2024年高考数学真题分类汇编03：复数和平面向量

复数和平面向量一、单选题1．（2024·全国）若，则（    ）A．B．C．D．2．（2024·全国）已知向量，若，则（    ）A．B．C．1D．23．（2024·全国）已知，则（    ）A．0B．1C．D．24．（2024·全国）已知向量满足，且，则（    ）A．B．C．D．15．（2024·全国）设，则（    ）A．B．1C．-1D．26．（2024·全国）设，则（    ）A．B．C．10D．7．（2024·全国）已知向量，则（    ）A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件8．（2024·北京）已知，则（    ）．A．B．C．D．19．（2024·北京）已知向量，，则“”是“或”的（    ）条件．A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件 二、填空题10．（2024·天津）已知是虚数单位，复数．11．（2024·天津）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为．12．（2024·上海）已知，且，则的值为．13．（2024·上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为． 参考答案：1．C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【解析】因为，所以.故选：C.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【解析】因为，所以，所以即，故，故选：D.3．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【解析】若，则.故选：C.4．B【分析】由得，结合，得，由此即可得解.【解析】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.5．D【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.【解析】依题意得，，故.故选：D6．A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【解析】由，则.故选：A7．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【解析】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.8．C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【解析】由题意得，故选：C.9．A【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【解析】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：A. 10．【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【解析】.故答案为：.11．【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.【解析】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.12．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【解析】，，解得．故答案为：15．13．2【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【解析】设，且.则， ，，解得，故答案为：2.