2024年清华大学强基计划数学学科笔试试题

清华大学2024年强基计划数学学科试题考试时间2024年6月28日8:00-12:001.已知{sinθ,sin2θ,sin3θ}={cosθ,cos2θ,cos3θ}，则θ=_____.a2.已知e+a=lnb+b=4,则下列选项中正确的有（）A.alnb+lna>1B.alnb+lna=1C.ab<4D.ab>e3.某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转了（）次。A.96B.98C.104D.10222xy4.在平面直角坐标系内，M∈(x,y)+≤1,A(2,1)，若∆OMA的面积不超过3，则满足条件的2008整点M个数为_____.16.已知a=1,a=a+，下列选项中正确的有（）.1n+1n2anaan3nA.=3B.[a]=20C.=2D.[a]=30lim3400lim900n→+∞nn→+∞n1127.正整数a,b,c∈{1,2,,100}，且+=,a>b>c，满足这样条件的(a,b,c)的组数为（）.acbA.60B.90C.75D.868.从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有（）.11A.进行4次这样的操作回到A的概率为⋅(1+)4235B.进行2次这样的操作回到A的概率为9学科网（北京）股份有限公司 11C.进行4次这样的操作回到A的概率为⋅(1−)4231D.进行2次这样的操作回到A的概率为39.圆周上A,A,A七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公告点的概率是（）.1273121A.B.C.D.727310.a,a,a是一个1,2,3,,10的排列，要求a和a一定有一个大于a（i=2,3,,9），则满足的1210i−1i+1i排列的总数为_____.ax+by+c1111.直线l:ax+by+c=0,p(x,y),Q(x,y),x=，下列选项中正确的有（）.1122ax+by+c22A.若x>1，则l与射线PQ相交B.若x=1，则l与射线PQ平行C.若x=−1，则l与射线PQ垂直D.若x存在，则Q在l上12.在∆ABC中，∠A=60,∠BAP=∠CAP,P在∆ABC内部，延长BP交AC于Q，且111+=，则∠BPC=（）.BPCPPQA.140B.130C.110D.12013.几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下：张三：甲是第4名；李四：乙不是第2或第4名；王五：丙排在乙前面；刘六：丁是第1名已知只有一个人说假话，下列正确的是（）.A.丙是第1名B.丁是第2名C.乙是第3名D.甲是第4名2214.tan(arctan2+arctan+++arctan)=_____.22212*2215.已知a,b∈N,a+b≤2024，使得ab+b+7ab+a+b的解的组数有（）组.学科网（北京）股份有限公司 *16.点集S={(x,y)x≤5,y≤4,x,y∈Ν}，则由S中的点可组成_____个不同的三角形.117.已知2aa−3a+1=0,a=，下列选项中正确的有（）.nn+1n+1131n−1a−1nnA.liman=B.Sn>C.是等比数列D.Sn<n→+∞26an+12n18.已知复数z=1,z=z+2，则n的最小值为_____.19.已知一个正四面体边长为22，P点满足PA+PB=2，考虑AP⋅AD，下列说法正确的有（）.A.最小值为4−22B.最大值为2+22C.最小值为2−22D.最大值为4+22abc20.已知f(a,b,c)=++(a,b,c≥0)，则f(a,b,c)的最大值、最小值分别为_____.b+cc+aa+b3221.已知x+px+r=0在(0,2)上三个不等实根，则p+q+r的可能取值为_____.22.四面体V−ABC中，VA=VB=22，VC=3,CA=CB=4，求CA与VB所成弦角的取值范围_____.x−123.已知f(x)=，下列选项中正确的有（）.xeA.f(x)=a两根x,x,且x+x=412121B.f(x)=a两根，则a∈(0,)2eC.任意m∈R，函数g(x)=f(x)+m都有最小值D.任意m∈R，使得函数g(x)=f(x)+m有最大值nk−1k24.f(x)是在[0，1]上的连续函数，设An=∑f()−f()，则（）k=1nnA.A≤AB.A≤AC.2A≤AD.2A≤An2nnn+mn2nnn+m22xy25.双曲线−=1，斜率为1的直线l交C于A,B两点，D为C上另一点，AD⊥BD.∆AOD,∆BOD22ab重心分别为P,Q，∆ABD外心为M，若k⋅k⋅k=−8，则双曲线的离心率为_____.OPOQOM226.过抛物线x=4y焦点F的直线与抛物线交于点A(x,y),B(x,y)两点，l过B且与抛物线在A处的1122切线平行，l交抛物线与另一点D(x,y)，交y轴于E点，则下列选项中正确的有（）.33学科网（北京）股份有限公司 A.x+x=3x231B.FB=FEC.∆ABD面积的最小值为16D.yy=11227.f(x)=lnx+cosx所有极值点依次为a,a,a，则a−a=_____.11nlimn+1nn→+∞212228.f(u)=u+au+b−2,u=x+，f(u)有零点，则a+b的最小值为_____.x学科网（北京）股份有限公司 清华大学2024年强基计划数学学科试题解析学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司