2025届高三一轮复习第二章　相互作用——力热点专题三　动态平衡问题　平衡中的临界、极值问题练习

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热点专题三　动态平衡问题　平衡中的临界、极值问题素养目标　1.学会用图解法、解析法、相似三角形法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题。热点一　动态平衡问题1.动态平衡动态平衡就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫作动态平衡。2.常用方法解析法、图解法、相似三角形法等。题型　图解法的应用一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。例1(2023·江苏高邮市第一中学高三开学考)如图1所示，轻弹簧上端固定，下端悬挂一小球静止，弹簧伸长量为x0。在同一竖直平面内对小球施加拉力F，使弹簧伸长量保持为x0，缓慢地将弹簧向左拉到水平位置，设拉力F与竖直方向间的夹角为θ。该过程中(　　)图1A.F一直增大，θ一直增大B.F一直减小，θ一直减小C.F一直增大，θ先增大后减小D.F一直减小，θ先减小后增大答案　C解析　轻弹簧上端固定，下端悬挂一小球静止，弹簧伸长量为x0。在同一竖直平,面内对小球施加拉力F，使弹簧伸长量保持为x0，则弹力大小为mg，对小球受力分析如图所示，同一竖直平面内对小球施加一个拉力F，使弹簧伸长量保持不变，弹力的大小不变，缓慢地将弹簧向左拉到水平位置，F一直增大，θ先增大后减小。故C正确。1.分析步骤2.特殊情况当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小。三力平衡，一个力大小方向均不变，一个力方向不变，则第三个力垂直于方向不变的力时，第三个力最小。题型　解析法的应用例2(2021·湖南卷，5)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图2所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(　　)图2A.推力F先增大后减小B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大,C.墙面对凹槽的压力先增大后减小D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大答案　C解析　对小滑块受力分析，如图甲所示，由题意可知，推力F与凹槽对滑块的支持力FN始终垂直，即α＋β始终为90°，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α减小，β增大，由平衡条件得F＝mgcosα、FN＝mgsinα，可知推力F一直增大，凹槽对滑块的支持力FN一直减小，A、B错误；对小滑块和凹槽整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件可得，墙面对凹槽的压力大小FN1＝Fsinα＝mgsin2α，水平地面对凹槽的支持力FN2＝Mg＋mg－Fcosα，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α由逐渐减小到零，根据数学知识可知墙面对凹槽的压力先增大后减小，水平地面对凹槽的支持力一直减小，C正确，D错误。　甲　　　　　乙题型　相似三角形法在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。例3如图3所示的是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前(　　),图3A.BC绳中的拉力FT越来越大B.BC绳中的拉力FT越来越小C.AC杆中的支持力FN越来越大D.AC杆中的支持力FN越来越小答案　B解析　作出C点的受力示意图，如图所示，由图可知力的矢量三角形与几何三角形ABC相似。根据相似三角形的性质得＝＝，解得BC绳中的拉力FT＝G，AC杆中的支持力FN＝G。由于重物P被向上拉时，AB、AC保持不变，BC变小，故FT减小，FN不变。选项B正确。题型　辅助圆法一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。基本矢量图，如图4所示。图4例4如图5所示，柔软轻绳ON的一端O固定，绳上某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM,由竖直被拉到水平的过程中(　　)图5A.MN上的张力逐渐增大B.MN上的张力先增大后减小C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先减小后增大答案　A解析　以结点处的重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，依题意，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示，三角形中α角保持不变，即保持角θ恒定，以重力mg为弦，作一圆，F1的箭头始终落在圆周上，根据同弧所对的圆周角相等，保证了θ不变，根据题意γ角逐渐从0°增大到90°，在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，故B、C、D错误，A正确。辅助圆法的应用(1)适用情况物体所受的三个力中，一个力的大小、方向不变，另两个力的大小、方向都在改变，但变化的两个力的夹角不变。(2)方法：画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。作闭合三角形的外接圆为辅助圆，在辅助圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。,热点二　平衡中的临界与极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等。2.极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。3.解题方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。(3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程分析，利用平行四边形进行动态分析，确定最大值与最小值。例5(2023·江苏扬州中学高三开学考)如图6所示，光滑圆柱体的质量为m，置于倾角θ＝53°、质量均为M的两个斜面体上。两斜面体与水平地面间的动摩擦因数均为μ＝0.4，求：图6(1)每个斜面体对地面压力的大小；(2)为了不让斜面体出现滑动，的最大值。答案　(1)mg＋Mg　(2)解析　(1)对整体受力分析，根据平衡条件有,2Mg＋mg＝2FN解得地面对每个斜面体的支持力为FN＝mg＋Mg根据牛顿第三定律得，每个斜面体对地面的压力大小为FN′＝FN＝mg＋Mg。(2)对其中一个斜面体受力分析，如图所示当斜面体恰好不发生滑动时最大，根据平衡条件有Ff＝FN1sinθFf＝μFNFN＝mg＋Mg对圆柱体mg＝2FN1cosθ联立以上各式，代入数据解得＝。A级　基础对点练对点练1　动态平衡问题1.(2022·广东佛山模拟)每个工程设计都蕴含一定的科学道理。如图1的两种家用燃气炉架都有四个爪，若将总质量为m的锅放在图乙所示的炉架上，忽略爪与锅之间的摩擦力，设锅是半径为R的球面，则每个爪与锅之间的弹力(　　)图1,A.等于mgB.小于mgC.R越大，弹力越大D.R越大，弹力越小答案　D解析　如图所示，假设每个爪与锅之间的弹力方向与竖直方向的夹角为θ，爪与爪之间的距离为d，由图中几何关系可得sinθ＝，由受力平衡可得4FNcosθ＝mg，解得FN＝，可知R越大，sinθ越小，cosθ越大，FN越小，D正确，A、B、C错误。2.(2023·南京检测)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于竖直墙壁上，今用水平向右的拉力F拉动绳的中点O至图示位置。用FT表示绳OA段拉力的大小，在拉力F由图示2位置逆时针缓慢转过90°的过程中，始终保持O点位置不动，则(　　)图2A.F先逐渐变小后逐渐变大，FT逐渐变小B.F先逐渐变小后逐渐变大，FT逐渐变大C.F先逐渐变大后逐渐变小，FT逐渐变小D.F先逐渐变大后逐渐变小，FT逐渐变大答案　A解析　点O受到三个拉力而处于平衡状态，其中向下的拉力的大小和方向均不变，OA的拉力方向不变，根据平衡条件，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，如图所示，从图中可以看出，OA的拉力FT不断减小，拉力F先减小后增大，当拉力F与OA垂直时F最小，故A正确，B、C、D错误。,3.如图3所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当线拉力最小时，推力F等于(已知重力加速度为g)(　　)图3A.mgcosαB.mgsinαC.mgcos2αD.mgsin2α答案　D解析　小球受力如图所示，在小球缓慢上升过程中，小球所受合力为零，当拉力FT与支持力FN垂直时，拉力最小，最小值为FTmin＝mgsinα，对小球和斜面整体分析，根据平衡条件可知F＝FTmin·cosα＝mgsinαcosα＝mgsin2α，故D正确。4.(2023·江苏扬州高三开学考)某建筑工地通过如图4所示的装置将工件运到楼顶，工人通过细绳搭在光滑定滑轮上将带铰链的轻杆缓慢上拉，从而取得工件，在轻杆被缓慢上拉到取到工件前的过程中(　　),图4A.轻杆所受压力大小始终不变B.轻杆所受压力先减小，后增大C.工人手所受的拉力始终不变D.工人手所受的拉力增大答案　A解析　如图所示，对结点C受力分析，缓慢上拉，三个力平衡，三个力组成首尾相接的矢量三角形，力三角形与几何三角形ABC相似，根据相似三角形对应边比值相等，有＝＝，因上拉过程mg、AB不变，故AC减小则F减小，则工人手所受的拉力减小，BC不变则FN不变，则轻杆所受压力始终不变。故A正确。5.如图5所示，竖直墙壁O处用光滑铰链铰接一轻质杆的一端，杆的另一端固定一小球(可以看成质点)，轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连。已知轻质杆长度为R，轻绳的长度为L，且R<l<2r。a、b是墙上两点，且oa＝ob＝r。现将轻绳的上端点p沿墙壁缓慢下移至a点，此过程中轻绳对小球的拉力f1及轻质杆对小球的支持力f2的大小变化情况为(>30°时，滑块开始缓慢滑动，则滑动摩擦力为Ff＝μmgcos45°＝×mg＝mg，故B错误；当θ＝30°时，摩擦力达到最大，随夹角的增大，滑动摩擦力减小，故C错误；当θ＝60°时，由平衡条件可知F＋μmgcos60°＝mgsin60°，即F＝mgsin60°－μmgcos60°＝mg－×mg＝mg，故D正确。12.(2023·江苏宝应中学模拟)如图12所示，静置于水平地面上的两个完全相同、质量均为3m的半圆柱体A、B刚好接触，现将一质量为2m的光滑圆柱体C放置在两半圆柱体上，半圆柱体A、B与地面保持相对静止，已知圆柱体C对半圆柱体B的压力大小为mg，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：图12(1)半圆柱体A的截面与圆柱体C的半径之比；(2)半圆柱体A与地面间的动摩擦因数μ满足的条件。答案　(1)4∶1　(2)μ≥解析　(1)对C受力分析如图甲所示，根据对称性可知A、B对C的支持力大小相等，均设为FN，根据平衡条件有2FNsinθ＝2mg由题意可知FN＝FN′＝mg解得sinθ＝由几何关系可知cosθ＝＝解得半圆柱体A的截面与圆柱体C的半径之比R∶r＝4∶1。,甲(2)对A受力分析如图乙所示，根据平衡条件有FNA＝3mg＋FN′sinθA与地面间的最大静摩擦力为Ffm＝μFNA半圆柱体A与地面保持相对静止的条件为FN′cosθ≤Ffm解得μ≥。乙</l<2r。a、b是墙上两点，且oa＝ob＝r。现将轻绳的上端点p沿墙壁缓慢下移至a点，此过程中轻绳对小球的拉力f1及轻质杆对小球的支持力f2的大小变化情况为(>

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