小学数学讲义秋季二年级第2讲尖子班教师版

第二讲第二讲一笔画游戏第三级下一笔画游戏第五级下多笔画游戏（三年级秋季第七讲）第三级下一笔画游戏在本节课主要学习一笔画问题，通过一笔画游戏来发现一笔画的规律．并能根据奇点的个数来判断哪些图形能一笔画，哪些不能一笔画，掌握这种规律快速找到一笔画的方法，培养探索精神．第五级下多笔画游戏本讲主要研究多笔画问题，以及一笔画及多笔画问题的应用．第3级下·尖子班·教师版1\n第二讲课前活动——动手画一画一笔画游戏下面是一个奥运五环标志，你能不能一笔画出下面的奥运五环图呢？大家试一试．（要求：笔中途不能离开纸，每条线只能画一次不能重复画．）第3级下·尖子班·教师版2\n第二讲【教学说明】⑴奥运五环可以一笔画成，在这里通过让学生自己动手来画，让学生理解什么是“一笔画”，激发学生对一笔画问题研究的兴趣．在这里只引导学生找到画的方法，不要求理解为什么可以一笔画．⑵开课的时候老师通过讲故事来引导学生研究七桥问题，可以让学生动手尝试．很显然不管怎样尝试，也不可能找到这样一条路，至于这是为什么呢？我们可以通过这个疑问，激发学生探究的兴趣，进而来学习一笔画问题．同学们，为什么奥运五环可以一笔画成呢？为什么七桥问题中就不能找到一条不重复地一次走遍七座桥的路线呢？什么样的图形可以一笔画成？什么样的图形不能一笔画成？大家是不是很想知道其中的原因，这些问题将在今天的学习中一一得到解答．我会一笔画成例1第3级下·尖子班·教师版3\n第二讲你能试着用一笔把下列图形画出来吗？如果可以，说说你是怎样画的？⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺为什么有的图形可以一笔画成，有的图形不能一笔画，一个图形是否能一笔画出取决于什么呢？第3级下·尖子班·教师版4\n第二讲下面让我们一起来观察一下图形．我们不难发现，这些图形都是由点和线构成的．（这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线．）每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与三条线相连等等．一个图形是否能一笔画成跟这些点有什么关系？⑴从一点出发的线的条数是偶数（双数），这点称为偶点（双数点）．⑵从一点出发的线的条数是奇数（单数），这点称为奇点（单数点）．奇点和偶点跟一笔画有什么关系呢？我们下面继续研究．【例题分析】首先老师给学生时间让学生充分动脑动手，看看哪个图形能一笔画出．然后再来研究这些能一笔画成的图形有什么特点．在这些图形中可以一笔画出的是：⑴、⑵、⑶、⑹、⑺；不可以一笔画出的是：⑷、⑸．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑴有2个奇点，所以能一笔画成．⑵都是偶点，所以能一笔画成．⑶都是偶点，所以能一笔画成．⑷有4个奇点，所以不能一笔画成．⑸有4个奇点，所以不能一笔画成．⑹有2个奇点，所以能一笔画成．⑺有2个奇点，所以能一笔画成．最后，综合成一条判定法则：有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成．【教学说明】在例1的教学中，首先老师要明确本题的意图，本题的教学目的在于让学生尝试一笔画，然后来认识奇点和偶点，进而总结出一笔画的特点，一个图如果能够一笔画出，则画的第3级下·尖子班·教师版5\n第二讲方法不止一种，但各种方法大同小异．因此，讲义中，一笔画的问题，一般我们只给出一种画法．瑞士著名数学家欧拉通过研究七桥问题就发现了一笔画的规律：①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形．②有0个奇点(即全部是偶点)的连通图能够一笔画成．(画时可以以任意一点为起点，最后又将回到该点)．③只有两个奇点的连通图也能一笔画成(画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点)，④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成．试试看下图能一笔画出吗？⑴⑵【例题分析】⑴、⑵都不能一笔画出，这组图形和例1的图形有些不一样．⑴是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连．⑵是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成．圆和正方形之间没有线相连．第3级下·尖子班·教师版6\n第二讲【教学说明】像这样的图形是不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来．当然，像例1中的图形我们叫它连通图．此题与例1进行对比，是为了让学生明确一笔画的前提必须是连通图形．例2下列图形能一笔画成吗？为什么？并试着画一画．⑴⑵⑶⑷【例题分析】⑴、⑷可以，⑵、⑶不可以；其实我们不必把所有奇点都找出来，只要发现图中的奇点多于2个就不能一笔画成了．例3第3级下·尖子班·教师版7\n第二讲下面的图形都不能一笔画成，你能否在图中添上一条线段，使它能一笔画成．⑴⑵⑶【例题分析】⑴图中有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要添加一笔，使这个图形的奇点变成两个．如下图：（答案不唯一）⑵图⑵和图⑴相似，因为有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要添加一笔，使这个图形的奇点变成两个．如下图：⑶图中有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要添加一笔，使这个图形的奇点变成两个．如下图：第3级下·尖子班·教师版8\n第二讲【拓展选讲】在下列的各个图中去一条线后，一笔画出每个图形．⑴⑵⑶【例题分析】⑴图中有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要使这个图形的奇点变成两个．如下图：（答案不唯一）⑵图⑵和图⑴相似，因为有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要使这个图形的奇点变成两个．如下图：⑶图中有四个点是奇点，所以不能一笔画成，要想使这个图形一笔画成，就要使这个图形的奇点变成两个．如下图：第3级下·尖子班·教师版9\n第二讲填充房间从前，在山脚下住着一对夫妇，他们有3个儿子．一天，父亲要远去京城，需要一个儿子陪同．3个儿子从小在山里长大，从没去过京城，都想跟父亲出去长长见识．带谁去好呢？为了公平，父亲就给他们出了一道题，让他们每人拿2两银子去买东西，用买来的东西分别把院子里的3间空屋子装满．第二天，老大一大早就出门了，他气喘吁吁地弄回来一大堆干柴，塞满了一间屋子．老二也不甘示弱，他费了好大力气弄来了许多稻草，也把一间屋子塞得满满的．三兄弟中唯有老三没有行动，到了傍晚他才出发，天黑时带回来一根蜡烛．父亲看后哈哈大笑，最终带着老三出门了．你知道为什么老三会获胜吗?老三在晚上点燃蜡烛，满屋子都亮堂堂的．虽然2个哥哥也都做到了，但是都没有老三完成得省劲．父亲当然喜欢带聪明的孩子出门了．例4现在你能说说为什么奥运五环可以一笔画出，哥尼斯堡城七桥为什么就不能找到一条不重复地一次走遍七座桥的路线了吗？第3级下·尖子班·教师版10\n第二讲⑴⑵【例题分析】⑴五环图案中的点都是偶数点，因此可以一笔画出．所画路线如图所示：⑵欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了．因为图b有4个奇点，所以不能一笔画成，也就没有这样一条路存在了．(a)(b)【教学说明】在第一节课已经研究了一笔画问题的特点，第二节课主要研究的就是一笔画问题在生活中的应用．首先回到开课的两个问题上来，用我们所学的一笔画知识解释为什么五环可以一笔画，为什么七桥问题中不能一次不重复地走遍每一座桥．尤其在解决第二个问题的时候，要引导学生用一笔画问题来思考，把平面图形抽象成几何图形来分析．第3级下·尖子班·教师版11\n第二讲【拓展选讲】我国著名数学家陈景润所著《数学趣谈》一书中，有这样一道题：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示．那么，从任一岸出发，不重复地通过所有的桥到达另一岸，能做到吗？【例题分析】由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个岸．画出图来就能一目了然了．见上后两图．注意帮助孩子转化，画出图形．例5下图是村庄的平面图，艾迪和薇儿想不重复地走遍村庄的每条通道，节省时间，他们应该怎么走呢？请你帮她设计一条行走路线（可以从A、B、C、D、E、F、H、I任意口进出村庄）．第3级下·尖子班·教师版12\n第二讲EAD从哪个门进最合适?GHIBCF【例题分析】能．这其实是一个“一笔画”问题，图中只有D、G两个是奇点，所以可以一笔画出．如下图：我们可以从D点进入，到G点时所有地方全部走到，而且没有重复．（答案不唯一）D→G→I→D→E→I→C→F→B→H→F→G→H→A→E→G【教学说明】本题对学生来说有一些难度，主要是不理解题意，在此老师要引导学生读题，分析题意，找到解答问题的关键，艾迪和薇儿想不重复地走遍村庄的每条通道，节省时间，其实就是研究这个图形能不能一笔画，并且还要弄清楚从哪里开始又从哪里结束．下图是一个公园的平面图．要使游客走遍每条路而不重复，出入口应设在哪里？可以怎样走？第3级下·尖子班·教师版13\n第二讲EGFDIHJKACB【例题分析】本题实际上是这个图以哪两点为起点和终点一笔画出的问题，观察上图可以发现仅有两个奇点：H点与B点．因此，出入口应分别设在H点与B点．例6一张纸上画有如下图所示的图形，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？CDBIEAFHG第3级下·尖子班·教师版14\n第二讲【例题分析】一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形，必须要求剪刀连续剪过图中所有的线．即上述问题实际上是这个图能否一笔画出的问题．显然，图中有两个奇点，因此可以一笔画出，剪刀所走的路线可以是：A→B→C→D→E→F→G→E→I→G→H→A→I→C．这样，就能用剪刀一次连续剪下三个正方形和两个三角形．（答案不唯一）【教学说明】在教学这道题的时候，关键还是要引导学生理解，要把这个图形用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形，就是看这个图形能不能一笔画，然后沿着一笔画的线路剪就可以剪成三个正方形和两个三角形．对于类似的一笔画应用问题，并不是学生不会判断一个图形能不能一笔画，而是学生不知道什么问题需要用一笔画方法来思考，因此这是第二节课突破的重点．拓展与提高下图是某地区所有街道的平面图．甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C．如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？FBCAED【例题分析】题中要求两人必须走遍所有的街道，最后到达C，而且两人的速度相同，因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C．仔细观察，可以发现图中有两个奇数点A和C，这就是说：第3级下·尖子班·教师版15\n第二讲甲可以从A点出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而B点是偶数点，从B点出发的乙则不行．因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程一定比这个总和多，这样甲先到达C．（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）下面的图形，要求画过的线段不能重复画，那么这个图形最少笔才能画出．【答案】共有10个奇点，所以最少1025（笔）画出来．第3级下·尖子班·教师版16\n第二讲附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．）下图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进、出口应设在什么地方？【例题分析】能，进、出口可同时设在圆周上的任意一点．下图中的每一个图形，最少需要几笔画出？（a）（b）（c）（d）【例题分析】依据前面所得到的结论，“凡是只有两个奇点的图形，一定可以一笔画出”．因为图(a)中只有2个奇点，所以它最少需要一笔画出．图(b)中有4个奇点，它不能一笔画．把图中的(b)和(a)比较，可知(b)比(a)多了一条线段，所以，可先一笔画出(a)，再画多出的一条线段，就可画出图中的(b)，因此可知图(b)最少需要2笔画出．图(c)中有6个奇点，它可在图(b)的基础上再画一笔，所以，图(c)最少需要3笔画出．图(d)中有8个奇点，它可在图(c)的基础上再画一笔，所以，图(d)最少需要4笔画出．具体画法如下图：（a）（b）（c）（d）最少1笔画成最少2笔画成最少3笔画成最少4笔画成第3级下·尖子班·教师版17\n第二讲如图是一个超市的平面图，超市共有六个门，张明想一次走遍所有通道而又不走重复路线，请你帮他设计一种进出方法．【例题分析】把每一条通道看作是边，通道的交点看作是结点(每个门处即为一个结点)，可得下图，这样问题就转化为能否从某点出发将图一笔画的问题．ABCOFED观察可知，图中只有两个奇点(点C和点D)，根据一笔画原理可得：将点C和点D分别作为起点和终点，可将右图一笔画出．即张明从C门(或D门)进超市，一次走遍所有通道后从D门(或C门)出超市，其行进路线为：CDEOCBEFABOD下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个入口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？入口出口【例题分析】把每个展室看作一个点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有线相连．这样，展厅的平面图就转化成b图，一个实际问题也就转化为这个图能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A．图(b)中，所有的点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图．即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来．下面仅给出一种参观路线：AEBCEFCDFA．第3级下·尖子班·教师版18\n第二讲BCDBCDEFEFAA(a)(b)1.下列图形能一笔画成吗？为什么？并试着画一画．⑴⑵⑶⑷⑸⑹【答案】能一笔画成的图形有：⑴；⑵；⑶；⑸．2.判断图中的三个图形，哪个图形能一笔画？为什么？请把能一笔画出的图形的画法用字母和箭头表示出来．ABCABCDABCDGFEDHGFEHGFE⑴⑵⑶第3级下·尖子班·教师版19\n第二讲【答案】⑴能一笔画，因为该图中所有的点全是偶点．它的一个画法是：（答案不唯一）A→B→C→D→E→F→G→E→B→G→A⑵能一笔画，因为该图中只有两个奇点．它的一个画法是：（答案不唯一）C→D→E→F→G→H→A→B→G→C→B→F⑶不能一笔画，因为该图中奇点的个数超过两个．3.下面的图形都不能一笔画成，你能否在图中添上一条线段，使它能一笔画成．HAGBFIADBCCDE⑴⑵【答案】这两个图都不能一笔画成，⑴连接AC或是连接BD可以都一笔画；⑵连接BD、HF、BH、DF可以一笔画．4.下图是某地区所有街道的平面图．甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C．如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？FBCAED【答案】题中要求两人必须走遍所有的街道，最后到达C，而且两人的速度相同，因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C．可以发现图中有两个奇数点A和C，这就是说：甲可以从A点出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而B点是偶数点，从B点出发的乙则不行．因此，第3级下·尖子班·教师版20\n第二讲甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程一定比这个总和多，这样甲先到达C．5.下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？ABCIDEFHG【答案】由于要设出口和入口，所以首先应确定有没有奇点，若有，有几个．因为图中只有E、I两个奇点，所以该道路图可以一笔画，只要将出、入口分别设在这两个点，游客就可以从入口处进入公园，不重复地走遍所有道路，而且从出口处离开公园．6.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗？(每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走)【答案】见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4个奇点．第3级下·尖子班·教师版21\n第二讲在一个工地上，小红和小黄两兄弟利用铁丝各做了一个铁架子，其中有一个铁架子是用一根很长的铁丝围成的（没有剪断），另外一个铁架子是用几根半截铁丝做成的，观察下图，猜一猜哪个是用半截的铁丝做成的？哪个是用一根完整铁丝围成的？AB【答案】虽然两个框架都是立体图形，看是否是由一根铁丝围成的，相当于看一个图形是否能一笔画成，可以把它堪称一笔画问题．A图中8个顶点都是偶点，可以一笔画，B图8个顶点都是奇点，不能一笔画．所以A是用一根完整的铁丝围成的，B是用几根半截铁丝做成的．第3级下·尖子班·教师版22\n第二讲【教学说明】此题是一笔画问题的应用，也是一道趣味题，老师可以通过制作模型给学生进行讲解，同时培养学生的空间想象能力．“哭”和“笑”的最大共同点是什么？什么人生来就称王？高老板为什么饭后经常感到地球在转动？有一种语不用翻译，但要猜，你知道是什么吗？怎么使不知道变成知道？世界上什么东西比天更高？第3级下·尖子班·教师版23\n第二讲什么事必须从头做起？不出头是什么字？【答案】1．笔画都是10画2．姓王的人3．他喝醉了酒4．谜语5．把“不”去掉就行了6．心比天高7．理发8．木第3级下·尖子班·教师版24\n第二讲猴子的天堂有这样一个寓言故事，一只生活在原始森林里的猴子常听人说，天堂里的生活最美好．于是，它决心要找到天堂．经历了千辛万苦的跋涉，终于有一天，猴子来到一个美丽的小镇．这里有五彩缤纷的花园，奇特的建筑，喧闹的街道．猴子高兴极了，它结交了不少朋友，每天和小动物们做游戏，真是无比的快乐．它觉得这就像是自己要找的天堂．可是让猴子感到美中不足的是，这里的规矩太多．在这里，猴子刚刚摘了一朵花想闻闻香不香，就被小白兔看到，狠狠地批评了它一顿．还有，猴子吃完香蕉，随手把香蕉皮扔在路边，又被大公鸡看到，被罚扫一天街道．终于有一天，猴子在因为一点小事和黄狗打架而被罚做五天公益劳动时，愤然离开了小镇．猴子想：“这里肯定不是天堂，天堂里的生活应该无拘无束．”于是，猴子又开始了寻找．猴子不明白，没有约束和制度，也就不会有天堂．第3级下·尖子班·教师版25\n第二讲第3级下·尖子班·教师版26