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27.2.1第4课时两角分别相等的两个三角形相似学案

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27.2.1相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似学习目标:1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法,并能进行相关计算.(重点、难点)3.掌握判定两个直角三角形相似的方法,并能进行相关计算.自主学习一、知识链接学校举办活动,需要三个内角分别为90°,60°,30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.小明手上的测量工具只有一个量角器,他该怎么做呢?合作探究一、要点探究探究点1:两角分别相等的两个三角形相似操作与同伴合作,一人画△ABC,另一人画△A′B′C′,使∠A=∠A′=40°,∠B=∠B′=55°,探究下列问题:,问题1度量AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长,并计算出它们的比值.你有什么发现?问题2试证明:△ABC∽△A′B′C′.证明:在△A′B′C′的边A′B′(或A′B′的延长线)上,截取A′D=AB,过点D作DE//B′C′,交A′C′于点E,【补全证明过程】【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理:两角分别相等的两个三角形相似.符号语言:∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'C'.【典例精析】例1如图,在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80°,∠F=60°.求,证:△ABC∽△DEF.【针对训练】如图,在△ABC和△A'B'C'中,若∠A=50°,∠B=75°,∠A'=50°,当∠C'=时,△ABC∽△A'B'C'.例2如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD.证明:连接AC,DB.∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角,∴∠A=_____,同理∠C=_______,∴△PAC∽△PDB,∴,即PA·PB=PC·PD.【针对训练】如图,⊙O的弦AB,CD交于点P,若PA=3,PB=8,PC=4,则PD=.【分析】此图中,没有完整的三角形出现,根据题目给的四条边,可以知道,它们属于,△BCP和△ADP因此连接AD、BC,根据圆周角的性质得到解题所需角度,进而求解探究点2:判定两个直角三角形相似例3如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求AD的长.【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法:有一个锐角相等的两个直角三角形相似.思考对于两个直角三角形,我们还可以用“HL”判定它们全等.那么,满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗?ABAC证明如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,.ABAC求证:Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法:斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.,例4如图,∠ACB=∠ADC=90°,AD=2,CD=2,当AB的长为时,△ACB与△ADC相似.【分析】观察得到AB和AC分别是斜边,但两条直角边的对应关系并没有确定,因此需要分类讨论【针对训练】在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1)∠A=35°,∠B′=55°:;(2)AC=3,BC=4,A′C′=6,B′C′=8:;(3)AB=10,AC=8,A′B′=25,B′C′=15:.二、课堂小结当堂检测1.如图,已知AB∥DE,∠AFC=∠E,则图中相似三角形共有()A.1对B.2对C.3对D.4对第1题图第2题图第3题图第4题图,2.如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD:DE=3:5,AE=8,BD=4,则DC的长等于()15122017A.B.C.D.45343.如图,点D在AB上,当∠=∠(或∠=∠)时,△ACD∽△ABC;4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D.若AB=6,AD=2,则BD=,AC=,BC=.5.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.AFEF6.如图,△ABC的高AD,BE交于点F.求证:.BFDF7.如图,∠1=∠2=∠3,求证:△ABC∽△ADE.参考答案,合作探究一、要点探究探究点1:两角分别相等的两个三角形相似问题2解:则有△A′DE∽△A′B′C′,∠A′DE=∠B′.∵∠B=∠B′,∴∠A′DE=∠B.又∵A′D=AB,∠A=∠A′,∴△A′DE≌△ABC(ASA),∴△ABC∽△A′B′C′.【典例精析】例1证明:∵在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,∴∠C=180°-∠A-∠B=60°.∵在△DEF中,∠E=80°,∠F=60°.∴∠B=∠E,∠C=∠F.∴△ABC∽△DEF.【针对训练】55°PAPC例2∠D∠BPDPB【针对训练】6探究点2:判定两个直角三角形相似例3解:∵ED⊥AB,∴∠EDA=90°.又∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED∽△ABC.ADAEACAE85∴.∴AD4.ACABAB10ABAC证明证明:设=k,则AB=kA′B′,AC=kA′C′.ABAC2222由勾股定理,得BCABAC,BCABAC.222222BCABACkABkACkBC∴kBCBCBCBC∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.例43或32解析:∵∠ADC=90°,AD=2,CD=2,2222∴ACADCD226.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有AC:AD=AB:AC,即6:2=AB:6,解得AB=3;,(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有AC:CD=AB:AC,即6:2=AB:6,解得AB=32.∴当AB的长为3或32时,这两个直角三角形相似.【针对训练】(1)相似(2)相似(3)相似当堂检测1.C2.A3.ACDBADCACB4.42181225.证明:∵DE∥BC,EF∥AB,∴∠AED=∠C,∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.6.证明:∵△ABC的高AD、BE交于点F,∴∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE=∠BFD(对顶角相等).AFEF∴△FEA∽△FDB,∴.BFDF7.证明:∵∠BAC=∠1+∠DAC,∠DAE=∠3+∠DAC,∠1=∠3,∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°-∠2-∠DOC,∠E=180°-∠3-∠AOE,∠DOC=∠AOE(对顶角相等),∴∠C=∠E.∴△ABC∽△ADE.

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2021-12-07 14:04:58 页数:8
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文章作者:随遇而安

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