2024-2025三角函数期末常考选填压轴（解析版）

【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）培优专题三角函数期末常考选填压轴一、和差公式的逆用2023-2024高一上·山西省运城市期末·填空次压轴.............................................................52023-2024高一上·珠海市第一中学阶段测·单选次压轴.....................................................62023-2024高一上·深圳市龙岗区期末·单选次压轴.............................................................6二、辅助角公式2022-2023高一上·武汉市5G联合体期末·填空次压轴......................................................72023-2024高一上·重庆市第八中学校期末·填空次压轴.....................................................82023-2024高一上·重庆市南开中学校期末·填空次压轴.....................................................8三、sinθ±cosθ的应用2023-2024高一上·南通市期末·质量监测填空次压轴.........................................................92022-2023高一上·长沙市雅礼中学学年三检填空次压轴..................................................92023-2024高一上·南通市期末·质量监测单选次压轴.......................................................102023-2024高一上·广东实验中学期末·填空次压轴...........................................................112023-2024高一上·石家庄一中期末·填空压轴...................................................................112023-2024高一下·南京师范大学附属中学期中填空压轴................................................12四、给值求值（角）类型一：整体或换元的思想2023-2024高一上·镇江市期末·单选次压轴.......................................................................142023-2024高一上·深圳市光明区期末·填空次压轴...........................................................142023-2024高一上·长沙市长郡中学期末·填空次压轴.......................................................152023-2024高一上·福州市期末·单选次压轴.......................................................................152023-2024高一上·杭州市期末·填空次压轴.......................................................................15类型二：拆角与凑角求值问题2022-2023高一上·武汉市5G联合体期末·多选次压轴....................................................162024·新高考II卷填空次压轴...............................................................................................162023-2024高一上·重庆市巴蜀中学期末·单选次压轴.......................................................172023-2024高一上·宁波市镇海中学期末·单选压轴...........................................................182023-2024高一上·安徽合肥市第一中学期末·单选次压轴...............................................182023-2024高一上·深圳实验第三阶段考单选压轴.............................................................191/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·华南师范大学附属中学期末·填空压轴...............................................202023-2024高一下·南京市六校联合体4月期中单选压轴................................................20五、和差化积与积化和差的应用2023·新高考I卷T8...............................................................................................................212023-2024高一下·湖北五市州期末次压轴.........................................................................222023-2024高一上·华南师范大学附属中学期末·填空压轴...............................................22六、三角函数对称性与周期性的应用2023-2024高一上·石家庄一中期末·填空次压轴...............................................................232023-2024高一上·长沙市明德中学期末·单选次压轴.......................................................242023-2024高一上·天一中学期末·单选次压轴...................................................................252023-2024高一上·武汉市华中师范大学第一附属中学期末·单选压轴...........................25七、函数性质综合辨析2023-2024高一上·南京市期末·学情多选次压轴...............................................................262023-2024高一上·嘉兴市期末·单选次压轴.......................................................................272023-2024高一上·湛江市第一中学期末·多选次压轴.......................................................282022-2023高一上·武汉市5G联合体高一上期末·单选次压轴........................................302023-2024高一上·连云港市期末·单选压轴.......................................................................302023-2024高一上·安徽A10联盟期末·多选压轴..............................................................322023-2024高一上·天一中学期末·多选次压轴...................................................................322023-2024高一上·广州市九区联考期末·多选次压轴.......................................................342023-2024高一上·湖北名校联考联合体期末·多选压轴...................................................352023-2024高一上·重庆南开中学校期末·多选压轴...........................................................362023-2024高一上·盐城市第一中学期末·多选次压轴.......................................................382023-2024高一上·广州市广雅中学期末·多选次压轴.......................................................392023-2024高一上·衡水中学期末·多选压轴.......................................................................402023-2024高一上·常州市期末·多选压轴...........................................................................412023-2024高一上·石家庄二中期末·多选压轴...................................................................42八、由函数的性质求参数的值或范围2023年新课标全国Ⅱ卷真题填空压轴.................................................................................442023-2024高一上·惠州市第一中学12月阶段考·填空次压轴.........................................452023-2024高一上·山东省淄博市期末·单选压轴...............................................................452023-2024高一上·深圳外国语学校期末·单选次压轴.......................................................452023-2024高一上·深圳实验第三阶段考·单选次压轴.......................................................462023-2024高一上·福建师范大学附属中学期末·填空压轴...............................................472023-2024高一上·衡水市衡水中学期末·单选压轴...........................................................472/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·深圳市龙岗区期末·填空压轴...............................................................482023-2024高一上·福州第一中学第二学段考·填空压轴...................................................49九、三角函数中的比大小2023-2024高一上·佛山市第一中学高一上学期第二次段考（12月）单选压轴...........502023-2024高一上·深圳市南山区期末·单选压轴...............................................................512023-2024高一上·镇江市期末·多选压轴...........................................................................512023-2024高一上·张家界市期末·单选压轴.......................................................................522023-2024高一上·扬州市期末·单选压轴...........................................................................53十、求“ω”的范围类型一：由对称轴，零点，最值点个数求“ω”的范围.............................................................582023-2024高一上·珠海市第一中·阶段测试填空次压轴...................................................582023-2024高一上·深圳市深圳实验学校光明部期末·单选压轴.......................................582023-2024高一上·安徽省合肥市第一中学期末·多选压轴...............................................592023-2024高一上·山西省运城市期末·多选压轴...............................................................602023-2024高一上·湘豫名校联考期末·单选压轴...............................................................612023-2024高一上·湖州市期末·填空压轴...........................................................................622023-2024高一上·广东实验中学期末·单选压轴...............................................................622023-2024高一上·深圳实验学校第三阶段考·填空压轴...................................................632023-2024高一上·石家庄二中期末·填空压轴...................................................................64类型二：由单调性求“ω”的范围2023-2024高一上·温州市期末·填空次压轴.......................................................................652023-2024高一上·福州第一中学第二学段·单选压轴.......................................................652023-2024高一上·荆州八县市区期末联考·填空压轴.......................................................662023-2024高一上·南京市南京师大附中期末·单选压轴...................................................672023-2024高一上·衡水市衡水中学期末·填空次压轴.......................................................672023-2024高一上·苏州市期末单选压轴.............................................................................682023-2024高一上·长沙市雅礼中学12月月考·多选压轴.................................................692023-2024高一上·宿迁市期末·填空次压轴.......................................................................702023-2024高一上·湖北名校联考联合体期末·单选压轴...................................................702023-2024高一上·杭州市期末·多选次压轴.......................................................................71类型三：由值域求“ω”的范围2023-2024高一上·福建师范大学附属中学期末·单选压轴...............................................722023-2024高一上·宁波市九校期末·单选压轴...................................................................73类型四：多个限制条件的综合3/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·武汉华中师范大学第一附属中学期末·填空次压轴...........................742023-2024高一上·重庆市南开中学校期末·填空压轴....................................................742023-2024高一上·长春市东北师范大学附属中学期末·多选次压轴...............................752023-2024高一上·重庆市巴蜀中学校期末·单选压轴.......................................................76十一、恒（能）成立问题2023-2024高一上·云南省昆明市一中期末·填空压轴.......................................................772023-2024高一上·苏州市期末填空压轴.............................................................................782023-2024高一上·天一中学期末·填空压轴.......................................................................792023-2024高一上·泉州市期末·填空压轴...........................................................................80十二、探究组合型三角函数性质2023-2024高一上·湖州市期末·单选次压轴.......................................................................812023-2024高一上·长沙市湖南师大附中期末·多选次压轴...............................................822023-2024高一上·广州市越秀区期末·多选压轴...............................................................832023-2024高一上·衡阳市第八中学等学校期末联考·多选压轴.......................................842023-2024高一上·深圳市高级中学期末·多选压轴...........................................................852023-2024高一上·嘉兴市期末·多选次压轴.......................................................................872023-2024高一上·丽水市期末·多选压轴...........................................................................882023-2024高一上·重庆市第八中学期末·多选压轴...........................................................892023-2024高一上·连云港市期末·多选压轴.......................................................................90十三、三角函数的应用2023-2024高一上·湛江市第一中学期末·单选次压轴.......................................................912023-2024高一上·嘉兴市期末·填空次压轴.......................................................................922023-2024高一上·广州市越秀区期末·多选次压轴...........................................................932023-2024高一上·湖州市期末·多选次压轴.......................................................................932023-2024高一上·武汉市第二中学期末·单选压轴...........................................................952023-2024高一上·南通市期末·多选压轴...........................................................................962023-2024高一上·厦门市期末·填空压轴...........................................................................98十四、三角函数中的新定义问题2023-2024高一上·云南师大附中·单选次压轴.................................................................1002023-2024高一上·汕头市期末·多选次压轴.....................................................................1002023-2024高一上·福州市期末·填空压轴.........................................................................1012023-2024高一上·安徽省安庆市期末·多选压轴.............................................................103十五、三角函数相关的最值问题2023-2024高一上·山西省运城市·单选次压轴.................................................................1044/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·华南师范大学附属中学期末·单选压轴.............................................1042023-2024高一上·武汉市常青联合体期末·单选次压轴.................................................1052023-2024高一上·衢州市期末·填空压轴.........................................................................106一、和差公式的逆用要注意的是：tanx1一、tan(x45)1tanxcosxsinx1tanx二、tan(45x)sinxcosx1tanx2023-2024高一上·山西省运城市期末·填空次压轴π1．已知点P(m,n)是角终边上一点，将角的终边逆时针旋转得到角，且2sincos1n,(sincos)，则．sincos2m【答案】3π【分析】依题意可得，利用诱导公式得到sincos,cossin，代入等式得到弦的2齐次式，求得正切值即得.πππ【详解】依题意，，则sinsin()cos,coscos()sin，222sincos1sincos1于是，由可得：，sincos2cossin2tan11因m0，则cos0，故得：，1tan2n解得：tan3，即3.m5/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·珠海市第一中学阶段测·单选次压轴π132．已知0，cos，sin，则tantan的值为（）255135A．B．C．D．2253【答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.1【详解】coscoscossinsin，53sinsincoscossin，5coscossinsin1，分子分母同时除以coscos得：sincoscossin31tantan1①，tantan30πππ由于0，所以0，所以0，222π02234所以cos1，55sin3所以tan，cos4tantan333即,tantantantan，代入①得：1tantan4441tantan13333，解得tantan.tantan5442023-2024高一上·深圳市龙岗区期末·单选次压轴3．已知角0,2，终边上有一点cos1sin1,cos1sin1，则（）599A．1B．1C．D．14444【答案】A【分析】先判断点在第几象限，再求tan并用正切得两角和公式化简，然后求得答案.【详解】因为1,，所以cos10,sin10,cos1sin1,426/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）所以点cos1sin1,cos1sin1在第二象限.tantan1cos1sin11tan14由已知得tantan1,cos1sin11tan141tantan14所以14二、辅助角公式一、对于形如asinxbcosx的式子，可变形如下：22abasinxbcosx=absinxcosx2222ababab令cos,sin，2222abab则asinxbcosx=a2b2sinxcoscosxsin=22absin(x)b其中角所在象限由a,b的符号确定，与a,b在同一象限,角的值由tan确定a二、辅助角公式的应用：研究三角函数的性质时往往需要先通过辅助角公式把解析式化成Asinx的形式2022-2023高一上·武汉市5G联合体期末·填空次压轴π4．若函数fxsinxcosx0的最大值为3，则常数φ的值为．2π【答案】【分析】先展开，然后利用辅助角公式化简，再利用最值来列方程求解.6【详解】fxsinxcosxsinxcoscosxsincosx22sin1cossinxsin1cosxcossin1sinx，其中tan，cosπ又函数fxsinxcosx0的最大值为3，27/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）221所以cossin13，整理得sin，2ππ又0，所以.262023-2024高一上·重庆市第八中学校期末·填空次压轴2ππ5．已知函数fx2cosx23sinxcosx1，当x,时，关于x的方程fxa0有两个46实数根，则实数a的取值范围为.【答案】2,3【分析】π根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得f(x)2cos(2x)，讨论余弦函数的单调性求得当3ππππ2x且2x0时函数yf(x)图象与直线ya有2个交点，即可求解.63632π【详解】f(x)2cosx23sinxcosx1cos2x3sin2x2cos(2x)，3ππππ2π由x，得2x，46633ππ设2x，则当[,0]时，函数ycos单调递增，362π1当[0,]时，函数ycos单调递减，所以cos[,1]，32ππ得f(x)[1,2]，要使方程f(x)a0在x[,]上有2个实根，46ππ则函数yf(x)图象与直线ya在x[,]上有2个交点，46当[π,π]且0，即时，函数�=�(�)图象与直线ya有2个交点，66fx3,2所以a[3,2)，解得a(2,3]，即实数a的取值范围为(2,3].2023-2024高一上·重庆市南开中学校期末·填空次压轴6．若不等式2asinxacosx0对xR恒成立，则实数a的取值范围是．3【答案】,3【分析】2根据题意分析可得2aa1sinx，根据恒成立问题结合正弦函数的有界性分析求解.2【详解】因为2asinxacosx0，则2asinxacosxa1sinx，8/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）a1其中sin,cos，22a1a1π当x2kπ,kZ时，a21sinx取到最大值2a1，23可得22aa1，解得a，33所以实数a的取值范围是,.3三、sinθ±cosθ的应用对于sin＋cos，sin－cos，sincos这三个式子，知一可求二：2sincos12sincos但是要特别注意角的象限决定正负号。另外，遇到sin＋cos和cos＋sin时，也可以平方2023-2024高一上·南通市期末·质量监测填空次压轴117．已知sinsin，cos，则coscos的一个取值为.24．．．．33【答案】（或）2222【分析】计算出sinsincoscos的值，即可求得出coscos的值.11【详解】因为sinsin，cos，24222222且sinsincoscossin2sinsinsincos2coscoscos1522coscossinsin22cos22，422525193所以，coscossinsin，故coscos.224422023-2024高一上·长沙市雅礼中学2022-2023学年高一上三检填空次压轴3π3π8．若sin、cos是关于x的方程x2axa0的两个根，则cossin.22【答案】219/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2Δa4a0【分析】先根据韦达定理得到sincosa，进而求得a，sincos，再结合诱导公式化简求sincosa值即可.2Δa4a0【详解】由题意得，sincosa，则a0或a4，sincosa22又sincos12sincos，即a12a，解得a12或a12（舍去），则sincos12，3π3πππππ所以cossincos2πsinπcossin222222sincossincos21.2023-2024高一上·南通市期末·质量监测单选次压轴9．已知函数fx的定义域为R，y2fxsinx是偶函数，yfxcosx是奇函数，则22πfxfx（）235A．5B．2C．D．24【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义可得出关于fx、fx的等式组，解出函数fx的解析式，再利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可求得所求代数式的值.【详解】因为函数fx的定义域为R，y2fxsinx是偶函数，yfxcosx是奇函数，则2fxsinx2fxsinx，可得fxfxsinx，①fxcosxfxcosx，可得fxfx2cosx，②1联立①②可得fxsinx2cosx，2π1ππ1所以，fxsinx2cosxcosx2sinx，2222222π1212因此，fxfxsinx2cosxcosx2sinx2441221225sinx4sinxcosx4cosxcosx4sinxcosx4sinx.44410/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·广东实验中学期末·填空次压轴π10．函数fxsinxcosxsin2x在区间0,上的值域是．25【答案】1,4【分析】令tsinxcosx，根据同角的三角函数关系式求出关于sin2x的表达式，最后利用二次函2数g(t)tt1的单调性求出函数的值域.π【详解】令tsinxcosx2sin(x)，4ππππ因为x0,，x,，所以t[1,1]，244422fxsinxcosxsin2xsinxcosx(sinxcosx)1tt1，2设g(t)tt1,t[1,1]，211显然一元二次函数g(t)tt1在区间[1,]上单调递增，在区间[,1]上单调递减，2215所以g()max,g(1)min1，245所以函数fxsinxcosxsin2x的值域为[1,].42023-2024高一上·石家庄一中期末·填空压轴11．sin()sin()sin(2)21,若[0,]，则.63321【答案】/1212ππ【分析】令sincost，通过三角函数的性质可得到66ππ262t2sin,2，题意中的等式可转化成t2t220，利用公式法644即可得到答案ππππ【详解】sinsincos，3266ππ2π2πππ2令sincost，平方得sincos2sincost即666666π2sin2sin(2)t1，63πππ5π11π因为α0,2，所以，，64121211/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）11π2ππ321262因为sinsin，123422224ππππ262所以tsincos2sin,2，66644由sin()sin()sin(2)21可整理得t2t220，633219421(221)1(221)解得t，所以t2，222ππππππ即2sin2，所以，．64642122023-2024高一上·南京师范大学附属中学2023-2024高一下期中填空压轴2112．设x，y为实数，已知sinxcosy，cosxsiny，则sinxy的值为.333【答案】521【详解】由sinxcosy，cosxsiny，332224得sinxcosysinxcosy2sinxcosy，92221cosxsinycosxsiny2cosxsiny，922225相加得sinxsinycosxcosy2sinxcosy2cosxsiny，9513即22sinxy，所以sinxy，9182222相减得sinxsinycosxcosy2sinxcosy2cosxsiny222212sinxsiny2sinxcosycosxsiny2sinxsiny2sinxy，3xyxyxyxyxyxy又sinxsinysinsin2sincos，222222xyxyxyxyxyxysinxsinysinsin2cossin，22222222xyxyxyxy所以sinxsiny2sincos2cossinsinxysinxy，22222213所以sinxsinysinxy，181221133所以sinxysinxsinysinxy，解得sinxy.6618512/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）四、给值求值（角）解题策略：1、若题目中出现了角的和差结构比如sin，一般不拆括号，先尝试进行配凑2、对于sinsin这类式子，若和在同一象限，则有2k；343434若和不在同一象限，要再进行讨论，当它们分别在一，二象限时，则有342k，34若是在三，四象限，则有2k，所以不能直接去掉sin，要先看和之3434间的关系再选择适当的等式，这个思想在之后的解三角形中模块也会用到.23sin203sin1023sin30103sin103、对于可以考虑引入特殊角30°，变为，到达统cos10cos10一角度的目的4、若题目中给的角可能在两个象限中，一般需要结合其他条件，确定角最终所在象限1如：已知0a,sincosa2113分析：sincosa12sincosa，则sincosa，而sin0，248故cosa0a,25、统一函数名：sincoscoscoscos，具体是选还是2222要看题目给出的范围6、角的配凑：对于一个题目的条件中出现了多个带括号的角，可以考虑进行换元，优化式子结构13/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）a17、角的拆分：①a2，②()，③a[(a)(a)]221④(a)(a)，⑤a，注意特殊的角也看成已知角，2326a33类型一：整体或换元的思想2023-2024高一上·镇江市期末·单选次压轴π5ππ13．已知cos，0,，则cos的值为（）31326125512A．B．C．D．13121313【答案】Dππ5ππ【分析】判断,，根据同角的三角函数关系求得sin的值，再根据诱导公式，3363即可求得答案.πππ5π【详解】因为0,，故,，2336π5π5212则由cos，可得sin1()，31331313ππππ12故coscossin6233132023-2024高一上·深圳市光明区期末·填空次压轴314．已知sin(30°+a)=，60150，求cos．5343【答案】10的值，将【分析】根据60150，得到30的范围，再求出cos30coscos3030，再用两角差的余弦公式展开，得到答案.【详解】因为60150，所以9030180324因为sin(30°+a)=，所以cos301sin30，55所以coscos303014/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）cos30cos30sin30sin3043315252343.102023-2024高一上·长沙市长郡中学期末·填空次压轴π102π15．若cos，则cos2的值为.6531【答案】52ππ【分析】将cos2化为cosπ2，利用诱导公式以及二倍角余弦公式，即可求得答36案.2πππ【详解】由题意得cos2cosπ2cos236622π10112cos126552023-2024高一上·福州市期末·单选次压轴π316．已知sin，则sin2（）4524777A．B．C．D．25252525【答案】B【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得sin2的值.2π2π37【详解】sin2cos212sin12.245252023-2024高一上·杭州市期末·填空次压轴π3π17．已知sin，0π，则cos2的值为．454172【答案】50【分析】结合角的取值范围，结合同角三角函数基本关系和诱导公式求值.ππ5ππ32ππ【详解】因为0π，又sin，所以π且4444524415/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π4cos.45ππ3424π2424所以2sincos2sin2cos2；44552522525π2π977cos212sin12sin2.44252525πππ24272172所以：cos2cos2cossin2sin.44425225250类型二：拆角与凑角求值问题2022-2023高一上·武汉市5G联合体期末·多选次压轴18．（多选）计算下列各式的值，其结果为2的有（）13A．tan15tan60B．sin10cos10C．1tan181tan27D．4sin18cos36【答案】AC【分析】利用三角恒等变形公式逐一化简计算即可.tan45tan30【详解】对于A：tan15tan60tan4530tan60tan601tan45tan3031332，A正确；31313cos103sin102cos1060对于B：sin10cos10sin10cos10sin10cos104cos704sin204，B错误；2sin10cos10sin20对于C：1tan181tan271tan18tan27tan27tan181tan18271tan27tan18tan27tan1811tan27tan18tan27tan182，C正确；4sin18cos18cos362sin36cos36sin72cos18对于D：4sin18cos361，D错误.cos18cos18cos18cos182024·新高考II卷填空次压轴19．已知为第一象限角，为第三象限角，tantan4，tantan21，则sin().22【答案】316/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan22，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.tantan4tan22【详解】法一：由题意得1tantan121，π3π因为2kπ,2kπ,2mππ,2mπ，k,mZ，22则2m2kππ,2m2kπ2π，k,mZ，又因为tan220，3π则2m2kπ,2m2kπ2π，k,mZ，则sin0，2sin2222则22，联立sincos1，解得sin.cos3法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则cos0,cos0,cos1cos1cos，cos，222sin2cos21tan2sincos1tan则sin()sincoscossincoscos(tantan)444224coscos1tan21tan2(tantan)2(tantan1)242232023-2024高一上·重庆市巴蜀中学期末·单选次压轴ππππ123π20．已知a,，,π，且满足cos3cos，sin，则cos36261353（）56161656A．B．C．D．65656565【答案】Aπ12【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式可得sina，由题意，利用同角三角函数的313π54关系求得cos，cos，再次利用两角和的余弦公式计算即可求解.3135π123112【详解】cos3coscosasina3cos，61322133112π12cosasina，得sina，2213313πππππ2π5,，0,，cos1sin，3632331317/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）3π24sin，,π，cos1sin，525ππππ5412356coscoscoscossinsin.3333135135652023-2024高一上·宁波市镇海中学期末·单选压轴21．已知cos140sin110sin130，求tan（）33A．B．C．3D．333【答案】D【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得cos20cos40cos40，再利cos202cos40用两角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得tan，继而利用三角恒等sin20变换，化简求值，即得答案.【详解】由题意知，cos140sin110sin130即cos40cos20cos40，故cos20cos40cos40，即cos20cossin20sin2cos40cos，故cos20cos2cos40cossin20sin，sincos202cos40cos(3010)2cos(3010)即tancossin20sin2033cos10sin10223sin(1030)3sin203sin20sin20sin202023-2024高一上·安徽合肥市第一中学期末·单选次压轴5222．已知,0,π，且cos,sin.则cos3（）51021722172A．B．C．D．250250【答案】C【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系、正余弦的和角公式计算即可.【详解】18/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）5π0,π,cos0，0,,20,π，52225234∴sin1cos,cos22cos1,sin22sincos，5553πππ又cos20，故2,π,,，5242πππ3π2,,0,π，,,sin0，4242103π272故π,,则cos1sin，210cos3cos2coscos2sinsin2723242.10510522023-2024高一上·深圳实验第三阶段考单选压轴π23．已知函数fx5sinx，若存在,，满足02π，且ff1，则6cos（）233323A．B．-C．D．255525【答案】Dππππππ【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得0,π，求出，的622666余弦，再利用角的变换得解.ππ7π【详解】令fx5sinx0，0x2π，则x或x，666π2π令fx5sinx5，0x2π，则x，63又02π，ff1，π2π2π7ππ1π1所以,，sin,sin，63366565ππππ因为0,π，6226π2626所以cos，cos，6565ππππππcoscoscoscossinsin66666619/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）26261123.5555252023-2024高一上·华南师范大学附属中学期末·填空压轴πAC24．在VABC中，B，且cosAcosC22cosAcosC，则cos．322【答案】2AC【分析】将设为，然后把角A,C都用表示，展开求解.2AC2π【详解】设，则AC2，因为ACπB，23所以A,C.33由已知可得coscos22coscos333322所以2coscos22coscossinsin333232232所以22coscos0，解得cos或cos1（舍）2242023-2024高一上·南京市六校联合体2023-2024高一下学期4月期中单选压轴ππ225．已知0,0，且sin(2)4sin，10tan3(1tan)，则的值为（）2222π5π2ππA．B．C．D．6633【答案】A【分析】将sin(2)4sin转化为sin4sin，然后由两角和与差的正2弦公式展开化简，由10tan3(1tan)，利用二倍角公式化简最后求解即可.22【详解】因为sin(2)4sin，所以sin4sin，所以sincoscossin4sincos4cossin，化简得：5cossin3sincos，5所以tantan，3222sinsincossin22222又由10tan3(1tan)，可得103(1)3()，2222coscoscos22220/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）3所以10sincos3cos，即5sin3cos，所以tan，22553ππ所以tantan，又0,0，所以0π，3322π所以.6五、和差化积与积化和差的应用1、和差化积xyxysinxsiny2sincos22xyxysinxsiny2cossin22xyxycosxcosy2coscos22xyxycosxcosy2sinsin222、积化和差2sincossin()sin()2cossinsin()sin()2coscoscos()cos()2sinsincos()cos()2023·新高考I卷T81126．已知sin,cossin，则cos22（）．367117A．B．C．D．9999【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()，再利用二倍角的余弦公式计算作答.21/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）111【常规法详解】因为sin()sincoscossin，而cossin，因此sincos，3622则sin()sincoscossin，32221所以cos(22)cos2()12sin()12().391【积化和差法简析】由2cossinsin()sin()，31sin281可得132，cos2212sin1sin996232023-2024高一下·湖北五市州期末次压轴127．cos20cos40cos20（）21111A．B．C．D．4422【答案】A【分析】利用两角和与差的余弦公式，正弦的二倍角公式及诱导公式变形可得．1【详解】cos20cos40cos20(cos60cos40)cos20cos5010cos5010cos202(cos50cos10sin50sin10cos50cos10sin50sin10)cos202sin20cos20cos40cos802sin50sin10cos202cos20cos40cos80sin202sin40cos40cos802sin80cos80sin160sin201．2sin204sin204sin204sin2041cos60cos201法二-积化和差：cos20cos40cos20cos202222023-2024高一上·华南师范大学附属中学期末·填空压轴πAC28．在VABC中，B，且cosAcosC22cosAcosC，则cos．322【答案】2ACAC【和差化积与积化和差】和差化积：cosAcosC2coscos，22积化和差2cosAcosCcos(AC)cos(AC)，22/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）ACAC则cosAcosC22cosAcosC2coscos2cos(AC)cos(AC)22π2AC1因为B，所以AC，则cos2cos(AC)3322AC1212令t，则cost2cos2t，即t22t1，解得t2222AC2π【常规法详解】：设，则AC2，因为ACπB，23所以A,C.33由已知可得coscos22coscos333322所以2coscos22coscossinsin333232232所以22coscos0，解得cos或cos1（舍）224六、三角函数对称性与周期性的应用三角函数对称性与周期性的一般用于求零点的和，判断交点个数等2023-2024高一上·石家庄一中期末·填空次压轴x1129．函数fx2cosx（2x4）的所有零点之和为2A．2B．4C．6D．8【答案】Cx1x111【详解】试题分析：函数fx2cosx的零点等价于函数gx和22hx2cosx的图象在区间2,4内的交点的横坐标．由于两函数图象均关于直线x1对称，且函数hx2cosx的周期为2，结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线x1对称，所以两交点横坐标之和为2，故其在三个周期即2,4内的所有零点之和为326，故选C．23/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·长沙市明德中学期末·单选次压轴ππ30．已知函数f(x)Asin(x)（A0，0，）的部分图象如图所示，则22f(1)f(2)f(3)f(2024)等于（）A．2B．0C．22D．22【答案】Bπ【分析】根据图象确定函数的表达式为f(x)2sinx，即可利用对称性求解一个周期内的值，进而4利用周期性求解即可.π【详解】由f(x)Asin(x)A0,0,||的图象可知，A2，T8，22πππ故，又f(0)0且||，则可得出0，故f(x)2sinx.T424又根据函数的对称性可知f(1)f(3)f(5)f(7)2，f(2)f(6)2，f(4)f(8)0，所以f(1)f(2)f(3)f(8)0，24/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）所以f(1)f(2)f(3)f(2024)253[f(1)f(2)f(3)f(8)]02023-2024高一上·天一中学期末·单选次压轴31．若关于x的方程2sinxcosxcos2x1在0,π内有两个不同的解x1，x2，sinx1x2的值为（）12326A．B．C．D．2224【答案】B2【分析】原问题等价于sin2x在0，π内有两个不同的解x1，x2，利用正弦函数的性质423π可求得x1x2，进而可得答案．4π【详解】2sinxcosxcos2xsin2xcos2x2sin2x1在0,π内有两个不同的解x1，x2，4π2等价于sin2x在0,π内有两个不同的解x1，x2，42ππ7πx0,π，则2x,444ππ3π依题意，得2x12x2π，解得x1x2，4443π2所以sinxxsin.12422023-2024高一上·武汉市华中师范大学第一附属中学期末·单选压轴x1232．已知函数fx,x10,10,gxsinπx,x10,10,fx与gx的图象共有n个x212不同的交点x1,y1、x2,y2、L、xn,yn，则y1y2yn1yn（）919A．9B．C．19D．22【答案】D1【分析】分析可知，两个函数的图象都关于点0,对称，确定两个函数图象公共点的个数，结合2对称性可得出y1y2yn1yn的值.xxx2221【详解】对任意的x10,10，fxxxxx，2122121x121所以，fxfxxx1，则函数fx的图象关于点0,对称，2121225/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）11对任意的x10,10，gxgxsinπxsinπx1，221所以，函数gx的图象也关于点0,对称，2不妨设x1x2xn，作出函数fx、gx的图象如下图所示：由图可知，两个函数的图象共有19个公共点，11且点xi,yi与点x19i,y19ii1,2,3,,9关于点0,对称，且y10，22119所以，y1y2y1919.22七、函数性质综合辨析函数性质综合辨析涉及的知识点比较多，难度适中，其中比较常见的考点是1、对称轴（中心）判断；2、某区间上的单调性，零点，对称轴个数，值域等，3、也会涉及到平移和伸缩变换以及由图像得出解析4、由函数性质求参数范围2023-2024高一上·南京市期末·学情多选次压轴33．（多选）古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念.余切函数可以用符号表π示为fxcotx，其中cotxtanx，则下列关于余切函数的说法正确的是（）2A．定义域为x∣xkπ,kZπB．在区间,π上单调递增2C．与正切函数有相同的对称中心26/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）πD．将函数ytanx的图象向右平移个单位可得到函数ycotx的图象2【答案】ACD【分析】根据正切函数的定义域判断A，根据正切函数的单调性及复合函数的单调性判断B，根据正切函数的对称中心判断C，根据图象的平移判断D.πππ【详解】由正切函数的定义域可知xkπ，即xkπ(kZ)，222所以余切函数定义域为x∣xkπ,kZ，故A正确；πππ当x,π时，x0，222ππ因为tx为减函数，ytant,t,0为增函数，22ππ由复合函数单调性知ycotxtanx在区间,π上单调递减，故B错误；22kπ因为ytanx的对称中心为,0kZ，2πkπ1kπ令xkZ，解得x，222nπnπ由kZ，可知xn1kZ，即fxcotx的对称中心为,0nZ，22故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确；πππytanx的图象向右平移个单位可得ytanxtanxcotx，222故D正确.2023-2024高一上·嘉兴市期末·单选次压轴34．已知函数fxsinx(0,0π)的部分图象如图所示，VABC是等腰直角三角形，A,B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且OB3OA，则（）2A．f6B．f1f90227/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）5C．fx在3,5上单调递减D．函数fx的图象关于点,0中心对称2【答案】D【分析】根据C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为1，VABC为等腰直角三角形可以求出AB2，进而求出周期，即求出，将点C代入即可求出，从而确定函数fx解析式，再逐项判断.【详解】由VABC为等腰直角三角形，C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为1，所以AB2．2ππ则函数fx的周期为4，由4，0，可得，2131又OB3OA，所以A,0,B,0，则C,1，222ππ将点C代入fxsinx，得1sin，24πππ则2kπ，kZ．而0π，则，424ππ所以fxsinx,24ππ2则f6sin6，A错误；242ππππ3π3πf1f9sinsin9sinsin2，B错误；242444ππ7π11π若x3,5，则x,，显然函数不是单调的，C错误；24445π5πfsinsinπ0，22245所以函数fx的图象关于点,0中心对称，D正确.22023-2024高一上·湛江市第一中学期末·多选次压轴π35．（多选）已知函数f(x)3sin(x)（0，||）的部分图象如图所示，则下列说法正2确的是（）28/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）πA．函数f(x)的解析式f(x)3sin(2x)311B．直线xπ是函数f(x)图象的一条对称轴123π11πC．f(x)在区间(,)上单调递增2633ππD．不等式f(x)≤的解集为[kπ,kπ]，kZ2412【答案】ABD【分析】由图象结合五点法求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各选项．45ππ2π【详解】对于A，由图知函数f(x)的最小正周期T()π，所以2，3612πππ所以f(x)3sin(2x)，将点(,3)代入，得33sin()，126πππ所以2kπkZ，解得2kπkZ，623πππ又||，所以，所以f(x)3sin(2x)，故A正确；23311π1111π11π对于B，当x时，fπ3sin2π3sin2π3，故B正确；12121231233π11ππ10π对于C，当x(,)时，2x(,4π)，2633π7π3π11π当2x时，fx取得最小值3，所以f(x)在区间(,)上不单调递增，故C错误；32263π37πππ对于D，由f(x)≤，得3sin(2x)，所以2kπ2x2kπ，kZ，2326363ππ解得kπxkπ，kZ，故D正确．41229/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·武汉市5G联合体2022-2023高一上期末·单选次压轴π36．已知函数fxsinx0,0的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）2πA．��的图象关于点,0对称B．fx为奇函数36ππC．��在区间π,上单调递增D．��的图象关于直线x对称26【答案】D【分析】根据函数图象求得,，然后根据三角函数的对称性、单调性、奇偶性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.1πππ【详解】由题可知f0sin，又因0，所以，则fxsin2x，22662π4ππ4ππ3π3fsin1，则2kπ，kZ，所以k1，kZ，33636222ππ2π3π由于T，所以0，所以1，则fxsin2x.2326π2πππ对A：fsinsin1，故A错误；3362ππππ对B：fxsin2xsin2xcos2x为偶函数，故B错误；6662π11ππ5π对C：πx，则2x，函数��不具有单调性，故C错误；2666πππππ对D：当x时，fsin1，则x是函数��的一条对称轴，故D正确.663662023-2024高一上·连云港市期末·单选压轴π37．已知函数fxAsinxBA0,0,的部分图象如图，则函数fx（）230/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）ππA．图象关于直线x对称B．图象关于点,3对称362π5π5ππC．在区间,上单调递减D．在区间,上的值域为1,3361212【答案】Cπ【分析】根据函数fx的图象，求得fx2sin(2x)3，结合三角函数的图象与性质，逐项判6定，即可求解.【详解】由函数fx的图象，可得fx1,fx5，minmax5151可得A2,B3，所以fx2sinx3，221ππ又由f02sin32，可得sin，因为，可得，226πππππ又因为f()2sin()31，即sin()1，66666ππππ因为0，可得，解得2，所以fx2sin(2x)3，6626π2ππ对于A中，由f()2sin()32，不是函数的最值，所以A错误；336ππ1π对于B中，由sin()0，所以点(,3)不是函数fx的对称中心，所以B错误；36262π5ππ7π3π对于C中，由x(,)，可得2x(,)，366627π3π根据正弦函数的性质，可得ysinx在(,)上单调递减，622π5π所以函数fx在区间,上单调递减，所以C正确；365πππ对于D中，由x(,)，可得2x(π,0)，12126ππππ当2x时，即x时，可得fxf()1，62min6631/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π5ππ又由fxf()3，所以函数fx在(,)的值域为[1,3)，所以D错误.1212122023-2024高一上·安徽A10联盟期末·多选压轴7π38．（多选）已知函数f(x)cos(2x)(0π)的图象关于直线x对称，则（）1232πA．f(0)B．函数yf(x)的图象关于点,0对称2319π53C．函数f(x)在区间,π上单调递增D．函数f(x)在区间,上的值域为1,241262【答案】ABD【分析】先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可.7π7π7π【详解】因为f(x)的图象关于直线x对称，所以kπ，即kπ，kZ；1266ππ因为0π，所以，即f(x)cos(2x).66π3f(0)cos，故A正确；622π3π2πf()cos0，所以函数yf(x)的图象关于点,0对称，故B正确；323π19π21π13π令t2x，由x,π可得t,，62412621π13π19π因为2π，所以函数f(x)在区间,π上不是单调函数，故C不正确；12624π5113令t2x，由x,可得t,，所以cost1,，61263623所以f(x)1,，故D正确.22023-2024高一上·天一中学期末·多选次压轴39．（多选）主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的2ππ声波曲线fx2sinx，且经过点1,2，则下列说法正确的是（）3232/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）1A．函数fx是奇函数4B．函数fx在区间1,2上单调递减*C．nN，使得f1f2f3fn2D．xR，存在常数m使得fx1fx2fx3m【答案】ABD【分析】由��经过1,2可求出fx的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求fx1fx2fx3的值可判断D，利用fx1fx2fx30，分*n3k、n3k1、n3k2，kN三种情况求f1f2f3fn的化简式可判断C．2ππ【详解】因为fx2sinx经过1,2，322π2πππ所以sin1，即2kπ，kZ，解得2kπ，kZ，3326ππ2ππ又，所以，则fx2sinx，263612π1π2π对于A，fx2sinx2sinx，4346312π2π�∈�时，令gxfx2sinx，可得gx2sinxgx，4331故gxfx为奇函数，所以A正确；42πππ7π对于B，x1,2时，x,，3626π7π对于ysinx在x,上单调递减，可得fx在x1,2上单调递减，26所以B正确；2ππ2π7π2ππ对于D，fx1fx2fx32sinx2sinx2sinx2π3236362π2ππ2ππ2cosx2sinx2sinx336362π2ππ2ππ2ππ2ππ2cosx2sinxcoscosxsin2sinxcoscosxsin3363636362π2π2cosx2cosx0，3333/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）所以fx1fx2fx3恒为0，即存在常数m=0，所以D正确；*对于C，当n3k，kN时，f1f2f3fn0，2ππ*f1f2f3fn2sinn2，当n3k1，kN时，36*当n3k2，kN时，f1f2f3fn2π5π2ππfn1fn2sinn2sinn36362π5π2π5π2ππ2ππ2π2sinncoscosnsin2sinncoscosnsin2cosn2，所以C错363636363误．2023-2024高一上·广州市九区联考期末·多选次压轴40．（多选）已知函数f(x)tanx，下列命题正确的是（）1sinxcosx1A．若f(x)，则25cosxsinx33ππB．不等式f(x)的解集是,3322ππC．函数yf(x)4f(x)，x,的最小值为544π1ππ25D．若fx，且0x，则sinx32265【答案】ACD【分析】利用弦化切可判断A；根据正切函数的图象与性质可判断B；利用换元法转化为二次函数π1ππππ的最小值问题可判断C；根据fx和0x得到0x和cosx，再利用诱导公322333式可判断D.111sinxcosxtanx121【详解】对于A，tanx，，故A正确；25cosxsinx5tanx13523ππ对于B，tanx的解集为kπ,kπ，故B错误；332ππ对于C，当x,时，令ttanx，t1,1，4434/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）22yt4tt24，当t1时，ymin5，故C正确；ππππ对于D，若0x，则x，2633π1ππfx0，0x，3233ππ12π2πfxtanx，且sinxcosx1，33233π25解得cosx，35ππππ25sinxsinxcosx.623352023-2024高一上·湖北名校联考联合体期末·多选压轴π41．（多选）已知函数fxAcos1xA0,10,π2π,gxAsin2x20，6且函数fx的图像如图所示，则（）5πA．A2,11,3B．若21，则fxgx0πkπC．已知22，若gxa为偶函数，则akZ621117D．若gx在0,π上有两个零点，则2的取值范围为,66【答案】ACD【分析】由图象求出fx的解析式可判断A；若12，可得gxfx可判断B；由gxa为πππππ偶函数可得2akπkZ，求出a可判断C；令t2x，即ysint在,2π上有6266635/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π两个零点，可得2π2π3π，解不等式可判断D.64πTπ【详解】由题意得，πT2π11，又由fA，3323ππ可得2kπ2kπkZ，又π2π，335π5π所以,f01Acos1A2，故选项A正确；33π5π3π5π若12，则gx2sinx2sinx2cosxfx，6323故选项B错误；ππ若22,gx2sin2x,gxa2sin2x2a为偶函数，66πππkπ则2akπkZ，即akZ，故选项C正确；6262πππ令t2x，则t,2π，666ππ即ysint在,2π上有两个零点，66π11172π2π3π，解得：2,，故选项D正确.6662023-2024高一上·重庆南开中学校期末·多选压轴42．（多选）已知函数fx2sinx(0,0π)的部分图像如下，则下列说法正确的是（）2πA．的值为37ππB．fx在,单调递增181836/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）10π2πC．f10ff934πD．若方程faxfx(a0，且a1)在0,内至少有3个不同的根，则实数a的取值范95围是,2【答案】ABD【分析】先根据图像求出函数解析式，然后逐一判断3【详解】由图象得f03，即2sin3，得sin，由图可知函数是单调递减的，2π2π所以π，所以，故A对；232π2πTT10T10π2π3设周期为T，则T，所以T，得T2π，6269332πfx2sin3x37ππ2πππx,，则3x,，18183222π7ππππ令t3x在x,上单调递增，ysint在t,上单调递增，31818227ππ所以fx在,单调递增，故B对；181810π2π28π31π10πf0，f3，因为10,，所以f100f，93999故C错；4π由图象可得：当x时，faxfx(a0且a1)，94π2π2π4π2π4π2π即2sin3a2sin3x，得3a2kπ3，93393935得a，此时有2个不同的交点即是临界点，24π5方程faxfx(a0，且a1)在0,内至少有3个不同的根，则实数a的取值范围是,，92故D对37/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·盐城市第一中学期末·多选次压轴π43．（多选）已知函数fx2sin2x0π的图象关于点,0成中心对称，则（）3π7πA．fx在区间,上单调递减612πB．函数fx在区间0,上的最大值为367πC．直线x是函数yfx图象的一条对称轴12πD．若��+�=0在0,上有两个不相等的实根，则m的取值范围是2,32【答案】ACDπ【分析】根据对称可得=，即可根据三角函数的性质逐一求解.3【详解】由于fx2sin2x0π的图象关于点,0成中心对称，3π2π2πππ所以f2sin0,故kπ,kZ，由于0π，所以=，fx2sin2x，33333π7ππ2π3ππ3ππ7π对于A，当x,，则2x,,，故fx在区间,上单调递减，A正61233222612确，πππ2ππππ对于B，x0,，则2x,，故当2x时，即x=时，fx取最大值2，B错63333212误，7π7ππ3π对于C，f2sin2=2sin=2，故C正确，121232πππ4ππ对于D，x0,，2x33,3，要使��+�=0在0,上有两个不相等的实根，则2238/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）mππ=sin2x在0,上有两个不相等的实根，2323m因此-1，解得m2,3，故D正确222023-2024高一上·广州市广雅中学期末·多选次压轴44．（多选）函数f(x)2sin(2x)(0)，则下列说法不正确的是（）A．若f(x)的最小正周期为π，则215πB．当,时，f(x)的一个对称中心为,021212ππ5C．当时，若对任意的x有f(x)f成立，则的最小值为1236ππππD．当0,N时，f(x)在5,5单调且在3,3不单调，则1．【答案】ABC2ππ【分析】对于A，由Tπ即可判断；对于B，直接由代入检验法即可判断；对于C，当212时，由题意2k,kZ，结合0即可判断；对于D，由正弦函数、复合函数单调性31222ππ52可得，由此即可判断.2ππ322π【详解】对于A，若Tπ，解得1，故A错误，符合题意；2155对于B，当,时，fx2sinx，f2sin20，故B错误，符21212121212合题意；ππ对于C，当时，fx2sin2x，若对任意的x有f(x)f成立，1212325则f2sin2，即2k,kZ，解得3k,kZ，3312312285因为0，所以当k0时，min，故C错误，符合题意；8ππ对于D，显然0，否则fx0在,不单调，所以0,N时，55ππ2π2πππ函数fx2sin2x，x,时，t2x5,5，x,时，55332π2πππt2x,，而ysint关于t在,上单调递增，332239/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2ππππππ5235若f(x)在,单调且在,不单调，由复合函数单调性可知，解得，55332ππ4432结合N可知1，故D正确，不符合题意.2023-2024高一上·衡水中学期末·多选压轴45．（多选）已知函数fx12cosxcosx2是偶函数，其中0,π，则下列关于函数gxcos2x的正确描述是（）ππ1A．gx在区间,上的最小值为1232πB．gx的图象可由函数fx的图象向左平移个单位长度得到4πC．点,0是gx的图象的一个对称中心；4πD．0,是gx的一个单调递增区间.2【答案】AB【分析】根据fx为偶函数，求得的值，由此求得gx的解析式，根据三角函数最值、图像变换、对称中心、单调区间的知识，判断四个选项的正确性.【详解】由fxfx得2cosxcosx22cosxcosx2，所以cosx2cosx2恒成立，得x2是曲线ycosx的对称轴，所以2kπkZ，π由0,π得，2πgxcos2xsin2x，2πππ2π对于A：Qx,,2x,，12363ππ1gx在区间,上的最小值为，故A正确；12322对于B：fx12cosxcosx12cosxcos2x，π函数fx的图象向左平移个单位长度，440/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）得到ycos2xsin2xg(x)，故B正确；4对于C：x,g()sin1，442π所以点,0不是gx的图象的一个对称中心，故C错误；4对于D：x,g()sin1，442π所以0,不是gx的一个单调递增区间，故D错误22023-2024高一上·常州市期末·多选压轴46．（多选）已知函数f(x)cos(x)1（其中,均为常数，且0,π）恰能满足下列4个条件中的3个：3①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)的图象经过点0,；25ππ③函数f(x)的图象关于点,1对称；④函数f(x)的图象关于直线x对称．126则这3个条件的序号可以是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】ABπ5πππ【分析】根据①②③④分别得到2，，k1π，k1Z，k2π，k2Z，312265ππ1k对选项AB验证正确，根据C得到π，不成立，根据D得到77k2ππ2k3π，12642不成立，得到答案.2π【详解】若①正确，则π，解得2；31π若②正确，则f(0)cos1，cos，π，故；2235ππ若③正确，则k1π，k1Z；122π若④正确，则k2π，k2Z；6π5πππ对选项A：2，取，，满足条件，此时④不满足，正确；363241/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）πππ对选项B：2，取，0，满足条件，此时③不满足，正确；3335ππ7π1k1k2对选项C：Tπ，kN，k，不成立，错误；12612424235ππ7ππ121对选项D：相减得到k3π，k3Z，则k3，k3Z，12612272ππ12121此时k3k3πk2π，667272π整理的77k22k3ππ，k2,k3Z，而，故不成立，错误32023-2024高一上·石家庄二中期末·多选压轴2π47．（多选）已知函数f(x)sin(x)(0,0π)将yf(x)的图象上所有点向右平移个31单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数yg(x)的图象．若g(x)为2π偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（）2πA．yf(x)的图象关于,0对称125πB．f(x)在0,上单调递减121πkππkπC．g(x)的解集为,,kZ26232x5πD．方程f(x)g在0,上有且只有两个相异实根24【答案】AC【分析】根据三角函数的图象变换及三角函数的性质，求出函数f(x),gx的解析式，再利用三角函数的性质即可求解.2π【详解】将函数f(x)sin(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，可得32π1ysinx，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得322πg(x)sin2x，3π因为g(x)的最小正周期为，242/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2ππ4π所以，解得2，即g(x)sin4x，223因为g(x)为偶函数，4ππ11π所以kπ,kZ，解得kπ,kZ，326又因为0π，5π当k1时，可得，65π所以f(x)sin(2x)，64π5ππg(x)sin4xsin4xcos4x.362πππ5ππ对于A，当x时，f()sin(2)sinπ0，所以yf(x)的图象关于,0对称，故121212612A正确；5π5π5π5π5π对于B，因为0x，所以2x，所以f(x)在0,上先单调递减后单调递增，故1266312B错误；112π4ππkππkπ对于C，由g(x)，得cos4x，即2kπ4x2kπ,kZ，解得x,kZ，223362321πkππkπ所以g(x)的解集为,,kZ，故C正确；26232x5π对于D，由f(x)g，得sin(2x)cos2x，即265π31sin2xcos2xsin2xcos2xcos2x0，62233ππ所以cos2xsin2x3sin2x0,即sin2x0,2233πkππ所以2xkπ,kZ，解得x+,kZ，3265π又因为x0,，4π2π7π所以x,,，636x5π所以方程f(x)g在0,上有3个相异实根，故D错误.2443/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）八、由函数的性质求参数的值或范围利用三角函数的性质求参数的值或范围，通常涉及三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、有界性等。例如，通过三角函数的周期性，可以确定参数使函数具有特定周期的取值；利用奇偶性，可以判断参数使函数为奇函数或偶函数的条件；根据单调性，能确定参数使函数在特定区间内单调增减的范围；而有界性则可用于限制参数的取值范围，确保函数值不超过某个界限。综合这些性质，可精确求解或估算参数的值或范围。2023年新课标全国Ⅱ卷真题填空压轴1π48．已知函数fxsinx，如图A，B是直线y与曲线yfx的两个交点，若AB，26则fπ．3【答案】211π12π【分析】设Ax1,,Bx2,，依题可得，x2x1，结合sinx的解可得，x2x1，2262322从而得到的值，再根据fπ0以及f00，即可得f(x)sin4xπ，进而求得fπ．3311ππ【详解】设Ax1,,Bx2,，由AB可得x2x1，22661π5π由sinx可知，x2kπ或x2kπ，kZ，由图可知，2665π2π2πx2x1π，即x2x1，4．663328π8π8因为fπsin0，所以kπ，即πkπ，kZ．333382所以f(x)sin4xπkπsin4xπkπ，3344/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）22所以fxsin4xπ或fxsin4xπ，33223又因为f00，所以f(x)sin4xπ，fπsin4ππ．3322023-2024高一上·惠州市第一中学12月阶段考·填空次压轴49．函数fxcossinx1在区间0,a上有两个零点，则实数a的取值范围为．【答案】π,2π【分析】利用三角函数的零点个数，转化为方程的根的个数，求解参数范围.【详解】由fxcossinx1在0,a上有两个零点，则cossinx1在0,a上有两个实数根,所以sinx2kπ,kZ,又因为sinx1,1，所以sinx0在0,a上有两个不同的实数根,则aπ,2π.2023-2024高一上·山东省淄博市期末·单选压轴1a3a150．已知sin=,cos=,若为第二象限角，则下列结论正确的是（）1a1a1A．a,1B．a1911C．a1或aD．a99【答案】D【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解.221a3a1221a3a11【详解】由sin=,cos=,可得sincos=1a1或a，1a1a1a1a91a3a1由于为第二象限角，所以sin=0,cos=0，1a1a1a故当a1时，sin=0,不符合要求，1a1则a符合要求92023-2024高一上·深圳外国语学校期末·单选次压轴351．已知函数fxcossinx，fx在π,π内解的个数为（）245/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】依题意，得sinx或，再结合图象进行判断.663【详解】解：依题意，得cossinx，2因为x,，所以sinx1,1，得sinx或，66因为x,，结合图象：有四个不同的交点.2023-2024高一上·深圳实验第三阶段考·单选次压轴π2π52．记函数fxsinx0的最小正周期为T.若Tπ，且yfx的图象关于点433ππ,0中心对称，则f（）225A．1B．C．1D．32【答案】C【分析】根据周期公式求出23，再由对称性确定的值，即可得到函数解析式，最后代入计算可得.π2π【详解】因为fxsinx0的最小正周期为T满足Tπ，432π2ππ所以3，解得23，03π又yfx的图象关于点,0中心对称，23π3ππ3ππ所以fsin0，所以kπ,kZ2242446/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）12解得k,kZ，635当k4时，25ππ5ππ所以fxsinx，则fsin1.2422242023-2024高一上·福建师范大学附属中学期末·填空压轴ππ53．已知函数fxsin2x3cos2x的图像关于,0中心对称，且fx在区间0,64上单调递减，则的值可以是.（写出一个符合题意的的值即可）π【答案】（答案不唯一）3ππ【分析】利用辅助角公式可得fx2sin2x，结合图像关于,0中心对称且在区间66π0,上单调递减，从而可求解.4ππππ【详解】由题意得fx2sin2x，则f2sin20，36632π2π即nπ，nZ，解得nπ，nZ，33ππ3ππ7π又因为2kπ2x2kπ，即kπxkπ，kZ，232122122πkπ0122π2π��单调递减，所以，kZ，解得2kπφ2kπ，kZ，7πkππ631224π所以当n1，k0时，得时满足题意（本题答案不唯一，只需所取同时满足3π2π2π2kπφ2kπkZ和nπnZ即可）.6332023-2024高一上·衡水市衡水中学期末·单选压轴254．若关于x的方程(sinx＋cosx)＋cos2xm在区间0,上有两个不同的实数根x1，x2，且x－x，则实数m的取值范围是（）124A．[0，2)B．[0，2]47/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）C．[1，2＋1]D．[1，2＋1)【答案】Bm1【分析】首先化简方程为sin2x，通过换元设t2x，若满足条件，利用图象分析4242m12可知，求得实数m的取值范围.222m1【详解】关于x的方程(sinx＋cosx)2＋cos2x＝m可化为sin2x＋cos2x＝m－1，即sin2x＝．42m1易知sin2x＝在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥．424m19令2x＋＝t，即sint＝在区间,上有两个不同的实数根t1，t2．42449作出y＝sintt的图象，如图所示，44由|x1－x2|≥得|t1－t2|≥，422m12所以，222故0≤m≤2.2023-2024高一上·深圳市龙岗区期末·填空压轴π255．对任意xR，恒有f1xfx1fx1，对任意0,,fsincos，现已知函2数yfx的图像与ykx有4个不同的公共点，则正实数k的值为.【答案】8215π22【分析】由0,,fsincos，得fx1x0x1，由已知条件可得函数fx的图2像的对称性和周期性，可作出函数fx的图像，由题意ykxk0的图像函数yfx在3,5上的图像相切，联立方程组利用判别式求解.π22【详解】0,，sin0,1，fsincos1sin，22令xsin，则有fx1x0x1，48/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）任意xR，恒有f1xfx1fx1，则函数fx的图像关于x1对称，函数fx是以2为周期的周期函数，在同一直角坐标系下作出函数yfx与ykxk0的图像，如图所示，函数yfx的图像与ykx有4个不同的公共点，由图像可知，ykxk0的图像函数yfx在3,5上的图像相切，22Δk8600y1x42由，消去y得xk8x150，则k8，解得k8215.ykx352故答案为：82152023-2024高一上·福州第一中学第二学段考·填空压轴56．若存在实数a及正整数n，使得fxcos2xasinx在区间0,nπ内恰有2024个零点，（1）当a0时，n；（2）a0时，所有满足条件的正整数n的值共有个．【答案】10124【分析】（1）fxcos2x，数形结合得到不等式，求出n的取值范围，结合n为正整数，所以n1012；221a（2）三角恒等变换，结合换元法得到2tat10，而a80,t1t2,t1t2，分三种22情况，数形结合得到这样的正整数n有4个.【详解】（1）当a0时，fxcos2x，当x0,nπ时，2x0,2nπ，11要想fx在x0,nπ上恰有2024个零点，则2024ππ2nπ2024ππ，2211解得1012n1012，44因为n为正整数，所以n1012；2（2）由题意知，fxcos2xasinx2sinxasinx12令fx0,tsinx，此时2tat10，21a而a80,t1t2,t1t2，22则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，①当t21时，0t11，其中t21无解，49/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）对于0t11，fx在0,π,0,2π内都有2个零点，0,3π,0,4π内都有4个零点，则n2023或n2024；1②当t21时，t1,fx在0,π有2个零点，在0,2π内有3个零点，2202411在0,3π内有5个零点，在0,4π内有6个零点，则需要674个周期，322故n674211349；1③当1t20时，因为t1t2，所以t10，2故当t1时，有2a10，解得a1，aa11因为0a1，t1t2，所以t1t20,01,1，2222又t10，故0t11，则fx在0,2π内有4个零点，在0,4π内有8个零点，故n1012；综上所述，这样的正整数n有4个，分别为n2023，2024，1349或1012.故答案为：1012；4九、三角函数中的比大小在三角函数中比较大小，通常涉及对正弦、余弦、正切等函数值在不同角度或区间上的比较。这需要根据三角函数的性质，如单调性、周期性、奇偶性等来进行。例如，在第一象限内，随着角度的增加，正弦值逐渐增大而余弦值逐渐减小。同时，正切值随角度增加而迅速增大。比较时，可以先确定角度所在象限，再结合函数性质判断其大小关系。2023-2024高一上·佛山市第一中学高一上学期第二次段考（12月）单选压轴57．设asin(cos1),bcos(cos1),ccos1,dcos(sin1),则下列不等式正确的是A．bcdaB．bdcaC．acdbD．adcb【答案】B【详解】∵0cos1sin11，2∴coscos1cossin1cos1，即bdc．又cos1，250/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）∴sin(cos1)cos1，即ca．综上可得bdca．选B．2023-2024高一上·深圳市南山区期末·单选压轴cos158．已知asin1cos1,blogcos1sin1,c2，则（）A．cabB．abcC．cbaD．acb【答案】Aπ【分析】通过放缩，再利用平方关系及辅助角公式得到1a2，利用函数ytanx在区间0,上2单调递增，得出0cos1sin11，再利用对数函数的单调性可得到b1，利用函数ycosx在区间0,π上单调递减及指数函数的单调性可得到c2，进而得出结果.π【详解】因为0<sin11,0cos11，所以asin1cos1sin21cos211，且a2sin12，4故1a2，sin1πππ又tan1，01，而函数ytanx在区间0,上单调递增，cos1422π所以tan1tan1，得到0cos1sin11，所以blogcos1sin1logcos1cos114ππ又01π，函数ycosx在区间0,π上单调递减，所以cos1cos，33πcos故cos13，所以cabc2222023-2024高一上·镇江市期末·多选压轴59．（多选）下列不等关系成立的是（）A．tan1sin1cos1B．sin2cos2tan2C．tan3sin3cos3D．tan4cos4sin4【答案】ABD【分析】结合弧度制，判断各选项中各角的范围，结合正余弦函数以及正切函数的单调性，结合特殊角的函数值，比较大小，即可得答案.πππππ【详解】对于A，1，故tan1tan1,sin1sincoscos1，42444故tan1sin1cos1，A正确；51/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π2π2π12π对于B，2，则os,3tantan2，23323则sin2cos2tan2，B正确；5π5π35π3对于C，3π，故sin30,1cos3cos,tan3tan，66263故sin3tan3cos3，C错误；5π4π5π25π2对于D，4，则tan40,cos4cos,sin4sin，434242故tan4cos4sin4，D正确2023-2024高一上·张家界市期末·单选压轴221tan403060．若acos50cos128cos40cos38，bsin56cos56，c，221tan403012dcos802cos501，则a，b，c，d的大小关系为（）2A．abdcB．badcC．dabcD．cadb【答案】A【分析】利用三角恒等变换可将式子化简为acos78,bcos79,ccos81,dcos80，再由余弦函数单调性即可比较得出大小.【详解】易知acos50cos128cos40cos38sin40sin38cos40cos38cos4038cos78；2bsin56cos56sin45sin56cos45cos562cos4556cos101cos792sin4030122cos24030cos4030sin403022ccos4030sin4030cos81；222sin4030cos4030sin403012cos40301211dcos802cos501cos80cos100cos80cos80cos80；222由余弦函数ycosx在0,π上单调递减，且78798081,所以可得cos78cos79cos80cos81，即abdc.52/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·扬州市期末·单选压轴π2x1t61．若,0,且满足sincossincos2coscos，设ttantan，fx，2xt则下列判断正确的是（）A．fsinfsinB．fcosfcosC．fsinfcosD．fcosfsin【答案】Csinsinππ【分析】通过条件得到2，通过假设找到矛盾，从而得到，进而coscos22确定函数fx的单调性，通过单调性比较大小即可．sinsin【详解】因为sincossincos2coscos，两边同时除以coscos得2，coscosπ因为,0,，2ππππ若，则0，sinsincos，2222sinsinsinsinsinsin则1，同理1，则2与2矛盾，coscoscoscoscoscosπ所以，2πππ则0，sinsincos，222sinsin则1，同理1，coscossinsin所以ttantan1，coscos2xx1t1x又fxt,t1，xttx1x因为函数y,t1单调递减，yt,t1单调递增，t2xx1t1x所以fxt,t1单调递减，xtt对于AB：由于sin与sin，cos与cos大小关系不确定，故AB错误；对于CD：由于sincos，sincos，所以fsinfcos，fcosfsin，故C正确，D错误．53/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）十、求“ω”的范围在这类问题中，我认为最好的处理方法就是换元，通过换元将对图象的影响转化为w对ysint的某个动区间的影响，这样做的好处就是图象定下来了，是我们最熟悉的正弦函数，处理起来更加直观.下面我们来看一些例子.1、基础型：f(x)sinx在0,m上满足某性质，可以换元简化题目令tx，则t,m，接下来把题目简化为ysint在,m上满足该性质即可.2、f(x)sinx在n,m上满足某性质角度一已知单调性求的取值范围.第一步：根据题意可知区间[�,�]的长度不大于该函数最小正周期的一半，1��即�−�≤�=，求得0<�≤.2��−���第二步：以单调递增为例，利用��+�,��+�⊆[−+2��,+2��]，解得�的范围；22第三步：结合第一步求出的�的范围对�进行赋值，从而求出�（不含参数）的取值范围.例1.已知0，函数f(x)sin(x)在(,)上单调递减，求w的取值范围.42分析：（1）最大的增，减区间占半周期可求的范围；（2）(,)是最大减区间的子区间.2解析：x(,)tx(,)，由于w0，故欲使得f(x)在区间242443(,)递减，只需使得ysint在(,)递减，(,)(,)224424422即可解得.角度二已知单调区间求的取值范围.2结合条件弄清周期T与所给区间的关系，从而建立不等关系54/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）πππ7π例2．已知函数f(x)sinx(0)，若fx为偶函数，fx在区间,内单调，63312则的最大值为.【答案】4ππ【分析】根据fx为偶函数，可得直线x为函数fx图像的一条对称轴，进而可得13k，33π7πT7πππ根据fx在区间,内单调，可得，进而可求解.31221234ππππ【详解】由于函数fx为偶函数，则满足fxfx，故直线x为函数fx图3333πππT7πππππ像的一条对称轴，所以kπ，kZ，则13k，kZ，又，即，362212344ππ7π解得04，又13k，当=4时，f(x)sin4x在,单调递增，满足要求，所以63124，故的最大值为4.max角度三已知最值求的取值范围.结合三角函数的对称轴与周期，列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．例3．已知函数fxAsinxA0,0，若至少存在两个不相等的实数x1,x2,2，使得fx1fx22A，则实数的取值范围是．9513【答案】,,424【分析】当2T时，易知必满足题意；当2T时，根据x,2可得x,2，由最大值点的个数可构造不等式组，结合0确定具体范围．【详解】至少存在两个不相等的实数x1,x2,2，使得fx1fx22A，4当2T，即4时，必存在两个不相等的实数x1,x2,2满足题意；当2T，即04时，x,2，12k2k22kZ，kZ；252k5k249513当k0时，解集为，不合题意；令k1，则；令k2，则4；42455/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）9513综上所述：实数的取值范围为,,.4249513故答案为：,,.424用三角函数的对称轴与周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．ππ例4．已知函数fxsinx，（0）在区间,π上恰好有两条对称轴，则的取值范围33是（）131972513171923A．,,B．,,.66266666192525291972529C．,,D．,,66666266【答案】A16kππ16kπ【分析】求出函数的对称轴方程为x，kZ，原题等价于π有2个整数k636符合，解不等式216k6即得解.π【详解】因为fxsinx(0)，3ππ16kπ令x+=kπ+，kZ，则x，kZ，326πππ16kπ函数fxsinx在区间,π上有且仅有2条对称轴，即π有2个整数k符3336ππTπ3合，又在区间,π上恰好有两条对称轴，π,,3322π16kπ116k由π，得1216k6，363616021611319若k1,2，则，∴；1626163661612162725若k2,3，则，∴.163616426角度五已知零点个数求的取值范围.用三角函数的零点与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．211例5．已知f(x)=sinxsinx，其中0，若函数f(x)在区间(,2)内没有零点，则的222取值范围是1515115A．(0,]B．(0,]C．(0,][,1]D．(0,][,]8888848【答案】D56/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）111122π【详解】f(x)cosxsinxsin(x)，T2π,01,222224ππk4当x(,2)时，x(,2),故kZ，4442ππk1π41k5151解得kkZ，01，k=0时,解得，当k=-1时解得0.4284883例6．已知函数fxcosx（0，π0）的图象与y轴的交点为0,，且在区2ππ间,上有且仅有一个零点，则的取值范围是.33【答案】1,23π【分析】根据f0结合π0求得，然后求出fx在坐标原点两侧最接近0的两26个零点，根据题意列不等式求解即可.33ππ【详解】由题意知f0，则cos.因为π0，所以，所以fxcosx.2266πππππ2π令x，得x，令x，得x，623623π2π所以fx在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为和，33ππ2ππ由题意且，解得12，即的取值范围是1,2.3333角度六已知值域求的取值范围.用三角函数的值域与图像的关系，找到边界点，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的取值范围．ππ例7．若函数fx2sinx,>0，x0,的值域为3,2，则的取值范围是（）325510A．,4B．,36355510C．,D．,6333【答案】Dπππππππππ【分析】利用x0,可得x,，再由三角函数图像性质可得π，233232233解不等式即可求得的取值范围.πππππ【详解】根据题意可知若x0,，则可得x,；2332357/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π显然当x0时，可得2sinx3，3ππππ由fx的值域为3,2，利用三角函数图像性质可得π，2233510510解得，即的取值范围是,.3333类型一：由对称轴，零点，最值点个数求“ω”的范围2023-2024高一上·珠海市第一中·阶段测试填空次压轴ππ62．已知函数y2sinx0在0,上恰有两个零点，则的取值范围．432133【答案】,44πππππ【分析】由0x,0得到x，由零点个数得到不等式，求出答案.34434π【详解】0x,0，3π∴0x，3ππππx，4434π∵函数在0,上恰有两个零点，3ππ2133∴2π3π，解得，,.34442023-2024高一上·深圳市深圳实验学校光明部期末·单选压轴π3π63．已知函数fxsinxsinx0在0,上有且仅有4个零点，则实数的取322值范围是（）261414A．6,B．,6C．(5,6]D．,5333【答案】Aπ3【分析】利用三角恒等变换整理得fx3sinx，由题意分析可得方程6258/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π1πsinx在0,上有且仅有4个不同的零点，结合正弦函数的性质分析求解.622π3133【详解】因为fxsinxsinxsinxcosxsinx32222333π3sinxcosx3sinx，22262π1令fx0，整理得sinx，62π1π由题意可知：方程sinx在0,上有且仅有4个不同的根，622πππππ因为x0,，则x,，2662617πππ25π26可得，解得6，6266326所以实数的取值范围是6,.32023-2024高一上·安徽省合肥市第一中学期末·多选压轴π64．（多选）设函数fxsinx(0)，已知fx在0,2π有且仅有5个零点，下列四个4选项中正确的是（）A．fx在0,2π取最大值时，对应的x有且仅有3个B．fx在0,2π取最小值时，对应的x有且仅有2个πC．fx在0,单调递增121923D．的取值范围是,88【答案】ACDππππ【详解】对于函数fxsinx，则x0,2π，有x,2π，4444πππ令tx，条件转化为ysint在区间,2π上有5个零点，444π1923结合正弦函数的图像可知，5π2π6π，解得,，488fx在0,2π取最大值时，对应的x有且仅有3个；59/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）fx在0,2π取最小值时，对应的x有2个或者3个，故选项A、D正确，B错误；πππππππ43π47π对于C：x0,，则x，而[,)，12441241249696π所以f(x)在0,单调递增，故C正确122023-2024高一上·山西省运城市期末·多选压轴π65．（多选）已知函数f(x)2cos(x)(0)，且函数f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，则3下列结论正确的是（）2531A．的取值范围是[,)1212B．函数f(x)的图象在(0,2π)上最多4有条对称轴C．函数f(x)的图象在(0,2π)上有2个最大值点2πD．函数f(x)在(0,)上单调递减7【答案】ACπ【分析】由题意将x看成整体角z，作出函数y2cosz的图象，根据z的范围和题设要求，确32ππ2ππ定的范围得A项；结合图象和求得的的范围可判断B,C两项；由x(0,)求得z，7373利用范围确定区间右端点范围，结合余弦函数图象判断即得.ππππππ【详解】不妨设zx，当x[0,2π]时，x2π，即z[,2π]，作出函数333333ππy2cosz在[,2π]上的图象如图.339ππ11π2531对于A项，由题意知：2π，解得：，故A正确；2321212πππ对于B项，因当x(0,2π)时，x2π，333π11π由图知，当5π2π时，函数f(x)的图象在(0,2π)上可以有5条对称轴，故B项错误；3260/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）对于C项，由上分析即函数图象观察，不难得到，函数f(x)的图象在(0,2π)上有且仅有2个最大值点，故C项正确；2πππ2ππ253113π2ππ15π对于D项，当x(0,)时，x，因，则有，733731212147314ππ15π取zx，而函数y2cosz在区间(,)上先减后增，故D项错误.33142023-2024高一上·湘豫名校联考期末·单选压轴66．已知函数fx5cosx（0）的图象在区间,上恰有一个最高点和一个最低464点，则实数的取值范围为（）21921129A．1,B．,C．,5D．,522252【答案】Dπππππ【分析】利用整体法，得到tx,，再列出不等式组，分类讨论即可.46444πππππππ【详解】因为x,，所以tx,，6446444则ht5cost，则由题意得ππ2πkππkπ64则有，其中kZ，kππππkπ449216k6k解得22，其中kZ，4k14k52133k1时，22，无解；319219k0时，22，解得,5；15239k1时，22，无解；59921显然当k1，且kZ，此时6k6k在正区间内，而4k14k5在负区间内，22两者无交集；921当k1，且kZ，此时6k6k在负区间内，而4k14k5在正区间内，两者2261/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）无交集；9综上,522023-2024高一上·湖州市期末·填空压轴3πππ2π67．已知fxsinx，其中0,，且ff，若函数fx在区间,上有42623且只有三个零点，则的范围为．11π【答案】5π32π3π【分析】首先由条件确定函数的一条对称轴，并求，并根据x,，求x的取值范围，344并结合三角函数的图象和性质，即可求解.2π8πππ【详解】因为函数的周期为33，再由ff可知，624ππ函数fx的一条对称轴是62π，233πππ所以kπ，kZ，得kπ，kZ，4324ππ又0,，所以，243π2π3π3π3π所以fxsinx，当x,，x,，443444442π由函数fx在区间,上有且只有三个零点，33π11π所以3π4π，解得：5π.4432023-2024高一上·广东实验中学期末·单选压轴π68．将函数fxsinx的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的31π3π(0)倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，若函数gx在,上没有零点，则的22取值范围是（）2822828A．,B．0,,C．0,U,1D．0,13993939【答案】B62/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得gx，结合正弦函数的图象先判断01，根据正弦型图象的零点，列出不等式组，解出的范围即可.ππ【详解】将函数fxsinx的图象先向右平移个单位长度，可得ysinx，331π再把所得函数图象的横坐标变为原来的(0)倍，纵坐标不变，可得g(x)sinx的图象，32ππ3π因为0，周期T，函数gx在,上没有零点，223ππTπ则，所以01，222π3πππ3ππ因为x，所以x，222323ππkππ3π2322k8又gx在,上没有零点，所以,kZ，解得2k，223ππkπ+π339232842228又因为01，k0,，k1,，所以0或39399392023-2024高一上·深圳实验学校第三阶段考·填空压轴π69．已知函数fxsinx（其中0,）.T为fx的最小正周期，且满足211fTfT.若函数fx在区间0,π上恰有一个最大值一个最小值，的取值范围32是.1117【答案】,.665ππ【分析】根据题意可得xT为fx的一条对称轴，即可求得，再以x为整体分析可12333π5得πππ，计算可得.2322π【详解】由题意可得：fx的最小正周期T0，111111∵fTfT，且TTTT，32236211TT则235为fx的一条对称轴，xT21255ππ∴TπkπkZ，解得kπkZ，1262363/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）ππ又∵，则k0，，23π故fxsinx0，3πππ∵x0,π，则x,π，333若函数fx在区间0,π上恰有一个最大值一个最小值，3π51117则πππ，解得，232661117故的取值范围是,.662023-2024高一上·石家庄二中期末·填空压轴7π5π70．已知函数fxsinx(0,R)在区间,上单调，且满足1267π3π2π2π13πff,f；函数fx在区间,上恰有5个零点，则的取值124336范围为．8【答案】0,337π3π2π【分析】由ff结合函数单调性，即可确定fx的一个对称中心为(,0)，即可求得12432πT5π2πf；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出03，再结合函数3463810零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围.337π5π【详解】因为函数fxsinx(0,R)在区间,上单调，1267π3π7π3π2π7π5π且满足ff，而1242π，,,1243126232π2π即fx的一个对称中心为(,0)，故f0；332π7π5π2π5π而,，故fx在区间,上单调，312636T5π2ππ2π2π设函数的最小正周期为T，则,,03；463632π13π2π函数fx在区间,上恰有5个零点，则恰好为第一个零点，36364/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）T相邻两个零点之间相距半个周期，213π2π5T2π13π2π52π故2T，即2，632632810解得，结合03，338可得的取值范围为,33类型二：由单调性求“ω”的范围2023-2024高一上·温州市期末·填空次压轴71．若函数f(x)tanx在(π,π)上是增函数，则的最大值是．1【答案】2【分析】由题意结合正切函数单调性、复合函数单调性即可得解.ππ【详解】因为ytant在,上关于t单调递增，22若函数f(x)tanx在(π,π)上是增函数，则由复合函数单调性可知只需tx关于x单调递增，故只需考虑0，π11所以π，解得，即的最大值是.2222023-2024高一上·福州第一中学第二学段·单选压轴2π172．已知函数fxcosx0π的一个对称中心为,，现将函数fx图象上各点的262横坐标变为原来的0倍（纵坐标不变），得到函数gx的图象，若函数gx在0,π上单调递减，则可取值为（）11A．B．C．2D．332【答案】D【分析】由二倍角公式化简函数解析式，利用对称中心求得，根据三角函数图象变换得出gx，然后结合余弦函数性质求得的范围即可得出答案．211【详解】fxcosxcos(2x)，222π1∵函数fx图象的一个对称中心为,.62πππ∴2k,kZ，即k,kZ，62665/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π∵0π，∴，61π1∴fxcos(2x)，262将函数fx图象上各点的横坐标变为原来的0倍（纵坐标不变），得到函数gx的图象，12π1则gxcos(x)，2622ππ2ππ当x0,π时，x,，6662ππ12若函数gx在0,π上单调递减，则π，得，故D符合.652023-2024高一上·荆州八县市区期末联考·填空压轴π9π4π73．已知函数fx2sinxsinxcos2x在区间[a,2a](a0).上单调递增，则443实数a的最大值为【答案】12【分析】利用诱导公式以及三角恒等变换化简fx的表达式，结合余弦函数的单调性求出其单调递ππ增区间，可得a,2a,，由此列出不等式，即可求得答案.36π9π4π【详解】由题意得fx2sinxsinxcos2x443πππ2sinxsinxcos2x443πππππ2sinxcosxcos2xsin2xcos2x4432313πcos2xcos2xsin2xcos2x223π令π2kπ2x2kπ,kZ，3ππ解得kπxkπ,kZ．36ππ又函数fx在区间a,2a(a0)上单调递增，a,2a,，36πa3ππ2a，解得0a612a066/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π实数a的最大值为122023-2024高一上·南京市南京师大附中期末·单选压轴4574．已知常数0，函数f(x)sinx在区间π,π上单调，则不可能等于（）33884A．B．2C．D．353【答案】C【分析】根据正弦函数的单调性，由f(x)的单调区间得的取值范围，验证各选项中的值.4545【详解】常数0，当xπ,π，有xπ,π，33332k1π2k1π正弦函数的单调区间为,kZ，2245函数f(x)sinx在区间π,π上单调，332k1π4π2332k132k1则有,kZ，解得,kZ，2k1π5π81023934k2时，，满足；8231521k3时，，2满足；81021278k4时，，满足；810332k1832k11379不等式，解得k，因为kZ，则k无解，8510630845则时，函数f(x)sinx在区间π,π不单调5332023-2024高一上·衡水市衡水中学期末·填空次压轴2xπ275．已知函数fx2sinxcossinx(0)，现将该函数图象先向左平移个应位长2431度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数gx的图象，已知函数2πgx在区间,π上是单调的，则的取值范围是．267/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）117【答案】0,U,12612【分析】利用降幂公式化简函数fx，根据图象平移可得函数gx，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案.π1cosx【详解】2xπ222fx2sinxcossinx2sinxsinx2422sinx1sinxsinxsinx，ππ由题意，gxf2xsin2x，33ππππ当x,π时，由0，则2xπ,2π，2333π由gx在,π上单调，2πππππππ331则π,2π,，可得不等式组，解得0；33322πππ1232πππkππππ3π32或π,2πkπ,kπkN，可得不等式组，解得33222ππ3πkπ3217kkkN，61227k1517由k，解得k，由kN，则k0，则,.122612612117综上，的取值范围为0,U,.126122023-2024高一上·苏州市期末单选压轴πππ76．已知函数fx2sinx（0，0）的图象过点0,1，且fx在区间,上284具有单调性，则的最大值为（）416A．B．4C．D．833【答案】C【分析】由函数fx的图象过点0,1求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解.68/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）1【详解】因为函数fx的图象过点0,1，所以f(0)2sin1sin，2πππ因为0，所以，所以f(x)2sin(x)，266πππππππ当x(,)时，x(,)，8468646ππ因为f(x)在区间(,)上具有单调性，84ππππππ所以(,)(kπ,kπ),kZ，864622ππππππ即kπ且kπ,kZ，862462164则8k4k,kZ，331645因为8k4k，得k，3331644816因为0，所以k0时，[,]，则(0,]；当k1时，[,]，33333481616综上，(0,][,]，即的最大值为33332023-2024高一上·长沙市雅礼中学12月月考·多选压轴13ππ77．（多选）已知0，函数f(x)cosxsinπx在,上单调递增，则的值可以是2232（）A．1B．2C．3D．4【答案】BCπππT【分析】先将函数化为f(x)cosx，先通过求出的大概范围，然后再根据题目3232所给单调区间列不等式求解即可.1313π【详解】f(x)cosxsinπxcosxsinxcosx，22223πππππππx,，x,，3233323πππ函数f(x)cosx在,上单调递增，332ππTπ，06232ππππππππ,2π,,3π，3333233369/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）ππππ,π,2π，3323πππ3310，解得2，ππ2π323则选项中的值可以是2和32023-2024高一上·宿迁市期末·填空次压轴π4πππ78．函数fxsinx（0）的图象过点,0，且在区间,上单调递增，则的3999值为.3【答案】4393【分析】根据函数图象过的点，求出k,kZ，再结合函数的单调性推出，二者联立442即可确定答案.π4π【详解】由题意知函数fxsinx（0）的图象过点,0，394ππ4ππ故sin0，则kπ,kZ，939339故k,kZ，44πππ2kπππ932又fx在区间,上单调递增，则,kZ，99πππ2kπ932318k239解得,kZ，结合0，k,kZ，1518k4423可得k0时，42023-2024高一上·湖北名校联考联合体期末·单选压轴ππ3π79．已知函数fx2cosx，其中0.若fx在区间,上单调递增，则的取值434范围是（）1355A．0,B．,C．0,D．0,1343370/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）【答案】A3π2kπ4π,π3【分析】利用余弦函数的单调性求出fx2cosx单调递增区间，可得，4π2kπ43π,4解不等式即可得出答案.π【详解】由题意得，函数fx的增区间为π2kπx2kπkZ，且0，解得43ππ2kπ2kπ44.xkZ3ππ2kπ2kππ3π44由题意可知：,,kZ.343π2kπ4π3918于是，解得6kkkZ.π2kπ43343π41又0，于是0.32023-2024高一上·杭州市期末·多选次压轴π2π80．（多选）已知函数fxsin(x)(0)在区间,上单调递增，则下列判断中正确的是63（）A．的最大值为2πB．若，则0,165ππ2πC．若f0，则ff012633πD．若函数yfx两个零点间的最小距离为，则226【答案】ABD【分析】利用函数的周期性、单调性等有关的性质逐一进行分析，判断各选项是否正确.71/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π2π【详解】函数fxsin(x)(0)在区间,上单调递增，63Tπ2πππ所以该函数的最小正周期T满足,所以2，23625π当时，2成立，所以的最大值为2，A正确；6π2π因为fxsinx0在区间,上单调递增，63Tπ2πππ故有：2，2362πππ2kπππ2πππ2ππ662当时，x,，所以x，所以，kZ.66366362ππ2kππ36212k2所以，又2，故k0，可得01.故B正确；3k1π2π5ππ2π由于635ππ2π，故当f0时，ff0，故C错误；,12632126333令fx0fx，两个零点分别设为x1，x2，222ππππ则：x1x2minx1x2min，3333π因为x1x2min，所以2.故D正确.6类型三：由值域求“ω”的范围2023-2024高一上·福建师范大学附属中学期末·单选压轴81．已知函数fx2sinx0,0是偶函数，且当x,，fx0恒成立，63则的最大值为（）2343A．B．C．D．3234【答案】B【分析】根据fx是偶函数,即可解出,即可解出fx0的解集,再根据,为解集的子集,263列出等式,即可找到的最大值.【详解】因为fx是偶函数,即fx=fx,对xR恒成立.即2sinx=2sinx0,0对xR恒成立.72/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）xx即k(kz)k(kZ).222又0,即.22k2k22.fx2sinx02kx2kx(kZ)22又x,对于fx0恒成立.632k2312k6所以(0)3(kZ),6k2k22331当312k6kk2123即当k0,6k(kZ),2当k1,312k(kZ),3所以当k0时,的最大值为.22023-2024高一上·宁波市九校期末·单选压轴πππ82．已知函数fxsinx0,.若fx为奇函数，fx为偶函数，且fx在288π0,上没有最小值，则的最大值是（）6A．2B．6C．10D．14【答案】Bπ【分析】根据函数的奇偶性求出，再由fx在0,上没有最小值，求出答案.6πππ【详解】由题意知fxsinxsinx，888ππ因为fx为奇函数，所以k1πk1Z1，88πππfxsinxsinx，88873/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）πππ因为fx为偶函数，所以k2πk2Z2，882πk+k1212相加得π，42π又因为，所以，24πππ当代入1得k1πk1Z，即28k1k1Z，484πππ代入2得k2πk2Z，即2+8k2k2Z，即2+8kkZ；842πππ当代入1得k1πk1Z，即28k1k1Z，484πππ代入2得k2πk2Z，即6+8k2k2Z，即6+8kkZ；842π因为fx在0,上没有最小值，6ππππππ3π15设tx,，则，所以0，的最大值是6.44646422类型四：多个限制条件的综合2023-2024高一上·武汉华中师范大学第一附属中学期末·填空次压轴2ππ83．已知函数fxx2tanx1,,，若函数fx在1,3上单调递减，则的22取值范围为.ππ【答案】,23【分析】由二次函数单调性可知对称轴xtan在1,3的右侧，可解.222【详解】fxx2tanx1xtan1tan，函数fx为开口向上，对称轴为xtan的抛物线，若函数fx在1,3上单调递减，ππ则tan3，即tanθ3，又,，22ππ所以,.232023-2024高一上·重庆市南开中学校期末·填空压轴πππ84．已知fxlog12sinx3(0)，若函数fx在区间x,单调递减，则实数2463的取值范围是．74/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）13【答案】24【分析】根据对数函数的定义域、正弦函数的单调性和复数函数的单调性可得函数f(x)的单调减区2kππ2kππππ2kππ2kππ间为(,],kZ，进而(,)(,],kZ，建立不等式组，解之即可求解.12463124π【详解】由题意知，函数f(x)的定义域为2sin(x)30，4π3ππ2π得sin(x)，得2kπx2kπ,kZ.42343πππ又函数y2sin(x)3的单调增区间为[2kπ,2kπ],kZ，422π2πππππ由(2kπ,2kπ)[2kπ,2kπ](2kπ,2kπ],kZ，332232πππ2kππ2kππ2kπx2kπ,kZ，解得x,kZ，3421242kππ2kππ即函数f(x)的单调减区间为(,],kZ，124ππππ2kππ2kππ又函数f(x)在(,)上单调递减，所以(,)(,],kZ，6363124π2kππ,kZ61213得，解得12k6k,kZ，π2kππ,kZ24341313又0,12k6k(k0)，所以令k0，解得.24242023-2024高一上·长春市东北师范大学附属中学期末·多选次压轴ππ85．（多选）已知函数fxsinx（0，），x为fx的零点，对任意xR，283πππfxf恒成立，且fx在区间,上单调．则下列结论正确的是（）81224A．是奇数B．的最大值为73πC．不存在，使得fx是偶函数D．f0f4【答案】ACD【分析】根据零点和最值点列方程组求解，结合单调区间可得，然后分类讨论即可.πππfsin0kπ8818【详解】由题知，，即，k1,k2Z，3π3π3ππ2kπfsin12888275/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）解得22k2k11，ππ因为fx在区间,上单调．1224Tππππ所以，即T，所以08，2241284又2k2k11，k1,k2Z，所以1,3,5,7，故A正确，B错误；πππ因为，所以，当1时，由f0，，288π3π7ππ所以f0sin,fsinsin；84883π当3时，，83π3π21π3π所以f0sin,fsinsin；84883π当5时，，83π3π3π27π3π所以f0sinsin,fsinsin；88488π当7时，，8ππ3π41ππ所以f0sinsin,fsinsin.88488综上可知，CD正确.2023-2024高一上·重庆市巴蜀中学校期末·单选压轴πππ3π86．已知函数fxsinx0在,0上单调递增，且在,上有且仅有1个零点，31222则的取值范围为（）22228142281422814A．,B．,,C．,,D．,,93939993999399【答案】Cππ3π【分析】先由fx在,0上单调递增，得02，再由fx在,上有且仅有1个零点，1222πππππ2π00323233得或，取并集结合02的前提条件，即可得答案.3π3π0ππππ2π232376/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）πππππ【详解】当x,0，x,，1231233ππππ因为fx在,0上单调递增，故，则02；121232π3ππππ3πππππ2π3πππ8π当x,，x,，且,，,，223232323332333π3π又因为fx在,上有且仅有1个零点，22故讨论两种情况：πππ032322①，3π930ππ23ππ2π0233814②，3π99ππ2π2322814综上：的取值范围为,,9399十一、恒（能）成立问题2023-2024高一上·云南省昆明市一中期末·填空压轴π87．已知fxcos2xsinxk，若fx0在区间0,上有解，则实数k的取值范围是.29【答案】0,8π【分析】可将题意转化为函数gx=cos2xsinx与yk在区间0,上有交点，求出2πgx=cos2xsinx在区间0,的值域即可得出答案.2π【详解】因为函数fxcos2xsinxk在区间0,上有零点，2π所以cos2xsinxk在区间0,上有解，2π即gx=cos2xsinx与yk在区间0,上有交点，277/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2πgx=12sinxsinx,x0,，2π令tsinx,x0,，所以tsinx0,1，22219所以gt=12tt2t,t0,1，48119当t时，gt=g；当t1时，gt=g10，maxmin44899所以gx0,，所以k0,.882023-2024高一上·苏州市期末填空压轴88．已知不等式2cosx1sinx0（0，0π）对x0,2π恒成立，则.3【答案】4π5π【分析】求出2cosx10和2cosx10时的解集，从而得到当x0,,2π时，33π5πsinx0，x,时，sinx0，得到方程组，求出答案.331π5π【详解】x0,2π时，令2cosx10得cosx，故x0,,2π，2331π5π令2cosx10得cosx，故x,，233要想2cosx1sinx0对x0,2π恒成立，显然sinx0不恒成立，π5π其中0，则当x0,,2π时，sinx0，33π5π此时x,,2π，33π5ππ5π当x,时，sinx0，此时x,，3333π3π34由于0π，故，解得，5π3π2π343π3π9π此时2π3π，满足要求24478/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·天一中学期末·填空压轴πxπ89．已知函数fxsin2x，gxf，若对任意的a，bπm，m，当ab时，624fafbg2ag2b恒成立，则实数m的取值范围是．π17π【答案】,224ππ【分析】将问题转化为对任意的a,bπm,m，当ab时，sin2asin2b恒成立，不1212π23ππ妨设2xt，将问题转化为htsint在t2m，2m单调递减，再结合利用正弦函数的121212性质求出m的取值范围．xππππ【详解】gxfsinxcosx，24266由fafbg2ag2b，ππππ得sin2asin2bcos2acos2b，6666ππππ所以sin2acos2asin2bcos2b，6666ππππππ所以2sin2a2sin2bsin2asin2b，64641212因为对任意的a,bπm,m，当ab时，fafbg2ag2b恒成立，所以对任意的a,bπm,m，ππππ当ab时，2a2b,sin2asin2b恒成立，12121212π23ππxπm,m，2x2m，2m，121212π23ππ不妨设2xt，则问题转化成htsint在t2m，2m单调递减，12121223ππ2m2kπ122π3ππ17π所以2m2kπ，其中kZ，解得m，122224π23π2m2m1212π17π所以m的取值范围为,.22479/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·泉州市期末·填空压轴π190．将函数fx2sinx图象所有点的横坐标变为原来的0，纵坐标不变，得到函数6ππgx的图象.若对于任意x10,，总存在唯一的x20,2.使得fx1gx22，则的2取值范围为.10【答案】2,3【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解.π【详解】由题意得gx2sinx，6πππ2ππ当x10,时，有x1,，此时fx12sinx11,2，26636ππ令tx2，则ygx22sinx2，66πππππ因为x20,时，所以x266,62，2π因为对于fx12的任意取值，gx2fx12在0,上有唯一解，2fx12πππ即sint在,上有唯一解，如图所示：26627πππ11π10由图可知，，所以2.62663十二、探究组合型三角函数性质在组合型三角函数解析中，常见类型包括：绝对值型：涉及三角函数值的绝对值，如sinxcosx等。这类函数在解析时需注意绝对值带来的分段性质，通常要分段讨论80/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）11倒数型：形如等，涉及三角函数的倒数。解析这类函数时，需关注分母不为零的条件，sinxcosx即三角函数值不等于零的点。复合嵌套型：如sin(cosx)，cos(sinx)，或更复杂的嵌套形式。解析这类函数时，需利用内外函数的性质，以及复合函数的求导法则等2023-2024高一上·湖州市期末·单选次压轴91．我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是yAsinx．已知某音是由3个不同11的纯音合成，其函数为fxsinxsin2xsin3x，则（）23π311A．fB．fx的最大值为3462ππC．fx的最小正周期为D．fx在0,上是增函数36【答案】Dπ11【分析】首先代入x，即可判断A；再分别根据函数ysinx，ysin2x，ysin3x的性质，323判断BCD选项.ππ12π133【详解】A.fsinsinsinπ，故A错误；332334πB.ysinx，当x2kπ，kZ时，函数取得最大值1，21π1ysin2x，当xkπ，kZ时，函数取得最大值，2421π2kπ11111ysin3x，当x，kZ时，函数取得最大值，由1，363323611但三个函数不能同时取得最大值，所以函数的最大值小于，故B错误；61C.ysinx的最小正周期为2π，ysin2x的最小正周期为π，212πysin3x的最小正周期为，所以函数fx的最小正周期为2π，故C错误；33πππD.x0,，2x0,，3x0,，63211π所以函数ysinx，ysin2x，ysin3x在0,都是单调递增函数，23681/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π则函数fx在0,上是增函数，故D正确.62023-2024高一上·长沙市湖南师大附中期末·多选次压轴21tanx92．（多选）已知函数fx2sinxcosx．下列结论是假命题的是（）．21tanxA．函数fx的最小正周期是πππB．函数fx在区间,上是增函数88πC．函数fx的图象关于点,0对称8πD．函数fx的图象关于直线x对称8【答案】BCD【分析】首先根据同角三角函数关系式，二倍角公式和辅助角公式对函数f(x)的解析式进行化简，然后利用函数的周期判断A，利用单调性判断B，根据对称中心、对称轴判断CD.2sinx211tanxcos2x【详解】f(x)22sinxcosx22sinxcosx1tanxsinx12cosx22cosxsinx222sinxcosxcosxsinx2sinxcosxcos2xsin2x22cosxsinxππ2cos2xxkπ,kZ，422π2π因为Tπ，函数f(x)的最小正周期是π，选项A正确；2π5ππ由π2kπ2x2kπkZ，得kπxkπkZ，488ππ所以区间,不是函数的单调递增区间，选项B错误；88πππkπ由2xkπkZ，得xkZ，4282π所以点,0不是函数的对称中心，选项C错误；8ππkππ由2xkπkZ，得xkZ，当k0时，x，482882/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）3πππ当取函数图象上点M,1时，M关于x的对称点M,1，482ππ但由于函数定义域为xkπ,kZ，故M,1不在函数图象上，22π所以x不是函数的对称轴，选项D错误.82023-2024高一上·广州市越秀区期末·多选压轴93．（多选）已知函数f(x)sinx|cosx|,xR，则（）A．f(x)f(x)B．f(x)的最小正周期为2ππC．f(x)的图象关于直线x对称D．f(x)的最大值为22【答案】BCπππ2sin(x),x,kZ422【分析】将函数f(x)sinxcosx,xR写成分段函数形式f(x)，2sin(xπ),πx3π,kZ422结合函数的图象以及该函数奇偶性、对称性和单调性依次判断选项即可.【详解】由于f(x)sinxcosx,xR，ππsinxcosx,x,kZ22所以f(x)，sinxcosx,πx3π,kZ22πππ2sin(x),x,kZ422即f(x)，2sin(xπ),πx3π,kZ422如图所示：对于选项A，f(0)sin0cos01，f(0)f(0)，不满足f(x)f(x)，选项A不正确；对于选项B，f(x2π)sin(x2π)cos(x2π)sinxcosxf(x),xR，结合图象，f(x)的最小正周期为2π，选项B正确；ππππππ对于选项C，f(x)sin(x)cos(x)cosxsinxsin(x)cos(x)f(x),xR，222222πf(x)的图象关于直线x对称，选项C正确；2πππ5π对于选项D，函数f(x)在区间(2kπ,2kπ],kZ和(2kπ,2kπ],kZ上单调递减，在242483/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）ππ5π3π区间(2kπ,2kπ],kZ和(2kπ,2kπ],kZ上单调递增，由于42423πππf(2kπ)f(2kπ)1,kZ，f(2kπ)1,kZ，f(x)的最大值为1，选项D不正确；222故选：BC.2023-2024高一上·衡阳市第八中学等学校期末联考·多选压轴94．（多选）已知f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)lgx.记g(x)sinxf(x)cosx，下列结论正确的是A．g(x)为奇函数B．若g(x)的一个零点为x0，且x00，则lgx0tanx00C．g(x)在区间,的零点个数为3个2D．若g(x)大于1的零点从小到大依次为x1,x2,，则2x1x23【答案】ABD【分析】根据奇偶性的定义判断A选项；将g(x)0等价变形为tanxf(x)，结合f(x)的奇偶性判断B选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数g(x)的奇偶性判断C选项，结合图象，得出x1,x2的范围，由不等式的性质得出x1x2的范围.【详解】由题意可知g(x)的定义域为R，关于原点对称因为g(x)sinxf(x)cosxsinxf(x)cosxg(x)，所以函数g(x)为奇函数，故A正确；假设cosx0，即xk,kZ时，sinxf(x)cosxsinkcosk022所以当xk,kZ时，g(x)02当xk,kZ时，sinxf(x)cosx0tanxf(x)2当x00，x00，则f(x0)f(x0)lgx0由于g(x)的一个零点为x0，则tanx0f(x0)lgx0lgx0tanx00，故B正确；84/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）当x0时，令y1tanx,y2lgx，则g(x)大于0的零点为y1tanx,y2lgx的交点，由图可知，函数g(x)在区间0,的零点有2个，由于函数g(x)为奇函数，则函数g(x)在区间,0的零点2有1个，并且g(0)sin0f(0)cos00所以函数在区间,的零点个数为4个，故C错误；23由图可知，g(x)大于1的零点x1,x2222所以2x1x232023-2024高一上·深圳市高级中学期末·多选压轴1195．（多选）已知函数f(x)，则下列结论正确的是（）sinxcosx3πA．f(x)的图象关于点,0对称43πB．f(x)的图象关于直线x对称4C．f(x)的最小正周期是ππD．f(x)在0,上有最小值，且最小值为222【答案】ABD11sinxcosx【分析】计算出定义域后，由f(x)，借助三角函数基本关系，可借助换元法sinxcosxsinxcosx2t设出新函数g(t)，根据新函数的单调性即可研究D选项；结合函数对称性的性质可得A、B2t1选项；结合函数周期性的性质可得C选项.kπ【详解】由sinx0,cosx0，解得x,kZ，2kπ所以f(x)的定义域为xR∣x,kZ，285/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）22sinx11sinxcosx4，fxsinxcosxsinxcosxsin2xπ2t1令sinxcosx2sinxt，则sinxcosx，422t2g(t)211令函数t，ttππ当0x时，sinxcosx2sinxt1,2，24ππππ且函数y2sinx在0,上单调递增，在,上单调递减．44421又因为函数yt在(1,2]上单调递增，t1且yt0在(1,2]上恒成立，t所以g(t)在(1,2]上单调递减，πππ所以f(x)在0,上单调递减，在,上单调递增，442ππ所以f(x)在0,上有最小值，且最小值为f22，D正确；243ππ3ππ22sinx22sinx3π3π4444fxfx443π3πsin2xsin2x4422sinπx22sinπxsinxsinx2203π3πcos2xcos2x，sin2xsin2x223π所以f(x)的图象关于点,0对称，A正确；43πππ22sinx22sinx3π44222cosxfx，43π3πcos2xsin2xsin2x423πππ22sinx22sinx3π442fx43π3πsin2xsin2x4222cosx3πfx，cos2x43π所以f(x)的图象关于直线x对称，B正确；486/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）1111因为fxπfx，sinxπcosxπsinxcosx所以π不是f(x)的周期，C错误.2023-2024高一上·嘉兴市期末·多选次压轴2k2k*96．（多选）已知函数fkxsinxcosxkN，值域为Ak，则（）1*A．A2,1B．kN,fkx的最大值为12*1C．kN,AAD．*fx的最小值为k1kkN，使得函数k3【答案】AB【分析】对于A，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B，利用指数函数的单调性即可判断；对于C，利用幂函数的单调性即可判断；对于D，结合ABC选项的结论，求得A3，从而得以判断.k222k2k22k【详解】对于A，因为sinxcosx1，故sinxcosx1cosxcosx22k2kkk今cosxt，则sinxcosx(1t)t,t[0,1]，222211当k2时，(1t)t2t2t12t，2221111因为t[0,1]，y2t在0,上单调递减，在,1上单调递增，22221所以A2,1，故A正确；2kk对于B，因为t[0,1]，0t11，则(1t)(1t)且tt，kkkk故(1t)t1tt1，当且仅当t0或t1时，(1t)t1，所以fk(x)最大值为1，故B正确；k1kk1k对于C；因为t[0,1]，0t11，则(1t)(1t),tt，k1k1kk即(1t)t(1t)t，所以fk1xminfkxmin，由选项B又知fk1x与fkx的最大值都为1，所以AkAk1，故C错误；233211对于D，当k3时，(1t)t3t3t13t，2421111因为t[0,1]，y3t，在0,上单调递减，在,1上单调递增，24221所以A3,1，又fk1xminfkxmin，411所以当k3时，fkxmin，又A22,1，易知A11，487/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）1*故不可能存在kN使fk(x)最小值为，故D错误.32023-2024高一上·丽水市期末·多选压轴cosπx97．（多选）已知函数f(x)，则下列判断正确的是（）2xx141A．f(x)B．|f(x)|3|x|C．函数yf(x)的图象存在对称轴D．函数yf(x)的图象存在对称中心【答案】ABD【分析】分别求出分子和分母的取值范围，利用不等式的性质即可判断选项A；判断cosπx，22xx1xx1的取值范围，得出cosπx，进而可判断选项B；根据轴对称的定义可判断选项xxC；根据f(x)f(1x)0可判断选项D.【详解】对于选项A：因为cosπx1，当x2kπ,kZ时等号成立；221331xx1x，当x时等号成立，2442则两个式子中等号不会同时成立，cosπx4所以由不等式性质可得f(x)；故选项A正确；2xx13对于选项B：显然x0.11因为当x0时，x2，当且仅当x1时等号成立，此时x11；xx11当x0时，x2，当且仅当x1时等号成立，此时x13；xx21xx11所以x11，则x11.xxx又因为cosπx1，2xx1cosπx1所以cosπx，即2，故选项B正确；xxx1xcosπx对于选项C：因为f(x)，2xx1cosπ2axcosπ2axf(2ax)222，aR.2ax2ax1x4a1x4a2a1显然f(x)f(2ax)，所以函数yf(x)的图象不存在对称轴，故选项C错误；88/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）cosπxcosπ1x对于选项D：因为f(x)f(1x)220，xx11x1x11所以函数yf(x)的图象关于点,0对称，故选项D正确.22023-2024高一上·重庆市第八中学期末·多选压轴98．（多选）已知函数fxcos2xcosx，有下列四个结论正确的是（）9A．fx图象关于直线x2π对称B．fx的值域为0,85πC．fx在,π上单调递减D．fx在3π,3π上恰有10个零点4【答案】ACD【分析】根据二倍角公式、函数对称性的性质，结合二次函数的性质、余弦型函数的单调性、函数零点的定义逐一判断即可.【详解】A：因为f2πxcos22πxcos2πxcos2xcosx，f2πxcos22πxcos2πxcos2xcosx，所以有f2πxf2πx，因此该函数图象关于直线x2π对称，本选项结论正确；B：因为f0cos0cos0112，所以本选项不正确；2C：fxcos2xcosx2cosxcosx1，2219令gx2cosxcosx12cosx482191令tcosx，即y2t，对称轴为t，4845π2因为x,π，所以t1,，42219所以函数y2t单调递减，48当t1时，函数有最大值0，因此gx0，25π19因为函数tcosx在x,π上单调递减，而函数y2t单调递减，44889/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）5π因此函数gx在x,π上单调递增，又因为gx0，45π所以fxcos2xcosx在x,π上单调递减，因此本选项正确；4D：fxcos2xcosx0cos2xcosx0cos2xcosxcosπx，于是有2x2kππxkZ，2kππ当2x2kππxkZxkZ，337π5πππ5π7π因为x3π,3π，所以x3π,,,π,,,π,,,3π，333333当2x2kππxkZx2kππkZ，因为x3π,3π，所以x3π,π,π,3π，综上所述：fx在3π,3π上恰有10个零点，因此本选项正确2023-2024高一上·连云港市期末·多选压轴99．（多选）已知函数fx2cosxcosx，则（）A．函数fx的最大值为3B．函数fx的最小正周期为πC．函数fx的图象关于直线xπ对称2π3πD．函数fx在,上单调递减32【答案】ACππ【分析】B选项，先得到fx2cosxcosx，故fxπfx，得到B错误；A选项，分x,22π3π与x,，结合fx2πfx得到fx的最大值为3；C选项，求出f2πxfx，故222π3πC正确；D选项，x,时，fx3cosx不单调，D错误.32【详解】B选项，由于ycosx为偶函数，故fx2cosxcosx2cosxcosx，由于fxπ2cosxπcosxπ2cosxcosxfx，所以fx的最小正周期不为π，B错误；90/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）ππA选项，当x,时，fx2cosxcosx2cosxcosxcosx0,1，22π3π当x,时，fx2cosxcosx2cosxcosx3cosx0,3，22又fx2π2cosx2πcosx2π2cosxcosxfx，所以函数的一个周期为2π，可得fx的最大值为3，A正确；C选项，f2πx2cos2πxcos2πx2cosxcosxfx，故函数fx的图象关于直线xπ对称，C正确；2π3πD选项，由A选项得，x,时，fx3cosx不单调，故D错误.32十三、三角函数的应用三角函数在多个领域有广泛应用。在物理中，它们用于描述波动、振动和周期现象，如声波、光波和电磁波。在几何中，三角函数用于计算角度、长度和面积，特别是在建筑设计、桥梁和道路规划中。天文学中，三角函数帮助确定天体位置和运动。此外，在信号处理、图像处理、计算机图形学和音乐理论中，三角函数也发挥着重要作用。它们是实现旋转、缩放和变换等几何操作的基础。2023-2024高一上·湛江市第一中学期末·单选次压轴100．如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心O到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置P0是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h是关于t的函数．当tR时，ht（）91/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）ππππA．40sint41B．40sint41156306ππππC．40sint41D．40sint41156306【答案】A【分析】先由题意得到xOP0，进而得到tmin后，以Ox为始边，OP为终边的角t，从6156而得到点P的纵坐标为40sin(t)，即P距地面的高度函数求解．156ππ【详解】由题意得xOP0，而是以Ox为始边，OP0为终边的角，662ππ由OP在tmin内转过的角为tt，可知以Ox为始边，3015ππππOP为终边的角为t，则点P的纵坐标为40sint，156156ππ所以点P距地面的高度为h40sint411562023-2024高一上·嘉兴市期末·填空次压轴101．海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深Ht（单位：m）与时间t（单位：h）之间满足关系式：Ht3sint50，且当地潮汐变化的周期为T12.4h．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留h．62【答案】155π【分析】根据函数周期性可得，令Ht6.5，结合正弦函数性质分析求解即可.312π5π5π【详解】由题意可得：，则Ht3sint5，12.4313192/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）5π5π1令Ht3sint56.5，则sint，31312π5π5π62316231可得2kπt2kπ,kZ，解得ktk,kZ，631653056设该船到达港口时刻为t1，离开港口时刻为t2，可知12t1t224，62316231则k0，即t1,t2,，530566231623162所以最多可停留时长为小时.56530152023-2024高一上·广州市越秀区期末·多选次压轴102．（多选）如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚．浮．出．水．面．时．开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为ππdAsin(t)bA0,0,下列结论正确的是（）22π11A．A3B．C．sinD．b0.82015【答案】ABC【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案.【详解】由题意，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，602π2ππ所以振幅A3且T40，可得，所以A、B正确；1.5T4020又由筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m，可得b2.2，所以D错误；11根据题意，当t0时，d0，即03sin2.2，可得sin，所以C正确.A152023-2024高一上·湖州市期末·多选次压轴103．（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，93/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间，点P的高度ht随时间t（单位秒）变化时满足函数模型htAsintb，则下列说法正确的是（）πA．函数ht的初相为B．1秒时，函数ht的相位为06C．4秒后，点P第一次到达最高点D．7秒和15秒时，点P高度相同【答案】BC【分析】由函数模型h(t)Asin(t)b，求出A、b和T、、，再判断选项中的命题是否正确．【详解】由题意知，函数模型h(t)Asin(t)b中，A4，b2，2ππT60512，所以，T61π又h(0)4sin20，得sin，显然0，22ππ所以，即函数h(t)的初相为，故A错误；66ππππ因为h(t)4sint2，1秒时，10，6666所以函数h(t)的相位为0，故B正确；πππ4秒时，h44sin424sin26，662点P第一次到达最高点，故C正确；7ππ15ππh74sin22，h(15)4sin2232，6666所以7秒和15秒时，点P高度不相同，故D错误．104．（多选）如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为ππdAsintKA0,0,，t0,60，下列说法正确的是（）2294/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）πA．K2.2B．302.2C．sinD．P离水面的距离不小于3.7m的时长为20s3【答案】ABD【分析】由题意，d的最大值为5.2，最小值为0.8，即可求出A,K，再根据函数的周期即可求出，根据t0时，d0，利用待定系数法即可求出sin，解正弦不等式即可判断D.【详解】由题意，d的最大值为5.2，最小值为0.8，则AK5.2,AK0.8，所以A3,K2.2，故A正确；2ππ由旋转一周需要60s，得函数的周期T60，所以，故B正确；30πππ故d3sint2.2，3022当t0时，d0，2.2则3sin2.20，所以sin，故C错误；32.2πππ由sin,，得0，3222π因为t0,60，所以t,2π，30π3π由0，得2π2π，22ππ1令d3sint2.23.7，得sint，30302ππ5π3030所以t，故5t25，6306ππ3030所以P离水面的距离不小于3.7m的时长为25520s，故D正确.ππ2023-2024高一上·武汉市第二中学期末·单选压轴105．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m，圆心角为的扇形空地OPQ的内部修建一495/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）平行四边形观赛场地ABCD，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（）240022m2A．200mB．22C．40031mD．40021m【答案】D【分析】如图，连接OC，设COA，可用的三角函数值表示CE，EF，即可得到四边形ABCD的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解．【详解】如图所示：．连接OC，设COA，作DFOP，CEOP，垂足分别为F,E．根据平面几何知识可知，ABCDEF，DFOF，CEDF．∴CE202sin，EFOEOF202cos202sin．故四边形ABCD的面积S也为四边形DFEC的面积，即有S202sin202cossin400sin2cos214002sin2400，其中0,．44所以当sin21即时，S40021m2．max482023-2024高一上·南通市期末·多选压轴106．（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm），96/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）π它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm由关系式hAsinπt确4定，其中A0，t0.则下列说法正确的是（）A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cm1C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为s2D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是1120,2144【答案】BC【分析】求出A的值，求出函数的最小正周期，可判断A选项；根据A的值可计算出小球在往复振π52动一次的过程中，经过的路程，可判断B选项；解方程h5sinπt，求出t的可能取值，42可判断C选项；求出t的取值范围，可判断D选项.hh10πmaxminh5sinπt【详解】由题意可知，A5，则，224π2π对于A选项，函数hAsinπt的最小正周期为T2，4π所以，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时1s，A错；对于B选项，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cm，B对；π52对于C选项，因为当t0时，h5sin，42π52πππ3π由h5sinπt可得πt2kπkZ或πt2nπnZ，4244441解得t2kkZ或t2nnZ，297/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）159易知，t0，则t的可能取值有：0、、2、、4、、L，2221小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为s，C对；2ππ11对于D选项，由πt可得t，则当ts时，小球第一次到达最高点，4244以后每隔一个周期都出现一次最高点，因为小球在ts内经过最高点和最低点的次数恰好是10次，11111所以，9TTt10T，因为T2，则19t20，42444所以，小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是1119,20，D错.442023-2024高一上·厦门市期末·填空压轴107．水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点A，B分别在以坐标原π点O为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为Arad/s，3πrad/s.当OBA达到最大时，称A位于B的“大距点”.如图2，初始时刻A位于(1,0)，B位B6于以Ox为始边的角(02π)的终边上.（1）若0，当A第一次位于B的“大距点”时，A的坐标为；（2）在30s内，A位于B的“大距点”的次数最多有次742【答案】,69998/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）πππππ1【分析】根据题意可得Acost,sint，B3cost,3sint，可得cosAOBcost，结合3366631π倍角公式运算求解；根据题意分析可知求“大距点”个数的问题转化为直线y与ycost在36t[0,30]的交点个数问题，结合图象分析求解.ππππ【详解】（1）当0时，经过时间t，Acost,sint，B3cost,3sint，3366当A位于B的“大距点”时，AB与小圆相切，OA1此时ABO为直角三角形，所以cosAOB，OB3πππ1因为AB，所以cosAOBcosttcost，3663πππ22因为A是第一次位于B的“大距点”，可知0t，则sint，6263π2π7πππ42所以cost2cost1，sint2sintcost，3693669742即A的坐标为,；99ππππ（2）经过时间t，Acost,sint，B3cost,3sint，3366对于任意[0,2π)，当A位于B的“大距点”时，ππ1π1A，B两点坐标满足costt，即cost，363631π当t[0,30]时，求“大距点”个数的问题转化为直线y与ycost在t[0,30]的交点个数问36题.1π若y与ycost有7个交点，则第1个交点到第7个交点间隔恰好3个周期，36共长度等于36，因为3036，所以30s内不可能有7个交点.πππ又当时，ycostsint26261π如图所示，y与ysint有6个交点，故A最多有6次位于B的“大距点”.36742故答案为：,；6.9999/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）十四、三角函数中的新定义问题2023-2024高一上·云南师大附中·单选次压轴108．正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通1131行.在三角中，定义正割sec，余割csc，则函数f(x)的值域为cossinsecxcscx（）A．f(x)2f(x)2B．f(x)2f(x)2且f(x)1且f(x)3C．fx2f(x)2且f(x)3D．f(x)1f(x)1【答案】Bπ【分析】利用辅助角公式得到f(x)2sinx，且sinx0且cosx0，从而求出值域.33131π【详解】f(x)3cosxsinx2cosxsinx2sinx，secxcscx223其中sinx0且cosx0，2f(x)2且f(x)1且f(x)3.2023-2024高一上·汕头市期末·多选次压轴109．（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知任意角以x轴的正半轴为始边，若终边经过点yxPx,y且OPrr0，定义：0000sicos，称“sicos”为“正余弦函数”．对于正余弦r函数ysicosx，正确的是（）A．该函数的值域为1,1B．该函数图象关于原点对称100/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）3πC．该函数图象关于直线x对称4π3πD．该函数的单调递增区间为2kπ,2kπ，kZ44【答案】CDπ【分析】根据“正余弦函数”的定义得到函数ysicosx2sinx，然后根据三角函数的图象与4性质分别进行判断即可得到结论．【详解】对A：由三角函数的定义可知x0rcosx,y0rsinx，yxπ00所以ysicosxsinxcosx2sin(x)[2,2]，故A错误；r4ππ对B：ysicosx2sin(x)，所以f02sin(0)10，故B错误；443π3π3ππ对C：当x时，f()2sin()2，故C正确；4444πππ对D：因为ysicosx2sin(x)，令2kπx2kπ，kZ，4242π3π得2kπx2kπ，kZ，44π3π即函数的单调递增区间为2kπ,2kπ，kZ，故D正确.442023-2024高一上·福州市期末·填空压轴3π110．用MI表示函数ysinx在闭区间I上的最大值，已知0a.2（1）若2M0,a1，则a的取值范围是.（2）若M0,a2Ma,2a，则a的取值范围是.π3π9π【答案】0,,448ππ3π【分析】（1）分0a、a两种情况讨论，求出M0,a，根据2M0,a1可得出关于实数a222的不等式，解之即可；（2）对实数a的取值进行分类讨论，求出M0,a、Ma,2a，根据M0,a2Ma,2a可得出关于a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.π【详解】（1）若0a时，函数ysinx在0,a上单调递增，2101/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2当0xa时，则ymaxsina，则2M0,a2sina1，解得sina，2ππ因为0a，解得0a，24π3π若a，当0xa时，ymax1，则2M0,a21，不合乎题意，22π综上所述，实数a的取值范围是0,；4ππ（2）当0a时，则02a，则M0,asina，Ma,2asin2a，42由M2M可得sina2sin2a22sinacosa，0,aa,2a2π2整理可得cosa，因为0a，则cosa，矛盾；442πππ当a时，则2aπ，则M0,asina，Ma,2a1，422由M2M可得sina2，无解；0,aa,2aπ3π当a时，π2a3π，则M0,a1，223ππ3π若π2a，则a，此时，函数ysinx在a,2a上单调递减，224则Ma,2asina，23π由M0,a2Ma,2a可得12sina，可得sina，解得a；243π5π3π5π若2a，则a，22443π3π此时，函数ysinx在a,上单调递减，在,2a上单调递增，22所以，Ma,2amaxsina,sin2a，2sina12sina2由M0,a2Ma,2a可得，可得，12sin2a2sin2a23π5πa443π9π可得，解得a；3π2a9π48245π若2a3π，则Ma,2a1，由M0,a2Ma,2a，可得12，矛盾.23π9π综上所述，实数a的取值范围是,.48102/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·安徽省安庆市期末·多选压轴xxee111．（多选）双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数sinhx，双曲余弦2xxee函数coshx（其中e为自然对数的底数），则下列判断正确的是（）2A．sinhx为奇函数，coshx为偶函数B．sinh2xsinhxcoshxC．函数coshx在R上的最小值为1D．函数gxcosh2xcoshx在R上只有一个零点【答案】ACD【分析】由函数的奇偶性即可验证A；由题干给的定义式进行化简即可验证B；由基本不等式即可验证C；由题干给的定义式，结合换元法求解零点可得D.xxxxxxeeeeee【详解】sinhx，定义域为R，sinhxsinhx，所以sinhx222为奇函数，xxxxeeeecoshx，定义域为R，coshxcoshx，所以coshx为偶函数，故A22正确；xxxxe2xe2xeeeeex+exexexsinh(2x)22sinh(x)cosh(x，)B错误；2222xxeexx因为coshxee1，当且仅当x0时，函数fx在R上的最小值为1，C正确；22e2xe2xexexexex2exex由题意得：gxcosh2xcoshx2222xx令eet，结合C选项可得t2，2tt于是由��=0，得10，解得t2或t1（舍去），于是x022因此函数gx在R上只有一个零点x0，D正确103/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）十五、三角函数相关的最值问题以三角函数为背景的最值问题不一定就是通过三角函数模型求最值，也可能是结合二次函数或基本不等式求最值2023-2024高一上·山西省运城市·单选次压轴π222112．若,0,，且4sinsin0，则当2sincos取最大值时，sin的值为（）2363032A．B．C．D．6636【答案】B【分析】由条件等式、平方关系结合基本不等式即可得解.π22222【详解】若,0,，且4sinsin0，则2sinsin，233222则2sincossin1sin，3注意到2abab2ab，其中a,b0，所以ab2ab，等号成立当且仅当ab0，2222226所以2sincossin1sin2sin1sin，33322230等号成立当且仅当sin1sin，即sin，3630所以当2sincos取最大值时，sin的值为.62023-2024高一上·华南师范大学附属中学期末·单选压轴11113．已知，为锐角，tan3tan，则的最小值为（）tantan1433A．B．C．D．2324【答案】A【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基104/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）本不等式即可求出最值，即可得出答案．【详解】解：∵，tantan4tan∴tantan()，21tantan13tan22113tan119tan1tantan4tan3tan12tan31321tan，49tan43211当且仅当tan即tan时取等号，9tan3111所以的最小值为.tantan22023-2024高一上·武汉市常青联合体期末·单选次压轴π14114．已知函数fxcosx0x4，若ab，且fafb，则的最小值为（）2ab99A．18B．9C．D．24【答案】D141【分析】分析函数fx的单调性与对称性，可得出ab4，再将代数式与代数式ab相ab414乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.abπxπx【详解】当0x4时，02π，由π，可得x2，22πxπx由0π可得0x2，由π2π可得2x4，22所以，函数fx在0,2上递减，在2,4上递增，且函数fx的图象关于直线x2对称，因为fafb，则ab4，且a、b0,4，1411414ab14ab9所以，ab552，ab4ab4ba4ba44ab4baa3149当且仅当ab4时，即当时，等号成立，故的最小值为.b8ab4a,b0,43105/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）2023-2024高一上·衢州市期末·填空压轴2112π115．已知x1,x2为方程xx0的两个实数根，且,0,，x13x2，tantan32则tan的最大值为.【答案】1222x2xx1121142【分析】由根与系数的关系及已知3可求得2，由x1x2,x3xx2tantan3123化简为关于tan的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果.2112【详解】因为x1,x2为方程xx0的两个实数根，x13x2，tantan32x12x12x1x2所以3，解得2，或2，x3xx2x21233x211111若2，则0即，xtantantantan23π因为,0,，故0,π，2π11若，则tan0，不成立，2tantanπ11若0，则tantan，故，2tantanx2111故也不成立，故2，tantanx23114211tantan42所以x1x2，则，tantan3tantantan342则tantan1tantantantantantan，3化简可得42242tantantantantan0，由方程有解，可知：3332242Δtan4tantan0，即tan2122tan0.93解得：0tan122，则tan的最大值为122.106/107 【重难点突破】2024-2025学年高一上学期数学常考题专练（新高考）107/107