八上数学15.3_分式方程3

1．什么叫一元一次方程?2．下列方程哪些是一元一次方程?新课导入 一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶,已知快客车每小时比中巴车多行20千米,快客车行驶80千米所需要的时间与中巴车行驶60千米所需要的时间相同,求快客车的速度．解:设快客车每小时行驶X千米,则中巴车每小时行驶(x－20)千米,根据题意可得方程:怎样解这个方程？是一元一次方程吗？ 15.3分式方程 【课程标准】1．了解分式方程的概念,和产生增根的原因．2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根．3．会分析题意找出等量关系．4．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．教学目标 【知识与能力】经历“实际问题－分式方程模型—解分式方程—检验合理性”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，培养应用意识．【情感态度与价值观】通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，能用所学的知识服务于我们的生活． 重点1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．2．根据实际意义检验解的合理性．难点1．会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根．2．列分式方程表示实际问题中的等量关系．教学重难点 （3）已知所得的两位数与原两位数的比值是　，则可以列出方程为_________________．（1）一个两位数的个位数字是4，十位数字为x，则两位数可表示为_________________；（2）如果把个位数字与十位数字对调,那么所得的两位数又可表示为_____________；10x＋440＋x 甲、乙两人加工同一种服装,乙每天比甲多加工1件，已知乙加工30件服装所用时间与甲加工25件服装所用时间相同，甲每天加工多少件服装?如果设甲每天加工x件服装，那么可列方程： 某学校组织学生到距离学校15km的东山去游玩,先遣队与大队同时出发,先遣队的速度是大队速度的1.5倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？解：设大队的速度为xkm/h,列方程，得 上面所列出的方程与一元一次方程有什么区别？一元一次方程的分母不含未知数，而这些方程的分母上含有未知数． 分母中含未知数的方程叫做分式方程（fractionalequation）．知识要点 指出下列方程中的分式方程：√√√√ 想一想一元一次方程的解法，并且解方程．解：去分母（方程两边同乘6）得2（x－2)－(3x+2)＝6去括号，得2x－4－3x－2＝6移项，得2x－4－3x－2－6＝0合并同类项，得－x＝12系数化成１，得x＝－12回顾 结合上面解一元一次方程的方法，想一想如何求分式方程　　　　　　　的解？解这个分式方程应该去分母． 解：方程两边同乘以1．5x，得15＋0.75x＝22.5，解这个方程，得x＝10检验:将x＝10代入原方程得:∵左边==1.5,右边==1.5,左边=右边∴x＝10是原方程的解解方程： 参照上面解方程的方法，解下面两个方程： 解：方程两边同乘以x（x＋1），得30x＝25(x＋1)，解这个方程，得x＝5检验:将x＝5代入原方程得:∵左边==5,右边==5,左边=右边∴x＝5是原方程的解 解：4×(4×10＋x)＝7(10x＋4)，x＝2检验:将x＝2代入原方程得:∵左边=右边=左边=右边∴x＝2是原方程的解解这个方程，得方程两边同乘以4(10x＋4)，得 求分式方程的解，只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母，将分式方程转化成整式方程（一元一次方程）来解．如何求分式方程的解，你知道了吗？ 解分式方程的一般步骤:1．方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母将分式方程化为一元一次方程；2．解这个一元一次方程；3．检验，将所求得的一元一次方程的解代入原方程左右两边．归纳 下列各分式方程，去分母时，要乘以的最简公分母分别是什么？ 解下列方程．解：去分母，方程两边同乘最简公分母(x＋9)(x＋9)，得整式方程x＋9＝18解，得x＝9检验:将x＝9代入原方程检验，发现这时分母x－9和x2－81的值都为0,相应的分式无意义．因此x＝9虽是方程x＝9不是原方程x＋9＝18的解，但不是原分式方程　　　　　　　的解．该分式方程无解．小练习 解分式方程时,对所得根必须检验．检验的方法可以是代入原方程检验．为了简便，通常把求得的根代入变形时所乘的整式(最简公分母)，看它的值是否为零，使它为零的根不是原方程的根，是增根，必须舍去． 增根的定义增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根．产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根．使分母值为零的根 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．归纳 问题:对于分式方程可以用去分母的方法求解，但求出来的根却有可能不是原方程的根，这种现象是怎么产生的?（1）解上述方程的依据是什么?（2）由a=b能否得出ac=bc?（3）由ac=bc能否得出a=b? 【例1】解分式方程解：方程两边同乘（x－3），得2－x＝－1－2(x－3),解，得x＝3检验：x＝3时，(x－3)=０，3不是原分式方程的解． 【例2】解分式方程解：方程两边同乘(x－2)，得1－(x－1)＝－3(x－2),解，得x＝2x＝2时(x－2)＝０，2不是原分式方程的解，原分式方程无解．检验：（1） （2）解：方程两边同乘以最简公分母(x＋1)(x－1)，得（x－1)2=5x＋9解整式方程,得x1=－1,x2=8检验:把x1=－1，x2=8代入原方程 当x1=－1时,原方程的两个分母值为零，分式无意义，因此x1=－1不是原方程的根．当x2=8时,左边=,右边=∴原方程的根是x=8．增根左边=右边,因此x2=8是原方程的根． 解分式方程的一般步骤：分式方程去分母整式方程解整式方程x＝a检验最简公分母为０最简公分母不为０a是分式方程的解目标a不是分式方程的解归纳 解下列方程.（1）x=17（2）x=15小练习 无解无解 【例3】某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元．求出租房屋的总间数．分析:设出租房屋的总间数为x间．第一年每间房屋的租金元;第二年每间房屋的租金元;因为第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500,所以列方程: 解:设出租房屋的总间数为x间．列方程,得方程两边同乘x,得96000＋500x＝102000解,得x＝12检验:当x＝1时x≠0,x＝1是原分式方程的解．答:出租房屋的总间数为12间． 某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元．分别求两年每间出租房屋的租金?第一年出租的房屋数=第二年出租的房屋数等量关系:小练习 解:设第一年每间房屋的租金为x元,则方程两边同乘x(x＋500),得96000(x＋500)＝102000x解,得x＝8000检验:当x＝8000时x(x＋500),≠0,x＝8000是原分式方程的解．则第二年每间房屋的租金为:x+500＝8000＋500＝8500(元)答：第一年每间房屋的租金为8000元，第二年每间房屋的租金为8500元． 【例4】某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每m3水费上涨三分之一,小丽家去年12月的水费是15元,今年2月的水费是30元．已知今年2月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格?分析:小丽家今年2月份的用水量－小丽家去年12月份的用水量=5m3．每个月的用水量×水的单价=每个月的用水费．今年的用水单价=去年用水单价×(1+)．所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量．每个月的用水量=水费/水的单价． 解:设该市去年用水的价格为x元/m3,则今年的水价为(1+1/3)x元/m3,根据题意得：答:该市今年居民用水的价格为2元/m3．解这个方程，得x=1.5经检验，x=1.5是原分式方程的根． 【例5】照相机成像应用了一个重要原理，即　　　　　（vf)，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u、v来使成像清晰，问在f，v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u? 解:方程两边同乘fvu,得解,得答:在f，v已知的情况下，物体到镜头的距离U的值为．检验:由于f,v都是正数,且f≠v,所以是原分式方程的解． （1）学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳216个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟各跳多少个．解：设甲每分钟跳x个,列方程,得解,得x＝100经检验，x=100是原分式方程的根．所以乙每分钟跳x＋20＝100＋20＝120(个)答:甲每分钟跳100个,乙每分钟跳120个．小练习 （2）一项工程要在限期内完成．如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需要超过规定日期4天才能完成，如果两组合作3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天?解:设规定日期是x天，列方程，得解,得x＝12经检验，x=12是原分式方程的根．答:规定日期是12天． （3）甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度．解:设步行的速度是xkm/h．列方程,得解,得答:步行的速度为5千米/时,骑自行车的速度为20千米/时．x=5经检验,x=5是原分式方程的根．所以骑自行车的速度为:4x＝4×5＝20(km/h) （1）审——仔细审题，找出等量关系;（2）设——合理设未知数;（3）列——根据等量关系列出方程(组);（4）解——解出方程(组);（5）验;（6）答——答题．归纳列分式方程解应用题的基本步骤: 1．解分式方程的一般步骤：分式方程去分母整式方程解整式方程x＝a检验最简公分母为０最简公分母不为０a是分式方程的解目标a不是分式方程的解课堂小结 （1）审——仔细审题，找出等量关系;（2）设——合理设未知数;（3）列——根据等量关系列出方程(组);（4）解——解出方程(组);（5）验;（6）答——答题．2．列分式方程解应用题的基本步骤: 1．已知方程　的解是x=2，则m的值为______．－3随堂练习 ≠≠±22．方程没有实数解，则值是（　）A．0B．1C．4D．8D 3．已知　　　（R1、R2均为正数），则R的值为（　　）D 4．关于x的方程　　有实数根，则a的取值范围是（）A．a>2B．a＞0且a≠2C．a≠2D．a≠±2≠≠±2D 5．解下列方程：无解 6．当x为何值时,分式的值相等?解:由题意得,解,得x＝－3经检验，x=－3是原分式方程的根．所以当x＝－3时,分式的值相等． 7．甲、乙两车同时从A地出发，到相距120千米的B地去，若甲车与乙车速度之比为2︰3，且甲车比乙车晚到2.5小时，求两车速度．解:设甲车速度为x千米/小时,则乙车速度为千米/小时．列方程,得解,得x＝16经检验,x=16是原分式方程的根．所以乙车速度为:(千米/小时)答:甲车速度为16千米/小时,则乙车速度为24千米/小时． 8．轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同．已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．解:设轮船在静水中的速度为x千米/时,列方程,得解,得x＝21经检验，x=21是原分式方程的根．答:轮船在静水中的速度为21千米/时．