2025届高三一轮复习 第六章　动量守恒定律热点专题十　动量守恒定律中的四个常考模型练习

热点专题十　动量守恒定律中的四个常考模型素养目标　1.会用动量守恒定律分析&ldquo;滑块&mdash;弹簧&rdquo;问题。2.会用动量守恒定律分析&ldquo;滑块&mdash;斜(曲)面&rdquo;模型。3.会用动量守恒定律分析&ldquo;子弹打木块&rdquo;模型。4.会用动量守恒定律分析&ldquo;滑块&mdash;木板&rdquo;模型。热点一　&ldquo;滑块&mdash;弹簧&rdquo;模型模型图示模型特点(1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒(2)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)(3)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)例1如图1所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物体甲、乙连接，静止在光滑的水平面上。现在使甲瞬间获得水平向右的速度v0＝4m/s，当甲物体的速度减小到1m/s时，弹簧最短。下列说法中正确的是(　　)图1A.此时乙物体的速度为1m/sB.紧接着甲物体将开始做加速运动C.甲、乙两物体的质量之比m1∶m2＝1∶4D.当弹簧恢复原长时，乙物体的速度大小为4m/s答案　A解析　根据题意得，当弹簧压缩到最短时，两物体速度相同，所以此时乙物体的速度也是1m/s，A正确；因为弹簧压缩到最短时，甲受力向左，甲继续减速，B错误；根据动量守恒定律可得m1v0＝(m1＋m2)v，解得m1∶m2＝1∶3，C,错误；当弹簧恢复原长时，根据动量守恒和机械能守恒有m1v0＝m1v1&prime;＋m2v2&prime;，m1v＝m1v1&prime;2＋m2v2&prime;2，联立解得v2&prime;＝2m/s，D错误。跟踪训练1.(2023&middot;江苏南京市第二十九中学模拟)如图2，质量分别为m和2m的A、B两个小球置于光滑的水平面上，B与轻质弹簧拴接在一起，A不与弹簧拴接，弹簧处于原长。现给A一个向左的水平初速度v0，A与弹簧发生相互作用，最终与弹簧分离。若在B的左侧某处固定一挡板(位置未知，图中未画出)，在A与弹簧分离前，B与挡板发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，则碰后弹簧的最大弹性势能(　　)图2A.可能小于mvB.不可能小于mvC.一定大于mvD.可能大于mv答案　B解析　根据题意，取向左为正方向，设弹簧恢复原长时A小球的速度为vA，B小球的速度为vB，由动量守恒定律有mv0＝mvA＋2mvB，由能量守恒定律有mv＝mv＋&times;2mv，解得vA＝－，vB＝，根据题意可知，在弹簧恢复原长时B与挡板碰撞，碰后系统具有向右的最大动量，当两者共速时，此时弹簧的最大弹性势能是所有B与挡板碰撞情形中弹簧最大弹性势能最小的，则B与挡板碰撞后，取向右为正方向，设共速时速度为v，由动量守恒定律有m&middot;＋2m&middot;＝3mv，解得v＝v0，由能量守恒定律有Epmin＝m＋&times;2m－&times;3m＝,mv，即碰后弹簧的最大弹性势能不可能小于mv，故A错误，B正确；根据题意可知，由于系统的总机械能不可能增加，因此碰后弹簧的最大弹性势能不可能大于mv，故C、D错误。热点二　&ldquo;滑块&mdash;斜(曲)面&rdquo;模型模型图示模型特点(1)最高点：m与M具有共同水平速度v共，m不会从此处或提前偏离轨道。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)(2)最低点：m与M分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(弹性碰撞拓展模型)例2(2023&middot;常州模拟)如图3所示，质量为M＝4kg的大滑块静置在光滑水平面上，滑块左侧为光滑圆弧，圆弧底端和水平面相切，顶端竖直。一质量为m＝1kg的小物块，被压缩弹簧弹出后，冲上大滑块，能从大滑块顶端滑出，滑出时大滑块的速度为1m/s。g取10m/s2。求：图3(1)小物块被弹簧弹出时的速度大小；(2)小物块滑出大滑块后能达到的最大高度h1；(3)小物块回到水平面的速度大小及再次滑上大滑块后能达到的最大高度h2。答案　(1)5m/s　(2)1m　(3)3m/s　0.04m,解析　(1)设小物块离开弹簧后的速度为v1，小物块滑上大滑块的过程中系统水平方向动量守恒，有mv1＝(m＋M)v2解得v1＝5m/s。(2)小物块第一次上升到最高点时水平速度等于v2，系统机械能守恒，有mv＝(m＋M)v＋mgh1解得h1＝1m。(3)小物块能下落到大滑块并从大滑块上滑到水平面，系统水平方向动量守恒、机械能守恒，有mv1＝mv1&prime;＋Mv2&prime;mv＝mv1&prime;2＋Mv2&prime;2解得v1&prime;＝－3m/s，v2&prime;＝2m/s系统水平方向动量守恒、机械能守恒，有m(－v1&prime;)＋Mv2&prime;＝(m＋M)vmv1&prime;2＋Mv2&prime;2＝(m＋M)v2＋mgh2解得h2＝0.04m。跟踪训练2.(2023&middot;江苏海安县实验中学模拟)如图4所示，水平面上一质量为m的小球以速度v0进入圆弧槽，已知圆弧槽的质量为M，半径为R，不计一切摩擦，求：图4(1)当小球到达圆弧槽与圆心O等高的B处时，圆弧槽的速度大小；(2)若v0大小不确定，小球能通过圆弧槽的最高点C，则落地瞬间距槽口A点的最小距离。答案　(1)　(2)2R,解析　(1)小球到达B处时，可判断两者水平方向速度相同，根据水平方向动量守恒有mv0＝(m＋M)v可得v＝。(2)以圆弧槽为参考系，小球恰能通过圆弧槽的最高点C时，落地瞬间距槽口A点的距离最小，设小球在最高点相对圆弧槽的速率为vC，则有mg＝小球离开圆弧槽后做平抛运动，则有2R＝gt2，&Delta;x＝vCt解得&Delta;x＝2R。热点三　&ldquo;子弹打木块&rdquo;模型模型图示模型特点(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)。动量守恒：mv0＝(m＋M)v能量守恒：Q＝Ffs＝mv－(M＋m)v2(2)子弹穿透木块。动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2能量守恒Q＝Ffd＝mv－例3(2023&middot;江苏扬州模拟)如图5所示，一沙袋用无弹性轻细绳悬于O点。开始时沙袋处于静止状态，一弹丸以水平速度v0击中沙袋后未穿出，二者共同摆动。若弹丸质量为m，沙袋质量为5m，弹丸和沙袋形状大小忽略不计，弹丸击中沙袋后漏出的沙子质量忽略不计，不计空气阻力，重力加速度为g,。下列说法中正确的是(　　)图5A.弹丸打入沙袋过程中，细绳所受拉力大小保持不变B.弹丸打入沙袋过程中，弹丸对沙袋的冲量等于沙袋对弹丸的冲量C.弹丸打入沙袋过程中所产生的热量为D.沙袋和弹丸一起摆动所达到的最大高度为答案　D解析　弹丸以水平速度v0击中沙袋后未穿出，动量守恒，mv0＝v，沙袋与弹丸受到细线的拉力与重力的合力提供向心力即F－6mg＝6m，F&gt;6mg，A错误；弹丸打入沙袋过程中，弹丸对沙袋的冲量与沙袋对弹丸的冲量等大反向，B错误；根据能量守恒得到mv＝&times;6mv2＋Q，求得Q＝mv，C错误；对沙袋与弹丸，从最低点到最高点，由机械能守恒&times;6mv2＝6mgh，求得h＝，D正确。跟踪训练3.(2022&middot;江苏海安模拟)如图6所示，质量为M＝100g的木板左端是一半径为R＝10m的光滑圆弧轨道，轨道右端与木板上表面水平相连。质量为m1＝80g的木块置于木板最右端A处。一颗质量为m2＝20g的子弹以大小为v0＝100m/s的水平速度沿,木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出。已知子弹打进木块的时间极短，木板上表面水平部分长度为L＝10m，木块与木板间的动摩擦因数&mu;＝0.5，重力加速度为g。图6(1)求子弹打进木块过程中系统损失的机械能；(2)若木板固定，求木块刚滑上圆弧时对圆弧的压力；(3)若木板不固定，地面光滑，求木块上升的最大高度。答案　(1)80J　(2)4N　方向竖直向下　(3)5m解析　(1)子弹打进木块过程，由动量守恒定律m2v0＝(m1＋m2)v1解得v1＝20m/s系统损失的机械能为&Delta;E＝m2v－(m1＋m2)v解得&Delta;E＝80J。(2)木块从A端滑到B端过程，由动能定理得－&mu;(m1＋m2)gL＝(m1＋m2)v－(m1＋m2)v木块滑到B端时，由牛顿第二定律得FN－(m1＋m2)g＝解得FN＝4N根据牛顿第三定律知F压＝FN＝4N，方向竖直向下。(3)从开始至木块在圆弧轨道上滑至最高过程，水平方向系统动量守恒，有m2v0＝(m2＋m1＋M)v3得v3＝10m/s子弹打进木块后至木块在圆弧轨道上滑至最高过程，根据能量守恒定律得(m1＋m2)v＝(m2＋m1＋M)v＋(m1＋m2)gh＋&mu;(m1＋m2)gL,解得h＝5m。热点四　&ldquo;滑块&mdash;木板&rdquo;模型模型图示模型特点(1)滑块未从木板上滑下，当两者速度相等时木块或木板的速度最大，两者的相对位移取得极值(完全非弹性碰撞拓展模型)(2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能(3)根据能量守恒定律，系统损失的动能&Delta;Ek＝Ek0，可以看出，滑块的质量越小，木板的质量越大，动能损失越多(4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，相当于非弹性碰撞拓展模型，也可以从力和运动的角度借助图示求解例4如图7所示，光滑水平面上放一木板A，质量M＝4kg，小铁块B(可视为质点)质量为m＝1kg，木板A和小铁块B之间的动摩擦因数&mu;＝0.2，小铁块B以v0＝10m/s的初速度从木板A的左端冲上木板，恰好不滑离木板。(g＝10m/s2)图7(1)A、B的加速度分别为多少？(2)经过多长时间A、B速度相同，相同的速度为多少？(3)薄木板的长度？答案　(1)0.5m/s2　2m/s2　(2)4s　2m/s　(3)20m解析　(1)对小铁块B，由牛顿第二定律有aB＝&mu;g＝2m/s2对木板A，由牛顿第二定律有,aA＝＝0.5m/s2。(2)由于A、B组成的系统合外力为零，则A、B组成的系统动量守恒有mv0＝(m＋M)v共代入数据有v共＝2m/s由于木板A做匀加速直线运动，则由匀变速直线运动的速度时间关系有v共＝aAt代入数据解得t＝4s。(3)设薄木板的长度为L，则对A、B整体由动能定理有－&mu;mgL＝(m＋M)v－mv代入数据有L＝20m。跟踪训练4.(2023&middot;江苏淮安期中)如图8所示，一质量M＝0.8kg的小车静置于光滑水平地面上，小车上表面由光滑圆弧轨道BC和水平粗糙轨道CD组成，圆弧轨道与水平轨道相切于C处，圆弧BC所对应的圆心角&theta;＝37&deg;，半径OB＝OC＝5m，CD的长度为5m。某一时刻，质量m＝0.2kg的物块A从空中某处以大小v0＝4m/s的速度水平抛出，恰好沿切线方向从B点进入圆弧轨道，最终物块A恰好不滑离小车。取g＝10m/s2，sin37&deg;＝0.6，cos37&deg;＝0.8，空气阻力不计。以下说法不正确的是(　　)图8A.物块A在小车上相对小车运动的过程中，A与小车构成的系统动量守恒B.物块A通过B点时的速度大小为5m/sC.物块A滑到C点时受到圆弧轨道的支持力大于2.0ND.物块与水平轨道CD间的动摩擦因数&mu;＝0.418答案　A解析　物块A落到B点到C点过程中，竖直方向合外力不为零，A,与小车构成的系统动量不守恒，故A错误；在B点，根据几何关系有cos37&deg;＝，解得vB＝5m/s，故B正确；在C点，物块A加速度向上，物块A处于超重状态，则物块A滑到C点时受到圆弧轨道的支持力大于2.0N，故C正确；设物块到达轨道CD的D端时的速度大小为vD，水平方向由动量守恒定律有mv0＝(M＋m)vD，由动能定理得mg(R－Rcos&theta;)－&mu;mgL＝(M＋m)v－mv，联立解得&mu;＝0.418，故D正确。对点练1　&ldquo;滑块&mdash;弹簧&rdquo;模型1.(2023&middot;江苏无锡模拟)如图1所示，物体A、B将一轻弹簧(不与A、B拴接)挤压后用线系住，静止在水平面上，A、B的质量之比为2∶1，A、B与水平面间的动摩擦因数之比为1∶2。现将线烧断，则(　　)图1A.A、B组成的系统动量不守恒B.弹簧刚恢复原长时，B速度达到最大C.弹簧刚恢复原长时，A、B动能相等D.A、B同时停止运动答案　D解析　A、B组成的系统水平方向受合外力为F合＝&mu;AmAg－&mu;BmBg＝0，可知系统的动量守恒，选项A错误；当B的速度最大时，弹力等于摩擦力，此时弹力不为零，则当弹簧刚恢复原长时，B速度不是最大，选项B错误；根据动量守恒，弹簧刚恢复原长时mAvA－mBvB＝0，即pA＝pB，Ek＝，＝＝，选项C错误；系统动量守恒，mAvA＝mBvB，可知A、B同时停止运动，选项D正确。2.两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4kg的物块C,静止在前方，如图2所示。已知物块B与物块C碰撞后会粘在一起运动。在以后的运动中：图2(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？(2)系统中弹性势能的最大值是多少？答案　(1)3m/s　(2)12J解析　(1)弹簧压缩至最短时，弹性势能最大，由动量守恒定律得(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vA，解得vA＝3m/s。(2)物块B、C碰撞过程系统动量守恒mBv＝(mB＋mC)vC故vC＝2m/s碰后弹簧压缩到最短时弹性势能最大故Ep＝mAv2＋(mB＋mC)v－(mA＋mB＋mC)v＝12J。对点练2　&ldquo;滑块&mdash;斜(曲)面&rdquo;模型3.如图3所示，质量为m的光滑圆弧形槽静止在光滑水平面上，质量也为m的小钢球从槽的顶端A处由静止释放，关于小球和凹槽在以后的运动过程中，以下说法正确的是(　　)图3A.小球的机械能守恒B.小球和槽组成的系统动量守恒C.小球一定可以到达与A等高的C点D.经过一段时间后小球和槽以相同的速度向右运动答案　C解析　小球下滑过程中，槽对小球的作用力会做功，则小球的机械能不守恒，故,A错误；小球和槽在运动过程中所受的外力矢量和不为零，则小球和槽组成的系统动量不守恒，故B错误；小球和槽组成的系统水平方向上不受外力，所以系统在水平方向上动量守恒，由题意知水平方向上初动量为零，所以小球上滑到最高点时系统的动量也为零，又因为整个过程系统机械能守恒，初动能和末动能都为零，所以初、末状态系统重力势能相同，小球可以到达与A等高的C点，故C正确；小球和槽组成的系统水平方向上不受外力，所以系统在水平方向上动量守恒，由题意知水平方向上初动量为零，若小球和槽以相同的速度向右运动，则水平方向上动量不守恒，故D错误。4.如图4所示，在足够大的光滑水平面上停放着装有光滑弧形槽的小车，弧形槽的底端切线水平，一小球以大小为v0的水平速度从小车弧形槽的底端沿弧形槽上滑，恰好不从弧形槽的顶端离开。小车与小球的质量分别为2m、m，重力加速度大小为g，不计空气阻力，以弧形槽底端所在的水平面为零势能面。下列说法正确的是(　　)图4A.小球的最大重力势能为mvB.小球离开小车后，小球做自由落体运动C.在小球沿小车弧形槽滑行的过程中，小车对小球做的功为0D.在小球沿小车弧形槽滑行的过程中，合力对小车的冲量大小为mv0答案　A解析　经分析可知，小球到达弧形槽顶端时，小球与小车的速度相同(设共同速度大小为v)，在小球沿小车弧形槽上滑的过程中，小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，有mv0＝3mv，根据机械能守恒定律有mv＝&times;3mv2＋Ep，解得Ep＝mv，故A正确；设小球返回弧形槽的底端时，小球与小车的速度分别为v1、,v2，在小球沿小车弧形槽滑行的过程中，小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，以v0的方向为正方向，则mv0＝mv1＋2mv2，根据机械能守恒定律有mv＝mv＋&times;2mv，解得v1＝－，v2＝v0，小球离开小车后将做平抛运动，故B错误；根据动能定理，在小球沿小车弧形槽滑行的过程中，小车对小球做的功W＝mv－mv＝－mv，故C错误；根据动量定理，在小球沿小车弧形槽滑行的过程中，合力对小车的冲量I＝2mv2－0＝mv0，故D错误。对点练3　&ldquo;子弹打木块&rdquo;模型5.两块质量分别为m的木块静止在光滑水平面上，中间用一根劲度系数为k的轻弹簧连接着，如图5所示。现从水平方向迎面射来一颗子弹，质量为，速度为v0，子弹射入木块A并留在其中。求：图5(1)在子弹击中木块后的瞬间木块A的速度大小vA；(2)在子弹击中木块后的运动过程中弹簧的弹性势能最大时系统的速度；(3)在子弹击中木块后的运动过程中弹簧的最大弹性势能。答案　(1)　(2)　(3)mv解析　(1)对子弹和木块A组成的系统，根据动量守恒定律有v0＝vA解得vA＝。(2)在子弹击中木块后，当A和B达到共同速度v时，A和B,组成的系统相当于完成了一次完全非弹性碰撞，损失的动能最多，而损失的动能全部转化为了弹簧的弹性势能，所以此时弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒定律有v0＝v解得v＝。(3)根据能量守恒定律可知弹簧的最大弹性势能为Epmax＝v－v2＝mv。6.如图6所示，水平传送带AB长8.3m，质量M＝1kg的木块随传送带一起以v1＝2m/s的速度向左匀速运动(传送带的速度恒定)，木块与传送带间的动摩擦因数为&mu;＝0.5，当木块运动到最左端的A点时，一颗质量为m＝20g的子弹以v0＝300m/s的水平向右的速度正对射入木块并穿出，穿出速度为u＝50m/s，以后每隔&Delta;t＝1s就有一颗子弹水平地射中木块，设子弹射穿木块的时间极短，且每次射穿时阻力相同，g取10m/s2，子弹和木块均可视为质点，求：图6(1)在第二颗子弹击中前，木块向右运动离A点的最大距离；(2)木块在传送带上最多能被几颗子弹击中。答案　(1)0.9m　(2)16解析　(1)第一颗子弹射入木块过程中动量守恒则有mv0－Mv1＝mu＋Mv2解得，子弹穿出后，木块的速度为v2＝3m/s，方向向右根据牛顿第二定律有Ff＝&mu;Mg＝Ma可得，木块在传送带上滑行的加速度为a＝&mu;g＝5m/s2则木块速度减为零的时间为t0＝＝0.6s&lt;&Delta;t,故在第二颗子弹击中前，木块向右运动离A点的最大距离为x1＝＝0.9m。(2)在第二颗子弹射中木块前，木块在向左做加速运动，加速的时间为t1＝&Delta;t－t0＝0.4s速度增大为v3＝at1＝2m/s此时速度恰好与传送带共速，则向左运动的位移为x2＝at＝0.4m所以在两颗子弹射中木块的时间间隔内，木块向右运动的总位移为x0＝x1－x2＝0.5m所以在第16颗子弹击中前，木块向右移动的位移为x＝15&times;0.5m＝7.5m在第16颗子弹击中后，木块将会先向右移动x1的位移，此时木块的总位移为x总＝x＋x1＝7.5m＋0.9m＝8.4m&gt;8.3m故木块将从B端落下，所以木块在传送带上最多能被16颗子弹击中。对点练4　&ldquo;滑块&mdash;木板&rdquo;模型7.如图7所示，光滑水平面上停放着一辆小车，小车的光滑四分之一圆弧轨道在最低点与水平轨道相切。在小车的右端固定一轻弹簧，一小球从圆弧轨道上某处由静止释放。①若水平轨道光滑，当弹簧第一次被压缩至最短时，小车的速度大小为v1，弹簧的弹性势能为Ep1；②若水平轨道粗糙，当弹簧第一次被压缩至最短时，小车的速度大小为v2，弹簧的弹性势能为Ep2。则(　　)图7A.v1<v2，ep1＝ep2b.v1＝v2，ep1>Ep2C.v1&gt;v2，Ep1<ep2d.v1>v2，Ep1&gt;Ep2答案　B解析　弹簧第一次被压缩至最短时，小球与小车具有共同速度。两种情况的水平面都光滑，对小球和小车组成的系统，水平方向由动量守恒定律，有0＝(m1＋m2)v，所以弹簧第一次被压缩至最短时，v1＝v2。当水平轨道粗糙时，有摩擦生热，根据能量守恒可知Ep1&gt;Ep2，故选项B正确。,8.(2023&middot;江苏淮安市淮安期中)如图8所示，质量为M＝2kg的长木板A静止在光滑水平面上，右端与一固定在地面上的半径R＝0.4m的光滑四分之一圆弧紧靠在一起，圆弧的底端与木板上表面水平相切。质量为m＝2kg的滑块B(可视为质点)以初速度v0＝m/s从圆弧的顶端沿圆弧下滑到木板A上，恰好不会从A板左侧脱落。不计空气阻力，g取10m/s2。求：图8(1)B刚下滑时所受向心力的大小F；(2)A、B间因摩擦而产生的热量Q；(3)当A、B间动摩擦因数&mu;＝0.4时木板A的长度L。答案　(1)40N　(2)8J　(3)1m解析　(1)根据牛顿第二定律可得F＝m＝40N。(2)设滑块B滑上木板A时的速度为v，根据动能定理有mgR＝mv2－mv解得v＝4m/s滑块B在木板A上滑动的过程中因地面光滑，木板A和滑块B组成的系统动量守恒，最终两者的共同速度为v1mv＝(m＋M)v1解得v1＝2m/s由能量转化和守恒可知，A、B间因摩擦而产生的热量为Qmv2＝(m＋M)v＋Q解得Q＝8J。(3)A、B间的滑动摩擦力为Ff＝&mu;mg＝8N,根据滑动摩擦力做功和能量转化的关系可得Q＝&mu;mgL解得L＝1m。</ep2d.v1></v2，ep1＝ep2b.v1＝v2，ep1>