2025年高考数学一轮复习教学课件第5章　高考研究在线5　平面向量与三角形“四心”的交汇问题

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第五章平面向量、复数 高考研究在线5平面向量与三角形“四心”的交汇问题对应学生用书第129页 三角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)各自有一些特殊的性质，在高考中常以向量作为载体，对三角形的“四心”进行考查．这就要求我们不仅要熟悉三角形“四心”的概念，还要掌握三角形“四心”的向量形式． 1．三角形“四心”的概念：(1)重心－－三角形的三条中线的交点；(2)垂心－－三角形的三条高线的交点；(3)内心－－三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；(4)外心－－三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．2．三角形的“四心”的向量形式：设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.(2)O为△ABC的重心⇔＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔＝＝.(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. 命题点一“四心”的判断[典例1]若三个不共线的向量满足＝＝＝0，则点O为△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心√A[由题意知与＝(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心．]名师点评熟知三角形“四心”各自的特征是求解此类问题的关键．如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边的向量的数量积为0；角平分线上的任意一点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等． [跟进训练]1．已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2＝||2，2＝||2，则点O为△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心√B[根据题意，2＝||2，即2＝2||||cos〈〉＝||2，所以||·cos〈〉＝||，则向量在向量上的投影向量的长度为||的一半，所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为△ABC的外心．故选B.] 命题点二　与“四心”有关的计算角度1外心[典例2](1)在△ABC中，O是三角形的外心，过点B作BG⊥AO于点G，AB＝4，则＝()A．4B．8C．12D．16(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC的外心，且＝p＋q，则p＝________，q＝________．√(1)B(2)[(1)如图，·＝·()＝··.因为BG⊥AO，即·＝0，所以·＝·.又因为O是三角形的外心，所以||cos∠BAO＝||，所以·＝·＝||||cos∠BAO＝||2＝×16＝8.故选B. (2)∵＝，∴＝()2，即＝＋－2·，∴10＝4＋9－2·，∴·＝.如图，设AB的中点为D，AC的中点为E，∵＝p＋q，∴∵·＝||·||·cos∠BAO＝||·||＝2，·＝||·||·cos∠CAO＝||·||＝，∴解得p＝，q＝.] 角度2重心[典例3]已知△ABC的重心为O，且AB＝4，BC＝6，AC＝8，则·＝()A．－B．C．D．16√B[如图所示，设D为边AC的中点，则＝)．根据重心的性质可得＝＝()＝)，则·＝)·＝)·()＝－)＝(36－16)＝.故选B.] 角度3垂心[典例4]已知H为△ABC的垂心，AB＝4，AC＝6，M为边BC的中点，则·＝()A．20B．10C．－20D．－10B[由题意可知＝)，＝·＝0，·＝()·＝··＝)·()＝－)＝(62－42)＝10.故选B.]√ 角度4内心[典例5]在△ABC中，若||＝2，||＝3，||＝4，O为△ABC的内心，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝()A．B．C．D．C[∵O为△ABC的内心，∴O为△ABC的内角角平分线的交点．令AB＝c，AC＝b，BC＝a，则有a＋b＋c＝0，∴a＋b()＋c()＝0，∴(a＋b＋c)＝(b＋c)＋c，∴＝，∴λ＋μ＝＝＝.故选C.]名师点评求解此类问题的关键是结合三角形的特点，运用“四心”的向量表达式及其相关性质．√ [跟进训练]2．(1)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A．B．C．4D．6(2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线．设点O，G，H分别为△ABC的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是()A．＝B．＝C．＝D．＝(3)已知相异两点O，H分别为△ABC的外心与垂心，且＝m·()，则实数m＝________．√√1 (1)B(2)D(3)1[(1)根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsinA＝(a＋b＋c)r，解得r＝，∴S△BOC＝·a·r＝×7×＝.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.(2)如图，∵O，G，H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，∴＝，∴＝＝，A错误，B错误；＝＝＝)＝，C错误；＝＝＝)＝，D正确．故选D. (3)如图所示，∵＝＝m·()，∴＝m()，∴＝(m－1)＋m()，取BC边的中点D，连接OD，则OD⊥BC，∴＝2·＝0.又AH⊥BC,∴·＝0.∴·＝(m－1)·＋2m·，∴0＝(m－1)·，又·不恒为0，∴m－1＝0，解得m＝1．] 【教师备选资源】1．(多选)已知△ABC的重心为G，外心为O，内心为I，垂心为H，则下列说法正确的是()A．若M是BC的中点，则AG∶GM＝2∶1B．若||＝1，则·＝C．与不共线D．若||＝1，||＝2，∠BAC＝π，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝√√√ ABD[对于A，如图①，连接CG交AB于D点，则点D是AB的中点，连接DM，所以DM∥AC，所以DM＝AC，可得AG∶GM＝AC∶DM＝2∶1，故A正确；对于B，如图②，取AB的中点N，连接AO，NO，因为点O为△ABC的外心，所以NO⊥AB，所以||cos∠NAO＝||，若||＝1，则||＝，所以·＝||·||cos∠NAO＝||·||＝，故B正确；对于C，如图③，因为点H为垂心，所以⊥.因为·＝＝＝－||＋||＝0，所以⊥，又⊥，所以与共线，故C错误； 对于D，如图④，分别作IF⊥AB，IE⊥AC交AB，AC于F，E两点，连接AI并延长交BC于点P，可得∠BAP＝∠CAP＝，设内切圆半径为r，则||＝||＝r，所以||sin∠BAP＝||＝r，·＝·(λ＋μ)＝λ·＋μ·，所以||·||·cos＝||··cos＝＝λ×12＋μ×2×＝λ－μ，即＝λ－μ①，·＝·＝λ·＋μ·，所以||·||cos＝||··cos＝＝λ×2×＋μ×22＝－λ＋4μ，即＝－λ＋4μ②，由①②可得λ＝，μ＝，在△ABC中由余弦定理可得||＝＝＝，因为S△ABC＝||·||sin＝(||＋||＋||)r，可得r＝，所以λ＋μ＝＝r＝＝，故D正确．故选ABD.] 2．在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，＝x＋y，则x－2y＝________．－[如图所示，设AC与BD相交于点O，由G为△BCD的重心，可得CG＝2GO，则＝＝＝＝＝，因为＝x＋y，所以x＝y＝，故x－2y＝－.]－ 3．已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则·＝________．－1[设D为BC边的中点(图略)，因为点O是边长为的等边△ABC的内心，所以两两夹角为120°，且||＝||＝||＝||＝＝.所以·＝＋···＝2－2×－2×－2×＝－1．]－1 THANKS