2025年高考数学一轮复习教学课件第7章 第1课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第七章立体几何与空间向量 【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：空间几何体的表面积与体积、空间线面位置关系的证明、立体几何中的向量方法．空间几何体的表面积与体积主要考查小题：一是柱、锥、台体的体积与表面积的计算，二是球与柱、锥、台体的切接问题；空间位置关系的证明与立体几何中的向量方法主要考查解答题，第(1)问重点考查线面位置关系的证明；第(2)问重点考查空间角，尤其是二面角、线面角的计算．2．轮考点：空间几何体的结构．常与数学文化结合以客观题的形式出现，主要考查对空间几何体的结构认知，难度较小． 第1课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积对应学生用书第151页 考试要求认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 链接教材　夯基固本第1课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相____且____多边形互相____且____侧棱__________相交于____但不一定相等延长线交于____侧面形状____________________平行全等平行相似平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形 (2)特殊的棱柱①侧棱垂直于底面的棱柱叫做______．②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做______．③底面是正多边形的直棱柱叫做______．④底面是平行四边形的四棱柱叫做__________．(3)正棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．直棱柱斜棱柱正棱柱平行六面体 (4)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，____于底面相交于____延长线交于____轴截面__________________________侧面展开图____________垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆面矩形扇形扇环 2．立体图形的直观图(1)画法：常用__________．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面____．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的____．斜二测画法垂直分别平行于坐标轴不变一半 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝____S圆锥侧＝___S圆台侧＝____________2πrlπrlπ(r1＋r2)l 4．柱、锥、台、球的表面积和体积名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝___锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝_____台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝______V＝______ShSh4πR2πR3 [常用结论]1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)菱形的直观图仍是菱形．()(3)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方．()(4)底面是正多边形的棱锥是正棱锥．()×××× 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P119练习T2改编)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A．πB．πC．16πD．24πB[设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝πR3＝π.]2．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体C[由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]√√ 3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cmB．2cmC．3cmD．cmB[设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．]4．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为______．12[设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V＝S△ABC·AA1＝a·16＝12a，当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．]√12 典例精研　核心考点第1课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考点一　基本立体图形考向1结构特征[典例1]下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．①②[①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]①② 考向2直观图[典例2](多选)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是()A．△ABC是钝角三角形B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC的周长是4＋4√CD[根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB，因为O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：所以△ABC的周长是4＋4，面积是4，A错误，C，D正确．由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍，B错误．故选CD.]√ 【教师备选资源】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A．a2B．a2C．a2D．a2D[法一：如图①②所示的实际图形和直观图，由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，所以S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝×a×a＝a2.故选D.法二：S△ABC＝×a×asin60°＝a2，又S直观图＝S原图＝a2＝a2.故选D.]√ 考向3展开图[典例3](1)如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形(2)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是()A．B．C．D．√√ (1)A(2)A[(1)因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为，母线长也为，所以此圆锥的轴截面是等边三角形．故选A.(2)正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为.故选A.] 名师点评(1)空间几何体结构特征的判断技巧：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)在斜二测画法中，平行于x轴或在x轴上的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴或在y轴上的线段平行性不变，长度减半．(3)在解决空间几何体最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化． [跟进训练]1．(1)(多选)下列说法中正确的是()A．长方体是直四棱柱B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．平行六面体不是棱柱(2)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为()A．2丈4尺B．2丈5尺C．2丈6尺D．2丈8尺(3)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC＝AB＝1，则原平面图形的面积为_____．√√√3 (1)AC(2)C(3)3[(1)长方体是直四棱柱，A正确；两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错误；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；平行六面体一定是棱柱，D错误．故选AC.(2)如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，圆木的高AB＝24尺，BE＝5尺，因此葛藤绕圆木2周后最少长为BD＝＝＝26(尺)，即为2丈6尺． (3)法一：如图，过点A作AE⊥CD于点E，因为∠ADC＝45°，所以AD＝AE＝BC＝，CD＝CE＋DE＝CE＋AE＝AB＋BC＝2.原平面图形中A′D′＝2，A′B′＝AB＝1，C′D′＝CD＝2，作原平面图形如图，则原平面图形的面积为(C′D′＋A′B′)×A′D′＝3.法二：在直观图中，∠ADC＝45°，AB＝BC＝1，DC⊥BC，所以AD＝，CD＝2，所以直角梯形ABCD的面积为＝，所以原图形的面积为×2＝3.] 【教师备选资源】1．已知圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的轴截面面积为()A．C．√B[因为圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，所以圆锥的底面周长为1×＝，所以底面半径为，高为＝，所以轴截面面积为＝.故选B.] 2．在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯C60(结构图如图)是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个面为正五边形，20个面为正六边形．除C60外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540等，则C84结构含有正六边形的个数为()A．12B．24C．30D．32√D[设分子中形状为正五边形和正六边形的面各有x个和y个，V＝84，F＝x＋y，E＝3×84÷2.由欧拉公式V＋F－E＝2，可得84＋x＋y－3×84÷2＝2，即x＋y＝44.又由多边形的边数可表示C84的棱数，即(5x＋6y)÷2＝3×84÷2，即5x＋6y＝252，由解得故C84结构含有正六边形的个数为32．] 考点二　空间几何体的表面积与体积考向1表面积[典例4](1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π(2)(2024·湖南长沙模拟)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为()A．B．C．D．√√ (1)A(2)B[(1)如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝2，故OO1＝2，所以R2＝＋r2＝(2)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A.(2)设正六边形的边长为a，由题意正六棱柱的高为2a，因为正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，所以正六棱锥的高为a，正六棱锥的侧棱长为a，正六棱锥的侧面积S1＝6×a＝a2；正六棱柱的侧面积S2＝6·a·2a＝12a2，所以＝.故选B.] 考向2体积[典例5](1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A-B1CD1的体积为()A．B．C．4D．6(2)(2023·全国甲卷)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为()A．1B．C．2D．3(3)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．√√ (1)B(2)A(3)[(1)如图，三棱锥A-B1CD1是由正方体ABCD-A1B1C1D1截去四个小三棱锥A-A1B1D1，C-B1C1D1，B1-ABC，D1-ACD，又＝23＝＝＝＝＝×23＝，所以＝8－4×＝. (2)如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝，又PC＝，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP-ABC＝×S△ABC×PD＝×2×＝1，故选A. (3)法一：如图所示，设V点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×(22＋12＋)×＝. 法二：如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为，所以＝×(22＋12＋)×＝.(或者V四棱锥P-ABCD＝×22×＝，＝V四棱锥P-ABCD，所以＝V四棱锥P-ABCD－＝V四棱锥P-ABCD＝＝.)] 名师点评求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换) [跟进训练]2．(1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则()A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4πC．AC＝2D．△PAC的面积为(2)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是()A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．8立方丈(3)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，是四分之一圆，则图中阴影部分以OC所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________．√√√5π (1)AC(2)B(3)5π[(1)AC(2)B(3)5π[(1)在△PAB中，由余弦定理得AB＝2.如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝.该圆锥的体积V＝πr2h＝π，A正确；该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝2π，B错误；取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝＝，所以AC＝2，C正确；PH＝OH＝，S△PAC＝×AC×PH＝2，D错误．故选AC. (2)如图，过点E作EG⊥平面ABCD，垂足为点G，过点F作FH⊥平面ABCD，垂足为点H，过点G作PQ∥AD，交AB于点Q，交CD于点P，过点H作MN∥BC，交AB于点N，交CD于点M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．则它的体积V＝VE-AQPD＋VEPQ-FMN＋VF-NBCM＝·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋·FH·S矩形NBCM＝×1×1×3＋×3×1×2＋×1×1×3＝5(立方丈)．(3)该旋转体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是1，高是1，球的半径是1，所以该旋转体的表面积为π×12＋2π×1×1＋×4π×12＝5π.] 【教师备选资源】1．(2024·湖北武汉模拟)已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为()A．8B．C．D．B[设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，球的半径为R，则l＝2r＝R，即R＝2r，l＝2r，球的表面积S1＝4πR2＝16πr2，圆锥的表面积S2＝πrl＋πr2＝2πr2＋πr2＝3πr2，则＝＝.]√ 2．(2024·河北石家庄模拟)一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为9π，则该圆锥的母线长为()A．3B．3C．6D．6C[设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥侧面展开的扇形面积为πrl，底面圆面积为πr2，因为πrl＝2πr2，所以l＝2r，得h＝＝r，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝πr2·r＝9π，解得r＝3，所以l＝6，即圆锥的母线长为6.故选C.]√ 3．(2024·江苏常州模拟)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为()A．B．C．D．8πC[假设圆锥半径为R，母线为l，则R＝1．设圆台上底面半径为r，母线为l1，则r＝.由已知可得，＝＝，所以l＝6.如图，作出圆锥、圆台的轴截面，则有＝＝，所以l1＝4.所以圆台的侧面积为π(R＋r)l1＝4×π＝π.故选C.]√ 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(四十一)基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 THANKS