人教A版高中数学必修二：《3.1.2 两条直线平行与垂直的判定》教案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式.现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.由学生回忆上节课内容，再由老师引入新课.设置情境引入新课概念形成1．特殊情况下，两条直线平行与垂直.由学生讨论得出答案,两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.概念深化2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1=a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）∴tga1=tga2.即k1=k2.反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1=k2，那么tga1=tga2.由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，∴a1=a2借助计算机，让学生通过度量，感知的关系.通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.,又∵两条直线不重合，∴l1∥l2.结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2k1=k2.注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2那么一定有l1∥l2；反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形.如果l1⊥l2，这时，否则两直线平行.设（图）甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有.因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即，所以.∴.借助计算机，让学生通过度量，感知k1，k2的关系，并使l1(或l2)转动起来，但仍保持l1⊥l2，观察k1，k2的关系，得到猜想，再加以验证，可使为锐角，钝角等.通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法.,即或k1k2=–1，反过来，如果即k1·k2=–1不失一般性，设k1＜0.k2＞0，那么.可以推出a1=90°+.l1⊥l2.结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意：结论成立的条件，即如果k1·k2=–1，那么一定有l1⊥l2；反之则不一定.应用举例例1已知A(2,3)，B(–4,0)，P（–借助计算机作图，使学生通过观察猜想：BA∥PQ，再通过计算机加以验证.（图略）例1解：直线BA的斜率k1=(3–0)/(2–(–4))=0.5，,3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.直线PQ的斜率k2=(2–1)/(–1–(–3))=0.5，因为k1=k2=0.5，所以直线BA∥PQ.通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,–1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.例3已知A(–6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.例4已知A(5,–1)，B(1,1)，C(2,3)，试判断三角形ABC的形状.分析：借助计算机作图，通过观察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中AB⊥BC，再通过计算加以验证.（图略）课堂练习P94练习1、2.借助计算机作图，使学生通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形，再通过计算加以验证.例2解：直线BA的斜率k1=(3–0)/(2–(–4))=0.5，直线PQ的斜率k2=(2–1)/(–1–(–3))=0.5，因为k1=k2=0.5，所以直线BA∥PQ.例3解：直线AB的斜率k1=(6–0)/(3–(–6))=2/3，直线PQ的斜率k2=(6–3)(–2–0)=3/2，因为k1·k2=–1，所以AB⊥PQ.归纳总结（1）两条直线平行或垂直的真实等价条件；（2）应用条件，判定两条直线平行或垂直.由学生归纳，教师再补充完善.培养学生的概括能力,（3）应用直线平行的条件，判定三点共线.课后作业见习案3.1的第二课时由学生独立完成巩固深化新学知识备选例题例1试确定M的值，使过点A(m+1，0)，B(–5，m)的直线与过点C(–4，3)，D(0，5)的直线平行.【解析】由题意得：由于AB∥CD，即kAB=kCD，所以，所以m=–2.例2已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标.【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y)因为AD⊥CD，AD∥BC所以kAD·kCD=–1，且kAD=kBC，所以第四个顶点D的坐标为(2，3).例3已知定点A(–1，3)，B(4，2)，以A、B为直径的端点，作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标.【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.则AC⊥BC，设C(x，0)则,所以所以x=1或2，所以C(1，0)或(2，0)