2025届高三一轮复习 第十二章　机械振动　机械波第1讲　机械振动练习

第1讲　机械振动素养目标　1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图像。2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式。3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。一、简谐运动1.简谐运动(1)定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。(3)回复力,①定义：使物体返回到平衡位置的力。②方向：总是指向平衡位置。③来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。2.简谐运动的两种模型模型弹簧振子单摆示意图简谐运动条件(1)弹簧质量可忽略(2)无摩擦等阻力(3)在弹簧弹性限度内(1)摆线为不可伸缩的轻细线(2)无空气阻力等(3)最大摆角小于等于5°回复力弹簧的弹力提供摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力平衡位置弹簧处于原长处最低点周期与振幅无关T＝2π能量转化弹性势能与动能的相互转化，系统的机械能守恒重力势能与动能的相互转化，机械能守恒二、简谐运动的表达式和图像1.简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ叫作初相。2.简谐运动的图像(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图像如图1甲所示。(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图像如图乙所示。图1,三、受迫振动和共振1.受迫振动系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。2.共振做受迫振动的物体，驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图2所示。图2基础自测1.如图3所示，小球在光滑水平面上以O为平衡位置，在A、B之间做简谐运动，下列说法正确的是(　　)图3A.小球在O点速度最大B.小球在A点速度最大C.小球在B点加速度最小D.小球在B点回复力最小答案　A解析　由题意小球在光滑水平面上以O为平衡位置，在A、B之间做简谐运动，则O点处小球速度最大，加速度和回复力为零，A、B两点处小球速度为零，加速度和回复力最大。故A正确。2.有一个弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　)A.x＝8×10－3sinm,B.x＝8×10－3sinmC.x＝8×10－3sinmD.x＝8×10－3sinm答案　A解析　由题可知，A＝0.8cm＝8×10－3m，T＝0.5s，可得ω＝＝4πrad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8cm，初相位φ＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10－3sinm，故A正确。考点一　简谐运动的特征受力特征回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量特征振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为对称性特征关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等跟踪训练,1.一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的(　　)A.位移减小B.速度增大C.回复力增大D.机械能增大答案　C解析　摆球做简谐运动，在平衡位置处位移为零，在摆角增大的过程中，摆球的位移增大，速度减小，选项A、B错误；在摆角增大的过程中，摆球受到的回复力增大，选项C正确；单摆做简谐运动，机械能守恒，所以在摆角增大的过程中，摆球机械能保持不变，选项D错误。2.(2021·江苏卷)如图4所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　)图4A.x＝RsinB.x＝RsinC.x＝2RsinD.x＝2Rsin答案　B解析　由图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为x＝Rsin(ωt＋φ)，由图可知，当t＝0时，P的位移为R，所用时间为t＝，代入振动方程解得φ＝，则P做简谐运动的表达式为x＝Rsin，故B正确，A、C、D错误。考点二　简谐运动图像的理解和应用1.可获取的信息,(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图5所示)。图5(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。2.简谐运动的对称性(如图6)图6(1)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。(2)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。例1(2022·南通模拟)如图7所示，木块在水中沿竖直方向做简谐运动。运动过程木块受到的合力F和动能Ek随相对平衡位置的位移x、运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像可能正确的是(　　)图7,答案　C解析　根据简谐运动的规律可得，浮力与重力平衡，则有F＝－ρL2gx，则运动过程木块受到的合力F应该过二四象限，A错误；随着x增大，势能增大，由能量守恒可得，动能应减小，B错误；因为木块在水中沿竖直方向做简谐运动，故运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像都应该是正弦(或余弦)函数的波形，C正确，D错误。跟踪训练3.一质点做简谐运动的图像如图8所示，下列说法正确的是(　　)图8A.质点的振动频率是4HzB.0～10s内质点经过的路程是20cmC.在t＝4s时质点的速度为0D.在t＝1s和t＝3s两时刻，质点的位移相同答案　B解析　由图可知，质点振动的周期为4s，故频率为f＝＝0.25Hz，A错误；每个周期质点的路程为4A，可知0～10s内质点的路程是振幅的10倍，故路程为20cm，B正确；在t＝4s时，质点位于平衡位置，故速度最大，C错误；在t＝1s和t＝3s两时刻，质点的位移大小相等，方向相反，D错误。考点三　单摆及其周期公式1.单摆的受力特征,(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ。(3)特点①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcosθ。②当摆球在最低点时，F向＝m，F向最大，FT＝mg＋m。2.周期公式T＝2π的两点说明(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。(2)g为当地重力加速度。例2如图9所示，置于地球表面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0，下列说法中正确的是(　　)图9A.单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力B.单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力C.小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力D.将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T>T0答案　D解析　在最高点时，绳的拉力等于重力的一个分力，此时绳子的拉力小于重力；在最低点的时候绳的拉力和重力共同提供向心力F－mg＝ma，可得F＝ma＋mg，故A、B,错误；小球所受重力和绳的拉力的合力的切向分力提供单摆做简谐运动的回复力，径向分力提供向心力，故C错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，根据单摆周期公式T＝2π可知将该单摆置于月球表面，其摆动周期为T>T0，故D正确。跟踪训练4.有一摆长为L的单摆，其悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M运动到左边最高点N的频闪照片如图10所示(悬点与小钉未被摄入)。P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点间的距离为(　　)图10A.B.C.D.无法确定答案　C解析　设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆长为L时单摆摆动的周期为T1＝4×4t＝16t，摆长为L′时单摆摆动的周期为T2＝4×2t＝8t，所以T1∶T2＝2∶1，又因为T1＝2π，T2＝2π，故可得L′＝L，所以小钉与悬点间的距离s＝L－L′＝L，故C正确。考点四　受迫振动和共振1.简谐运动、受迫振动和共振的关系比较振动项目简谐运动受迫振动共振,受力情况仅受回复力受驱动力作用受驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(θ≤5°)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等2.对共振的理解(1)共振曲线：如图11所示，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。图11(2)做受迫振动的系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。例3如图12甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动。小球振动稳定时。下列说法正确的是(　　)图12A.小球振动的固有频率是4HzB.小球做受迫振动时周期一定是4sC.圆盘转动周期在4s附近时，小球振幅显著增大,D.圆盘转动周期在4s附近时，小球振幅显著减小答案　C解析　小球振动的固有周期T＝4s，则其固有频率为f＝＝0.25Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于固有周期4s，B错误；圆盘转动周期在4s附近时，驱动力周期等于振动系统的固有周期，小球产生共振现象，振幅显著增大，C正确，D错误。跟踪训练5.(2023·江苏省镇江高三开学考)某种减噪装置结构如图13所示，通过装置的共振可吸收声波。已知其固有频率为f0＝(SI制)，其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度。经测试发现它对频率为200Hz的声音减噪效果最强，若外界声波频率由200Hz变为300Hz，则(　　)图13A.系统振动频率为200HzB.系统振动频率为300HzC.为获得更好减噪效果，可仅增大L的大小D.为获得更好减噪效果，可仅换用σ更大的薄板答案　B解析　系统做受迫振动，振动时的频率等于驱动力的频率，即为300Hz，故A错误，B正确；由于驱动力的频率大于系统的固有频率，在驱动力的频率一定时，为获得更好减噪效果，应使系统的固有频率增大，由题f0＝(SI制)可知，应减小σ或L，故C、D错误。,A级　基础对点练对点练1　简谐运动的规律1.做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是(　　)A.位移B.速度C.加速度D.回复力答案　B2.如图1所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sincm。下列说法正确的是(　　)图1A.M、N间距离为5cmB.振子的运动周期是0.4sC.t＝0时，振子位于N点D.t＝0.05s时，振子具有最大加速度答案　C解析　M、N间距离为2A＝10cm，选项A错误；因ω＝10πrad/s可知振子的运动周期T＝＝s＝0.2s，选项B错误；由x＝5sincm可知t＝0时，x＝5cm，即振子位于N点，选项C正确；由x＝5sincm可知t＝0.05s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，选项D错误。对点练2　简谐运动图像的理解和应用3.某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图2所示，下列描述正确的是(　　)图2A.t＝1s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值,B.t＝2s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值C.t＝3s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零D.t＝4s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值答案　A解析　当t＝1s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；当t＝2s时，振子位于平衡位置并向负向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；当t＝3s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；当t＝4s时，振子位于平衡位置并向正向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误。4.如图3甲所示为挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)图3A.单摆振动的周期是6sB.t＝2s时，摆球的速度最大C.摆球的质量越大，周期越大D.该单摆的摆长约为15m答案　B解析　由图像知，单摆的周期为8s，A错误；t＝2s时，摆球位于平衡位置，速度最大，B正确；根据单摆周期公式T＝2π，周期与质量无关，C错误；代入T＝2π得摆长l≈16m，D错误。5.如图4所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox,坐标轴。小球经过B点时开始计时，经过0.5s首次到达A点。则小球在第一个周期内的振动图像为(　　)图4答案　A解析　小球经过B点时开始计时，即t＝0时小球的位移为正向最大，经过0.5s首次到达A点，位移为负向最大，且周期为T＝1s。故A项图像正确。对点练3　单摆及周期公式6.(2023·江苏南通模拟)一单摆摆动过程中摆绳对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像如图5所示，重力加速度为g，则该单摆的摆长为(　　)图5A.B.C.D.答案　B解析　,摆球运动到最低点时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，所以摆球运动到最低点时，绳子拉力最大，摆球运动一个周期经过两次平衡位置，则由图可知周期为T＝2T0，根据单摆的周期公式T＝2π可知l＝，故B正确。7.如图6所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是(　　)图6A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1B.t＝2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能最大C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1D.甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等答案　A解析　由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2cm、1cm，所以甲、乙两摆的振幅之比为2∶1，故A正确；由图像知，t＝2s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，故B错误；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2π，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，故C错误；由题目中的条件无法比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，故D错误。对点练4　受迫振动和共振8.下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则(　　)驱动力频率/Hz304050607080受迫振动振幅/cm10.216.827.228.116.58.3A.f固＝60HzB.60Hz＜f固＜70HzC.50Hz＜f固≤60HzD.以上三个都不对答案　C解析　从如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大。并可以从中看出f驱越接近f固,，振幅的变化越慢。比较各组数据知f驱在50～60Hz范围内时，振幅变化最小，因此50Hz＜f固≤60Hz，即C正确。9.(2022·连云港模拟)飞力士棒(Flexi－bar)是德国物理治疗师发明的一种康复器材，它由一根PVC软杆、两端的负重头和中间的握柄组成，棒的固有频率为4.5Hz，如图7所示。下列说法正确的是(　　)图7A.用力越大，棒振动的越快B.增大手驱动的频率，棒的振幅一定变大C.增大手驱动的频率，棒的振动频率可能减小D.双手驱动该棒每分钟振动270次，则棒的振幅最大答案　D解析　使用者用力大小影响的是振幅，与振动快慢没有关系，故A错误；增大手驱动的频率，飞力士棒振动的频率随之增大，但是振幅不一定越来越大，故B、C错误；双手驱动该飞力士棒每分钟振动270次，则驱动力的频率为f＝Hz＝4.5Hz，驱动力的频率与飞力士棒的固有频率相等，会产生共振，故D正确。B级　综合提升练10.夏天的河上，有几名熟悉水性的青年将绳子挂在桥下荡秋千，绳子来回荡几次后跳入河中，现把秋千看成单摆模型，图8为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，则下列说法正确的是(　　),图8A.小王荡秋千时，其周期大于6.28sB.图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力为零C.小明荡到图中对应的b点时，动能最小D.该秋千的绳子长度约为10m答案　D解析　根据T＝2π，可知做单摆运动的物体的周期与质量无关，小王荡秋千时，其周期等于6.28s，故A错误；图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力最大，故B错误；小明荡到图中对应的b点时，b点为平衡位置，速度最大，动能最大，故C错误；根据T＝2π，计算得l≈10m，故D正确。11.如图9甲所示，粗细均匀的筷子一头缠上铁丝竖直漂浮在水中，水面足够大。把筷子向下缓慢按压一小段距离后释放，以竖直向上为正方向，筷子振动图像如图乙所示。则(　　)图9A.筷子在t1时刻浮力小于重力B.筷子在t2时刻动量最小C.筷子在t2到t3过程合外力的冲量方向竖直向下D.筷子在振动过程中机械能守恒答案　A,解析　因为振动图像的斜率表示速度，故在t1时刻速度为零，处于最大位移处，即加速度向下，所以重力大于浮力，故A正确；由图知筷子在t2时刻速度最大，则动量最大，故B错误；因为t2到t3过程，物体向下减速，合外力向上，故合外力的冲量方向竖直向上，故C错误；因为筷子在振动过程中，浮力对物体做功，则机械能不守恒，故D错误。12.如图10所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题：图10(1)写出该振子简谐运动的表达式；(2)在第2s末到第3s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？(3)该振子在前100s的总位移是多少？路程是多少？答案　(1)x＝5sincm　(2)见解析　(3)0　5m解析　(1)由题图可得A＝5cm，T＝4s，φ0＝0则ω＝＝rad/s故该振子简谐运动的表达式为x＝5sincm。(2)由题图可知，在t＝2s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断变大，加速度也变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t＝3s时，加速度达到最大值，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。(3)振子经过一个周期位移为零，路程为4×5cm＝20cm，前100s刚好经过了25个周期，所以前100s振子的总位移x＝0，路程s＝25×20cm＝500cm＝5m。