湘教版（2022）八年级数学上册课件：2.2.3证明与反证法

第3课时证明与反证法2\n新课导入观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.\n推进新课猜测任何三角形的三个外角之和等于360°.需要推理加以证明\n要证明一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.证明的每一步都必须要有根据.证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.\n已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.证明:如图，∵∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质).∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.\n证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步画出图形根据题意第二步写出已知、求证根据命题的条件和结论，结合图形第三步写出证明的过程通过分析，找出证明的途径\n已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）.∴∠DAE=∠B（等量代换）.∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）.\n已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.\n已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.证明:假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.\n直接证明一个命题为真有困难时假设命题不成立利用命题的条件或有关的结论推理导出矛盾假设不成立即所证明的命题正确反证法（间接证明）否定结论，导出矛盾，肯定结论.\n试一试用反证法证明：“在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°.”第一步应假设（）A.∠A＝60°B.∠A＜60°C.∠A≠60°D.∠A≤60°D∠A与60°的大小关系有∠A>60°，∠A=60°，∠A<60°三种情况，因而∠A>60°的反面是∠A≤60°.\n巩固练习1.在括号内填上理由.已知：如图，∠A+∠B=180°.求证：∠C+∠D=180°.证明：∵∠A+∠B=180°（已知），∴AD∥BC（）.∴∠C+∠D=180°（）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补\n2.已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.证明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（两直线平行,内错角相等），∠3+∠4=180°（两直线平行,同旁内角互补）.∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），\n3.已知：如图，AB与CD相交于点E.求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明：∵AB与CD相交于点E，∴∠AEC=∠BED（对顶角相等），又∵∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.\n课后小结命题的证明\n课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.