∴△AEG≌△BCG（AAS），∴AG＝BG＝AB，同理可证△AFB≌△DFH，∴AF＝DF＝AD，∴AG＝AF＝DF，在△AEG和△ABF中，，∴△AEG≌△ABF（SAS），同理可证△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．25．（10分）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔．若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的毛笔和3支B第24页（共24页） 种型号的毛笔需用24元．（1）求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔？【解答】解：（1）设每支A种型号的毛笔x元，每支B种型号的毛笔y元；由题意可得：，解得：，答：每支A种型号的毛笔6元，每支B种型号的毛笔4元；（2）设A种型号的毛笔为a支，由题意可得：6a+4（80﹣a）≤420，解得：a≤50，答：最多可以购买50支A种型号的毛笔．26．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．【解答】（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，第24页（共24页） ∴＝，∴∠BAP＝∠CAP，∵点N为AC的中点，∴＝，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，∴∠AQB＝∠EQP＝135°，△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，∴∠CDE+∠BAC＝135°；（2）证明：在△DGO和△DBO中，，∴△DGO≌△DBO（SSS），∴∠ABD＝∠DGO，∵DG⊥BE，∴∠GDB＝90°，∴∠ADG+∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠CBE＝90°，∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，第24页（共24页） ∴OG∥AD；（3）解：如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，由（2）知：OG∥AC，∴GH∥AC，∴∠OHB＝∠C＝90°，∴OH⊥BC，∴BH＝CH，∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，∴四边形GHCK是矩形，∴CH＝GK，设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，由（2）知：∠ADG＝∠DBC，在△GKD和△DCB中，，∴△GKD≌△DCB（AAS），∴GK＝DC＝y，∵OE∥BC，∴∠E＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tanE，∴，即＝，第24页（共24页） ∴EN＝，∴AN＝CN＝y+，ON＝y，由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，∴（y+）2＝y2+（y+）2，解得：y1＝﹣（舍），y2＝，∴AG＝＝＝2．27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE＝OD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MH∥CF交FG于点H，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（10，0），B（，6）代入y＝ax2+bx，得到，第24页（共24页） 解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）∵直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，∴C（2，0），D（0，﹣4），∵A（10，0），∴OA＝10，OC＝2，∴AC＝8，由题意P（t，2t﹣4），∴S＝•PT•AC＝×8×（2t﹣4）＝8t﹣16．（3）如图2中，过点P作PT⊥CG于T，交CF于W，过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J，连接JQ．∵PT⊥CG，∴∠PTC＝∠ODC＝90°，∴OD∥PT，∴∠ODC＝∠CPT，∴tan∠CPT＝tan∠ODC＝＝＝，第24页（共24页） ∵HR⊥RF，FJ⊥MJ，MH∥CF，∴RH⊥MJ，∴∠FRH＝∠RHJ＝∠FJH＝90°，∴四边形RFJH是矩形，∴RF＝HJ，∵RF+HM＝MH+HJ＝MJ＝GQ，MJ∥GQ，∴四边形MJQG是平行四边形，∴JQ＝GM，∠JQG＝∠GMJ，∵MF平分∠CFG，∴∠CFM＝∠MFG，∵CF∥MH，∴∠FMH＝∠CFM，∴∠FMH＝∠MFH，∴FH＝HM，∵∠MGH＝∠FJH＝90°，∠MHG＝∠FHJ，∴△MHG≌△FHJ（AAS），∴MG＝FJ＝JQ，∠GMH＝∠HFJ，∴∠JFQ＝∠JQF，∠GFJ＝∠GQJ，∴∠GFQ＝∠GQF，∵CF∥GQ，PT∥FG，∴∠WPF＝∠GFQ，∠WFP＝∠GQF，∴∠WPF＝∠WFP，∴WP＝WF，∵D，E关于x轴对称，∴∠ECO＝∠DCO＝∠PCG，∵EC∥PG，∴∠PGC＝∠ECO，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PT⊥CG，第24页（共24页） ∴CT＝TG，∵WT∥FG，∴CW＝WF，∴WP＝WC＝WF，∴∠CPF＝90°，∴∠LCP+∠PLC＝90°，∵∠ODC+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠LCP，∴∠PLC＝∠ODC，∴tan∠PLC＝tan∠ODC＝，∵B（，6），∴OL＝+12＝，∴L（，0），∴直线PB的解析式为y＝﹣x+，由，解得，∴P（，5）．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/413:57:29；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第24页（共24页）