2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第10章　§10.4　随机事件与概率

§10.4随机事件与概率第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的称为样本点，常用ω表示.全体样本点的集合称为试验E的，常用Ω表示.②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.基本结果样本空间 (2)随机事件①定义：将样本空间Ω的称为随机事件，简称事件.②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示.③随机事件的极端情形：、.子集必然事件不可能事件 含义符号表示包含关系若A发生，则B一定发生______相等关系B⊇A且A⊇B______并事件(和事件)____________________A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生__________互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生______________________2.两个事件的关系和运算A⊆BA＝BA与B至少有一个发生A∩B或ABA∩B＝∅，且A∪B＝Ω 3.古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性.4.古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝___＝其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.有限个相等 5.概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________；P(A)＋P(B)1－P(B) 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝____________________.P(A)＋P(B)－P(A∩B) 6.频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A).稳定于 1.当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件.2.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.()(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.()××√√ 1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A.至少有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶√射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”. 2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8√由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3. 3.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______. 探究核心题型第二部分 命题点1随机事件间关系的判断例1(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是A.A∩D＝∅B.B∩D＝∅C.A∪C＝DD.A∪B＝B∪D√题型一随机事件√ “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D. (2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是A.至少有一个红球；至少有一个白球B.恰有一个红球；都是白球C.至少有一个红球；都是白球D.至多有一个红球；都是红球√ 对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件； 对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件. 命题点2利用互斥、对立事件求概率例2某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)； 1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵事件A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)(2)1张奖券的中奖概率； 设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 事件关系的运算策略进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式.思维升华 跟踪训练1(1)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”；F＝“点数为偶数”.下列结论正确的是A.C1与C2对立B.D1与D2不互斥C.D3⊆FD.E⊇(D1∩D2)√√ 对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点数是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生时F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确. (2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； 由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. ②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53 记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 例3(1)(2023·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为题型二古典概型√ 大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19，共6个，随机选取2个不同的数，分别为(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共15种选法，其中恰好是一组孪生素数的有(5,7)，(11,13)，(17,19)，共3种，故随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为. (2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是√ 利用公式法求解古典概型问题的步骤思维升华 从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是跟踪训练2(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为√ (2)(2022·宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目.组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为_____. 例4北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意.(1)完成右面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满意与性别有关？满意不满意合计男生女生合计120题型三概率与统计的综合问题 α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828 2×2列联表如表所示.零假设为H0：对讲座活动是否满意与性别无关.根据列联表中数据，满意不满意合计男生402060女生303060合计7050120根据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对讲座活动是否满意与性别有关. (2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率. 由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，其中记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A， 求解古典概型的综合问题的步骤(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定样本点个数；(4)代入古典概型的概率公式求解.思维升华 跟踪训练3从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题.(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？ 根据题意，成绩在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100)这一组的频率为0.005×10＝0.05， (2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程) 这次竞赛成绩的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；成绩在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70. (3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率. 记“选出的2人在同一分数段”为事件E，成绩在[80,90)内的有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；成绩在[90,100)内的有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15种选法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7种选法，则P(E)＝ 课时精练第三部分 1.掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则A.A∪B表示向上的点数是1或3或5B.A＝BC.A∪B表示向上的点数是1或3D.A∩B表示向上的点数是1或51234567891011121314√基础保分练 1234567891011121314设A＝{1,3}，B＝{1,5}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,3,5}，∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5. 2.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是√1234567891011121314 记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A，B)，(B，A)，共2个，1234567891011121314 3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A.134石B.169石C.338石D.1365石√1234567891011121314 1234567891011121314√ 1234567891011121314 12345678910111213145.(2022·莆田质检)将5名支援某地区抗疫的医生分配到A，B，C三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为√ 1234567891011121314 6.(多选)下列说法中正确的有A.若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)＝0B.若事件A与事件B是对立事件，则P(A＋B)＝1C.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件1234567891011121314√√√ 事件A与事件B互斥，则A，B不可能同时发生，所以P(AB)＝0，故A正确；事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必有一个发生，所以为对立事件，故C正确；事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故D错误.1234567891011121314 7.通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码(a1，a2，a3，a4)满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为________.1234567891011121314 ∵a1＝2,2<a2<a3<a4，∴a2，a3，a4从3,4,5,6,7,8,9中选，1234567891011121314又四位验证码共有10×10×10×10＝10000(种)， 8.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________.1234567891011121314 其中4个点共面有以下两种情况：(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法；(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法.故4个点在同一个平面共有6＋6＝12(种)情况.1234567891011121314 9.经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：1234567891011121314求：(1)至多2人排队等候的概率；排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04 1234567891011121314记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. 方法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.(2)至少3人排队等候的概率.1234567891011121314排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04 10.某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计得到其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；1234567891011121314 (2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数；1234567891011121314 (3)从随机抽取的6个服务网点中任取2个做网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.1234567891011121314 样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中任取2个的可能情况有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，记“恰有1个网点是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，1234567891011121314 1234567891011121314综合提升练√ 1234567891011121314 12.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284，1184和1210,2924和2620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为√1234567891011121314 1234567891011121314 13.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说.河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足|a－b|≥2的概率为√1234567891011121314拓展冲刺练 若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b.则样本点(a，b)共有5×5＝25(个)，满足|a－b|<2的样本点有(1,2)，(3,2)，(3,4)，(5,4)，(5,6)，(7,6)，(7,8)，(9,8)，(9,10)，共9个，记事件B为满足|a－b|<2的事件，1234567891011121314 14.一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个.从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为P1，恰好有三个红色和一个白色的概率为P2，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P3，四种颜色各一个的概率为P4.若恰好有P1＝P2＝P3＝P4，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为A.17B.19C.21D.以上都不正确1234567891011121314√ 设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为a，b，c，d.1234567891011121314即a＝4b＋3＝3c＋2＝2d＋1.经验证，玻璃球的个数的最小值为21，此时a＝11，b＝2，c＝3，d＝5.