广东省大湾区2023-2024学年高二下学期期末联合考试数学试题（解析版）

大湾区2023—2024学年第二学期期末联合考试高二数学本卷共6页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等差数列{an}中，aa14=−=1,8，则{an}的公差d=（）A.3B.2C.−2D.−3【答案】A【解析】【分析】直接根据等差数列的公差计算公式即可求解．aa−9aa=−=1,8得，41【详解】由14d===3，413−故选：A．2.已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ123Paba则E(ξ)=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B第1页/共16页 【解析】【分析】根据分布列概率之和为1得21ab+=，再由随机变量的期望公式计算即可.【详解】由分布列的性质可得，aba++=1，即21ab+=，E(ξ)=×+×+×=+=123422abaab(2ab+=)2.故选：B．23.在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若XN(µσ,)，记pP1=(µσ−<<+Xµσ)，pP2=(µσ−<<+22Xµσ)，pP3=(µσ−<<+33Xµσ)，经统计，某零件的尺寸大小X（单位：dm）从正态分布N(30,25)，则PX(>=40)（）pp1−p1−p1223A.1−B.1−C.D.2222【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可得所求.【详解】由题意知，XN∼(30,25)，则µ=30，σ=5，∴−=µσ220，µσ+=240.1−PX(20≤≤40)1−p结合正态曲线的对称性可得()2PX>=40=.22故选：C.24.已知一组成对数据(xyiii,)(=1,2,,6)中y关于x的一元非线性回归方程y=bx+1，已知6662∑∑∑xxyiii=12,=4,=18，则b=（）i=1ii=11=99A.−1B.1C.−D.22【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得2x和y的平均数，根据样本中心满足回归方程，即可求解.2【详解】因为y关于x的一元非线性回归方程y=bx+1，2设tx=，则回归直线方程yˆ=btˆ+1，第2页/共16页 66662112又因为∑∑xyii=12,=18，可得∑∑xyii=2,=3，即样本中心为(2,3)，ii=11=66ii=11=将样本中心(2,3)代入回归直线方程yˆ=btˆ+1，可得321=bˆ+，解得bˆ=1，即b=1.故选：B.5.画n条直线，将圆的内部区域最多分割成（）22nn++21nn++2A.部分B.部分2222nn+3nn−+4C.部分D.部分22【答案】B【解析】【分析】设画n条线把圆最多分成an部分，根据已知条件得到递推关系式，从而求出通项公式.【详解】设画n条直线，将圆最多分割成an部分，则a1=2，aann−=≥−1nn(2)，因此aa21−=−=2,aa323,,aann−=≥−1nn(2)，(nn−+1)(2)相加得：aa−=++++=234n(2)n≥，n122nn++2所以an=(≥2)，n22nn++2当n=1，a1=2，符合上式，所以an=，2故选：B.x6.若函数fx()=e−kxln在区间(1e，)上是增函数，则实数k的取值范围为（）1A.(−∞，0]B.−∞，eeC.(−∞，e]D.(−∞，e【答案】C【解析】【分析】根据题意，将问题转化为恒成立问题，然后求导得最值即可.第3页/共16页 xkxx【详解】由fx′()=e0−≥，可得kx≤e，记gxx()=e，x∈(1e，)，xx则gx′()=+>(x1e)0，所以gx()在(1,e)单调递增，所以kg≤=(1e).故选：C7.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用22×列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据α=0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若2依据α=0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ的值可能为（）附表：α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828A.4.238B.4.972C.6.687D.6.069【答案】D【解析】2【分析】依据α的取值，得出χ的取值范围，判断即可.22【详解】由题知χ∈[5.024,6.635)，故χ的值可能为6.069.故选：D.8.已知函数fxxx()=α(>0)，α为实数，fx()的导函数为fx′()，在同一直角坐标系中，fx()与fx′()的大致图象不可能是（）A.B.C.D.第4页/共16页 【答案】C【解析】【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B,C,D项，通过图象观察分析可得α>1，结合两函数图象交点的位置舍去C项.α′=α−1【详解】由fxx()=,可得fx()αx−1−21对于A，当α=−1时，在第一象限上fxx()=递减，对应fx′()=−x=−图象在第四象限且递增，2x故A项符合；′对于BCD,,,在第一象限上fx()与fx()的图象在(0,+∞)上都单调递增，故α>0且α−>10，则α>1.α′=α−1的图象交点横坐标应大于1，显然C项不又由fxfx()=′()可得x=α>1，即fxx()=与fx()αx符合，B,D项均符合.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，存在极值点的是（）13A.yx=−B.yxx=−−2xC.yxx=lnD.yxx=sin【答案】CD【解析】【分析】根据极值的定义以及导数符号对选项一一验证即可.1【详解】对于A，yx=−，定义域为(−∞,0)(0,+∞)，x11其导数y′=+>10，则函数yx=−在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增，没有极值点，故A错误；2xx3对于B，yxx=−−2在定义域R上单调递减，没有极值点，故B错误；对于C，yxx=ln，定义域为(0,+∞)，1其导数yxln1，再x∈0,时，y′<0，函数单调递减，e1再x∈+,∞时，y′>0，函数单调递增，e第5页/共16页 1则当x=时，函数取得极小值，故C正确；e对于D，yxx=sin，定义域为R，π其导数y′=sinxxx+cos，当x∈−,0时，y′<0，函数单调递减，2π当x∈0,时，y′>0，函数单调递增，2则当x=0时，函数取得极小值，故D正确；故选：CD.10.已知数列{an}，其前n项和记为Sn，则（）A.若{an}是等差数列，且aaaapqst+=+，则pqst+=+2B.若{an}是等差数列，且Sn=++AnBnCABC(,,∈R)，则C=0n+1C.若{an}是等比数列，且SCn=2+，其中C为常数，则C=−2D.若{an}是等比数列，则SSSSSkkkkk,,,232也是等比数列【答案】BC【解析】【分析】举反例判断AD选项，由等差等比数列的前n项和公式判断BC选项.【详解】A选项中，当等差数列{an}是常数列时，由aaaapqst+=+，就不能得到pqst+=+，所以A是错误的；1dd2B选项中，设等差数列{an}公差为d，由前n项和Sn=+na11nn(−=+−1)dnan，222可知C=0，所以B是正确的；n+1C选项中，由SCn=2+可知，等比数列{an}公比不为1，设公比为q，naq1(1−)aa11na1=−2由等比数列前和公式得Sq==−，则有q2，，n1−q11−−qq1−q则常数C=−2，所以C是正确的；D选项中，等比数列{an}中，当公比q=−1时，若k=2，有S2=0，则SSSSS24264,−,−,⋅⋅⋅就不是等比数列，所以D是错误的；故选：BC．第6页/共16页 11711.设A，B是一次随机试验中的两个事件，且PA()=，PB()=，PAB()+=AB，则（）341251A.A，B相互独立B.PAB()+=C.PBA()=D.PAB()≠PBA()63【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A、B，利用条件概率的定义与公式可判定C、D.23【详解】由题意可知PA()1=−=PA(),PB()=1−=PB()，34事件ABAB,互斥，且PAB()+=PAB()PAPAB(),()+=PAB()PB()，7所以PAB()+=ABPAB()+PAB()=+−PA()PB()2PAB()=，122171即+−2PAB()=⇒PAB()==PAPB()()，故A正确；34126则PABPAPBPABPAPBPAPB()+=+−=+−⋅()()()()()()()13135=+−×=，故B正确；343461PAB()611由条件概率公式可知：PBA()===≠，故C错误；PA()243311PAB()PB()−PAB()46−1PAB()====，PB()PB()13421PBA()PAPAB()−()36−3PBA()====即PAB()≠PBA()，故D正确.PA()PA()243故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.1312.当x∈[0,3]时，函数fx()=xx−+2的最小值为_______.341【答案】##133【解析】【分析】首先求函数的导数，并判断函数定义域内的单调性，即可求函数的最小值.第7页/共16页 2【详解】由题意可知，fxx′()=−=+111(x)(x−)，令fx′()=0，有x=1或x=1−（舍），当x∈[0,1)时，fx′()<0，fx()单调递减，当x∈(1,3]时，fx0，fx()单调递增，14所以当x=1时，函数取得最小值f(11)=−+=2.334故答案为：313.将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是____________.【答案】240【解析】【分析】把5名志愿者分成4组，再分配到4个社区即可.2【详解】把5名志愿者分成4组，有C5种分法，4再把每一种分法的4组分配到4个社区有A种方法，424所以不同的分配方法数是CA=240.54故答案为：240.14.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为_____.【答案】2037【解析】【分析】根据“杨辉三角”的特点可知n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第n+1行，从而得到第n+1行去掉所有为1的项的各项之和为：22n−；根据每一行去掉所有为1的项的数字个数成等差数列1的特点可求得至第11行结束，数列共有45项，则第46项为C=11，从而加和可得结果.11第8页/共16页 【详解】由题意可知，n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第n+1行则“杨辉三角”第n+1行各项之和为：2n∴第n+1行去掉所有为1的项的各项之和为：22n−从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为：1,2,3,4,⋅⋅⋅则：12345678945++++++++=，即至第11行结束，数列共有45项1∴第46项为第12行第1个不为1的数，即为：C=1111∴前46项的和为：21−+−+−+⋅⋅⋅+−+=22222322102112037本题正确结果：2037【点睛】本题考查数列求和的知识，关键是能够根据“杨辉三角”的特征，结合二项式定理、等差等比数列求和的方法来进行转化求解，对于学生分析问题和总结归纳的能力有一定的要求，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.数列{an}满足a1=1，aaaannn++11+−=n0.（1）求数列{an}通项公式；cosnπ（2）设bn=+2，求数列{bn}的前n项和Sn.2an1【答案】（1）a=；nn9n,2nk=4∗（2）Skn=,N∈.71n−,21nk=−4【解析】【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列求出通项即得.（2）利用（1）的结论，求出bn，按n为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和.【小问1详解】11数列{an}中，a1=1，aaaannn++11+−=n0，显然an≠0，则1，aann111数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，=+−⋅=1(nn1)1，aann第9页/共16页 1所以数列{an}通项公式是an=.n【小问2详解】nn由（1）知，bn=−⋅+(1)2，2∗nn−1nn−1999nn当n=2,kk∈N时，bn−1+bn=(1)−⋅++−2(1)⋅+=2，Sn=⋅=，222224∗9(nn++1)17n−1当nkk=−∈21,N时，SSbnnn=++11−=−−=2，4249n,2nk=4∗所以Skn=,N∈.71n−,21nk=−416.小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为15∼.年份代码x12345市场规模y0.91.21.51.41.6（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）.552参考数据：:y=1.32,∑∑xyii=21.4,(yi−≈y)0.55,10≈3.16；ii=11=n∑(xxyyii−−)()i=1参考公式：相关系数r=，回归方程yˆ=bxaˆ+ˆ中斜率和截距的最小二乘估nn22∑∑(xxii−−)(yy)ii=11=n∑(xxyyii−−)()计公式分别为bˆ=i=1,aˆ=ybx−ˆ.n2∑(xxi−)i=1【答案】（1）答案见解析（2）yxˆ=0.16ˆ+0.84【解析】第10页/共16页 【分析】（1）由题意代入公式即可求出相关系数近似为0.92，说明y与x的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）利用最小二乘法求出bˆ=0.16，aˆ=0.84，即可得到y关于x的经验回归方程.【小问1详解】5512345++++22由已知得x===3,y1.32,∑∑(xxii−=)10,(yy−≈)0.55,5ii=11=55∑∑(xxyi−)(i−=y)xyii−⋅=5xy21.4531.321.6−××=ii=11=1.6∴≈r≈0.92.3.160.55×因为y与x的相关系数近似为0.92，说明y与x的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.【小问2详解】55222222由题可得，∑∑xyii=21.4,xi=++++=1234555ii=11=5∑(xxyyii−−)()1.6bˆ=i=1==0.16，aˆ=−=ybxˆ1.320.163−×=0.8452225553−×∑xxi−5i=1故y关于x的经验回归方程为yxˆ=0.16ˆ+0.84.n122n−−1n1nn17.某同学在研究二项式定理的时候发现：fx()=+=++(1x)1CxCx++Cx+Cx其中nnnnrr1CC+++++=12Cn−1C2nn;②CCmnm−Cn为x的系数，它具有好多性质，如：①nnnnnn=;③kk−1knCC=；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题:nn−11237（1）计算：C++++2C3C7C；(请用数字作答)7777n*k22Ckn=+⋅nn12−（2）若n∈N，且n≥3，证明：∑n()；k=1（3）设数列a，a，a，…，a是公差不为0的等差数列，证明：对任意的n∈N*，函数012n0nn1−−1222nnnpxa()=01C1n(−+x)axC1n(−x)+ax2C1n(−x)++axnnC是关于x的一次函数.【答案】（1）448；第11页/共16页 （2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】mnm−【分析】（1）根据给定条件，利用CC=，结合组合数公式计算即得.nnnkk−1C2kn=（2）根据给定条件，利用knCCnn=−1变形等式左边，再结合∑n推理即得.k=0（3）设出等差数列的公差，利用首项、公差表示an并代入函数式，再分组求和并逆用二项式定理推理即得.【小问1详解】1625347原式=++++++C6C2C5C3C4C7C77777770123=7(C+++CCC)=7(172135)+++=×=764448.7777【小问2详解】21kkk−k−1kk−−11kk−−21显然kCCC=kk⋅=kn⋅，而kkC=−+=−+(1)CC(n1)CC，nnn−1n−1nn−−11nn−−212kkk−−21因此kC=nn(−+1)CnC，nnn−−21nnn2kk−2k−1nn−−21n−2则∑kCn=nn(−1)∑∑Cnn−−21+nC=nn(−⋅1)2+⋅n2=nn(+1)2.k=1kk=21=所以原命题成立.【小问3详解】设等差数列a0，a1，a2，…，an的公差为d，d≠0，0n1n−−122n2nn则pxa()=C(1−+x)axC(1−x)+aCx(1−x)++aCx01nn2nnn0nnn11−n=aC(1−++xadxx)()C(1−+++)(andx)C00nn0n0n11n−nn1n−−122n2nn=a[C(1−+x)Cxx(1−)++Cx]+dxx[C(1−)+2Cx(1−x)++nxC]0nnnnnnn0n−11n−2nn−−11=a[(1−++x)x]dnx[C(1−x)+Cx(1−x)++Cx]0nn−−11n−1n−1=+a0dnxx+−(1x)=a+dnx.0*所以对任意的n∈N，px()是关于x的一次函数.【点睛】思路点睛：本题第（3）利用公差da,1表示an，借助分组求和的思想并逆用二项式定理即可推理得证.第12页/共16页 18.为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭生育情况进行抽查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家1庭数为随机变量XX(≥2)，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为，已知各家庭抽查结果相互独立.3（1）求PX(=4)；2（2）若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于，求整数n的最小值.34【答案】（1）27（2）7【解析】【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）利用错位相减法求取的家庭数X不超过n的概率，再结合数列的单调性求解即可.【小问1详解】由题意，前三次抽到一户三胎家庭，第四次抽到一户三胎家庭，211214所以PX(==××4)C×=.333327【小问2详解】ii−−22112112i−因为PXi(==)C×××=×(i≥2).i−133393n所以抽取的家庭数X不超过n的概率为P=∑PXi(=)==PX(2)+=PX(3)++=PXn()，i=2012n−2122232n−12即P=×+×+×++×，9393939312nn−−2121222nn−−2212P=×+×++×+×，393939393012nn−−21112222n−12两式相减，得P=×++++−×,39333393n−121−n−1nn−−11n−1P=1×3−×n−122nn−+1222.所以=11−−×=−⋅31−233333333第13页/共16页 n−1n−1n+2222由P=1−⋅≥，得(n+⋅2)≤1，3333n−12令an=+⋅(2)(n≥2)，n3nn−−12n−2221−n2则aa−=+⋅(n2)−+⋅(n1)=.<≥0(n3)，nn−13333所以aann<−1，所以数列{ann}(≥2)是递减数列，562256264因为aa=8×=>=1,9×=<1，673243381所以整数n的最小值是7.x19.已知函数fx()=lnx+=1,gx()e−1.（1）求曲线yfx=()与ygx=()的公切线的条数；22（2）若a>∀∈−+0,x(1,∞),fx(+≤1)agxaa()+−+1，求a的取值范围.【答案】（1）2条（2）a≥1【解析】1x=e2【分析】（1）设切点，求导，分别求解fxgx(),()的切线方程，根据公切线可得x1，lnxx=−+−exx22e112即可求解x2=0或x2=1，从而得解，2x（2）将问题转化为ln(xaa+≤1)e−对于∀∈−+x(1,∞)恒成立，根据x=0可得a≥1，进而构造函数mx()=lnxx−+1,证明ln(xx+≤1)，即可先求解2xFxxa=−2e,1x+ax>−，xa≤−ea，构造函数()()求导，结合分类讨论即可求解.【小问1详解】x设fx()=lnx+=1,gx()e−1的切点分别为(xfx1122,()),,(xgx())，1x则fx′′()=,()egx=，x11x故fx()=lnx+=1,gx()e−1在切点处的切线方程分别为y=(xx−+11)lnx+⇒=1yxx+ln1，xx11y=ex2(xx−+−⇒=−+−)e1x2yex2xxee1xx2222第14页/共16页 则需满足；1x=e21xxxx,故ln=−xxee1e122+−⇒(2−)(−=10)，1x22e2lnxx=−+−exx22e112解得x2=0或x2=1，因此曲线yfx=()与ygx=()有两条不同的公切线，【小问2详解】2222x由fx(+≤11)agxaa()+−+可得ln(x++≤1)1a(e−+−+1)aa1，2x即ln(xaa+≤1)e−对于∀∈−+x(1,∞)恒成立，20ln01(+≤)aae−，结合a>0,解得a≥1设mx()=lnxx−+1,，1则当x>1时mx′()=−<10,mx()单调递减，当01<<x时，mx′()>0,mx()单调递增，x故当mxm()≤=(10)，故lnxx≤−1,因此ln(xx+≤1)，(x>−1)，2x2x令Fxxa()=−e,1+ax(>−)，则Fx′()=−1ea，2x令Fx′()=1e0−=a，得xa=−2ln，2x当−2lna≤−1时，此时a≥e，Fx′()=1e0−<a，故Fx()在x>−1上单调递减，2222eeee−−+−−−++aeee所以22，a−+−aaee2424FxF()<−=−−+=(11)a=≤=e20−<eeeeFxxa=−2e0x+<a，由于ln(xx+≤1)进而2x所以()ln(xaa+−1)e+<0，满足题意，当−2lna>−1时，此时1e<<a，2x令Fx′()=1e0−>a，解得−<<−1x2ln,aFx()单调递增，2x令Fx′()=1e0−<a，解得x>−2ln,aFx()单调递减，故FxFx()≤()=−F(2lna)=−2lna−+1a，max22a−令pa()=−2lna−+1a，则pa′()=−+=1，aa第15页/共16页 22a−由于1e<<a，所以pa′()=−+=10<，aa故pa()在1e<<a单调递减，故pa()<p(1)，即可pa()<0，因此FxFx()≤()=−F(2lna)=−2lna−+<⇒1a0Fx()<0maxFxxa=−2e0x+<a，由于ln(xx+≤1)进而2x所以()ln(xaa+−1)e+<0，满足题意，综上可得a≥1【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，第16页/共16页