2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第1章　§1.1　集　合

§1.1　集　合考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．(3)集合的表示法：__________、____________、____________.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N*(或N＋)2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是________________的子集，是________________________的真子集．5 3．集合的基本运算表示运算　集合语言图形语言记法并集交集补集常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　　)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　　)教材改编题1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　)A．{－1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{－1,4}2．下列集合与集合A＝{2022,1}相等的是(　　)A．(1,2022)B．{(x，y)|x＝2022，y＝1}C．{x|x2－2023x＋2022＝0}D．{(2022,1)}3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________.题型一　集合的含义与表示例1(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为(　　)A．0B．1C．2D．35 (2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　)A．1B．1或0C．0D．－1或0听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1(1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(　　)A．0∉MB．{0}∈MC．{1}⊆MD．1⊆M(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　)A．2B．3C．4D．5题型二　集合间的基本关系例2(1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是(　　)A．A＝BB．A∩B＝∅C．ABD．B⊆A(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是(　　)A．{－1,1}B．{－1,1,2,4}C．{1}D．{1，－2,2}(2)函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________________．题型三　集合的基本运算5 命题点1　集合的运算例3(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于(　　)A．∅B．SC．TD．Z(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)A．{x|x≤－2}B．{x|x>－2}C．{x|x≥4}D．{x|x≤4}听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)例4(2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　)A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，1]听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3(1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于(　　)A．{1,3}B．{0,3}C．{－2,1}D．{－2,0}(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)·(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　)A．[1,4)B．(1,4)C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)题型四　集合的新定义问题例5(1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是(　　)A．0是任何数域的元素5 B．若数域F有非零元素，则2023∈FC．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域D．有理数集为数域(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.①若n＝3，则这样的集合A共有________个；②若n为偶数，则这样的集合A共有________个．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________．5