2023-2024学年福建省龙岩市一级校联盟高一（上）期中数学试卷

2023-2024学年福建省龙岩市一级校联盟高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一页符合题目要求.1．（5分）已知集合，0，1，2，，，则　　A．，1，B．，0，C．D．，0，1，2．（5分）函数的定义域是　　A．B．C．，，D．，，3．（5分）已知函数则（6）　　A．65B．9C．2D．14．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是　　A．B．C．D．5．（5分）已知，则““是“”的　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若的图像如图，，是常数），则　　A．，B．，C．，D．，7．（5分）设，，，则　　A．B．C．D．8．（5分）给定函数，，对任意，设函数则下列叙述正确的是　　第45页（共45页） A．函数有最大值2，无最小值B．函数有星小值，无最大值C．不等式的解集为，D．函数在区间上不单调二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知，，，，下列命题为真命题的是　　A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则10．（5分）下列说法正确的是　　A．函数与函数是同一个函数B．C．函数的图像经过定点D．若，则11．（5分）已知，，且，则下列不等式一定成立的是　　A．B．C．D．12．（5分）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则下列说法正确的是　　A．若，则B．函数的图象关于原点对称C．若，则D．函数的值域为，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第45页（共45页） 13．（5分）已知，，，则实数的值为　　．14．（5分）已知一元二次不等式的解集为，，，且满足，则实数的值是　　．15．（5分）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是　　．16．（5分）已知函数的定义域为，其图象恒过点，对任意，，，都有成立，则不等式的解集是　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集，集合，．（1）当时，求及；（2）若，求实数的取值范围．18．（12分）已知函数为幂函数，且在上单调递增．（1）求的值，并写出的解析式；（2）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围．19．（12分）已知函数是二次函数，满足，且对任意，都有成立．（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式（其中．20．已知函数是奇函数，且满足（1）．（1）求实数，的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义加以证明．21．（12分）2023年6月5日是第50个世界环境日，口号是“减塑捡塑”．中国的主题是“建设人与自然和谐共生的现代化”．世界环境日的意义在于提醒全世界注意地球状况和人类活动对环境的危害．某企业生产某种环保型产品的年固定成本为1200万元，每生产（百件），需另投入成本（万元）．经调研测算，若年产量（百件）低于100（百件），则这（百件）产品成本；若年产量第45页（共45页） （百件）不低于100（百件）时，则这（百件）产品成本．每百件产品售价为90万元，设该企业生产的产品能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（百件）的函数解析式．（2）当年产量为多少百件时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数在区间，上有最大值4和最小值0，设函数．（1）求，的值．（2）设函数，是否存在实数，使得在区间上存在最小值？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．第45页（共45页） 2023-2024学年福建省龙岩市一级校联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一页符合题目要求.1．（5分）已知集合，0，1，2，，，则　　A．，1，B．，0，C．D．，0，1，【考点】交集及其运算【专题】计算题；对应思想；定义法；集合；数学运算【分析】先解不等式，化简集合，，从而求出．【解答】解：据题意得：，0，1，2，，，，0，1，，故选：．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2．（5分）函数的定义域是　　A．B．C．，，D．，，【考点】函数的定义域及其求法【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；转化思想【分析】根据求定义域的原则确定的范围即可．【解答】解：若函数有意义，需满足，则定义域为，，．故选：．【点评】本题考查求函数的定义域，属于基础题．3．（5分）已知函数则（6）　　A．65B．9C．2D．1【考点】函数的值第45页（共45页） 【专题】函数的性质及应用；综合法；整体思想；数学运算【分析】由已知函数解析式代入即可求解．【解答】解：因为则（6）（3）．故选：．【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．4．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是　　A．B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的奇偶性【专题】综合法；函数的性质及应用；整体思想；数学抽象【分析】由已知结合基本初等函数的单调性和奇偶性检验各选项即可判断．【解答】解：在上不单调，不符合题意；为偶函数，在上单调递增；为奇函数，不符合题意；当时，单调递减，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．5．（5分）已知，则““是“”的　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【专题】简易逻辑；数学运算；函数思想；定义法【分析】由可得出的取值范围，根据充分必要条件的关系即可得出结果．【解答】解：由得，或，所以或，故“”是“”的必要不充分条件．第45页（共45页） 故选：．【点评】本题考查充分条件和必要条件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）若的图像如图，，是常数），则　　A．，B．，C．，D．，【考点】指数函数及指数型复合函数的图象【专题】数学运算；数形结合法；数形结合；函数的性质及应用【分析】由题意，根据指数函数的性质得到，，即可求出的取值范围．【解答】解：由图可知函数在定义域上单调递减，所以，则，所以在定义域上单调递增，又，即，所以．故选：．【点评】本题主要考查指数函数的图像和性质，属于基础题．7．（5分）设，，，则　　A．B．C．D．【考点】指数函数的图象；指数函数的单调性与最值【专题】综合法；整体思想；数学抽象；函数的性质及应用【分析】由已知结合指数函数及幂函数单调性可得，，，从而可比较，，的大小．【解答】解：因为，，所以．故选：．【点评】本题主要考查了幂函数及指数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．8．（5分）给定函数，，对任意，设函数第45页（共45页） 则下列叙述正确的是　　A．函数有最大值2，无最小值B．函数有星小值，无最大值C．不等式的解集为，D．函数在区间上不单调【考点】函数的最值；分段函数的应用【专题】数学运算；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】在同一直角坐标系内画出和的图象，进而得到的图象，再结合图象判断各个选项即可．【解答】解：在同一直角坐标系内画出和的图象，如图（1）所示：由题意，可得函数的图象，如图（2）所示：结合图象知，函数有最小值，无最大值，故错误，正确，由图象可知，不等式的解集为，，故错误，由图象可知，函数在区间上单调递增，故错误．故选：．第45页（共45页） 【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知，，，，下列命题为真命题的是　　A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则【考点】等式与不等式的性质；命题的真假判断与应用【专题】定义法；不等式的解法及应用；对应思想；数学运算【分析】根据不等式的性质判断，，举反例判断选项，．【解答】解：选项，，，又，则，正确；选项，当，时，符合，但，错误；选项，由，不等式两边同时除以，可得，正确；选项，当，时，符合题意，但，错误．故选：．【点评】本题考查不等式的性质应用，属于基础题．10．（5分）下列说法正确的是　　A．函数与函数是同一个函数B．C．函数的图像经过定点D．若，则【考点】命题的真假判断与应用；有理数指数幂及根式；指数函数的单调性与最值；判断两个函数是否为同一函数【专题】数学运算；转化思想；函数的性质及应用；转化法；逻辑推理【分析】选项，判断两函数是否为同一个函数即可；选项，计算求值即可；选项，根据幂函数的定义与性质，判断即可；选项，对两边平方即可．第45页（共45页） 【解答】解：对于，函数，定义域是，函数，定义域是，，两函数的定义域不同，不是同一个函数，选项错误；对于，，选项正确；对于，令，得，所以的图像经过定点，选项错误；对于，因为，所以，所以，选项正确．故选：．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．11．（5分）已知，，且，则下列不等式一定成立的是　　A．B．C．D．【考点】基本不等式及其应用；不等关系与不等式【专题】数学运算；综合法；不等式的解法及应用；整体思想【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验选项，，，结合二次函数的性质检验选项即可判断．【解答】解：，，且，，当且进度且，即，时取等号，正确；，当且仅当时取等号，正确；因为，当且仅当时取等号，所以，正确；因为，，故，根据二次函数的性质可知，当，即时，上式取得最大值，错误．故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，还考查了二次函数性质的应用，属于中档题．第45页（共45页） 12．（5分）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则下列说法正确的是　　A．若，则B．函数的图象关于原点对称C．若，则D．函数的值域为，【考点】函数的值域【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；转化思想；逻辑推理【分析】由分离函数可得的解析式，进而判断，的真假，再由题意可得函数的解析式，可判断，的真假．【解答】解：，所以，则，可得，解得，所以正确；所以，因为，所以，当，时，；当，时，，所以不正确；所以正确；若，则，可得，所以，所以，可得，即，所以正确．故选：．【点评】本题考查函数的性质的应用，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，，则实数的值为　　．第45页（共45页） 【考点】元素与集合关系的判断【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；集合【分析】根据元素的互异性算出不能取的值，再由3是该集合的元素，列式算出答案．【解答】解：根据题意，可得0、、三个数互不相等，故且且．若，，，可知，解得．综上所述，实数的值为．【点评】本题主要考查集合的概念与表示、元素与集合的关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．14．（5分）已知一元二次不等式的解集为，，，且满足，则实数的值是　2　．【考点】一元二次不等式及其应用【专题】不等式的解法及应用；数学运算；方程思想；转化法【分析】根据一元二次不等式的解集得出对应方程的解，由根与系数的关系求出的值．【解答】解：因为一元二次不等式的解集为，，，所以、是方程的解，即，所以，解得．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．15．（5分）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是　，　．【考点】由函数的单调性求解函数或参数【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；函数的性质及应用【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即可得出答案．【解答】解：因为函数是上的增函数，所以，解得，第45页（共45页） 所以实数的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题主要考查函数单调性的性质，属于基础题．16．（5分）已知函数的定义域为，其图象恒过点，对任意，，，都有成立，则不等式的解集是　　．【考点】由函数的单调性求解函数或参数【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；函数的性质及应用【分析】对任意，，，都有成立，不妨设，化为，令，可得函数在上单调递增，根据函数的定义域为且图象恒过点及其函数的单调性即可得出结论．【解答】解：对任意，，，都有成立，不妨设，则，令，则函数在上单调递增，（1）（1），则不等不等式（1），，解得，不等式的解集是．故答案为：．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质、转化方法，考查了了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集，集合，．（1）当时，求及；第45页（共45页） （2）若，求实数的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其应用【专题】数学运算；集合；集合思想；定义法【分析】（1）化简集合、，根据并集和补集、交集的定义计算即可；（2）由，得，由此列不等式组求出的取值范围．【解答】解：（1）时，集合，．所以，又因为，所以或，所以；（2）若，则，所以，解得，所以实数的取值范围是．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知函数为幂函数，且在上单调递增．（1）求的值，并写出的解析式；（2）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；幂函数的概念【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；整体思想【分析】（1）由已知结合幂函数的定义及性质即可求解；（2）由题意，，然后结合二次函数的性质即可求解．【解答】解：因为为幂函数，所以，解得或，当时，在上单调递减，不符合题意，故，；第45页（共45页） （2）因为，是假命题，所以，，即恒成立，所以，解得，故的范围为．【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，还考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．19．（12分）已知函数是二次函数，满足，且对任意，都有成立．（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式（其中．【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】函数的性质及应用；数学运算；不等式的解法及应用；待定系数法；分类讨论【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即得；（2）将不等式整理，根据含参不等式的解法，利用分类讨论求解即得．【解答】解：（1）由题意，设，由，得，由，得，化简并整理得，因此，解得，所以；（2）由（1）可知，不等式等价于，即，其中，当，即时，不等式解集为；第45页（共45页） 当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式化为，解集为；故当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式化为，解集为．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，考查含参不等式解法，属中档题．20．已知函数是奇函数，且满足（1）．（1）求实数，的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义加以证明．【考点】由函数的单调性求解函数或参数；奇偶性与单调性的综合；函数的奇偶性【专题】整体思想；数学抽象；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）结合奇函数的定义及（1）即可求解；（2）任取，利用作差法比较与的大小即可判断．【解答】解：（1）因为是奇函数，所以，即，因为（1），所以，故，；（2）由（1）得，在上单调递减，证明如下：任取，所以，，则，所以，第45页（共45页） 所以在上单调递减．【点评】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，还考查了函数单调性定义的应用，属于基础题．21．（12分）2023年6月5日是第50个世界环境日，口号是“减塑捡塑”．中国的主题是“建设人与自然和谐共生的现代化”．世界环境日的意义在于提醒全世界注意地球状况和人类活动对环境的危害．某企业生产某种环保型产品的年固定成本为1200万元，每生产（百件），需另投入成本（万元）．经调研测算，若年产量（百件）低于100（百件），则这（百件）产品成本；若年产量（百件）不低于100（百件）时，则这（百件）产品成本．每百件产品售价为90万元，设该企业生产的产品能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（百件）的函数解析式．（2）当年产量为多少百件时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】函数的性质及应用；数学运算；数学模型法；函数思想；应用题【分析】（1）分别求出和时函数的解析式，再用分段函数形式写出即可．（2）分别求出和时函数的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）当时，，当时，，所以．（2）当时，，当时，取得最大值为，当时，，当且仅当，即时取等号，而，所以当该企业年产量为110千件时，所获得利润最大，最大利润是1100万元．【点评】本题主要考查了函数的实际应用问题，考查了二次函数与基本不等式求最值问题，是中档题．第45页（共45页） 22．（12分）已知函数在区间，上有最大值4和最小值0，设函数．（1）求，的值．（2）设函数，是否存在实数，使得在区间上存在最小值？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质与图象；函数的最值【专题】数学运算；函数的性质及应用；分类讨论；换元法【分析】（1）由的解析式，可得在，上的最大值及最小值，由题意可得，的值；（2）由（1）可得的解析式，换元可得函数的解析式，分类讨论，可得函数在给定区间上不存在最小值．【解答】解：（1）因为，，可知开口向上，对称轴方程为，又因为，所以，上，（1），（3），由题意可得，解得，，即，的值分别为1，0；（2）由（1）可得；所以，，所以，令，，则，则，，第45页（共45页） 开口向上，对称轴，当时，即，则上，函数单调递增，所以，不存在最小值；当时，即，则上，函数先减后增，所以，则时，不存在最小值．所以函数在上不存在最小值．即在区间上不存在最小值．【点评】本题考查二次函数在给定区间的最小值的求法及换元法求函数的最值的方法，属于基础题．第45页（共45页） 考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．第45页（共45页） 综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．第45页（共45页） 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．3．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．4．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】第45页（共45页） 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．5．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．6．等式与不等式的性质第45页（共45页） 【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒（n∈N，且n＞1）．7．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥．第45页（共45页） 解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔．证明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，则∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．8．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．第45页（共45页） A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式第45页（共45页） 3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数第45页（共45页） 例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换第45页（共45页） 点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．9．二次函数的性质与图象【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．第45页（共45页） ①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．10．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．第45页（共45页） 【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：＞0⇔f（x）•g（x）＞0；＜0⇔f（x）•g（x）＜0；≥0⇔；≤0⇔．11．判断两个函数是否为同一函数【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少．12．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；第45页（共45页） 【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．13．函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．14．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．第45页（共45页） 【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．15．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．16．函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】第45页（共45页） ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．17．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．第45页（共45页） 18．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝　　．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．19．函数的值【知识点的认识】函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．【解题方法点拨】﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．﹣利用函数的值分析其性质和应用．【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．第45页（共45页） 已知函数f（x）＝．求f（f（f（﹣）））的值；解：，，，故f（f（f（﹣）））＝．20．幂函数的概念【知识点的认识】幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝xa＝定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．21．有理数指数幂及根式【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义第45页（共45页） 有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解题方法点拨】例1：下列计算正确的是（　　）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵$sqrt{asqrt{a}}＝sqrt{a•{a}^{frac{1}{2}}}＝sqrt{{a}^{frac{3}{2}}}＝{a}^{frac{3}{4}}＝ oot{4}{{a}^{3}}$，∴B不正确；∵$ oot{4}{（﹣3）^{4}}＝ oot{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正确；∵$frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．第45页（共45页） 例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{frac{m}{n}}}$B、am•an＝am•nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．22．指数函数的图象【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．第45页（共45页） ②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．【解题方法点拨】利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．23．指数函数及指数型复合函数的图象【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象指数函数及其复合函数的图象反映了函数的形态和性质，是理解和应用指数函数的重要内容．【解题方法点拨】﹣分析指数函数的解析式，确定其图象形态．﹣对于复合函数，先分析内层函数的图象，再结合外层指数函数，确定复合函数的整体图象．﹣利用图象分析函数的性质和应用．【命题方向】题目通常涉及指数函数及其复合函数的图象分析，结合解析式和具体问题确定函数图象及其应用．函数f（x）＝ax﹣b的图像如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（　　）A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0第45页（共45页） D．0＜a＜1，b＜0解：由图象从左到右下降可知，0＜a＜1；由图象与y轴的交点可知，0＜a﹣b＜1，故b＜0；故0＜a＜1，b＜0；故选：D．24．指数函数的单调性与最值【知识点的认识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．25．分段函数的应用第45页（共45页） 【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为（11.8﹣p）万元，政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）故所求函数为y＝（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是减函数∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．第45页（共45页） 这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．26．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模第45页（共45页） （1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x第45页（共45页） （单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，第45页（共45页） 且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）所以，y＝…（3分）＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．第45页（共45页）