2019年全国I卷文科数学

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则=A．2B．C．D．12．已知集合，则A．B．C．D．3．已知，则A．B．C．D．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是9,A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．函数f(x)=在[-π，π]的图像大致为A．B．C．D．6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255°=A．-2-B．-2+C．2-D．2+8．已知非零向量a，b满足=2，且（a-b）b，则a与b的夹角为A．B．C．D．9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入A．A=B．A=C．A=D．A=9,10．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，则=A．6B．5C．4D．312．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为___________．14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．15．函数的最小值为___________．16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？9,附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．20．（12分）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．21.（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；9,（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．9,2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案一、选择题1．C2．C3．B4．B5．D6．C7．D8．B9．A10．D11．A12．B二、填空题13．y=3x14．15．−416．三、解答题17．解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）．由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18．解：（1）设的公差为d．由得．由a3=4得．于是．因此的通项公式为．（2）由（1）得，故.由知，故等价于，解得1≤n≤10．所以n的取值范围是．9,19．解：（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.从而点C到平面的距离为.20．解：（1）设，则.当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.9,又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（2）由题设知，可得a≤0.由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，所以，当时，.又当时，ax≤0，故.因此，a的取值范围是.21．解：（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.由已知得，又，故可得，解得或.故的半径或.（2）存在定点，使得为定值.理由如下：设，由已知得的半径为.由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.因为，所以存在满足条件的定点P.22．解：（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为.9,的直角坐标方程为.（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.C上的点到的距离为.当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.23．解：（1）因为，又，故有.所以.（2）因为为正数且，故有=24.所以.9