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24.2.2 直线和圆的位置关系 (第2课时)教案(人教版九年级数学上)

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24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系(第2课时)一、教学目标【知识与技能】能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。【过程与方法】经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯.【情感态度与价值观】体验切线在实际生活中的应用,感受数学就在我们身边,感受证明过程的严谨性及结论的正确性.二、课型新授课三、课时第2课时,共3课时。四、教学重难点【教学重点】切线的判定定理及性质定理的探究和运用.【教学难点】切线的判定定理和性质的应用.\n五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程(一)导入新课教师问:转动雨伞时飞出的雨滴,用砂轮磨刀时擦出的火花,都是沿着什么方向飞出的?(出示课件2)学生问:都是沿着圆的切线的方向飞出的.(二)探索新知探究一切线的判定方法教师问:如图,在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少?直线l和⊙O有什么位置关系?(出示课件4)学生答:这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径.由d=r得到直线l是⊙O的切线.教师问:已知圆O上一点A,怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线?(出示课件5)\n教师作图,学生观察并思考:(1)圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?(2)二者位置有什么关系?为什么?出示课件6:教师归纳:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用格式:∵OA为⊙O的半径,BC⊥OA于A,∴BC为⊙O的切线.教师问:下列各直线是不是圆的切线?如果不是,请说明为什么?(出示课件7)学生观察交流后口答:(1)不是,因为没有垂直.(2),(3)不是,因为没有经过半径的外端点A.教师强调:在切线的判定定理中,“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”,两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.教师归纳:判断一条直线是一个圆的切线有三个方法:(出示课件8)1.定义法:直线和圆只有一个公共点时,我们说这条直线是圆的切线;\n2.数量关系法:圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时,直线与圆相切;3.判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.出示课件9:例1如图,∠ABC=45°,直线AB是☉O上的直径,且AB=AC.求证:AC是☉O的切线.教师分析:直线AC经过半径的一端,因此只要证OA垂直于AB即可.师生共同解答:证明:∵AB=AC,∠ABC=45°,∴∠ACB=∠ABC=45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.∵AB是☉O的直径,∴AC是☉O的切线.巩固练习:(出示课件10)\n如图所示,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,∠BAD=∠B=30°,边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗?为什么?学生独立思考后板演:解:BD是⊙O的切线.连接OD,∵OD=OA,∠A=30°,∴∠DOB=60°.∵∠B=30°,∴∠ODB=90°.∴BD是⊙O的切线.出示课件11:例2已知:直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.学生思考交流后师生共同解答.证明:连接OC(如图).∵OA=OB,CA=CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径,\n∴AB是⊙O的切线.巩固练习:(出示课件12-13)如图,△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,⊙O与AB相切于E.求证:AC是⊙O的切线.教师分析:根据切线的判定定理,要证明AC是⊙O的切线,只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了,而OE是⊙O的半径,因此只需要证明OF=OE.证明:连接OE,OA,过O作OF⊥AC.∵⊙O与AB相切于E,∴OE⊥AB.又∵△ABC中,AB=AC,O是BC的中点.∴AO平分∠BAC,又OE⊥AB,OF⊥AC.∴OE=OF.∵OE是⊙O半径,OF=OE,OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线.出示课件14:学生对比思考.1.如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB\n求证:直线AB是⊙O的切线.学生答:连接OC.2.如图,OA=OB=5,AB=8,⊙O的直径为6.求证:直线AB是⊙O的切线.学生答:作垂直.教师归纳:(出示课件15)证切线时辅助线的添加方法:(1)有交点,连半径,证垂直;(2)无交点,作垂直,证半径.有切线时常用辅助线添加方法:见切点,连半径,得垂直.切线的其他重要结论:(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.探究二切线的性质定理教师问:如图,如果直线l是⊙O的切线,点A为切点,那么OA与l垂直吗?(出示课件16)\n学生思考后教师总结:切线性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.应用格式:∵直线l是⊙O的切线,A是切点.∴直线l⊥OA.出示课件17-18,教师引导学生进行证明.证法1:反证法.证明:假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.所以AB与CD垂直.证法2:构造法.作出小⊙O的同心圆大⊙O,CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.连接OA,根据垂径定理,则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径.\n教师总结:利用切线的性质解题时,常需连接辅助线,一般连接圆心与切点,构造直角三角形,再利用直角三角形的相关性质解题.(出示课件19)出示课件20:例1如图,PA为⊙O的切线,A为切点.直线PO与⊙O交于B、C两点,∠P=30°,连接AO、AB、AC.(1)求证:△ACB≌△APO;(2)若AP=,求⊙O的半径.教师分析:(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°,由∠P=30°可得出∠AOP=60°,则∠C=30°=∠P,即AC=AP;这样就凑齐了角边角,可证得△ACB≌△APO;(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形,因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.师生共同解答:(出示课件21-22)(1)证明:∵PA为⊙O的切线,A为切点,∴∠OAP=90°.又∵∠P=30°,∴∠AOB=60°,\n又∵OA=OB,∴△AOB为等边三角形.∴AB=AO,∠ABO=60°.又∵BC为⊙O的直径,∴∠BAC=90°.在△ACB和△APO中,∠BAC=∠OAP,AB=AO,∠ABO=∠AOB,∴△ACB≌△APO(ASA).(2)解:在Rt△AOP中,∠P=30°,AP=,∴AO=1,∴CB=OP=2,∴OB=1,即⊙O的半径为1.巩固练习:(出示课件23)如图所示,点A是⊙O外一点,OA交⊙O于点B,AC是⊙O的切线,切点是C,且∠A=30°,BC=1.求⊙O的半径.学生独立思考后自主解决.解:连接OC.∵AC是⊙O的切线,∴∠OCA=90°.\n又∵∠A=30°,∴∠COB=60°,∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC=1,即⊙O的半径为1.(三)课堂练习(出示课件24-33)1.如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD⊥AO于点D,交AC于点E,交⊙O于点F,M是GE的中点,连接CF、CM.判断CM与⊙O的位置关系,并说明理由.2.判断下列命题是否正确.(1)经过半径外端的直线是圆的切线.()(2)垂直于半径的直线是圆的切线.()(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.()(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.()(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.()3.如下图所示,A是☉O上一点,且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是.\n4.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB是直径,∠BCD=120°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为()A.40°B.35°C.30°D.45°5.如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少?6.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交边BC于P,PE⊥AC于E.求证:PE是⊙O的切线.7.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证:CD与⊙O相切.8.已知:△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.\n(1)如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的条件是(只需写出两种情况):①_________;②_____________.(2)如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是☉O的切线.参考答案:1.解:CM与⊙O相切.理由如下:连接OC,如图,∵GD⊥AO于点D,∴∠G+∠GBD=90°,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵M点为GE的中点,∴MC=MG=ME,∴∠G=∠1,∵OB=OC,∴∠B=∠2,∴∠1+∠2=90°,∴∠OCM=90°,∴OC⊥CM,∴CM为⊙O的切线.2.⑴×⑵×⑶√⑷√⑸√3.相切4.C5.解:连接OB,则∠OBP=90°.\n设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中,OB2+PB2=PO2,即r2+42=(2+r)2.解得r=3,即⊙O的半径为3.6.证明:连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP,∴∠B=∠OPB.∴∠OBP=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线.7.证明:连接OM,过点O作ON⊥CD于点N,∵⊙O与BC相切于点M,\n∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD,O为正方形ABCD对角线AC上一点,∴OM=ON,∴CD与⊙O相切.8.解:⑴①BA⊥EF;②∠CAE=∠B.证明:连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90°,∵∠D与∠B同对,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.(四)课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法?请与同伴交流.(五)课前预习预习下节课(24.2.2第3课时)的相关内容.七、课后作业\n配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本节课从常见的生活情况入手,引入切线的概念,能激发学生的求知欲,接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线,又从另一侧面利用反证法,证明了切线的性质定理,这样,既证明了定理又复习了反证法.

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-09-07 12:00:08 页数:16
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文章作者:随遇而安

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