浙江强基联盟2023学年高三数学上学期10月联考试题（PDF版附答案）

绝密★启用前A.16种B.20种C.24种D.28种57.已知函数fx()1cos4xx=++2sin2，xa0,的值域为2,，则实数a的取值范围为()浙江强基联盟2023学年第一学期高三年级2ππππ5πA．,B．,C．,D．,π10月联考数学学科试题6212212612命题人：宁波鄞州高级中学朱俊波审题人：平阳鳌江中学蔡继大aa,b2*8.定义maxab,=.若数列a的前n项和为Snn=n++(20)(R,N)，数列bnnn金华市外国语学校代云龙武义第三中学邓浩温州育英实验学校朱益ba,b本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.n+1考生须知：1.答题前，务必核对答题卡上条形码中信息是否与本人一致.满足b1b1=1b−bb2,2=(nn++nn)，令cnabnn=max,，且ccn3恒成立，则实数的取值范围是()2.选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，212再选涂其他答案编号.A.−−4,3B.−−3,2C.−−,D.−−3,3233.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写，在试卷上作答无效.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要第Ⅰ卷(选择题共60分)求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知mn,是两条不重合的直线，,是两个不重合的平面，下列命题正确的是()一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符A.若m//,m//,//,//nn，则//B.若mnm//,n//,⊥，则⊥合题目要求的.C.若mnm⊥,,n，则⊥D.若mnm//,n,⊥⊥，则//210.下列说法正确的是()1.设集合Axx=−x+Bxx=−680,13，下列属于AB的元素是()2A.若随机变量X服从二项分布Bp(6,)，且EX()=2，则DX()=A.1B.2C.3D.432−ai5222.若复数z=是纯虚数，则实数a=()B.随机事件A，B相互独立，满足PAB()=，PAB()=，则PB()=2+i995A.2B.4C.−2D.−4211C.若PAB(PBA)===(PA),()，则PB()=22xy3223.已知双曲线C:−=1(a0,b0)的离心率为5，则渐近线方程是()22abD.设随机变量X服从正态分布NPX(3,,50.8)(=)，则PX(130.3=)13A．yx=B．yx=2C．yx=3D．yx=2311.已知抛物线Ey:4x2=上的两个不同的点Axy(,,,Bxy)()关于直线xky=+4对称，直线AB11224.已知向量a==(2,4,)b(1,x)，若(ab+−ab)//2()，则ab=()与x轴交于点Cx(,0)，下列说法正确的是()0A.10B.10C.8D.22A.E的焦点坐标为(1,0)B.xx12+是定值C.xx12是定值D.x0−(2,2)3ax6,2x+5.若函数fx()=x是单调递增函数，则实数a可取的一个值是()1aax+,212.已知定义在R上的函数fx(22−)的图象关于直线x=1对称，函数fx+1的图象关于点2A.3B.4C.5D.6(2,0)中心对称，则下列说法正确的是()6.近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、A.fx()=−f(x)B.8是函数fx()的一个周期丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有()C.f(20)=D.f(1+x)+f(1−x)=0数学第1页（共2页）24-63C 第Ⅱ卷(非选择题共90分)2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.20.(12分)已知函数fx()=lnxax−+(12−axa).(R)222213.过圆xy+=1上点P−,的切线方程为(Ⅰ)若a=1时，求函数fx()的单调区间;2211(Ⅱ)当0a时，求证：fx(a)−−1.81222a14.−x展开式中含x项的系数是2x115.已知sin,0,xx+=()，则sin2x=43241c16.设abc,,为正数，ab，且ab,为一元二次方程ax−30bxc+=的两个实根，则+的xy22bbab(−)21.(12分)如图所示，已知椭圆Ea:1b0+=()过点M(22,2)，且满足ab=2，O为坐标22ab最小值为原点，平行于OM的直线交椭圆E于两个不同的点AB,.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.(Ⅰ)求椭圆E的方程;17.(10分)已知锐角△ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，且满足bsinC+=csinB3b(Ⅱ)直线AM与x轴交于点C.证明BMC的内角平分线所在直线与x轴垂直.y(Ⅰ)求C;A(Ⅱ)若c=2,△ABC面积为3，求△ABC的周长.MC*18.(12分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足3S2a,435a8=23a1+a=(+)，nN.OxB(Ⅰ)求数列a的通项公式;nn−11(Ⅱ)若b=−，令cab=，数列c的前n项和为T，求T的取值范围.nnnnnnn222.(12分)甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球.现从甲、乙两口袋19.(12分)如图，已知四棱锥PABCD−，△PAD是边长为4的等边三角形，满足AB==24BC，中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中红AB⊥BC，BCAD//.(Ⅰ)求证：PCAD⊥;球个数为Xn.(Ⅱ)若PD与平面ABCD所成的角为，求二面角PCD−−A的余弦值.4(Ⅰ)求PX(1=1);P(Ⅱ)求X的概率分布列并求出EX();221*(Ⅲ)证明：EX()=+1EX()(n2,nN).nn+13ADBC数学第2页（共2页）24-63C 10月强基数学参考答案1.答案：C解析：集合Ax=xAB2xx4,={|23}，故选C2.答案：B4(2−−)aai+解析：z=，由题40,−=4aa=53.答案：Bc解析：e==5，取ac==1,5，则b=2，故选Ba4.答案：A解析：，，因，故42−==0,xx2,故选Aab+=x+(3,4)ab−x=2−0,42()(ab+−a)b//2()5.答案：D2解析：由题aaa++66，解得a6或a−1，故选D6.答案：C解析：分别有1人、2人报南京大学两种情况，共计18+6=24种,故选C7.答案：B15215解析：fx()x2(sin2=−−+)，当sin2x=时，y=，当sin20x=时，y=2，此时222max2min2,x，即x,,故选B61228.答案：D111n2解析：an=+220，−=，b=2，由累加法得b=2，由aba−−且b,3.得nn+11n2343bbnn+1239.答案：BDA选项，若mn∥，则不满足B选项，由面面垂直的判定定理推论1知其正确C选项，由线面垂直的判定定理知其错D选项，由线面垂直的性质定理和其正确故答案为BD10.答案：CD4A选项，易知DX()=31 525B选项，易知PAB()=，PAB()=,求解易知PB()=，B错误997C选项，由条件概率定义易知PA(PB)=()D选项，由正态分布的知识易得D正确故答案为CD11.答案ABDyy12−22易得x+x=ky(+y)8+①，又=−k②，又yx=4③，yx=4④，将③④代入②可得：12121122xx−122ky()4y+=−，代入①可得xx+=4.∴AB的中点D坐标为2,−，1212k2222则直线AB的方程为：ykx+=−−(2)，令y=0得：x=−2,而D位于抛物线内部，∴()−428=，02kkk22可得4,则x=−22,2−().综上，正确答案为ABD202kk故答案为ABD12.答案：ABC11易得fx(fx222−=2−)()，故fx(f)x=−().又fxfx++1−30=，故fx()关于点(2,0)中心对称.22综上，fx()的最小正周期为8，显然ABC对，D错.故答案为ABC13.答案：yx=+222解析：由题知，k=−1，则k=1，所以切线方程为y=x−−+=+x2.OP切线2214.答案：−732515解析：x的系数为C(−17=−)82715.答案：−91211227解析：由题知，=+(sincosxx)，则=+(sincosxx)，则sin22sincosxx=x=−=−132929916.答案：823bca3c2解析：由题知ab+=ab=①,②，，由①得ba=a，，由②得=a，，则aa32−ab24c122144aa+=4aa+4+8，当ab=1且==即abc=2=2=1取“=”，满足题意.，注：：2bbab(−−)bab()a23−a2 本题的取等条件比较特殊，恰巧同时满足本题条件）317.解析：注1）bCsincBsinbB+3=CsinsinCB+B=Csinsin=3sinsin-----5分213注2）Sab==C=ab=sin34-----7分2422222又cab=ab+−Cab+=2cos4==ab2周长abc++=6-----------10分18．解析:注1）3S2a2a=d+a=()又aad=a+=3a2d11,2+==45813111*=a−nnN21,------------6分nnn−−1211111注2）c=(2n−1)−T=+−13+−5++(2n−1)−-----注1）nn222223n11111−=−Tnn+−+−352++1−−()-----(2)22222nn21−31111由注1）-(2)得Tn=−121−(2−+−+−)++−-------8分n22222n4212化简得Tn=−−−+------------10分n3929n421212若n为偶数时，Tn=−−+−,-------11分n392929n42122122若为n奇数时Tn=++,1，因此T−,,1------12分nn2993929919.解析：注1）取AD中点O，连接POCO,，则ADPOAD⊥⊥=,,COPOCOO⊥ADPCO⊥面ADPC-----------4分注2）如图建立空间直角坐标系，CD(4,0,0,)02,0()，，ADPCO⊥面⊥PCOABCD面面，，PHCO⊥，，则PHABCD⊥面PDH为PD与平面ABCD所成的角.即=PDH---------7分43 P(2,0,22)CDCP=−(4,2,0,=−)2,0,22()设平面PCD的法向量为CDn=01n1xyz=(,,)取n1=(2,4,2)--------9分CPn=0nn1112平面ABCD的法向量n=(0,0,1)=cos=-------12分2nn11121(xax+−1+)2(1)20.解析：注1）定义域(0+，=)−+fx−=()ax212a()xx------2分(xx+−1+)2(1)11af=x1=()，即fx()在0,递增，,+递减------4分x221111注2）fx(f)aa=−−+−=−ln2+−1ln21--------6分24a2a4aa111转证：−+ln2−1aa1−−即证：ln2aa0+−42aa4a11设hx(x)xx=+ln−,0,1(---------8分22x2111−−(x1)1fx()=−−=0，fx(f)=(10)fx−−()a1成立------12分22xxx2222a228222xy21.解析注1）ab=2又+==1=,4ab16即：+=1--------4分22ab164212221222注2）设ly:xn=+，则xxn++4=1xnx0+n+−=6228，=−4−nn84()0即nn4,0，222设Axy(,,,Bxy)()则xxnxx+=−=n−22,8----------6分11221212yy−−2212设直线MAMB,的斜率分别为kk,则kk==,1212xx−−222212(y1x2y−21x−+2−22)−(222)()()kk+=---------8分12(xx12−−2222)()11(y1x2y−21x−1x2221)(nxx+22nx−2−)(22=2)(+−−22)2+22+−−()()222=xx12+(n−22)(x1+x2)−22(22n−22)=2n−−82nn(−22)−22(n−22=0)---10分则BMC的角内角平分线是x=22--------12分22422．解析：注1）PX(=1)==------------3分13394 22114211112114(2)X可能取0,1,2,3.则PX(==0=);PX(==3+=)2223333813333333381122221222212222132PX(2==1)+++=33333333333333338141PX(2=2)=−1PX(2=0)−PX(2=1)−PX(2=3)=--------------6分81分布列为：X01232P4324148181818114EX(2)=-----------------------------------------8分9122122注3）PX(PX=PX=1=)0+12PX+(=+=)()()nn+n1n333333222112PX(PXnn+n1n=PX=21)=2+3PX+(=+=)()()33333311PX(PXnn+1==32)=()又PX(PXnnn=n+0PX=1)+2=3+1PX=(=)()()331215EX(n+1)=1PX(n=1)+2PX(n+1=2)+3PX(n+1=3)=PX(n=0)+PX(n=1)+PX(n=2)+2PX(n=3)99121EX(PXnn+n1n)n=+PX112=PX3+1=(+EX==+)()()()--------12分3335