2025年高考数学一轮讲义第7章 第1课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

第1课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积[考试要求]　1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2．知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相____且____多边形互相____且____侧棱__________相交于____但不一定相等延长线交于____侧面形状____________________(2)特殊的棱柱①侧棱垂直于底面的棱柱叫做______．②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做______．③底面是正多边形的直棱柱叫做______．④底面是平行四边形的四棱柱叫做__________．(3)正棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特9/9 别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．(4)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，____于底面相交于____延长线交于____轴截面__________________________侧面展开图____________2．立体图形的直观图(1)画法：常用__________．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面____．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的____．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_______S圆锥侧＝______S圆台侧＝_____________4．柱、锥、台、球的表面积和体积名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝____锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝______9/9 台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝________V＝________[常用结论]1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)(2)菱形的直观图仍是菱形．(　　)(3)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方．(　　)(4)底面是正多边形的棱锥是正棱锥．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P119练习T2改编)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)A．163π　　B．323π　C．16π　　D．24π2．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　)A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积等于12πcm29/9 ，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A．1cm　B．2cmC．3cm　D．32cm4．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为________．考点一　基本立体图形　结构特征[典例1]　下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直观图[典例2]　(多选)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是(　　)A．△ABC是钝角三角形B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC的周长是4＋429/9 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　展开图[典例3]　(1)如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是(　　)A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形(2)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是(　　)A．a2+9b2B．9a2+b2C．4a2+9b2D．a2+b2[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)空间几何体结构特征的判断技巧：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)在斜二测画法中，平行于x轴或在x轴上的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴或在y轴上的线段平行性不变，长度减半．9/9 (3)在解决空间几何体最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．[跟进训练]1．(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)A．长方体是直四棱柱B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．平行六面体不是棱柱(2)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为(　　)A．2丈4尺　B．2丈5尺C．2丈6尺　D．2丈8尺(3)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC＝AB＝1，则原平面图形的面积为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　空间几何体的表面积与体积　表面积[典例4]　(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　)9/9 A．64π　B．48πC．36π　D．32π(2)(2024·湖南长沙模拟)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为(　　)A．78　B．4324C．19　D．127[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　体积[典例5]　(1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A-B1CD1的体积为(　　)A．43　B．83C．4　D．6(2)(2023·全国甲卷)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝6，则该棱锥的体积为(　　)A．1　B．3C．2　D．3(3)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则该棱台的体积为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9/9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换)[跟进训练]2．(1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则(　　)A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．AC＝22D．△PAC的面积为3(2)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是(　　)A．4立方丈　B．5立方丈C．6立方丈　D．8立方丈(3)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，AC是四分之一圆，则图中阴影部分以OC所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________．9/9 9/9