2025届高三一轮复习 第七章　静电场第3讲　电容器　带电粒子在电场中的运动练习

第3讲　电容器　带电粒子在电场中的运动素养目标　1.了解影响平行板电容器电容大小的因素，会利用公式判断平行板电容器电容的变化。2.会利用动力学、功能观点分析带电粒子在电场中的直线运动。3.掌握带电粒子在电场中的偏转规律。一、电容器及电容1.电容器(1)组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成。(2)带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值。(3)电容器的充、放电①充电：电容器充电的过程中，两极板所带的电荷量增加，极板间的电场强度增大，电源的能量不断储存在电容器中。②放电：放电过程中，电容器把储存的能量通过电流做功转化为其他形式的能量。2.电容(1)定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板之间的电势差U之比。(2)定义式：C＝。(3)单位：法拉(F)、微法(μF)、皮法(pF)。1F＝106μF＝1012pF。(4)意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量。(5)决定因素：由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介质)决定，与电容器是否带电及电压无关。3.平行板电容器的电容：决定式C＝。二、带电粒子在电场中的运动1.加速(1)在匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv。(2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv2－mv。2.偏转,(1)运动情况：带电粒子以初速度v0垂直电场方向进入匀强电场中，则带电粒子在电场中做类平抛运动，如图1所示。图1(2)处理方法：将带电粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿静电力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识解决有关问题。(3)基本关系式：运动时间t＝加速度a＝＝＝偏转量y＝at2＝偏转角θ的正切值tanθ＝＝＝。三、示波管1.示波管的构造①电子枪　②偏转电极　③荧光屏(如图2所示)图22.示波管的工作原理(1)YY′偏转电极上加的是待测的信号电压，XX′偏转电极上是仪器自身产生的锯齿形电压，叫作扫描电压。(2)观察到的现象①如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，则电子枪射出的电子沿直线运动，打在荧光屏中心，产生一个亮斑。②若所加扫描电压和信号电压,的周期相等，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内变化的稳定图像。基础自测1.对于某一电容器，下列说法正确的是(　　)A.电容器所带的电荷量越多，电容越大B.电容器两极板间的电势差越大，电容越大C.电容器所带的电荷量增加一倍，两极板间的电势差也增加一倍D.电容器两极板间的电势差减小到原来的，它的电容也减小到原来的答案　C解析　根据公式C＝可得，电容的大小跟电容器两端的电势差以及电容器所带电荷量的多少无关，根据公式C＝可得电容器所带的电荷量增加一倍，两极板间的电势差也增加一倍，所以C正确，A、B、D错误。2.如图3所示，一带电粒子沿与电场线垂直的方向从电场中央进入两平行金属板间的匀强电场，已知粒子的带电荷量为q，两板间的电势差为U，则粒子运动过程中(　　)图3A.若粒子从电场中射出，则粒子动能增加了qUB.若粒子从电场中射出，则静电力一定对粒子做了的功C.若粒子打在极板上，则静电力一定对粒子做了的功D.若粒子打在极板上，则粒子的动能一定增加了答案　C解析　粒子从电场中央进入，根据动能定理，动能增加量等于静电力做功与重力做功的代数和，而静电力与重力大小关系未知，重力是否考虑未知，则ΔEk＝qUy,＋WG，又是否射出和射出位置不确定，则Uy≤，所以动能增加量不确定，故A、B、D错误；当粒子打在极板上，则静电力做功为，故C正确。考点一　电容器的理解及动态分析1.两类典型问题(1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变。(2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变。2.动态分析思路(1)U不变①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析Q的变化。②根据E＝分析电场强度的变化。③根据UAB＝Ed分析某点电势变化。(2)Q不变①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析U的变化。②根据E＝分析电场强度变化。考向　对电容器的理解例1(2022·江苏苏锡常镇模拟)足够大的带电金属平板其附近的电场可看作匀强电场，平行板电容器，其内部电场是两个极板电荷的叠加场。某平行板电容器的带电荷量为Q，内部电场强度为E，不计电容器的边缘效应，其两极板间的吸引力为(　　)A.QEB.C.2QED.4QE答案　B,解析　将电容器的一个极板上的电荷看作是场源电荷，另一个极板上的电荷看作检验电荷，由题意可知电容器内部电场是两个极板电荷的叠加场，则场源电荷产生的电场强度大小为，因此两极板相互间的静电力为F＝·Q＝，故B正确，A、C、D错误。考向　电容器的动态分析例2如图4所示，是一个由电池、电阻R、开关S与平行板电容器组成的串联电路，开关S闭合。一带电液滴悬浮在两板间P点不动，下列说法正确的是(　　)图4A.若将A板向右平移一小段位移，电容器的电容C增大B.若断开S，将B板向下平移一小段位移，带电液滴的电势能减小C.在S仍闭合的情况下，增大两极板距离的过程中，电阻R中有从b到a的电流D.若断开S，减小两极板距离，则带电液滴向下运动答案　B解析　根据C＝可知，将A板向右平移一小段位移，则两极板正对面积S减小，电容器的电容C减小，故A错误；由图可知带电液滴受到竖直向上的静电力，电场竖直向下，带电粒子带负电荷。若断开S，则电容器所带的电荷量不变，根据C＝，C＝，E＝可得E＝Q可知，向下平移B板电场强度不变。B板电势为零，根据UPB＝EdPB可得φP－0＝EdPB，可知将B板向下平移一小段位移，dPB增大，则P点的电势升高。根据Ep＝qφ可知，P点电势升高，带负电荷的液滴电势能减小，故B正确；在S仍闭合的情况下，根据C＝可知，增大两极板距离的过程中，电容器的电容C减小，Q减小，电容器放电，电阻R中有从a到b的电流，故C错误；根据选项B分析可知，若断开S，减小两极板距离，电场强度不变，液滴受到的静电力不变，则带电液滴不动，故D错误。,跟踪训练1.如图5所示，平行板电容器通过一滑动变阻器R与直流电源连接，G为一零刻度在表盘中央的电流计，闭合开关S后，下列说法中正确的是(　　)图5A.若在两板间插入电介质，电容器的电容变小B.若在两板间插入一导体板，电容器的带电量变小C.若将滑动变阻器滑片P向上移动，电容器的带电量变大D.若将电容器下极板向下移动一小段距离，此过程电流计中有从a到b方向的电流答案　C解析　根据公式C＝，在两板间插入电介质，εr增加，所以电容器的电容变大，故A错误；同理，在两板间插入一导体板，由于导体板的静电感应，致使电容器两板间距d减小，电容器的电容增加，由公式C＝可知极板间电压不变的时候，带电量变大，故B错误；将滑动变阻器滑片P向上移动，电容器极板间电压变大，根据C＝，易知电容器带电量变大，故C正确；将电容器下极板向下移动一小段距离，由公式C＝，可知电容器的电容减小，再根据C＝，可知电容器将放电，此过程电流计中有从b到a方向的电流，故D错误。考点二　带电粒子在电场中的直线运动1.做直线运动的条件(1)粒子所受合力F合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动。(2)粒子所受合力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直线运动。,2.用动力学观点分析a＝，E＝，v2－v＝2ad。3.用功能观点分析匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。例3如图6所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、P点。由O点静止释放的电子恰好能运动到P点。现将C板向右平移到P′点，则由O点静止释放的电子(　　)图6A.运动到P点返回B.运动到P和P′点之间返回C.运动到P′点返回D.穿过P′点答案　A解析　设AB、BC间的电场强度分别为E1、E2，间距分别为d1和d2，电子由O点运动到P点的过程中，根据动能定理得eE1d1－eE2d2＝0　①当C板向右平移后，BC板间的电场强度E2′＝＝＝＝B、C板间的电场强度与板间距无关，大小不变。第二次释放后，设电子在B、C间移动的距离为x，则eE1d1－eE2x＝0－0　②比较①②两式知，x＝d2，即电子运动到P点时返回，A正确。带电粒子在匀强电场中的直线运动问题的分析方法,　　跟踪训练2.如图7所示，A、B为平行金属板，两极板相距为d，分别与电源两极连接。两板的中央各有一小孔M、N。今有一带电质点自A板上方相距为d的P点由静止下落，不计空气阻力，到达两板中点时的速度恰好为零，然后沿原路返回。则带电质点的重力与它在电场中所受静电力的大小之比为(　　)图7A.1∶2B.1∶3C.2∶1D.3∶1答案　B解析　带电质点从P点由静止开始下落到两极板中点时，先加速后减速。根据动能定理，有mg×d＝qE×，重力与静电力的大小之比为1∶3，故选项B正确。考点三　带电粒子在电场中的偏转1.运动规律(1)沿初速度方向做匀速直线运动①能飞出电容器：t＝②不能飞出电容器：y＝at2＝t2,t＝(2)沿静电力方向做匀加速直线运动加速度：a＝＝＝离开电场时的偏移量：y＝at2＝离开电场时的偏转角：tanθ＝＝2.两个推论(1)粒子经电场偏转后射出，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为。(2)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。3.功能关系qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。考向　带电粒子在电场中偏转例4(2023·东昌府区期中)如图8所示，一质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)从两平行板左侧中点处沿垂直电场强度方向射入，当入射速度为v0时，恰好穿过电场而不碰金属板。若粒子的入射速度变为2v0，仍能恰好穿过电场，只改变以下一个条件，可行的是(　　)图8A.两极板长度变为原来的4倍B.粒子的电荷量变为原来的2倍C.两板间电压增为原来的4倍D.移动上极板，使两板间距离增为原来的4倍答案　C,解析　设平行板长度为l，间距为d，板间电压为U，当粒子入射速度为v0时，恰好穿过电场而不碰金属板，则有l＝v0t，粒子垂直于初速度方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得＝ma，y＝d＝at2＝；若粒子的入射速度变为2v0，仍能恰好穿过电场，则只改变一个条件的情况下，可行的方案是粒子的电荷量变为原来的4倍、将两板间电压变为原来的4倍、两极板长度变为原来的2倍、两板间距离变为原来的，故C正确，A、B、D错误。考向　带电粒子在电场中先加速后偏转例5某种类型的示波管工作原理如图9所示，电子先经过电压为U1的直线加速电场，再垂直进入偏转电场，离开偏转电场时的偏移量为h，两平行板之间的距离为d，电压为U2，板长为L，把叫作示波器的灵敏度，下列说法正确的是(　　)图9A.电子在加速电场中动能增大，在偏转电场中动能不变B.电子只要能离开偏转电场，在偏转电场中的运动时间一定等于LC.当U1、L增大，d不变，示波器的灵敏度一定减小D.当L变为原来的两倍，d变为原来的4倍，U1不变，示波器的灵敏度增大答案　B解析　电子在加速电场中动能增大，在偏转电场中动能继续增大，故A错误；由动能定理有eU1＝mv2，水平方向有t＝，解得t＝L，故B正确；竖直方向有h＝t2，可得＝，当U1、L增大d不变，可能不变，示波器的灵敏度可能不变，故C错误；当L变为原来的两倍，d变为原来的4倍，U1不变，可得＝不变，则示波器的灵敏度不变，故D错误。,跟踪训练3.示波管的示意图如图10所示，竖直偏转电极的极板长L＝4.0cm，两板间距离d＝1.0cm，两板间电压U＝144V。极板右端与荧光屏的距离s＝18cm。由阴极发出的电子经电压U0＝2880V的电场加速后，以速度v0沿中心线进入竖直偏转电场。(已知电子电荷量e＝1.6×10－19C，质量m＝9×10－31kg，且电子所受重力及电子之间的相互作用力均可忽略不计。)求：图10(1)电子飞入偏转电场时的速度v0；(2)电子打在荧光屏上距中心点的距离Y。答案　(1)3.2×107m/s　(2)2cm解析　(1)对于电子通过加速电场的过程，根据动能定理有eU0＝mv解得v0＝3.2×107m/s。(2)设电子飞出偏转电场，在垂直极板方向上的位移为y，即有y＝at2，a＝＝电子偏转的时间t＝电子飞出偏转电场时速度的反向延长线交水平位移的中点，依据几何关系有＝解得Y＝2cm。A级　基础对点练对点练1　电容器的理解及动态分析1.(2023·长沙月考)如图1所示，平行板电容器A、B,两板带等量的异种电荷，保持电容器的带电量不变，将A板向左平移一些，则此过程关于电容器的下列物理量变小的是(　　)图1A.两板间的电势差B.两板的电势能C.两板间的电场强度D.电容器的电容答案　D解析　A板向左平移后，两板间的距离增大，由C＝可知，电容器的电容变小，故D正确；由U＝可知，电容器两板间的电势差变大，故A错误；由于两板间距离增大，静电力做负功，电势能增大，故B错误；由E＝＝可知，两板间的电场强度不变，故C错误。2.(2023·广东潮州质检)如图2所示的实验装置可用来探究影响平行板电容器电容的因素，其中电容器左侧极板B和静电计外壳均接地，电容器右侧极板A与静电计金属球相连，使电容器带电后与电源断开，下列操作能使静电计的指针偏角变大的是(　　)图2A.减小A板与B板之间的水平距离B.将橡胶棒插入A板与B板之间C.A板位置不动，将B板稍微竖直向下平移,D.将A板也接地答案　C解析　静电计指针偏角反映的是电容器两极板之间的电势差，电容器带电后与电源断开，则Q不变，减小A板与B板之间的水平距离，根据C＝可知电容C增大，根据U＝可知U变小，指针偏角变小，故A错误；将橡胶棒插入A板与B板之间εr变大，根据C＝可知电容C增大，根据U＝可知U变小，指针偏角变小，故B错误；A板位置不动，将B板稍微竖直向下平移，S变小，根据C＝可知电容C减小，根据U＝，可知U变大，指针偏角变大，故C正确；将A板也接地，AB两板电势差变为0，则指针偏角变小，故D错误。3.如图3所示是一个由电池、电流计、理想二极管、开关S与平行板电容器组成的串联电路，其中电流计指针偏转方向与电流方向满足图示“右进右偏，左进左偏”。开关S闭合，电路稳定后，下列说法正确的是(　　)图3A.若将A板向上平移一小段距离，则电流计指针会左偏B.若紧贴A板内侧插入一块玻璃板，则电流计指针会左偏C.若将B板向右平移一小段位移，则电流计指针会右偏D.若将B板向上平移一小段位移，则电流计指针会右偏答案　D解析　根据C＝，将A板向上平移一小段距离C变小，由C＝可知Q变小，由于二极管的单向导电性，则不会有a→b放电电流，则电流计指针不动，A错误；紧贴A板内侧插入一块玻璃板，致使电容器的电容增大，根据C＝，则电荷量将变大，由于二极管存在单向导电性，则会有b→a,充电电流，则电流计指针会右偏，B错误；根据C＝，将B板向右平移一小段位移，致使电容器的电容减小，根据A项分析可知，C错误；根据C＝，将B板向上平移一小段位移，致使电容器的电容增大，根据C＝，则电荷量将变大，则会有b→a充电电流，则电流计指针会右偏，D正确。4.(2023·江西上饶模拟)如图4所示，一平行板电容器的两极板与一电压恒定的电源相连，极板水平放置，在下极板上叠放一金属板，其上部空间有一带电粒子P静止在电容器中，当把金属板从电容器中快速抽出后，下列说法正确的是(　　)图4A.电容器的电容增大B.电容器的带电荷量减少C.P仍将静止D.P向上运动答案　B解析　由题意可知金属板抽出，平行板电容器两板间距d变大，由C＝，知电容器的电容减小，故A错误；电容器极板间电压不变，根据公式有C＝，当电容器的电容减小时，极板的电荷量减小，故B正确；因为极板间电压不变，d增大，根据公式U＝Ed，F＝qE，可知静电力减小，P向下运动，故C、D错误。对点练2　带电粒子在电场中的直线运动5.如图5所示，空间存在两块平行的彼此绝缘的带电薄金属板A、B，间距为d，中央分别开有小孔O、P。现有甲电子以速率v0从O点沿OP方向运动，恰能运动到P点。若仅将B板向右平移距离d，再将乙电子从P′点由静止释放，则(　　)图5,A.金属板A、B组成的平行板电容器的电容C不变B.金属板A、B间的电压减小C.甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同D.乙电子运动到O点的速率为2v0答案　C解析　两板间距离变大，根据C＝可知，金属板A、B组成的平行板电容器的电容C减小，选项A错误；根据Q＝CU，Q不变，C减小，则U变大，选项B错误；根据E＝＝＝，可知当d变大时，两板间的场强不变，则甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同，选项C正确；根据eE·2d＝mv2，eEd＝mv，可知乙电子运动到O点的速率v＝v0，选项D错误。6.如图6所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电油滴，在平行于纸面的匀强电场中由静止沿斜向右下方做直线运动，其轨迹与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　　)图6A.电场强度的最小值等于B.电场强度的最大值等于C.带电油滴的机械能不可能增加D.静电力可能对带电油滴不做功答案　D解析　带电油滴的运动轨迹为直线，在电场中受到重力mg和静电力F，其合力必定沿此直线向下，根据三角形定则作出合力，由图可知，当静电力F与油滴轨迹垂直时，静电力F最小，场强最小，则有F＝qEmin＝mgsinθ，得到Emin＝,，电场强度无最大值，故A、B错误；当E＝时，静电力方向与速度方向垂直，静电力不做功，带电油滴的电势能一定不变；这种情况下只有重力做功，带电油滴的机械能不变，故D正确；当E＞时，静电力方向与速度方向成锐角时，静电力做正功，带电油滴的机械能增加，故C错误。对点练3　带电粒子在电场中的偏转7.(2023·广东惠州调研)利用电场可以使带电粒子的运动方向发生改变。现使一群电荷量相同、质量不同的带电粒子同时沿同一方向垂直射入同一匀强电场，经相同时间速度的偏转角相同，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则它们在进入电场时一定具有相同的(　　)A.动能B.动量C.加速度D.速度答案　B解析　速度的偏转角tanθ＝＝＝，若偏转角相同，则mv0一定相同，故B正确；粒子的质量m不同，动能不同，故A错误；由a＝知加速度不同，故C错误；由v＝at知速度不同，故D错误。8.如图7所示，质量相等的两个带电液滴1和2从水平方向的匀强电场中O点自由释放后，分别抵达B、C两点，若AB＝BC，则它们带电荷量之比q1∶q2等于(　　)图7A.1∶2B.∶1C.1∶D.2∶1,答案　D解析　两个带电液滴在复合场中分别受到大小不变的静电力和重力(即各自的合力不变)，两个液滴均做初速度为零的匀加速直线运动(在水平和竖直两个方向上均是初速度为零的匀加速直线运动)，设带电液滴的水平位移OA＝L，两带电液滴水平位移相等，竖直位移为y，对液滴有L＝·t2，y＝gt2，解得q＝，则＝＝＝，故A、B、C错误，D正确。9.一匀强电场的方向竖直向上。t＝0时刻，一带电粒子以一定初速度水平射入该电场，静电力对粒子做功的功率为P，不计粒子重力，则P－t关系图像是(　　)答案　A解析　设粒子带正电，运动轨迹如图所示，水平方向，粒子不受力，vx＝v0。沿电场方向：受力F电＝qE，则加速度a＝＝，经时间t，粒子沿电场方向的速度vy＝at＝静电力做功的功率P＝F电vy＝qE·＝＝kt∝t，选项A正确。B级　综合提升练10.(2022·湖北卷，4)密立根油滴实验装置如图8所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电。金属板间电势差为U时，电荷量为q、半径为r,的球状油滴在板间保持静止。若仅将金属板间电势差调整为2U，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为(　　)图8A.q，rB.2q，rC.2q，2rD.4q，2r答案　D解析　初始状态下，油滴处于静止状态时，满足qE＝mg，即q＝πr3·ρg，当电势差调整为2U时，若油滴的半径不变，则满足q′＝πr3·ρg可得q′＝，A、B错误；若油滴的半径变为2r时，则满足q″＝π(2r)3·ρg，可得q″＝4q，C错误，D正确。11.(2023·常州期末)美国物理学家密立根于20世纪初进行了多次试验，比较准确地测定了电子的电荷量，其实验原理图可简化为如图9所示模型，置于真空中的油滴室内有两块水平放置的平行金属板A、B与电压为U的恒定电源两极相连，板的间距为d、油滴散布在油滴室中，在重力作用下，少数油滴通过上面金属板的小孔进入平行板间。现有一质量为m的带电油滴在极板间匀速下落，已知元电荷e，重力加速度g，则(　　)图9A.油滴带正电B.油滴中电子的数目为C.油滴从小孔运动到金属板B过程中，电势能减少mgd,D.若将金属板A向上缓慢移动一小段距离，油滴将加速下降答案　D解析　带电油滴在极板间匀速下落，重力和静电力平衡，则油滴所受的静电力方向竖直向上，与电场方向相反，所以油滴带负电，故A错误；由平衡条件得mg＝q，解得油滴所带电荷量为q＝，则油滴中电子的数目n＝＝，故B错误；油滴从小孔运动到金属板B过程中，克服静电力做功为W＝qU＝mgd，则电势能增加mgd，故C错误；将金属板A向上缓慢移动一小段距离，板间电压不变，板间距离增大，由E＝知板间电场强度减小，油滴受到的静电力减小，静电力将小于重力，则油滴将加速下降，故D正确。12.串列加速器能将粒子加速两次，其结构如图10所示。A、B、C极板竖直等距，A、C接地，B接高压正极。某负一价离子在A板中央处由静止释放，经过B板中心处的剥离膜时两个电子被剥除转为正一价离子，正离子在B、C间沿中央线加速向C板运动，之后沿着束流管的中心进入束流管。已知B板与A、C板间的电势差均为U、间距均为d，离子到达C极板的速度大小为v，不计离子经过剥离膜前后的动能损失(不计重力及质量变化，将极板间视为匀强电场)。图10(1)求该一价离子的比荷；(2)离子从A板运动到B板的速度大小；(3)实际上，离子经过剥离膜时会偏离原来的运动方向，动能也会有损失。若该一价离子经过剥离膜时运动方向改变了90°，速率变为原来的1%，则束流管的直径至少多大时才能收集到该类型的离子？答案　(1)　(2)v　(3)解析　(1)离子从A板运动到C板，根据动能定理得2qU＝mv2,该一价离子的比荷＝。(2)离子从A板运动到B板，根据动能定理得qU＝mv可得离子到达B板时的速度大小vB＝v。(3)由题意知，离子离开剥离膜后速度方向变为竖直向上或竖直向下，速率变为原来的1%，开始做类平抛运动，在竖直方向上做匀速直线运动，由y＝在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有d＝at2离子在B、C间运动的加速度大小a＝联立解得y＝所以束流管的直径至少为d＝2y＝2×＝。